1. （2009）设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =kn 2+n ，n ∈N ，其中k 是常数． （I ） 求a 1及a n ；
（II ）若对于任意的m ∈N ，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．
2. （2009）设数列{a n }的通项公式为a n =pn +q (n ∈N *, P >0) . 数列{b n }定义如下：对于正整数m ，b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值. （Ⅰ）若p =
*
*
11
, q =-，求b 3； 23
（Ⅱ）若p =2, q =-1，求数列{b m }的前2m 项和公式；
（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得b m =3m +2(m ∈N *) ？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
3. （2009）已知数列{（Ⅰ）求数列{（Ⅱ）设
}与{
} 的前n 项和}的通项公式；
，数列{}的前n 项和
，证明：当且仅当n ≥3时，＜
4. （2009江西卷文）数列{a n }的通项a n =n (cos(1) 求S n ; (2) b n =
22
n πn π-sin 2) ，其前n 项和为S n . 33
S 3n
, 求数列｛b n ｝的前n 项和T n . n ⋅4n
5. （2009天津卷文）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，设S n =a 1+a 2q + +a n q n -1
T n =a 1-a 2q + +(-1) n -1a n q n -1, q ≠0, n ∈N *
（Ⅰ）若q =1, a 1=1, S 3=15 ,求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若a 1=d , 且S 1, S 2, S 3成等比数列，求q 的值。 （Ⅲ）若q ≠±1, 证明（1-q ）S 2n
2dq (1-q 2n ) *
-(1+q ) T 2n =, n ∈N 2
1-q
6. （2009湖北卷文）已知{an }是一个公差大于0的等差数列， 且满足a 3a 6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ) 求数列{an }的通项公式：
（Ⅱ）若数列{an }和数列{bn }满足等式：a n ＝＝{bn }的前n 项和S n
7. （2008四川卷）． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n -2=(b -1)S n
n
n -1（Ⅰ）证明：当b =2时，a n -n ⋅2是等比数列；
b 1b 2b 3b
+2+3+... n (n 为正整数) ，求数列2222n
{}
（Ⅱ）求{a n }的通项公式
8. （2008江西卷）数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1=3, b 1=1，数列{b a n }是公比为64的等比数列，b 2S 2=64. （1）求a n , b n ； （2）求证
1113
++ +
9.(武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题) 设数列{a n }的前n 项和
s n =(-1) n (2n 2+4n +1) -1，n ∈Ne +。
(-1) n
（1）求数列{a n }的通项公式a n ；(2)记b n =，求数列{b n }前n 项和T n
a n
10．(15分) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2,2a n ＝1＋a n a n ＋1，b n ＝a n －1，数列{b n }的前n
项和为S n ，T n ＝S 2n －S n .
(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求证：T n ＋1>T n ；
n ＋11
11．(20分)(2009·全国卷Ⅰ) 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋) a n ＋n 2
a (1)设b n ＝{b n }的通项公式；
n
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
13、(本小题满分l4分)
已知数列{a n }中的相邻两项a 2k -1和a 2k 是关于x 的方程x -(3k +2)x +3k 2=0的两个根，且a 2k -1≤a 2k (k =1, 2, 3,...) 。 (I)求a 1,a 3,a 5,a 7；
(II)求数列{a n }的前2n 项和S 2n ；
2
k
k
1|sin n |(-1) f (2) (-1) f (3) (-1) f (4) (-1) f (n +1)
(III)记f (n ) =(, +3),T n =+++... +
2sin n a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 2n -1a 2n
求证：
12．（本小题满分14分）
已
知
数
列
15
≤T n ≤(n ∈N *) 。 624
{a n }与{b n }
(
∈
*
满足
b n +1
+
=(-+a n
n
+1
3+-n -1
b n 2=2
1且1=
, b n
)
1
, n
（Ⅰ）求a 2, a 3的值；
（Ⅱ）设c n =a 2n +1-a 2n -1, n ∈N *，证明{c n }是等比数列；
S 2n -1S 2n S 1S 21
（Ⅲ）设S n 为{a n }的前n 项和，证明++ ++≤n -(n ∈N *).
a 1a 2a 2n -1a 2n 3
22．（本小题满分14分）
在数列{a n }与{b n }中，a 1=1，b 1=4，数列{a n }的前n 项和S n 满足nS n +1-(n +3) S n =0，
2a n +1为b n 与b n +1的等比中项，n ∈N *．
（Ⅰ）求a 2，b 2的值；
（Ⅱ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；
（Ⅲ）设T n =(-1) a 1b 1+(-1) a 2b 2+…+(-1) n b n ，n ∈N *，证明T n
a
(18)(本小题满分l 3分)
3332
已知数列{a n }满足对一切n ∈N *有a n >0，且a 1，其中+a 2+... +a n =S n
S n =a 1+a 2+... +a n ．
2 ( I )求证：对一切n ∈N *有a n +1-a n +1=2S n ；
(II)求数列{a n }通项公式；
(Ⅲ) 设数列{b n }满足b n =2n a n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的表达式．
参考答案 1、解（Ⅰ）当
，
（）
经验，（Ⅱ）即对任意的
成立，
（）式成立，
成等比数列，
， ，整理得：
，
2. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
解（Ⅰ）由题意，得，解，得.
∴成立的所有n 中的最小整数为7，即
，
.
（Ⅱ）由题意，得
对于正整数，由根据当∴
的定义可知
时，
，得.
；当时，
.
.
（Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式∵
, 根据
及得.
的定义可知，对于任意的正整数m 都有
，即对任意的正整数m 都成立.
当（或）时，得（或），
这与上述结论矛盾！
当，即时，得
；
，解得.
∴ 存在p 和q ，使得
p 和q 的取值范围分别是，..
3、【思路】由在求出
后，进而得到
可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，
，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。
【解析】(1)由于当又当
时
, 时
数列项与等比数列, 其首项为1,
公比为
(2)由(1)
知
由即即
又时成立, 即时,
由于恒成立.
因此, 当且仅当
4、解: (1) 由于, 故
,
故
()
(2)
两式相减得
故
5. （1）解：由题设，代入解得
，所以
（2）解：当所以
，即
，则
①
②
①-②得，
①+②得，
③
③式两边同乘以 q，得
，注意到
成等比数列，，整理得
（3）证明：由题设，可得
所以（3）证明：=因为
，所以
若若
，取i=n， ，取i 满足
，且
，且
，
由（1）（2）及题设知，
① 当即
时，
，
，由
，
所以因此
② 当综上，
时，同理可得
因此
6、解（1）解：设等差数列由a 2+a7＝16. 得由由①得
得
的公差为d ，则依题设d>0 ①
②
将其代入②得。即
（2）令
两式相减得于是
=
7、解 由题意知
-4=，且
两式相减得即
①
时，由①知
（Ⅰ）当
于是
又（Ⅱ）当 当
，所以
时，由（Ⅰ）知时，由由①得
是首项为1，公比为2的等比数列。 ，即
因此
得
8、解：（1）设
，
的公差为
，
的公比为，则
为正整数，
依题意有由解①得故（2）
知为正有理数，故
① 为的因子
之一，
∴
9、解：（1）数列在n=1时，在
时，
而n=1时，故所求数列
满足通项
………………………………（7分）
的前n 项之和
（2）∵
因此数列
的前n 项和………………………（12分）
10、解：(1)由b n ＝a n －1得a n ＝b n ＋1，代入2a n ＝1＋a n a n ＋1，得
11
2(b n ＋1) ＝1＋(b n ＋1)(b n ＋1＋1) ，整理，得b n b n ＋1＋b n ＋1－b n ＝0，从而有bn ＋1－bn ＝1，∵b 1＝a 1－1＝2－1＝1，
1
∴{bn }是首项为1，公差为1的等差数列， 11∴bn ＝n ，即b n ＝n . 11
(2)∵S n ＝1＋2＋…＋n ，
111
∴T n ＝S 2n －S n ＝n ＋1＋n ＋2＋…＋2n ， 11111
T n ＋1＝n ＋2＋n ＋3＋…＋2n ＋2n ＋1＋2n ＋2，
111111
T n ＋1－T n ＝2n ＋1＋2n ＋2－n ＋1>2n ＋2＋2n ＋2－n ＋1＝0，(∵2n ＋1T n .
an ＋1an 1
11、解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且n ＋1＝n ＋2n ， 1
即b n ＋1＝b n ＋2n ， 1
从而b 2＝b 1＋2， 1
b 3＝b 2＋22， …
1
b n ＝b n －1＋2n －1(n ≥2) ，
1111
于是b n ＝b 1＋2＋22＋…＋2n －1＝2－2n －1(n ≥2) ． 又b 1＝1，故所求数列{b n }的通项公式为b n ＝1n
(2)由(1)知a n ＝n (2－2n －1) ＝2n －2n －1. n k n k
令T n ＝ 2k －1，则2T n ＝ 2k －2，
n －11n n ＋2
于是T n ＝2T n －T n ＝ 2k －1－2n －1＝4－2n －1.
n ＋2
又n (2k ) ＝n (n ＋1) ，所以S n ＝ n (n ＋1) ＋2n －1-4.
（12）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
2－12n －1
.
（Ⅰ）解：由
又
，
，可得
当当
①
（Ⅱ）证明：对任意
②
②-①，得所以
是等比数列。
，由（Ⅱ）知，当
时，
（Ⅲ）证明：
故对任意
由①得
因此，
于是，故
22．本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
2
（Ⅰ）解：由题设有a 1+a 2-4a 1=0，a 1=1，解得a 2=3．由题设又有4a 2=b 2b 1，b 1=4，
解得b 2=9．
（Ⅱ）解法一：由题设nS n +1-(n +3) S n =0，a 1=1，b 1=4，及a 2=3，b 2=9， 进一步可得a 3=6，b 3=16，a 4=10，b 4=25，猜想
a n =
n (n +1) *2
，b n =(n +1) ，n ∈N ． 2
n (n +1) *
，n ∈N ． 2
1⨯(1+1)
当n =1时，a 1=，等式成立．当n ≥2时用数学归纳法证明如下：
2
2⨯(2+1)
（1）当n =2时，a 2=，等式成立．
2
k (k +1)
（2）假设当n =k 时等式成立，即a k =，k ≥2．
2
先证a n =由题设，
kS k +1=(k +3) S k ， ①
(k -1) S k =(k +2) S k -1．
②
①的两边分别减去②的两边，整理得ka k +1=(k +2) a k ，从而
k +2k +2k (k +1) (k +1) [(k +1) +1]a k +1=a k ==．
k k 22
这就是说，当n =k +1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式a n =的n ≥2成立． 综上所述，等式a n =
n (n +1)
对任何2
n (n +1) *
对任何的n ∈N 都成立． 2
*
再用数学归纳法证明b n =(n +1) 2，n ∈N ． （1）当n =1时，b 1=(1+1) 2，等式成立．
（2）假设当n =k 时等式成立，即b k =(k +1) 2，那么
24a k (k +1) 2(k +2) 22+1
b k +1===(k +1) +1[]． 2
b k (k +1)
这就是说，当n =k +1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式b n =(n +1) 2对任何的
n ∈N *都成立．
解法二：由题设
nS n +1=(n +3) S n ， ① (n -1) S n =(n +2) S n -1． ②
①的两边分别减去②的两边，整理得na n +1=(n +2) a n ，n ≥2，所以
2a 3=4a 2，
3a 4=5a 3，
……
(n -1) a n =(n +1) a n -1，n ≥3．
将以上各式左右两端分别相乘，得
(n -1)! a n =
(n +1)!
a 2， 6
由（Ⅰ）并化简得
n (n +1) n (n +1)
a 2=，n ≥3． 62
上式对n =1，2也成立． a n =
222
由题设有b n +1b n =4a n +1，所以b n +1b n =(n +2) (n +1) ，即
b n b n +1*
n ∈N =1，． 22
(n +1) (n +2)
令x n =
b n 1
，则，即．由x 1=1得x n =1，n ≥1．所以 x =x x =1n +1n n +12
(n +1) x n
b n
=1．即 2
(n +1)
b n =(n +1) 2，n ≥1．
1. （2009）设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =kn 2+n ，n ∈N ，其中k 是常数． （I ） 求a 1及a n ；
（II ）若对于任意的m ∈N ，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．
2. （2009）设数列{a n }的通项公式为a n =pn +q (n ∈N *, P >0) . 数列{b n }定义如下：对于正整数m ，b m 是使得不等式a n ≥m 成立的所有n 中的最小值. （Ⅰ）若p =
*
*
11
, q =-，求b 3； 23
（Ⅱ）若p =2, q =-1，求数列{b m }的前2m 项和公式；
（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得b m =3m +2(m ∈N *) ？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
3. （2009）已知数列{（Ⅰ）求数列{（Ⅱ）设
}与{
} 的前n 项和}的通项公式；
，数列{}的前n 项和
，证明：当且仅当n ≥3时，＜
4. （2009江西卷文）数列{a n }的通项a n =n (cos(1) 求S n ; (2) b n =
22
n πn π-sin 2) ，其前n 项和为S n . 33
S 3n
, 求数列｛b n ｝的前n 项和T n . n ⋅4n
5. （2009天津卷文）已知等差数列{a n }的公差d 不为0，设S n =a 1+a 2q + +a n q n -1
T n =a 1-a 2q + +(-1) n -1a n q n -1, q ≠0, n ∈N *
（Ⅰ）若q =1, a 1=1, S 3=15 ,求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若a 1=d , 且S 1, S 2, S 3成等比数列，求q 的值。 （Ⅲ）若q ≠±1, 证明（1-q ）S 2n
2dq (1-q 2n ) *
-(1+q ) T 2n =, n ∈N 2
1-q
6. （2009湖北卷文）已知{an }是一个公差大于0的等差数列， 且满足a 3a 6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ) 求数列{an }的通项公式：
（Ⅱ）若数列{an }和数列{bn }满足等式：a n ＝＝{bn }的前n 项和S n
7. （2008四川卷）． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n -2=(b -1)S n
n
n -1（Ⅰ）证明：当b =2时，a n -n ⋅2是等比数列；
b 1b 2b 3b
+2+3+... n (n 为正整数) ，求数列2222n
{}
（Ⅱ）求{a n }的通项公式
8. （2008江西卷）数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1=3, b 1=1，数列{b a n }是公比为64的等比数列，b 2S 2=64. （1）求a n , b n ； （2）求证
1113
++ +
9.(武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题) 设数列{a n }的前n 项和
s n =(-1) n (2n 2+4n +1) -1，n ∈Ne +。
(-1) n
（1）求数列{a n }的通项公式a n ；(2)记b n =，求数列{b n }前n 项和T n
a n
10．(15分) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2,2a n ＝1＋a n a n ＋1，b n ＝a n －1，数列{b n }的前n
项和为S n ，T n ＝S 2n －S n .
(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求证：T n ＋1>T n ；
n ＋11
11．(20分)(2009·全国卷Ⅰ) 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(1＋) a n ＋n 2
a (1)设b n ＝{b n }的通项公式；
n
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
13、(本小题满分l4分)
已知数列{a n }中的相邻两项a 2k -1和a 2k 是关于x 的方程x -(3k +2)x +3k 2=0的两个根，且a 2k -1≤a 2k (k =1, 2, 3,...) 。 (I)求a 1,a 3,a 5,a 7；
(II)求数列{a n }的前2n 项和S 2n ；
2
k
k
1|sin n |(-1) f (2) (-1) f (3) (-1) f (4) (-1) f (n +1)
(III)记f (n ) =(, +3),T n =+++... +
2sin n a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 2n -1a 2n
求证：
12．（本小题满分14分）
已
知
数
列
15
≤T n ≤(n ∈N *) 。 624
{a n }与{b n }
(
∈
*
满足
b n +1
+
=(-+a n
n
+1
3+-n -1
b n 2=2
1且1=
, b n
)
1
, n
（Ⅰ）求a 2, a 3的值；
（Ⅱ）设c n =a 2n +1-a 2n -1, n ∈N *，证明{c n }是等比数列；
S 2n -1S 2n S 1S 21
（Ⅲ）设S n 为{a n }的前n 项和，证明++ ++≤n -(n ∈N *).
a 1a 2a 2n -1a 2n 3
22．（本小题满分14分）
在数列{a n }与{b n }中，a 1=1，b 1=4，数列{a n }的前n 项和S n 满足nS n +1-(n +3) S n =0，
2a n +1为b n 与b n +1的等比中项，n ∈N *．
（Ⅰ）求a 2，b 2的值；
（Ⅱ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；
（Ⅲ）设T n =(-1) a 1b 1+(-1) a 2b 2+…+(-1) n b n ，n ∈N *，证明T n
a
(18)(本小题满分l 3分)
3332
已知数列{a n }满足对一切n ∈N *有a n >0，且a 1，其中+a 2+... +a n =S n
S n =a 1+a 2+... +a n ．
2 ( I )求证：对一切n ∈N *有a n +1-a n +1=2S n ；
(II)求数列{a n }通项公式；
(Ⅲ) 设数列{b n }满足b n =2n a n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n 的表达式．
参考答案 1、解（Ⅰ）当
，
（）
经验，（Ⅱ）即对任意的
成立，
（）式成立，
成等比数列，
， ，整理得：
，
2. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
解（Ⅰ）由题意，得，解，得.
∴成立的所有n 中的最小整数为7，即
，
.
（Ⅱ）由题意，得
对于正整数，由根据当∴
的定义可知
时，
，得.
；当时，
.
.
（Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式∵
, 根据
及得.
的定义可知，对于任意的正整数m 都有
，即对任意的正整数m 都成立.
当（或）时，得（或），
这与上述结论矛盾！
当，即时，得
；
，解得.
∴ 存在p 和q ，使得
p 和q 的取值范围分别是，..
3、【思路】由在求出
后，进而得到
可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，
，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。
【解析】(1)由于当又当
时
, 时
数列项与等比数列, 其首项为1,
公比为
(2)由(1)
知
由即即
又时成立, 即时,
由于恒成立.
因此, 当且仅当
4、解: (1) 由于, 故
,
故
()
(2)
两式相减得
故
5. （1）解：由题设，代入解得
，所以
（2）解：当所以
，即
，则
①
②
①-②得，
①+②得，
③
③式两边同乘以 q，得
，注意到
成等比数列，，整理得
（3）证明：由题设，可得
所以（3）证明：=因为
，所以
若若
，取i=n， ，取i 满足
，且
，且
，
由（1）（2）及题设知，
① 当即
时，
，
，由
，
所以因此
② 当综上，
时，同理可得
因此
6、解（1）解：设等差数列由a 2+a7＝16. 得由由①得
得
的公差为d ，则依题设d>0 ①
②
将其代入②得。即
（2）令
两式相减得于是
=
7、解 由题意知
-4=，且
两式相减得即
①
时，由①知
（Ⅰ）当
于是
又（Ⅱ）当 当
，所以
时，由（Ⅰ）知时，由由①得
是首项为1，公比为2的等比数列。 ，即
因此
得
8、解：（1）设
，
的公差为
，
的公比为，则
为正整数，
依题意有由解①得故（2）
知为正有理数，故
① 为的因子
之一，
∴
9、解：（1）数列在n=1时，在
时，
而n=1时，故所求数列
满足通项
………………………………（7分）
的前n 项之和
（2）∵
因此数列
的前n 项和………………………（12分）
10、解：(1)由b n ＝a n －1得a n ＝b n ＋1，代入2a n ＝1＋a n a n ＋1，得
11
2(b n ＋1) ＝1＋(b n ＋1)(b n ＋1＋1) ，整理，得b n b n ＋1＋b n ＋1－b n ＝0，从而有bn ＋1－bn ＝1，∵b 1＝a 1－1＝2－1＝1，
1
∴{bn }是首项为1，公差为1的等差数列， 11∴bn ＝n ，即b n ＝n . 11
(2)∵S n ＝1＋2＋…＋n ，
111
∴T n ＝S 2n －S n ＝n ＋1＋n ＋2＋…＋2n ， 11111
T n ＋1＝n ＋2＋n ＋3＋…＋2n ＋2n ＋1＋2n ＋2，
111111
T n ＋1－T n ＝2n ＋1＋2n ＋2－n ＋1>2n ＋2＋2n ＋2－n ＋1＝0，(∵2n ＋1T n .
an ＋1an 1
11、解：(1)由已知得b 1＝a 1＝1，且n ＋1＝n ＋2n ， 1
即b n ＋1＝b n ＋2n ， 1
从而b 2＝b 1＋2， 1
b 3＝b 2＋22， …
1
b n ＝b n －1＋2n －1(n ≥2) ，
1111
于是b n ＝b 1＋2＋22＋…＋2n －1＝2－2n －1(n ≥2) ． 又b 1＝1，故所求数列{b n }的通项公式为b n ＝1n
(2)由(1)知a n ＝n (2－2n －1) ＝2n －2n －1. n k n k
令T n ＝ 2k －1，则2T n ＝ 2k －2，
n －11n n ＋2
于是T n ＝2T n －T n ＝ 2k －1－2n －1＝4－2n －1.
n ＋2
又n (2k ) ＝n (n ＋1) ，所以S n ＝ n (n ＋1) ＋2n －1-4.
（12）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
2－12n －1
.
（Ⅰ）解：由
又
，
，可得
当当
①
（Ⅱ）证明：对任意
②
②-①，得所以
是等比数列。
，由（Ⅱ）知，当
时，
（Ⅲ）证明：
故对任意
由①得
因此，
于是，故
22．本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分．
2
（Ⅰ）解：由题设有a 1+a 2-4a 1=0，a 1=1，解得a 2=3．由题设又有4a 2=b 2b 1，b 1=4，
解得b 2=9．
（Ⅱ）解法一：由题设nS n +1-(n +3) S n =0，a 1=1，b 1=4，及a 2=3，b 2=9， 进一步可得a 3=6，b 3=16，a 4=10，b 4=25，猜想
a n =
n (n +1) *2
，b n =(n +1) ，n ∈N ． 2
n (n +1) *
，n ∈N ． 2
1⨯(1+1)
当n =1时，a 1=，等式成立．当n ≥2时用数学归纳法证明如下：
2
2⨯(2+1)
（1）当n =2时，a 2=，等式成立．
2
k (k +1)
（2）假设当n =k 时等式成立，即a k =，k ≥2．
2
先证a n =由题设，
kS k +1=(k +3) S k ， ①
(k -1) S k =(k +2) S k -1．
②
①的两边分别减去②的两边，整理得ka k +1=(k +2) a k ，从而
k +2k +2k (k +1) (k +1) [(k +1) +1]a k +1=a k ==．
k k 22
这就是说，当n =k +1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式a n =的n ≥2成立． 综上所述，等式a n =
n (n +1)
对任何2
n (n +1) *
对任何的n ∈N 都成立． 2
*
再用数学归纳法证明b n =(n +1) 2，n ∈N ． （1）当n =1时，b 1=(1+1) 2，等式成立．
（2）假设当n =k 时等式成立，即b k =(k +1) 2，那么
24a k (k +1) 2(k +2) 22+1
b k +1===(k +1) +1[]． 2
b k (k +1)
这就是说，当n =k +1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式b n =(n +1) 2对任何的
n ∈N *都成立．
解法二：由题设
nS n +1=(n +3) S n ， ① (n -1) S n =(n +2) S n -1． ②
①的两边分别减去②的两边，整理得na n +1=(n +2) a n ，n ≥2，所以
2a 3=4a 2，
3a 4=5a 3，
……
(n -1) a n =(n +1) a n -1，n ≥3．
将以上各式左右两端分别相乘，得
(n -1)! a n =
(n +1)!
a 2， 6
由（Ⅰ）并化简得
n (n +1) n (n +1)
a 2=，n ≥3． 62
上式对n =1，2也成立． a n =
222
由题设有b n +1b n =4a n +1，所以b n +1b n =(n +2) (n +1) ，即
b n b n +1*
n ∈N =1，． 22
(n +1) (n +2)
令x n =
b n 1
，则，即．由x 1=1得x n =1，n ≥1．所以 x =x x =1n +1n n +12
(n +1) x n
b n
=1．即 2
(n +1)
b n =(n +1) 2，n ≥1．