八种方法推证点到直线的距离公式
问题：求证：点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0,(A , B 不能同时为0）
的距离为：
d =
.
一．运用两点间距离公式（略） 二．利用三角形面积公式（略） 三．巧用两点间距离公式
证明：作直线m ，过P (x 0, y 0) 且与直线l 垂直，设垂足为Q (x 1, y 1) ，则直线 m 的方程为：B (x -x 1) -A (y -y 1) =0，由此得：B (x 0-x 1) -A (y 0-y 1) =0， ① 因为点P (x 1, y 1) 在直线l 上，知Ax 1+By 1+C =0，即C =-Ax 1-By 1 所以Ax 0+By 0+C =Ax 0+By 0-Ax 1-By 1，即
B (x 0-x 1) -A (y 0-y 1) =Ax 0+By 0+C ② 把①和②两边平方后相加，整理得到
222(A 2+B 2) ⎡⎣(x 0-x 1) +(y 0-y 1) ⎤⎦=(Ax 0+By 0+C ) ，故变形得
∴
d =
四．巧用配方法
证明：设M (x , y ) 是直线l 上任意一点，
2222222222
⎤(x -x ) +(y -y ) ∵(A 2+B 2) ⎡00⎣⎦=A (x -x 0) +B (y -y 0) +A (y -y 0) +B (x -x 0)
=[A (x -x 0) +B (y -y 0) ]+[A (y -y 0) -B (x -x 0) ]
[A (y -y 0) -B (x -x 0) ]≥0
2
22
∴[A (x -x 0) +B (y -y 0) ]+[A (y -y 0) -B (x -x 0) ]≥[A (x -x 0) +B (y -y 0) ]
222
=(Ax 0+By 0+C ) 2
≥
当A (y -y 0) -B (x -x 0) =0时，等式成立。 ∴PM
min =即d =
五．由向量方法推导
证明：由直线l 的方程：Ax +By +C =0,(A , B 不能同时为0），可得直线l 的
' ' '
法向量为n =(A,B)，设过点P (x 0, y 0) 作直线l 的垂线，垂足为P (x , y ) ，则向量
' ' PP =λn ，即(x ' -x 0, y ' -y 0) =λ(A , B ) ，所以x ' =x +λA , y -y =
λB 且0
PP ' =='
'
'
又因为点P (x , y ) 在直线l 上，所以就有：
Ax ' +By ' +C =0, 即（A x 0+λA ) +B (y 0+λB ) +C =0， ∴λ(A 2+B2)=-(Ax 0+By 0+C ) ，又因为A,B 不同时为0，
∴λ==
∴PP ' =
-(Ax 0+By 0+C )
A 2+B
2
==
即：d =PP ' =六． 利用习题结论巧推
老教材代数课本（人教版，下册. 必修）第15页习题十五第6题：
22
已知：a d ≠b , c ，当a d =b , c 即求证：（2a +（b ) 2c +2) d >(a +c ) b d a b
=时，有（a 2+b 2（) c 2+d 2) ≥（ac +bd ) 2. c d
上式实为柯西不等式的最简形式，很容易证明. 故略去。 下面给出点到直线的距离公式的最简推导。
已知点P (x 0, y 0) 和直线l :Ax +By +C =0, 则点到直线的距离即为点P 到直线
l 上任意点所连结的线段中的最短线段. 设M (x , y )为直线l 上任意一点，点P 到直
线l 的距离为d ，则：
(Ax -Ax 0) 2(By -By 0) 2
PM =PM =+22
A B 2
(By -By ) 222222(Ax -Ax ) ⇒(A +B ) PM =(A +B )[+] 22
A B
≥(Ax -Ax 0+By -By 0) 2＝(-Ax 0-By 0-
C ) 2
2
∴d =PM
min
=
，当且仅当
A B
=时等号成立 x -x 0y -y 0
七. 运用直线的参数方程推导
证明：当A ⋅B =0时易验证公式成立，下证A ⋅B ≠0时的情形： （1）B>0时, 过点P 作直线L 的垂线，垂足为H ，则直线PH 的标准参数方程为：
⎧
x =x +t 0⎪⎪ (t 为参数）⎨
⎪y =y +t 0
⎪⎩
将直线PH 的参数方程代入直线L 的方程得：
x
A （⋅x 0+t ⋅
+B（⋅y 0+t ⋅
，解之得点H
对应的参数t =
+C =0
∴PH =d =PH =
（2）当B
⎧
⎪x =x 0-t ⎪(t 为参数）
⎨
⎪y =y -t ⋅
⎪⎩
可得∴PH =
∴d =PH =
八． 构造引理推导
引理：如图1，直角三角形MPN 中，∠MPN =90，MP =a , NP =b , 则点P 到直线MN 的距离d 满足
111
=+2.
22d a b
11
⋅MP ⋅NP =⋅MN ⋅d ， 211111即ab =，所以2=2+
2. d ，即=
d ab 2d a b
下面就用引理证明点P (x 0, y 0)到直线l ：Ax +By +C =0的距离为：d =
证明：当0时易证公式成立.
当A ⋅B ≠0时，如图2所示, 过点P (x 0, y 0)分别作平行于x 轴, y 轴的两条直线, 分别交直线l ：Ax +By +C =0
By +C By +C A x +C
, 于点M (-0, y 0) 、N (x0,-0) ，则MP =x 0+A A B
Ax +C
NP =y 0+0. MP ⊥NP , ∴在RT ∆MPN 中，
B
点P 到直线MN 的距离d 满足：
11111
=+＝+222
By +C Ax +C
d MP NP (x 0+0) 2(y 0+0) 2
B A 2+B 2
, d = ＝所以2(Ax 0+By 0+
C ) 证明：由直角三角形的面积公式得：
a 图1
八种方法推证点到直线的距离公式
问题：求证：点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0,(A , B 不能同时为0）
的距离为：
d =
.
一．运用两点间距离公式（略） 二．利用三角形面积公式（略） 三．巧用两点间距离公式
证明：作直线m ，过P (x 0, y 0) 且与直线l 垂直，设垂足为Q (x 1, y 1) ，则直线 m 的方程为：B (x -x 1) -A (y -y 1) =0，由此得：B (x 0-x 1) -A (y 0-y 1) =0， ① 因为点P (x 1, y 1) 在直线l 上，知Ax 1+By 1+C =0，即C =-Ax 1-By 1 所以Ax 0+By 0+C =Ax 0+By 0-Ax 1-By 1，即
B (x 0-x 1) -A (y 0-y 1) =Ax 0+By 0+C ② 把①和②两边平方后相加，整理得到
222(A 2+B 2) ⎡⎣(x 0-x 1) +(y 0-y 1) ⎤⎦=(Ax 0+By 0+C ) ，故变形得
∴
d =
四．巧用配方法
证明：设M (x , y ) 是直线l 上任意一点，
2222222222
⎤(x -x ) +(y -y ) ∵(A 2+B 2) ⎡00⎣⎦=A (x -x 0) +B (y -y 0) +A (y -y 0) +B (x -x 0)
=[A (x -x 0) +B (y -y 0) ]+[A (y -y 0) -B (x -x 0) ]
[A (y -y 0) -B (x -x 0) ]≥0
2
22
∴[A (x -x 0) +B (y -y 0) ]+[A (y -y 0) -B (x -x 0) ]≥[A (x -x 0) +B (y -y 0) ]
222
=(Ax 0+By 0+C ) 2
≥
当A (y -y 0) -B (x -x 0) =0时，等式成立。 ∴PM
min =即d =
五．由向量方法推导
证明：由直线l 的方程：Ax +By +C =0,(A , B 不能同时为0），可得直线l 的
' ' '
法向量为n =(A,B)，设过点P (x 0, y 0) 作直线l 的垂线，垂足为P (x , y ) ，则向量
' ' PP =λn ，即(x ' -x 0, y ' -y 0) =λ(A , B ) ，所以x ' =x +λA , y -y =
λB 且0
PP ' =='
'
'
又因为点P (x , y ) 在直线l 上，所以就有：
Ax ' +By ' +C =0, 即（A x 0+λA ) +B (y 0+λB ) +C =0， ∴λ(A 2+B2)=-(Ax 0+By 0+C ) ，又因为A,B 不同时为0，
∴λ==
∴PP ' =
-(Ax 0+By 0+C )
A 2+B
2
==
即：d =PP ' =六． 利用习题结论巧推
老教材代数课本（人教版，下册. 必修）第15页习题十五第6题：
22
已知：a d ≠b , c ，当a d =b , c 即求证：（2a +（b ) 2c +2) d >(a +c ) b d a b
=时，有（a 2+b 2（) c 2+d 2) ≥（ac +bd ) 2. c d
上式实为柯西不等式的最简形式，很容易证明. 故略去。 下面给出点到直线的距离公式的最简推导。
已知点P (x 0, y 0) 和直线l :Ax +By +C =0, 则点到直线的距离即为点P 到直线
l 上任意点所连结的线段中的最短线段. 设M (x , y )为直线l 上任意一点，点P 到直
线l 的距离为d ，则：
(Ax -Ax 0) 2(By -By 0) 2
PM =PM =+22
A B 2
(By -By ) 222222(Ax -Ax ) ⇒(A +B ) PM =(A +B )[+] 22
A B
≥(Ax -Ax 0+By -By 0) 2＝(-Ax 0-By 0-
C ) 2
2
∴d =PM
min
=
，当且仅当
A B
=时等号成立 x -x 0y -y 0
七. 运用直线的参数方程推导
证明：当A ⋅B =0时易验证公式成立，下证A ⋅B ≠0时的情形： （1）B>0时, 过点P 作直线L 的垂线，垂足为H ，则直线PH 的标准参数方程为：
⎧
x =x +t 0⎪⎪ (t 为参数）⎨
⎪y =y +t 0
⎪⎩
将直线PH 的参数方程代入直线L 的方程得：
x
A （⋅x 0+t ⋅
+B（⋅y 0+t ⋅
，解之得点H
对应的参数t =
+C =0
∴PH =d =PH =
（2）当B
⎧
⎪x =x 0-t ⎪(t 为参数）
⎨
⎪y =y -t ⋅
⎪⎩
可得∴PH =
∴d =PH =
八． 构造引理推导
引理：如图1，直角三角形MPN 中，∠MPN =90，MP =a , NP =b , 则点P 到直线MN 的距离d 满足
111
=+2.
22d a b
11
⋅MP ⋅NP =⋅MN ⋅d ， 211111即ab =，所以2=2+
2. d ，即=
d ab 2d a b
下面就用引理证明点P (x 0, y 0)到直线l ：Ax +By +C =0的距离为：d =
证明：当0时易证公式成立.
当A ⋅B ≠0时，如图2所示, 过点P (x 0, y 0)分别作平行于x 轴, y 轴的两条直线, 分别交直线l ：Ax +By +C =0
By +C By +C A x +C
, 于点M (-0, y 0) 、N (x0,-0) ，则MP =x 0+A A B
Ax +C
NP =y 0+0. MP ⊥NP , ∴在RT ∆MPN 中，
B
点P 到直线MN 的距离d 满足：
11111
=+＝+222
By +C Ax +C
d MP NP (x 0+0) 2(y 0+0) 2
B A 2+B 2
, d = ＝所以2(Ax 0+By 0+
C ) 证明：由直角三角形的面积公式得：
a 图1