第三章 一元函数的导数与微分
3.1导数
3.1.1导数的定义
（1）设函数y =f (x ) 在x 0的某邻域有定义，若极限：
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) =lim 存在，则称f (x ) 在x =x 0处可导，并称这个极
∆x →0∆x ∆x →0∆x
dy df (x )
y '(x 0) 或限为f (x ) 在x =x 0处的导数（或微商），记作f '(x 0) ，x =x 0. x =x 0
dx dx lim
（2）设函数y =f (x ) 在x 0处存在如下单侧极限：
∆x →0
lim +
∆y ∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) f (x 0+∆x ) -f (x 0)
=lim +=lim -、 lim -存在，
∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x
则分别称f (x ) 在x =x 0处右﹑左可导，上述极限值分别为f (x ) 在x =x 0的右﹑左
'(x 0) ，y -'(x 0) . 导数，分别记为f +'(x 0) ，f -'(x 0) 或y +
3.1.2导数的几何意义
函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数f '(x 0) 是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0) )处切线 的斜率，切线方程为y =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) . 3.1.3函数的连续与可导
由导数f '(x 0) 的定义可知，如果导数f '(x 0) 存在，则：
lim f (x 0+∆x ) -f (x 0) ，所以 当∆x →0时，必有∆y →0，因为∆y =∆x →0
f (x 0) =lim f (x 0+∆x ) ，即：函数y =f (x ) 在x =x 0处连续.
∆x →0
注：y =f (x ) 在x =x 0处可导，则y =f (x ) 在x =x 0处一定连续；但y =f (x ) 在
x =x 0处连续，y =f (x ) 在x =x 0处不一定可导.
⎧1-x ,
例如：分段函数f (x ) =⎨
⎩1+x ,
x >0x ≤0
在x =0处连续但不可导.
3.2微分
3.2.1微分的定义
设函数y =f (x ) 在点x 0的一个邻域U (x 0)上有定义，x 0+∆x (∆x →0) 在此区间内, 如果函数的增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)可表示为∆y =A ∆x +ο(∆x )(其中A 是不依赖于∆x 的常数，而ο(∆x )（ο为希腊字母）是比∆x 高阶的无穷小), 那么称函数f (x )在点x 0是可微的. 记自变量x 的增量∆x =dx (∆x →0) ，相应的因变量
y 在点x 0处的增量∆y =dy x =x df (x x =x .
()
联合导数的定义可得:当函数y =f (x ) 在定义域内可导时，dy =f '(x )dx . 3.2.2微分的几何意义
3.1.4函数的求导 (1)基本初等函数的导数表
(c ) '=0， (x α) '=αx α-1， (loga x ) '=
1
(a >0, a ≠1) ， x ln a
(a x ) '=a x ln a ， (sinx ) '=cos x ， (cosx ) '=-sin x ，(arcsinx ) '=
1-x 2
， (arccosx ) '=-
1-x 2
， (arctanx ) '=
1
，2 1+x
(arc cot
x )
'=-
1
. 2 1+x
(2)函数的和﹑差﹑积﹑商的求导
设f (x ) 和g (x ) 均在x 点可导，则它们的和﹑差﹑积﹑商也均在x 点可导，有：
'
（1）[f (x ) ±g (x ) ]=f '(x ) ±g '(x ) ；
'
（2）[f (x ) g (x ) ]=f '(x ) g (x ) +g '(x ) f (x ) ；
'⎡f (x ) ⎤f '(x ) g (x ) -g '(x ) f (x )
(g (x ) ≠0). （3）⎢=⎥2
g (x ) ⎣g (x ) ⎦
(3)复合函数的求导
设函数u =g (x ) 在点x 处可导，函数y =f (u ) 在对应点u =g (x ) 处可导，则复合函
dy dy du '
=⋅数y =f (g (x ) )在点x 处可导，即：[f (g (x ) )]=f '(u )g '(x ) 或. dx du dx
x 2
【例3.1】sin .
1+x
x 2
解：设y =sin u ，u =，则：
1+x
'
(x 2x 2⎫1+x )2x -x 2x 2+2x x 2'⎛
sin =(sin u ) =cos 2 1+x ⎪⎪=cos u ⋅1+x 2
1+x 1+x . 1+x ⎝⎭(4)反函数求导
设函数y =f (x ) 在区间I 1内可导，值域为I 2，则y =f (x ) 的反函数为x =f -1(y ) 在区间I 2上也可导且f -1'(x ) ≠0，则有：
f '(x ) =
dy 11
==
-1dx dx ，再化简为关于f (y ) dy
f
-1
(y ) 函数，最后用关于x 的函数代替f
-1
(y ) 即可得到函数y =f (x ) 在点x 处的
导数.
【例3.2】求(arctanx )'. 解：设y =arctan x ，则：
111111'y '=(arctan x )======.
dx (tan y )1cos 2y +sin 2y 1+tan 2y 1+x 2dy cos 2y cos 2y (5)隐函数求导
设有二元方程F (x ，y )=0，若在区间I 上存在函数y =f (x )满足F (x ，f (x ))=0，
则称这个函数y =f (x )为方程F (x ，y )=0在区间I 上确定的隐函数. 若它可导，则由F (x ，y )=0及复合函数求导数则可求得y '（f '(x )）所满足的方程，再解出
y '即可.
【例3.3】设e x +y =y 确定y =f (x )，求y '，y ''.
解：将方程两端对x 求导得（或两边求微）：e x +y (1+y ')=y '，即y '=-1+
⎛1⎫'y
'⎪-1+y =再对x 求导得：y ''= . 3 ⎪1-y ⎭y 1-y ⎝
1
, 1-y
(6)分段函数的求导
若分段函数f (x )在x =x 0处可导，则f +'(x 0)=f -'(x 0). 若f +'(x 0)和f -'(x 0)不可以通过直接对函数求导得出，就利用导数的定义求出x =x 0处的左右导数，即：
f (x )-f (x 0)f (x )-f (x 0)''
()f +(x 0)=lim +f x =lim ，-0.
x →x 0x →x 0-x -x 0x -x 0⎧πx -1
x >1⎪4+2，
⎪
x ≤1，求f '(1)和f '(-1). 【例3.4】设f (x )=⎨arctan x ，
⎪πx +1⎪-+，x
2⎩4
⎛πx -1⎫
+⎪-arctan 1''
解：因为'1；f -(1)=(arctan x )42⎭⎝f +(1)=lim =
x →1+x -12
=
x =1
1
, 2
所以f '(1)=
1, 2
1. 2
同理：f '(-1)=(7)高阶导数
一般地说，函数y =f (x ) 的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数，它再对x 求导，即导
22
d f (x )d y
数的导数，称为y 或f (x )的二阶导数，记为y ''或f ''(x )，或2或. 同理2
dx dx
把y =f (x ) 的n -1阶导函数f (n -1)(x )的导数称为y 或f (x )的n 阶导数，记为y (n )或
f
(n )
f (n -1)(x 0+∆x )-f (n -1)(x 0)d n y d n f (x )(n )
(x )，或n 或，即：f (x 0)=lim .
∆x →0dx n ∆x dx
注：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
对函数f (x ) 进行n (n >1) 次求导，记为f (n ) (x ) ，称为f (x ) 的n 次高阶导数. 求函数f (x ) 的n 次导数的方法有: ①归纳法
先依次求出函数f (x ) 的前几阶导数，并由此观察出规律性，写出f (n ) (x ) 的公式，再用数学归纳法证明公式的正确性.
【例3.5】设函数f (x ) 有任意阶导数且f '(x ) =f 2(x ) ，求f (n ) (x ) 的值. 解：将f '(x ) =f 2(x ) 两边求导得：f (2) (x ) =2f (x ) f '(x )=2! f 3(x ) ， 再求导得f (3) (x ) =6f 2(x ) f '(x )=3! f 4(x ) ， 由此可归纳证明得f (n ) (x ) =n ! f n +1(x ) .
②分解法
通过恒等变形将要求的n 阶导数的函数分解成简单初等函数之和，再分别求出几个简单函数的导数. 【例3.6】设函数f (x ) =
1+x -x
，求f (n ) (x ) 的值.
12
12
解：因为f (x ) =
1+x -x
=
2-(1-x )-x
(n )
=2(1-x )
(n )
-
-(1-x ) ，
1-⎤⎡(n )
所以f (x ) =⎢2⋅(1-x ) 2⎥
⎣⎦
n
1
-⎤⎡
-⎢(1-x ) 2⎥⎣⎦
--n 11⎛1⎫
=2（⋅-1）⋅(-) ⋅(--1) --n +1⎪(1-x ) 2
22⎝2⎭-n 11⎛1⎫2
-（-1）⋅⋅(-1) -n +1⎪(1-x )
22⎝2⎭
n
--n -n (2n -1)! ! (2n -3)! ! 22
=⋅(1-x ) +⋅(1-x ) .
2n -12n
③用莱布尼兹法则求乘积的n 阶导数
1
11
1
[u (x ) v (x ) ]
(n )
k k (k )
==∑C n u (x ) v (n -k ) (x ) ，其中 C n
n
k =0
n !
.
k ! (n -k )!
④用泰勒公式求导（详见第四章例题4.7）. 3.5利用导数求近似值
利用微分性质，可以近似求某些不易计算的量
因为当∆x 为较小值时，有∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ≈f '(x 0) ∆x ， 即f (x 0+∆x ) ≈f (x 0) +f '(x 0) ∆x ，（【例3.7】求sin 31︒的近似值. 解：对函数y =sin x ，取x π0=
6，sin 31︒≈sin
π
6
+(sinx ) '
x =
π
⋅
π
6
180
=sin
π+cos π⋅
π
66180
≈0. 5151 .
∆x 为较小值）. ∆x =π180
，利用近似值公式有：
第三章 一元函数的导数与微分
3.1导数
3.1.1导数的定义
（1）设函数y =f (x ) 在x 0的某邻域有定义，若极限：
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) =lim 存在，则称f (x ) 在x =x 0处可导，并称这个极
∆x →0∆x ∆x →0∆x
dy df (x )
y '(x 0) 或限为f (x ) 在x =x 0处的导数（或微商），记作f '(x 0) ，x =x 0. x =x 0
dx dx lim
（2）设函数y =f (x ) 在x 0处存在如下单侧极限：
∆x →0
lim +
∆y ∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0) f (x 0+∆x ) -f (x 0)
=lim +=lim -、 lim -存在，
∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x
则分别称f (x ) 在x =x 0处右﹑左可导，上述极限值分别为f (x ) 在x =x 0的右﹑左
'(x 0) ，y -'(x 0) . 导数，分别记为f +'(x 0) ，f -'(x 0) 或y +
3.1.2导数的几何意义
函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数f '(x 0) 是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0) )处切线 的斜率，切线方程为y =f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) . 3.1.3函数的连续与可导
由导数f '(x 0) 的定义可知，如果导数f '(x 0) 存在，则：
lim f (x 0+∆x ) -f (x 0) ，所以 当∆x →0时，必有∆y →0，因为∆y =∆x →0
f (x 0) =lim f (x 0+∆x ) ，即：函数y =f (x ) 在x =x 0处连续.
∆x →0
注：y =f (x ) 在x =x 0处可导，则y =f (x ) 在x =x 0处一定连续；但y =f (x ) 在
x =x 0处连续，y =f (x ) 在x =x 0处不一定可导.
⎧1-x ,
例如：分段函数f (x ) =⎨
⎩1+x ,
x >0x ≤0
在x =0处连续但不可导.
3.2微分
3.2.1微分的定义
设函数y =f (x ) 在点x 0的一个邻域U (x 0)上有定义，x 0+∆x (∆x →0) 在此区间内, 如果函数的增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)可表示为∆y =A ∆x +ο(∆x )(其中A 是不依赖于∆x 的常数，而ο(∆x )（ο为希腊字母）是比∆x 高阶的无穷小), 那么称函数f (x )在点x 0是可微的. 记自变量x 的增量∆x =dx (∆x →0) ，相应的因变量
y 在点x 0处的增量∆y =dy x =x df (x x =x .
()
联合导数的定义可得:当函数y =f (x ) 在定义域内可导时，dy =f '(x )dx . 3.2.2微分的几何意义
3.1.4函数的求导 (1)基本初等函数的导数表
(c ) '=0， (x α) '=αx α-1， (loga x ) '=
1
(a >0, a ≠1) ， x ln a
(a x ) '=a x ln a ， (sinx ) '=cos x ， (cosx ) '=-sin x ，(arcsinx ) '=
1-x 2
， (arccosx ) '=-
1-x 2
， (arctanx ) '=
1
，2 1+x
(arc cot
x )
'=-
1
. 2 1+x
(2)函数的和﹑差﹑积﹑商的求导
设f (x ) 和g (x ) 均在x 点可导，则它们的和﹑差﹑积﹑商也均在x 点可导，有：
'
（1）[f (x ) ±g (x ) ]=f '(x ) ±g '(x ) ；
'
（2）[f (x ) g (x ) ]=f '(x ) g (x ) +g '(x ) f (x ) ；
'⎡f (x ) ⎤f '(x ) g (x ) -g '(x ) f (x )
(g (x ) ≠0). （3）⎢=⎥2
g (x ) ⎣g (x ) ⎦
(3)复合函数的求导
设函数u =g (x ) 在点x 处可导，函数y =f (u ) 在对应点u =g (x ) 处可导，则复合函
dy dy du '
=⋅数y =f (g (x ) )在点x 处可导，即：[f (g (x ) )]=f '(u )g '(x ) 或. dx du dx
x 2
【例3.1】sin .
1+x
x 2
解：设y =sin u ，u =，则：
1+x
'
(x 2x 2⎫1+x )2x -x 2x 2+2x x 2'⎛
sin =(sin u ) =cos 2 1+x ⎪⎪=cos u ⋅1+x 2
1+x 1+x . 1+x ⎝⎭(4)反函数求导
设函数y =f (x ) 在区间I 1内可导，值域为I 2，则y =f (x ) 的反函数为x =f -1(y ) 在区间I 2上也可导且f -1'(x ) ≠0，则有：
f '(x ) =
dy 11
==
-1dx dx ，再化简为关于f (y ) dy
f
-1
(y ) 函数，最后用关于x 的函数代替f
-1
(y ) 即可得到函数y =f (x ) 在点x 处的
导数.
【例3.2】求(arctanx )'. 解：设y =arctan x ，则：
111111'y '=(arctan x )======.
dx (tan y )1cos 2y +sin 2y 1+tan 2y 1+x 2dy cos 2y cos 2y (5)隐函数求导
设有二元方程F (x ，y )=0，若在区间I 上存在函数y =f (x )满足F (x ，f (x ))=0，
则称这个函数y =f (x )为方程F (x ，y )=0在区间I 上确定的隐函数. 若它可导，则由F (x ，y )=0及复合函数求导数则可求得y '（f '(x )）所满足的方程，再解出
y '即可.
【例3.3】设e x +y =y 确定y =f (x )，求y '，y ''.
解：将方程两端对x 求导得（或两边求微）：e x +y (1+y ')=y '，即y '=-1+
⎛1⎫'y
'⎪-1+y =再对x 求导得：y ''= . 3 ⎪1-y ⎭y 1-y ⎝
1
, 1-y
(6)分段函数的求导
若分段函数f (x )在x =x 0处可导，则f +'(x 0)=f -'(x 0). 若f +'(x 0)和f -'(x 0)不可以通过直接对函数求导得出，就利用导数的定义求出x =x 0处的左右导数，即：
f (x )-f (x 0)f (x )-f (x 0)''
()f +(x 0)=lim +f x =lim ，-0.
x →x 0x →x 0-x -x 0x -x 0⎧πx -1
x >1⎪4+2，
⎪
x ≤1，求f '(1)和f '(-1). 【例3.4】设f (x )=⎨arctan x ，
⎪πx +1⎪-+，x
2⎩4
⎛πx -1⎫
+⎪-arctan 1''
解：因为'1；f -(1)=(arctan x )42⎭⎝f +(1)=lim =
x →1+x -12
=
x =1
1
, 2
所以f '(1)=
1, 2
1. 2
同理：f '(-1)=(7)高阶导数
一般地说，函数y =f (x ) 的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数，它再对x 求导，即导
22
d f (x )d y
数的导数，称为y 或f (x )的二阶导数，记为y ''或f ''(x )，或2或. 同理2
dx dx
把y =f (x ) 的n -1阶导函数f (n -1)(x )的导数称为y 或f (x )的n 阶导数，记为y (n )或
f
(n )
f (n -1)(x 0+∆x )-f (n -1)(x 0)d n y d n f (x )(n )
(x )，或n 或，即：f (x 0)=lim .
∆x →0dx n ∆x dx
注：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
对函数f (x ) 进行n (n >1) 次求导，记为f (n ) (x ) ，称为f (x ) 的n 次高阶导数. 求函数f (x ) 的n 次导数的方法有: ①归纳法
先依次求出函数f (x ) 的前几阶导数，并由此观察出规律性，写出f (n ) (x ) 的公式，再用数学归纳法证明公式的正确性.
【例3.5】设函数f (x ) 有任意阶导数且f '(x ) =f 2(x ) ，求f (n ) (x ) 的值. 解：将f '(x ) =f 2(x ) 两边求导得：f (2) (x ) =2f (x ) f '(x )=2! f 3(x ) ， 再求导得f (3) (x ) =6f 2(x ) f '(x )=3! f 4(x ) ， 由此可归纳证明得f (n ) (x ) =n ! f n +1(x ) .
②分解法
通过恒等变形将要求的n 阶导数的函数分解成简单初等函数之和，再分别求出几个简单函数的导数. 【例3.6】设函数f (x ) =
1+x -x
，求f (n ) (x ) 的值.
12
12
解：因为f (x ) =
1+x -x
=
2-(1-x )-x
(n )
=2(1-x )
(n )
-
-(1-x ) ，
1-⎤⎡(n )
所以f (x ) =⎢2⋅(1-x ) 2⎥
⎣⎦
n
1
-⎤⎡
-⎢(1-x ) 2⎥⎣⎦
--n 11⎛1⎫
=2（⋅-1）⋅(-) ⋅(--1) --n +1⎪(1-x ) 2
22⎝2⎭-n 11⎛1⎫2
-（-1）⋅⋅(-1) -n +1⎪(1-x )
22⎝2⎭
n
--n -n (2n -1)! ! (2n -3)! ! 22
=⋅(1-x ) +⋅(1-x ) .
2n -12n
③用莱布尼兹法则求乘积的n 阶导数
1
11
1
[u (x ) v (x ) ]
(n )
k k (k )
==∑C n u (x ) v (n -k ) (x ) ，其中 C n
n
k =0
n !
.
k ! (n -k )!
④用泰勒公式求导（详见第四章例题4.7）. 3.5利用导数求近似值
利用微分性质，可以近似求某些不易计算的量
因为当∆x 为较小值时，有∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ≈f '(x 0) ∆x ， 即f (x 0+∆x ) ≈f (x 0) +f '(x 0) ∆x ，（【例3.7】求sin 31︒的近似值. 解：对函数y =sin x ，取x π0=
6，sin 31︒≈sin
π
6
+(sinx ) '
x =
π
⋅
π
6
180
=sin
π+cos π⋅
π
66180
≈0. 5151 .
∆x 为较小值）. ∆x =π180
，利用近似值公式有：