考点一：等差数列通项、下标和定理
【内容精讲】
1、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 就叫做这个数列的公差. 即a n -a n -1=d (n ≥2, n ∈N *)
. 2、等差中项
若a , A , b 成等差数列，那么A 叫做a , b 的等差中项. 两个实数a , b 的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数
a +b
. 2
3、等差数列的性质
（1）等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =a m +(n -m ) d
(n , m ∈N *) ，
（2）下标和定理：等差数列{a n }中，如果m +n =p +q , 则a m +a n =a p +a q , 特殊地，2m =p +q 时，则2a m =a p +a q ，a m 是a p 、a q 的等差中项.
（3）{a n }的公差为d ，则d >0⇔{a n }为递增数列；d
【例1】等差数列{a n }中，a 1=
1
，从第10项开始大于1，则d 的取值范围是（ ） 25
A. (
883838
, +∞) B. (-∞, ) C. [, ) D. (, ]
[1**********]5
【练习】
1. （2014福建理3）3. 等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1=2, S 3=12，则a 6=( )
A .8 B .10 C .12 D .14
2. 设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1=25, b 1=75, a 2+b 2=100, 则a 7+b 7等于（ ） A.1 B.0 C.100 D.3700
3. （2014辽宁理8）8. 设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{21n }为递减数列，则（ ） A ．d 0 C．a 1d 0
4. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
a a
1
是较小的两份之和，问最小1份为（ ） 7
A.
510511
B. C. D.
3366
5. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10, S 5=55，则过点P (n , a n ), Q (n +2, a n +2)(n ∈N *)的直线的斜率为（ ） A. 4
B.
11
C. －4 D. －
4 4
【例2】(2013广东理12) 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝__________.
【练习】
1. 已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 8+a 15=π，则cos(a 4+a 12) 的值为（ ） A. -B. C.
D. 22
11考点二：等比数列通项、下标和定理
【内容精讲】
1、等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项（有序的）的商都等于同一个常数q (q ≠0) ，那么这个数
列就叫做等比数列，这个常数q 就叫做这个数列的公差. 即
a n *
. n ≥2, n ∈N , q ≠0. =q ，
a n -1
2、等比中项
若a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a , b 的等比中项. 两个实数a , b 的等比中项有两个，就是这两个数的
算数平均数3、等比数列的性质
（1）等比数列的通项公式：a n =a 1q n -1=a m q n -m (a 1q ≠0) .
（2）等比数列{a n }中，如果m +n =p +q , 则a m a q ，a n =a p a q , 特殊地，2m =p +q 时，则a m 2=a p
a m 是a p 、a q 的等比中项.
（3）{a n }的公比为q ，则⎨
⎧a 1>0⎧a 1
或⎨⇔{a n }为递增数列；
⎩q >1⎩0
⎧a 10
或⎨⇔{a n }为递减数列；q =1⇔{a n }为常数列；q 10
【例3】设{a n }是等比数列，有下列四个命题：
2①a n 是等比数列； ②a n a n +1是等比数列；
③
1
是等比数列； ④lg |a n |是等比数列． a n
其中正确命题的个数是（ ） A.1B.2 C. 3 D.4 【练习】 1. （2014重庆理2）对任意等比数列{a n }, 下列说法一定正确的是（ ）
A . a 1, a 3, a 9成等比数列 B . a 2, a 3, a 6成等比数列 C . a 2, a 4, a 8成等比数列 D . a 3, a 6, a 9成等比数列
2. （2014北京理5）设{a n }是公比为q 的等比数列，则" q >1" 是"{a n }"为递增数列的（ ）
A . 充分且不必要条件 B . 必要且不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件
3. （2013福建理9）已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1) ＋1＋a m (n －1) ＋2＋…＋a m (n －1) ＋m ，c n ＝a m (n －1) ＋1·a m (n
*
－1) ＋2·…·a m (n －1) ＋m (m ，n ∈N ) ，则以下结论一定正确的是( ) ．
m
A ．数列{bn }为等差数列，公差为q
2m
B ．数列{bn }为等比数列，公比为q C ．数列{cn }为等比数列，公比为q
m 2
m
D ．数列{cn }为等比数列，公比为q m
【例4】若a , b , a +b 成等差数列，a , b , ab 成等比数列，则log b (b -a ) =
【练习】
1. （2014江苏7）在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=1，a 8=a 6+2a 4，则a 6的值是 。
2. （2014天津理11）设{a n }是首项为a 1，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和. 若S 1, S 2, S 4成等比数列，则a 1的值为__________.
3. （2014安徽理12）数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q = ________.
4. 若一个三角形的三内角的度数既成等差数列，又成等比数列，则这个三角形的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【例5】已知数列{a n }为等差数列，且a 3+a 6+a 9=4π，数列{b n }为等比数列，且b 5b 6b 7=8，则c o s 的值为( ) A.
⎛a 6⎫
⎪b ⎝6⎭
1
2
B. -
1
C. 2
【练习】
1. 设{a n }是正数组成的等差数列，{b n }是正数组成的等比数列，且a 1=b 1，a 2n +1=b 2n +1，则一定有（ ） A ．a n +1>b n +1
2. （2014广东理13）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11+a 9a 12=2e ，则
5
B ．a n +1
D ．a n +1≥b n +1
ln a 1+ln a 2+ +ln a 20=。
3. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 4a 7+a 5a 6=18, 则log 3a 1+log 3a 2+ +log 3a 10=（ ）
A ．12 B ．10
C ．8
D ．2+log 35
考点三：等差数列错误！未找到引用源。
【内容精讲】
1、 数列的前n 项和
S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n
2、等差数列的前n 项和
（1）等差数列的前n 项和公式s n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d . 22
（2）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n 成等差数列.
【例6】等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值
是4，则抽取的是（ ）
A ．a 11 B ．a 10
C ．a 9
D ．a 8
【练习】
1. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题. 他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类. 如下图中实心点的个数5,9,14,20，…为梯形数. 根据图形的构成，记此数列的第2013项为a 2013，则a 2013-5=（ ）
A. 2019⨯2013 B. 2019⨯2012 C. 1006⨯2013 D. 2019⨯1006
2. {a n }是公比大于l 的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和．若S 3=7，且a 1+3,3a 2, a 3+4构成等差数列． （1）求{a n }的通项公式．（2）令b n =log 2a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
3. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且数n 的个数是（ ）
A ．2 B ．3
A n 7n +45a
，则使得n 为整数的正整=
B n n +3b n
D ．5
C ．4
【例7】已知等差数列{a n }，a n =2n -19，那么这个数列的前n 项和S n 的最小值为________.
【练习】
1. （2014北京理12）若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0，a 7+a 10
n 项和最大.
2. （2014湖北理18）已知等差数列
满足：=2，且a 1, a 2, a 5成等比数列.
（1）求数列的通项公式. （2）记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.
考点四：等比数列错误！未找到引用源。
【内容精讲】
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
, q ≠1, q ≠1⎪⎪1-q s =等比数列的前n 项和公式：s n =⎨1-q 或n ⎨
⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1
【例8】(2013福建理6) 阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( ) ．
n －1n －1
A ．计算数列{2}的前10项和 B．计算数列{2}的前9项和
n n
C ．计算数列{2－1}的前10项和 D．计算数列{2－1}的前9项和
【练习】 1.(2013四川16) 在等比数列{a n }中, a 2-a 1=2, 且2a 2为3a 1和a 3的等差中项,
求数列{a n }的首项、公比及前n 项和.
2. （2014湖北理18）已知等比数列{a n }满足：|a 2-a 3|=10，a 1a 2a 3=125. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得
111++ +≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. a 1a 2a m
3. 把公差d =2的等差数列{a n }的各项依次插入等比数列{b n }中，将{b n }按原顺序分成1项，2项，4项，…，2n -1项的各组，得到数列{c n }：b 1, a 1, b 2, b 3, a 2, b 4, b 5, b 6, b 7, a 3，…，数列{c n }的前n 项的和为S n . 若c 1=1，c 2=2，S 3
=
13
．则数列{c n }的前100项之和S 1004
考点五：S n 与a n 的关系
【内容精讲】
1、数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 的关系a n =⎨
n =1⎧s 1,
⎩s n -s n -1, n ≥2
当已知S n 和n 的一个关系式时用此公式可直接求得a n ；若已知是S n 和a n （或a n +1）的一个关系式时用此公式可求得{a n }的递推公式，而后再根据递推公式的方法来求a n （比如如果可由递推公式知{a n }是等比或等差数列，则可直接用等比或等差数列的公式来求得；如果不是，则可以对应的用累加、累乘、或者构造辅助数列等方法来求得）. 2、累加累乘法
（1）累加：当数列{a n }具有递推公式a n －a n －1=f (n ) 时，可用公式
a n =(a n －a n －1) +(a n －1+a n －2) +⋯+(a 2－a 1) +a 1求得a n 与a 1的关系（即得通项）.
（2）累乘：当数列{a n }具有递推公式关系（即得通项）.
【例9】若S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2+n +1则{a n }是（ ） A. 等比数列，但不是等差数列 B ．等差数列，但不是等比数列 C ．等差数列，而且也是等比数列既非 D ．等比数列又非等差数列
a n a a a
=f (n ) 时，可用公式a n =n n -1 ⋯2 a 1求得a n 与a 1的a n －1a n －1a n －2a 1
【练习】
2
1. （2013全国一理14）若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n ＋错误！未找到引用源。，则数列{a n }的通项公式
3是a n =______.
2. 在数列{a n }中，a 1=A ．
1
，前n 项和S n =n (2n -1) a n ，则数列{a n }的通项公式为（ ） 3
13n -2n +3n +4
B ． C ．2-n D ．2-n
2n +122+1(2n -1)(2n +1)
3. （2014全国一理17）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n +1=λS n -1，其中λ为常数.(Ⅰ) 证明：a n +2-a n =λ；（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.
4. 数列{a n }满足
111
a 1+2a 2+ +n a n =2n +5，则a n =． 222
考点六：分组求和法
【内容精讲】
数列前n 项和常用求法: （1）重要公式
1+2+⋯+n =
11
n (n +1)；12+22+⋯+n 2=n (n +1)(2n +1) 26
（2）分组求和法：当数列{a n }可以写成{b n +c n }（其中{b n }、{c n }分别是可求和的数列（比如{b n }是等差数列，{c n }是等比数列；再比如{b n }是等差数列，{c n }是可用裂项相消法来求和的数列））的形式，可{a n }的前n 项和可分成{b n }的前n 项和和{c n }的前n 项和之和.
（3）错位相减法：当数列{a n }可以写成{b n c n }（其中{b n }是等差数列，{c n }是等比数列）的形式时可用. （4）裂项相消法：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项. 常见的裂项：
[1**********]
=-=-）=-），，，
n (n +1) n n +1n (n +2) 2n n +2n (n +k ) k n n +k
1n +n +1
=n +1-n
⎤11⎡11
=⎢-⎥.
n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2) ⎣⎦，
（5）倒序相加法：当数列{a n }具有性质：a n +a 1=a n -1+a 2= =a 1+a n =p （其中p 为常数）时可用. 11111
【例10】数列1357(2n-1)+n ，…的前n 项和S n 的值等于( )
248162A ．n 2+1-
1111222 B． C． D． 2n -n+1-n +1-n -n+1-n n n -1n 2222
【练习】
1. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n =
S 1+S 2+ +S n
，称T n 为数列a 1, a 2, , a n 的“理想数”，已知数
n
列a 1, a 2, , a 500的“理想数”为2004，那么数列12, a 1, a 2, , a 500的“理想数”为（ ） A.2001B.2004C.2008 D.2012
2. 等差数列{a n }中，a 4=14，前10项和S 10=185.
（1）求a n ；（2）将{a n }中的第2项，第4项，…，第2项按原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列
n
{b n }的前n 项和G n .
3. 已知数列{a n }满足：a n =log n +1(n +2)(n ∈N *)，定义使a 1 a 2 a 3 a k 为整数的数k (k ∈N *)叫做幸运数，则k ∈[1,2011]内所有的幸运数的和为 ．
考点七：裂项相消法
【例11】已知数列{a n }满足a n +1=a n +
【练习】
1. （2014山东理19）已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列。
（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）令b n =(-1) n -1
1
，且a 1=1，则a n = ．
n (n +1)
4n
, 求数列{b n }的前n 项和T n 。 a n a n +1
2. （2014浙江理19）19已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2 a n =
2)(n ∈N ). 若{a }为等比数列，且
b n
*
n
a 1=2, b 3=6+b 2.
（1）求a n 与b n ；（2）设c n =
11-n ∈N *。记数列{c n }的前n 项和为S n . a n b n
()
（i ）求S n ；（ii ）求正整数k ，使得对任意n ∈N ，均有S k ≥S n .
3. 已知数列{a n }的前n 项和是S n , 满足S n =2a n -1.
(1)求数列{a n }的通项a n 及前n 项和S n ；(2)若数列{b n }满足b n =
*
1
n ∈N *,
log 2S n +1⋅log 2S n +1+1()
求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)若对任意的x ∈R , 恒有T n
考点八：错位相减法
【例12】已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2, a 1+a 2+a 3=12．
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n x n (x ∈R ) ，求数列{b n }前n 项和的公式．
【练习】
1. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n , S n ) 均在函数y =2x +r (r 为常数）的图象上，数列{b n }对任意的n ≥2的正整数均满足2b n =b n -1+b n +1，且b 1+a 1=3, b 5+a 5=22 （1）求r 的值和数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的通项公式； （3）记c n =
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n ． 4a n
12
n +kn (k ∈N *)，且S n 的最大值为8． 2
9-2a n
}的前n 项和T n ． （1）确定常数k ，求a n ；（2）求数列{2n
2. 已知数列{a n }的前n 项和S n =-
x *
3. （2014四川理19）设等差数列{a n }的公差为d , 点(a n , b n )在函数f (x )=2的图像上n ∈N ,
()
（Ⅰ）若a 1=-2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n
⎧a n ⎫1
（Ⅱ）若a 1=1，函数f (x )的图像在点(a 2, b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-，求数列⎨⎬的前n
ln 2⎩b n ⎭
项和T n
4. （2014江西理17）已知首项都是1的两个数列(1) 令
，求数列
.
的通项公式；（2）若
（
，求数列
），满足的前n 项和
.
5. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，点 n ,
⎛⎝S n ⎫*
n ∈N 在直线3x -y -1=0上. ()⎪n ⎭
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =a n ⋅2n -1，求数列{b n }的前n 项和T n .
（3）设c n =
4m *
，M n 是数列{c n }的前n 项和，求使得M n
9a n a n +1
m .
考点九：构造辅助数列
【内容精讲】 构造辅助数列
一般的，对递推公式为a n +1=pa n +q (p ≠1) 的递推数列{a n }，都可通过构造辅助数列{a n +
q
，p -1
从而转化成等比数列的问题. 如数列{a n }满足a 1=2, a n +1=3a n +2，求数列的通项公式. 对递推公式形如
a n +1=pa n +qk n (p ≠1，p ≠k ) 的数列{a n }，可以令b n =
上转化成等比数列的问题.
【例13】数列{a n }中，a 3=2, a 5=1，如果数列q a n
，然后构造辅助数列{b +，从而如n n k p -k
1
是等差数列，则a 11=（ ） a n +1
A.
111
B.0C. - D. -
11 13 7
【练习】
1. 已知数列{a n }满足a 1=1, a n =
1
a n -1+1(n ≥2) ． 2
（1）求a 2, a 3, a 4的值；（2）求证：数列{a n -2}是等比数列；（3）求a n ，并求{a n }前n 项和S n ．
2. （2014全国二理17）已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=3a n +1.
（Ⅰ）证明a n +是等比数列，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+
{
12n
3. 设a 1=2, a 2=4，数列{bn }满足：b n =a n +1-a n , b n +1=2b n +2，
（1）求证：数列{b n +2}是等比数列（要指出首项与公比）; （2）求数列{a n }的通项公式．
4. 数列{a n }满足：a 1=2, a n +1=4a n -3，则a 10等于（ ）
A. 2-1B. 2+1C. 2+1 D. 2-1
5. 数列{a n }足a 1=2, a 2=1，并且
18
18
20
20
a n -1-a n a n -a n +1
=, n ≥2. ，则数列{a n }的第100项为（ ）
a n -1a n a n +1a n
A.
1111
B. C. D. 10050
2210050
考点一：等差数列通项、下标和定理
【内容精讲】
1、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 就叫做这个数列的公差. 即a n -a n -1=d (n ≥2, n ∈N *)
. 2、等差中项
若a , A , b 成等差数列，那么A 叫做a , b 的等差中项. 两个实数a , b 的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数
a +b
. 2
3、等差数列的性质
（1）等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =a m +(n -m ) d
(n , m ∈N *) ，
（2）下标和定理：等差数列{a n }中，如果m +n =p +q , 则a m +a n =a p +a q , 特殊地，2m =p +q 时，则2a m =a p +a q ，a m 是a p 、a q 的等差中项.
（3）{a n }的公差为d ，则d >0⇔{a n }为递增数列；d
【例1】等差数列{a n }中，a 1=
1
，从第10项开始大于1，则d 的取值范围是（ ） 25
A. (
883838
, +∞) B. (-∞, ) C. [, ) D. (, ]
[1**********]5
【练习】
1. （2014福建理3）3. 等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1=2, S 3=12，则a 6=( )
A .8 B .10 C .12 D .14
2. 设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1=25, b 1=75, a 2+b 2=100, 则a 7+b 7等于（ ） A.1 B.0 C.100 D.3700
3. （2014辽宁理8）8. 设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{21n }为递减数列，则（ ） A ．d 0 C．a 1d 0
4. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
a a
1
是较小的两份之和，问最小1份为（ ） 7
A.
510511
B. C. D.
3366
5. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10, S 5=55，则过点P (n , a n ), Q (n +2, a n +2)(n ∈N *)的直线的斜率为（ ） A. 4
B.
11
C. －4 D. －
4 4
【例2】(2013广东理12) 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝__________.
【练习】
1. 已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 8+a 15=π，则cos(a 4+a 12) 的值为（ ） A. -B. C.
D. 22
11考点二：等比数列通项、下标和定理
【内容精讲】
1、等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项（有序的）的商都等于同一个常数q (q ≠0) ，那么这个数
列就叫做等比数列，这个常数q 就叫做这个数列的公差. 即
a n *
. n ≥2, n ∈N , q ≠0. =q ，
a n -1
2、等比中项
若a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a , b 的等比中项. 两个实数a , b 的等比中项有两个，就是这两个数的
算数平均数3、等比数列的性质
（1）等比数列的通项公式：a n =a 1q n -1=a m q n -m (a 1q ≠0) .
（2）等比数列{a n }中，如果m +n =p +q , 则a m a q ，a n =a p a q , 特殊地，2m =p +q 时，则a m 2=a p
a m 是a p 、a q 的等比中项.
（3）{a n }的公比为q ，则⎨
⎧a 1>0⎧a 1
或⎨⇔{a n }为递增数列；
⎩q >1⎩0
⎧a 10
或⎨⇔{a n }为递减数列；q =1⇔{a n }为常数列；q 10
【例3】设{a n }是等比数列，有下列四个命题：
2①a n 是等比数列； ②a n a n +1是等比数列；
③
1
是等比数列； ④lg |a n |是等比数列． a n
其中正确命题的个数是（ ） A.1B.2 C. 3 D.4 【练习】 1. （2014重庆理2）对任意等比数列{a n }, 下列说法一定正确的是（ ）
A . a 1, a 3, a 9成等比数列 B . a 2, a 3, a 6成等比数列 C . a 2, a 4, a 8成等比数列 D . a 3, a 6, a 9成等比数列
2. （2014北京理5）设{a n }是公比为q 的等比数列，则" q >1" 是"{a n }"为递增数列的（ ）
A . 充分且不必要条件 B . 必要且不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件
3. （2013福建理9）已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1) ＋1＋a m (n －1) ＋2＋…＋a m (n －1) ＋m ，c n ＝a m (n －1) ＋1·a m (n
*
－1) ＋2·…·a m (n －1) ＋m (m ，n ∈N ) ，则以下结论一定正确的是( ) ．
m
A ．数列{bn }为等差数列，公差为q
2m
B ．数列{bn }为等比数列，公比为q C ．数列{cn }为等比数列，公比为q
m 2
m
D ．数列{cn }为等比数列，公比为q m
【例4】若a , b , a +b 成等差数列，a , b , ab 成等比数列，则log b (b -a ) =
【练习】
1. （2014江苏7）在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=1，a 8=a 6+2a 4，则a 6的值是 。
2. （2014天津理11）设{a n }是首项为a 1，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和. 若S 1, S 2, S 4成等比数列，则a 1的值为__________.
3. （2014安徽理12）数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q = ________.
4. 若一个三角形的三内角的度数既成等差数列，又成等比数列，则这个三角形的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【例5】已知数列{a n }为等差数列，且a 3+a 6+a 9=4π，数列{b n }为等比数列，且b 5b 6b 7=8，则c o s 的值为( ) A.
⎛a 6⎫
⎪b ⎝6⎭
1
2
B. -
1
C. 2
【练习】
1. 设{a n }是正数组成的等差数列，{b n }是正数组成的等比数列，且a 1=b 1，a 2n +1=b 2n +1，则一定有（ ） A ．a n +1>b n +1
2. （2014广东理13）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11+a 9a 12=2e ，则
5
B ．a n +1
D ．a n +1≥b n +1
ln a 1+ln a 2+ +ln a 20=。
3. 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 4a 7+a 5a 6=18, 则log 3a 1+log 3a 2+ +log 3a 10=（ ）
A ．12 B ．10
C ．8
D ．2+log 35
考点三：等差数列错误！未找到引用源。
【内容精讲】
1、 数列的前n 项和
S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n
2、等差数列的前n 项和
（1）等差数列的前n 项和公式s n =
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d . 22
（2）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n 成等差数列.
【例6】等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值
是4，则抽取的是（ ）
A ．a 11 B ．a 10
C ．a 9
D ．a 8
【练习】
1. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题. 他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类. 如下图中实心点的个数5,9,14,20，…为梯形数. 根据图形的构成，记此数列的第2013项为a 2013，则a 2013-5=（ ）
A. 2019⨯2013 B. 2019⨯2012 C. 1006⨯2013 D. 2019⨯1006
2. {a n }是公比大于l 的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和．若S 3=7，且a 1+3,3a 2, a 3+4构成等差数列． （1）求{a n }的通项公式．（2）令b n =log 2a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
3. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且数n 的个数是（ ）
A ．2 B ．3
A n 7n +45a
，则使得n 为整数的正整=
B n n +3b n
D ．5
C ．4
【例7】已知等差数列{a n }，a n =2n -19，那么这个数列的前n 项和S n 的最小值为________.
【练习】
1. （2014北京理12）若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0，a 7+a 10
n 项和最大.
2. （2014湖北理18）已知等差数列
满足：=2，且a 1, a 2, a 5成等比数列.
（1）求数列的通项公式. （2）记为数列的前n 项和，是否存在正整数n ，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.
考点四：等比数列错误！未找到引用源。
【内容精讲】
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
, q ≠1, q ≠1⎪⎪1-q s =等比数列的前n 项和公式：s n =⎨1-q 或n ⎨
⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1
【例8】(2013福建理6) 阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( ) ．
n －1n －1
A ．计算数列{2}的前10项和 B．计算数列{2}的前9项和
n n
C ．计算数列{2－1}的前10项和 D．计算数列{2－1}的前9项和
【练习】 1.(2013四川16) 在等比数列{a n }中, a 2-a 1=2, 且2a 2为3a 1和a 3的等差中项,
求数列{a n }的首项、公比及前n 项和.
2. （2014湖北理18）已知等比数列{a n }满足：|a 2-a 3|=10，a 1a 2a 3=125. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得
111++ +≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. a 1a 2a m
3. 把公差d =2的等差数列{a n }的各项依次插入等比数列{b n }中，将{b n }按原顺序分成1项，2项，4项，…，2n -1项的各组，得到数列{c n }：b 1, a 1, b 2, b 3, a 2, b 4, b 5, b 6, b 7, a 3，…，数列{c n }的前n 项的和为S n . 若c 1=1，c 2=2，S 3
=
13
．则数列{c n }的前100项之和S 1004
考点五：S n 与a n 的关系
【内容精讲】
1、数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 的关系a n =⎨
n =1⎧s 1,
⎩s n -s n -1, n ≥2
当已知S n 和n 的一个关系式时用此公式可直接求得a n ；若已知是S n 和a n （或a n +1）的一个关系式时用此公式可求得{a n }的递推公式，而后再根据递推公式的方法来求a n （比如如果可由递推公式知{a n }是等比或等差数列，则可直接用等比或等差数列的公式来求得；如果不是，则可以对应的用累加、累乘、或者构造辅助数列等方法来求得）. 2、累加累乘法
（1）累加：当数列{a n }具有递推公式a n －a n －1=f (n ) 时，可用公式
a n =(a n －a n －1) +(a n －1+a n －2) +⋯+(a 2－a 1) +a 1求得a n 与a 1的关系（即得通项）.
（2）累乘：当数列{a n }具有递推公式关系（即得通项）.
【例9】若S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2+n +1则{a n }是（ ） A. 等比数列，但不是等差数列 B ．等差数列，但不是等比数列 C ．等差数列，而且也是等比数列既非 D ．等比数列又非等差数列
a n a a a
=f (n ) 时，可用公式a n =n n -1 ⋯2 a 1求得a n 与a 1的a n －1a n －1a n －2a 1
【练习】
2
1. （2013全国一理14）若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n ＋错误！未找到引用源。，则数列{a n }的通项公式
3是a n =______.
2. 在数列{a n }中，a 1=A ．
1
，前n 项和S n =n (2n -1) a n ，则数列{a n }的通项公式为（ ） 3
13n -2n +3n +4
B ． C ．2-n D ．2-n
2n +122+1(2n -1)(2n +1)
3. （2014全国一理17）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n +1=λS n -1，其中λ为常数.(Ⅰ) 证明：a n +2-a n =λ；（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.
4. 数列{a n }满足
111
a 1+2a 2+ +n a n =2n +5，则a n =． 222
考点六：分组求和法
【内容精讲】
数列前n 项和常用求法: （1）重要公式
1+2+⋯+n =
11
n (n +1)；12+22+⋯+n 2=n (n +1)(2n +1) 26
（2）分组求和法：当数列{a n }可以写成{b n +c n }（其中{b n }、{c n }分别是可求和的数列（比如{b n }是等差数列，{c n }是等比数列；再比如{b n }是等差数列，{c n }是可用裂项相消法来求和的数列））的形式，可{a n }的前n 项和可分成{b n }的前n 项和和{c n }的前n 项和之和.
（3）错位相减法：当数列{a n }可以写成{b n c n }（其中{b n }是等差数列，{c n }是等比数列）的形式时可用. （4）裂项相消法：将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)－f (n )，然后累加时抵消中间的许多项. 常见的裂项：
[1**********]
=-=-）=-），，，
n (n +1) n n +1n (n +2) 2n n +2n (n +k ) k n n +k
1n +n +1
=n +1-n
⎤11⎡11
=⎢-⎥.
n (n +1)(n +2) 2n (n +1) (n +1)(n +2) ⎣⎦，
（5）倒序相加法：当数列{a n }具有性质：a n +a 1=a n -1+a 2= =a 1+a n =p （其中p 为常数）时可用. 11111
【例10】数列1357(2n-1)+n ，…的前n 项和S n 的值等于( )
248162A ．n 2+1-
1111222 B． C． D． 2n -n+1-n +1-n -n+1-n n n -1n 2222
【练习】
1. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n =
S 1+S 2+ +S n
，称T n 为数列a 1, a 2, , a n 的“理想数”，已知数
n
列a 1, a 2, , a 500的“理想数”为2004，那么数列12, a 1, a 2, , a 500的“理想数”为（ ） A.2001B.2004C.2008 D.2012
2. 等差数列{a n }中，a 4=14，前10项和S 10=185.
（1）求a n ；（2）将{a n }中的第2项，第4项，…，第2项按原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列
n
{b n }的前n 项和G n .
3. 已知数列{a n }满足：a n =log n +1(n +2)(n ∈N *)，定义使a 1 a 2 a 3 a k 为整数的数k (k ∈N *)叫做幸运数，则k ∈[1,2011]内所有的幸运数的和为 ．
考点七：裂项相消法
【例11】已知数列{a n }满足a n +1=a n +
【练习】
1. （2014山东理19）已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列。
（I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）令b n =(-1) n -1
1
，且a 1=1，则a n = ．
n (n +1)
4n
, 求数列{b n }的前n 项和T n 。 a n a n +1
2. （2014浙江理19）19已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2 a n =
2)(n ∈N ). 若{a }为等比数列，且
b n
*
n
a 1=2, b 3=6+b 2.
（1）求a n 与b n ；（2）设c n =
11-n ∈N *。记数列{c n }的前n 项和为S n . a n b n
()
（i ）求S n ；（ii ）求正整数k ，使得对任意n ∈N ，均有S k ≥S n .
3. 已知数列{a n }的前n 项和是S n , 满足S n =2a n -1.
(1)求数列{a n }的通项a n 及前n 项和S n ；(2)若数列{b n }满足b n =
*
1
n ∈N *,
log 2S n +1⋅log 2S n +1+1()
求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)若对任意的x ∈R , 恒有T n
考点八：错位相减法
【例12】已知数列{a n }是等差数列，且a 1=2, a 1+a 2+a 3=12．
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =a n x n (x ∈R ) ，求数列{b n }前n 项和的公式．
【练习】
1. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n , S n ) 均在函数y =2x +r (r 为常数）的图象上，数列{b n }对任意的n ≥2的正整数均满足2b n =b n -1+b n +1，且b 1+a 1=3, b 5+a 5=22 （1）求r 的值和数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的通项公式； （3）记c n =
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n ． 4a n
12
n +kn (k ∈N *)，且S n 的最大值为8． 2
9-2a n
}的前n 项和T n ． （1）确定常数k ，求a n ；（2）求数列{2n
2. 已知数列{a n }的前n 项和S n =-
x *
3. （2014四川理19）设等差数列{a n }的公差为d , 点(a n , b n )在函数f (x )=2的图像上n ∈N ,
()
（Ⅰ）若a 1=-2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n
⎧a n ⎫1
（Ⅱ）若a 1=1，函数f (x )的图像在点(a 2, b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-，求数列⎨⎬的前n
ln 2⎩b n ⎭
项和T n
4. （2014江西理17）已知首项都是1的两个数列(1) 令
，求数列
.
的通项公式；（2）若
（
，求数列
），满足的前n 项和
.
5. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，点 n ,
⎛⎝S n ⎫*
n ∈N 在直线3x -y -1=0上. ()⎪n ⎭
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =a n ⋅2n -1，求数列{b n }的前n 项和T n .
（3）设c n =
4m *
，M n 是数列{c n }的前n 项和，求使得M n
9a n a n +1
m .
考点九：构造辅助数列
【内容精讲】 构造辅助数列
一般的，对递推公式为a n +1=pa n +q (p ≠1) 的递推数列{a n }，都可通过构造辅助数列{a n +
q
，p -1
从而转化成等比数列的问题. 如数列{a n }满足a 1=2, a n +1=3a n +2，求数列的通项公式. 对递推公式形如
a n +1=pa n +qk n (p ≠1，p ≠k ) 的数列{a n }，可以令b n =
上转化成等比数列的问题.
【例13】数列{a n }中，a 3=2, a 5=1，如果数列q a n
，然后构造辅助数列{b +，从而如n n k p -k
1
是等差数列，则a 11=（ ） a n +1
A.
111
B.0C. - D. -
11 13 7
【练习】
1. 已知数列{a n }满足a 1=1, a n =
1
a n -1+1(n ≥2) ． 2
（1）求a 2, a 3, a 4的值；（2）求证：数列{a n -2}是等比数列；（3）求a n ，并求{a n }前n 项和S n ．
2. （2014全国二理17）已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=3a n +1.
（Ⅰ）证明a n +是等比数列，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+
{
12n
3. 设a 1=2, a 2=4，数列{bn }满足：b n =a n +1-a n , b n +1=2b n +2，
（1）求证：数列{b n +2}是等比数列（要指出首项与公比）; （2）求数列{a n }的通项公式．
4. 数列{a n }满足：a 1=2, a n +1=4a n -3，则a 10等于（ ）
A. 2-1B. 2+1C. 2+1 D. 2-1
5. 数列{a n }足a 1=2, a 2=1，并且
18
18
20
20
a n -1-a n a n -a n +1
=, n ≥2. ，则数列{a n }的第100项为（ ）
a n -1a n a n +1a n
A.
1111
B. C. D. 10050
2210050