模块十二 多元函数微分学
※知识框架
一、二重极限及连续 二、偏导数概念 三、可微与全微分 四、相互关系 五、方向导数与梯度
※课程脚本：
★引入：本章的标题是多元函数微分学，在前面我们介绍过一元函数微分，这里的‘多元’就是自变量为多个，而为了方便，我们一般研究的是二元函数，那么我们首先看看二元函数的概念，
一． 二重极限及连续
1、 二重极限 ●讲义内容
【定义1】：设D 是平面上的一个点集，如果对于任意一点(x , y )∈D ，变量z 按照一定的运算法则总有确定的值与之对应，则称z 关于变量x , y 的二元函数，记作z =f (x , y ). ★讲解且过渡：给出二元函数定义后，下面不妨我们可以回忆下一元函数微分中的知识点，一块回忆下：一元函数y =f (x ) 中自变量就一个“x ”，而二元函数显然就是自变量为两个，我们一般用x , y 来表示，当然也可以定义三元或者多元的函数，不过对于我们来说研究的对象大多是二元，其定义域也有一元函数时的区间变成了二元函数的平面区域，举个简单的二元函数例子：z =x y ，。另外在一元函数中我们研究了极限、连续、可导。可微等，其实这些可以延拓到二元函数中的，下面首先看看二元函数的极限问题，为了显示和一元函数的区别，我们称二元函数的极限为二重极限 ●讲义内容
【定义2】：设z =f (x , y )是D 上的一个函数，假设存在实数A ，使得∀ε>0，(x 0, y 0)∈D ，
2
总∃δ>0，当
0
有0
近于(x 0, y 0)时，函数f
x →x 0y →y 0
(x , y )的二重极限为A . 记作
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim f
(x , y )=
A 或
lim f
(x , y )=
A .
★讲解且过渡：二重极限是一元函数极限的推广，它的定义要与一元函数的极限对比起来理解. 例如，与一元函数一样，(x , y )在趋近于(x 0, y 0)时，也不会等于(x 0, y 0)，只会无限地接近；一元函数极限中x 趋近于x 0仅有两种方式——左或右，所以只要求左右极限存在且相等就能说明极限存在了；而二维平面上(x , y )趋近于(x 0, y 0)的方式可以有无穷多种，另外在一元函数中极限存在的话是左右极限存在且相等，那么在二元函数中关于二重极限存在的内在要求是(x , y )沿任何路径趋近于(x 0, y 0)的极限值都应该存在并且相等，换句话说如果能找到函数按照两种不同的路径逼近某一点的极限不一样，就可以断定函数在该点的极限
不存在，其实这也是我们在具体做题的过程中判断极限不存在的思路，那么其他求极限的方法有哪些呢？其实这个时候也可以按照一元函数求极限的方法进行分析，大概有一下几种：1、四则运算。2、等价无穷小替换，3. 重要极限、4夹逼定理等着四个是可以用的，而罗比达法则是不能用的，因为二元函数中有两个自变量，由此一块做几道题目。
例题解析
【例1】：计算下列极限
（1）
lim
(x , y ) →(0,0（2）
(x , y ) →(3,0)
lim
sin(xy ) y
（3）
(x , y ) →(0,0)
lim
1-cos(x +y ) ln(1+x +y ) e
2
2
x
2
22
★讲解：
（1）第一种：有理化，第二种可用等价无穷小代换 （2）等价无穷小代换即可 （3）等价无穷小代换 【
例2】f (x , y ) =⎩
0,
(x , y ) ≠(0,0)
，求
(x , y ) =(0,0)
(x , y ) →(0,0)
lim f (x , y )
★讲解且过渡：
本题可以用夹逼定理来解释，需要先取绝对值，求出极限值为0，前两道题都是采用的一元函数中的解法，但总的来说求二重极限还是比较繁琐的，它的定义要求(x , y )沿任何路径趋
近于(x 0, y 0)的极限值都应该存在并且相等，其实在前面我们已经介绍过了，沿各个方向的话这个条件过于苛刻，所以在考试的时候我们经常碰到的是证明二重极限不存在，因为这个时候只要找到两个方向的极限值不等即可， 【例3】：说明极限
lim
x +y x -y
不存在
(x , y ) →(0,0)
★讲解：直接取y =kx 就可以，这个取法比较普遍
⎧xy
, (x , y ) ≠(0,0) ⎪22
【例4】f (x , y ) =⎨x +y ，证明：lim f (x , y ) 不存在
(x , y ) →(0,0)
⎪0, (x , y ) =(0,0) ⎩
★讲解：和上题有点类似，可以取y =kx
2、连续
★引入：对二元函数来说介绍完极限后，那我们该介绍另一个重要的概念：连续，好，我
们先看它的定义 ●讲义内容
【定义3】：假设z =f (x , y )在(x 0, y 0)的某邻域内有定义，并且
lim
∆z =
f
(∆x , ∆y ) →(0,0)(∆x , ∆y ) →(0,0)
lim
f
⎡⎣f (x 0+∆x , y 0+∆y )-f (x 0, y 0)⎤⎦=0，
或 则称f
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim
(x , y )=(x 0, y 0)
上每一点都连续，则称
(x , y )在点(x 0, y 0)处连续. 如果f (x , y )在平面区域D
f (x , y )在区域D 上连续.
★讲解且过渡：二元函数的连续其实和一元函数的连续很相近，甚至完全可以类推过来，以便理解和掌握，只是在判断连续的时候求二重极限的时候有点困难，此时的重点依然是刚才介绍的二重极限的求解，如果二重极限很容易求的话，那么连续就很容易判断了，在这例题就不介绍了，下面看另外一个知识点——偏导数
二 偏导数
★引入：在一元函数中的介绍完连续后，下面应该介绍导数，但是在二元函数里也是这样的，只是要注意在二元函数里的自变量是两个，所以此时‘求导’的时候不能像在一元函数中那样，为了方便研究我们引入了“偏导数”这个概念 ●讲义内容
【定义4】：设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) ∈D 的某一邻域内有定义，把y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x ，相应的函数有增量∆z =f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0) ，而如果极限
lim
f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0)
∆x
∆x →0
存在，则称函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处关于x 的偏导数存在，并定义此极限值为函数
z =f (x , y ) ∂z ∂y
(x 0, y )
在点
, z 'y
P 0(x 0,
y 处) 对变量x 的偏导数，记作
,
∂f ∂y
(x 0, y )
(x 0, y )
, f y '(x 0, y 0)
类似地，可以定义函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处对变量y 的偏导数
lim
f (x 0, y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)
∆y
, f y '(x 0, y 0) .
，
∆y →0
记作
∂z ∂y
(x 0, y )
,
∂f ∂y
(x 0, y )
, z 'y
(x 0, y )
★讲解且过渡：
由一元函数的导数定义做引申和比较，对二元函数中因为两个自变量再要求导的话就不能那么随意了，这个时候只能是先求一个，那么另一个自变量就要先固定，这样的话我们就给出了上面的定义，本质上就是f (x , y 0) 关于x 在x 0出的导数，也即转化成了一元函数的求导，同时这也是求偏导的法则，务必要理解和掌握，另外它的记号也要记住，这节是考试的重点，
例题解析
⎧xy
, (x , y ) ≠(0,0) ⎪22
【例9】：讨论函数f (x , y ) =⎨x +y 在(0,0) 处的连续性和偏导的存在性
⎪0 ,(x , y ) =(0,0) ⎩⎧x 3+y 3
, (x , y ) ≠(0,0) ⎪22
f (x , y ) =【例10】：讨论函数在(0,0) 处的连续性、偏导的存在性 ⎨x +y
⎪0 ,(x , y ) =(0,0) ⎩
★讲解且过渡：这两道题关键是会利用定义判断连续喝偏导数，至于偏导数的计算我们会在后续章节进行讨论，并且从这两个例子可以看出对于二元函数来说偏导数的存在和连续性是没有关系的，再有关于偏导数的讨论和计算中核心的法则是：固定一个变量，对另一个变量求导.
三、可微和全微分
★引入：讨论完偏导数的定义后，下面我们看看二元函数可微的定义，其实正如一元函数
中类似的， ●讲义内容
【定义6】：若函数z =f (x , y ) 在点(x , y ) 的全增量∆z =f (x +∆x , y +∆y ) -f (x , y ) 可表示为
∆z =A ∆x +B ∆y +o
，
其中A 、B 仅依赖于(x , y ) 而与∆x 、∆y 无关，则称函数z =f (x , y ) 在点(x , y ) 可微，其中A ∆x +B ∆y 称为函数z =f (x , y ) 在点(x , y ) 的全微分，记作dz ，即dz =A ∆x +B ∆y ★讲解且过渡：对于二元函数可微的定义我们可以借助于一元函数的思想，这个概念比较重要，但是和一元函数中是有区别的，把他的概念和学生一块分析一遍，做到例题熟悉一下他的定义，
【例11】请讨论【例10】在(0,0) 的可微性
★讲解：由本题可以大致了解下对于二元函数可微、偏导数存在、连续之间的联系，下面我们得到了他们之间的关系
四．相互关系
●讲义内容
【定理4.5】：设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处可微，那么z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处必然连续，并且两个偏导数均存在，并且
∆z =
∂z ∂x ∆x +
∂z ∂y ∆y +o
★讲解且过渡：对于多元函数来说，其连续和偏导数存在是没有联系的，这个实上面的例xy ⎧
, (x , y ) ≠(0,0) ⎪22
子我们已经做过介绍，其他例子诸如：f (x , y ) =⎨x +y 与
⎪0, (x , y ) =(0,0) ⎩
g (x , y ) =x +y 在(0,0) 处的连续性与偏导数，不是太难验证，现在要说明的是如果函数
可微，那么能否推出连续或者偏导数存在，下面进行一个简单的推导： 若可微因为
∆z =A ∆x +B ∆y +o 则lim
f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0)
∆x
=A （此时∆y =0），所以可偏导，
∆x →0
=lim
A ∆x +ο(∆x )
∆x
∆x →0
对y 类似证明，
又因为lim ∆z =0显然成立，所以lim f (x 0+∆x , y 0) =f (x 0, y 0) ，即证连续，
∆x →0
∆y →0
∆x →0∆y →0
反之，若函数可偏导或者连续能否推出可微呢？此时不需要举例，只需简单的逻辑推理即可，如果可偏导可以推出可微的话，那么也即可以推出连续，这与刚才的举例两者没有必然关系
是矛盾的，同理连续也是不能推出可微的, 证毕
那么有没有其他的条件可以推出可微，其实是存在的，即偏导数是连续的，就可以推出是可微的，但是对我们考研来说，此定理过于复杂，不需要掌握，只需了解即可，下面给出这个定理 ●讲义内容
【定理4.6】：如果函数z =f (x , y ) 的偏导函数
∂z ∂z
在(x , y ) 点连续，则函数在该点可微. ,
∂x ∂y
例题解析
1⎧22
(x +y ) sin , (x , y ) ≠(0,0) ⎪22
【例11】f (x , y ) =⎨讨论此函数在(0,0) 点的连续性，x +y
⎪0, (x , y ) =(0,0) ⎩
偏导性以及可微性
★讲解：
连续性的证明用到了无穷小量乘以有界量依然是无穷小量，偏导的话可以根据定义来说明
，
lim
可微的话用到了定义的充要条件即：
∆z -f x (x 0, y 0)∆x +f y (x 0, y 0)
∆y (∆x , ∆y )→(0,0)
=0，其实我们也是通过这个式子来研究二
元函数的可微性的。
五、方向导数与梯度（数一内容）
●讲义内容
【定义7】方向导数
设某一方向的单位向量为n =(cosα, cos β) ，则函数f (x ) 在(x 0, y 0) 点处沿着该方向的增量为f (x 0+t cos α, y 0+t cos β) -f (x 0, y 0), t >0，该方向的方向导数定义为
∂f ∂n
(x 0, y 0)
=lim +
t →0
f (x 0+t cos α, y 0+t cos β) -f (x 0, y 0)
t
【定理4.8】：如果函数f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点可微，则f (x , y ) 在该点的所有方向导数均存在，且有
∂f ∂n
(x 0, y 0)
=f x (x 0, y 0) cos α+f y (x 0, y 0) cos β，
其中n =(cosα, cos β) ，上述定理还可以推广到三维的情形：
∂f ∂n
(x 0, y 0, z 0)
=f x (x 0, y 0, z 0) cos α+f y (x 0, y 0, z 0) cos β+f z (x 0, y 0, z 0) cos γ
其中n =(cosα, cos β, cos γ)
★讲解且过渡：
针对方向导数的定义，理解起来可能比较难一点，在考研大纲里这块定义要求的不是太高，重要的是学会计算，但是要了解其定义，即
①t 取从右端趋于0，也就是说t 是大于零的（这是因为(cosα, cos β) 与
(-cos α, -cos β) 是两个不同的方向. 如果t 可以小于0的话，就无法区分这两个方向了）.
②二元函数的偏导数刻画的是当自变量沿坐标轴变化时函数的变化率. 方向导数是当自变量沿某一固定方向变化时函数的变化率.
如果不能理解其实也不要太着急，刚才已经说了要学会计算，并且题目都是在可微的情况下计算的，需要注意的是可微只是方向导数存在的充分条件，上述的定理式子一定要记号，推导如下：
∆z =A ∆x +B ∆y +o
=At cos α+B t cos β+ο(t )
=lim +
t →0
⇒lim
t →0
f (x 0+t cos α, y 0+t cos β) -f (x 0, y 0)
t
∆z t
+
=A cos α+B cos β
=f x '(x 0, y 0) cos α+f y '(x 0, y 0) cos β
●讲义内容
【定义8】函数f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点的梯度定义为：
⎧∂f ∂f ⎫
grad f (x 0, y 0) =⎨, ⎬
∂x ∂y ⎩⎭
(x 0, y 0)
类似地，可以定义三元函数的梯度.
★讲解且过渡：
梯度其实就是个向量，那么梯度和方向导数有什么关系吗？ ●讲义内容
设f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处可微，l 为非零向量，且l ={cos α, cos β}是其单位向量，
则有
∂f ∂l
(x 0, y 0)
⎧∂f ∂f ⎫=⎨, ⎬
∂x ∂y ⎭⎩
(x 0, y 0)
⋅{cos α, cos β}
=grad f (x 0, y 0) ⋅l =grad f (x 0, y 0) cos θ
其中θ为grad f (x 0, y 0) 与l 的夹角
★讲解且过渡：
从梯度和方向导数的关系不难得到，梯度是函数方向导数最大的方向，也就是函数的变化率最大的方向，当然其反方向是变化率最小的方向，
例题解析
【例25】：函数u =ln(x +导数为 .
y +z ) 在A （1，0，1）处沿A 点指向B （3，-2，2）点方向
2
2
【例26】：计算函数u =xyz +x 2-2y 3+3z 2在点(2,3, 4) 沿从点A (3,4,1) 到点B (2,2, 2) 的方向的方向导数和梯度.
模块十二 多元函数微分学
※知识框架
一、二重极限及连续 二、偏导数概念 三、可微与全微分 四、相互关系 五、方向导数与梯度
※课程脚本：
★引入：本章的标题是多元函数微分学，在前面我们介绍过一元函数微分，这里的‘多元’就是自变量为多个，而为了方便，我们一般研究的是二元函数，那么我们首先看看二元函数的概念，
一． 二重极限及连续
1、 二重极限 ●讲义内容
【定义1】：设D 是平面上的一个点集，如果对于任意一点(x , y )∈D ，变量z 按照一定的运算法则总有确定的值与之对应，则称z 关于变量x , y 的二元函数，记作z =f (x , y ). ★讲解且过渡：给出二元函数定义后，下面不妨我们可以回忆下一元函数微分中的知识点，一块回忆下：一元函数y =f (x ) 中自变量就一个“x ”，而二元函数显然就是自变量为两个，我们一般用x , y 来表示，当然也可以定义三元或者多元的函数，不过对于我们来说研究的对象大多是二元，其定义域也有一元函数时的区间变成了二元函数的平面区域，举个简单的二元函数例子：z =x y ，。另外在一元函数中我们研究了极限、连续、可导。可微等，其实这些可以延拓到二元函数中的，下面首先看看二元函数的极限问题，为了显示和一元函数的区别，我们称二元函数的极限为二重极限 ●讲义内容
【定义2】：设z =f (x , y )是D 上的一个函数，假设存在实数A ，使得∀ε>0，(x 0, y 0)∈D ，
2
总∃δ>0，当
0
有0
近于(x 0, y 0)时，函数f
x →x 0y →y 0
(x , y )的二重极限为A . 记作
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim f
(x , y )=
A 或
lim f
(x , y )=
A .
★讲解且过渡：二重极限是一元函数极限的推广，它的定义要与一元函数的极限对比起来理解. 例如，与一元函数一样，(x , y )在趋近于(x 0, y 0)时，也不会等于(x 0, y 0)，只会无限地接近；一元函数极限中x 趋近于x 0仅有两种方式——左或右，所以只要求左右极限存在且相等就能说明极限存在了；而二维平面上(x , y )趋近于(x 0, y 0)的方式可以有无穷多种，另外在一元函数中极限存在的话是左右极限存在且相等，那么在二元函数中关于二重极限存在的内在要求是(x , y )沿任何路径趋近于(x 0, y 0)的极限值都应该存在并且相等，换句话说如果能找到函数按照两种不同的路径逼近某一点的极限不一样，就可以断定函数在该点的极限
不存在，其实这也是我们在具体做题的过程中判断极限不存在的思路，那么其他求极限的方法有哪些呢？其实这个时候也可以按照一元函数求极限的方法进行分析，大概有一下几种：1、四则运算。2、等价无穷小替换，3. 重要极限、4夹逼定理等着四个是可以用的，而罗比达法则是不能用的，因为二元函数中有两个自变量，由此一块做几道题目。
例题解析
【例1】：计算下列极限
（1）
lim
(x , y ) →(0,0（2）
(x , y ) →(3,0)
lim
sin(xy ) y
（3）
(x , y ) →(0,0)
lim
1-cos(x +y ) ln(1+x +y ) e
2
2
x
2
22
★讲解：
（1）第一种：有理化，第二种可用等价无穷小代换 （2）等价无穷小代换即可 （3）等价无穷小代换 【
例2】f (x , y ) =⎩
0,
(x , y ) ≠(0,0)
，求
(x , y ) =(0,0)
(x , y ) →(0,0)
lim f (x , y )
★讲解且过渡：
本题可以用夹逼定理来解释，需要先取绝对值，求出极限值为0，前两道题都是采用的一元函数中的解法，但总的来说求二重极限还是比较繁琐的，它的定义要求(x , y )沿任何路径趋
近于(x 0, y 0)的极限值都应该存在并且相等，其实在前面我们已经介绍过了，沿各个方向的话这个条件过于苛刻，所以在考试的时候我们经常碰到的是证明二重极限不存在，因为这个时候只要找到两个方向的极限值不等即可， 【例3】：说明极限
lim
x +y x -y
不存在
(x , y ) →(0,0)
★讲解：直接取y =kx 就可以，这个取法比较普遍
⎧xy
, (x , y ) ≠(0,0) ⎪22
【例4】f (x , y ) =⎨x +y ，证明：lim f (x , y ) 不存在
(x , y ) →(0,0)
⎪0, (x , y ) =(0,0) ⎩
★讲解：和上题有点类似，可以取y =kx
2、连续
★引入：对二元函数来说介绍完极限后，那我们该介绍另一个重要的概念：连续，好，我
们先看它的定义 ●讲义内容
【定义3】：假设z =f (x , y )在(x 0, y 0)的某邻域内有定义，并且
lim
∆z =
f
(∆x , ∆y ) →(0,0)(∆x , ∆y ) →(0,0)
lim
f
⎡⎣f (x 0+∆x , y 0+∆y )-f (x 0, y 0)⎤⎦=0，
或 则称f
(x , y ) →(x 0, y 0)
lim
(x , y )=(x 0, y 0)
上每一点都连续，则称
(x , y )在点(x 0, y 0)处连续. 如果f (x , y )在平面区域D
f (x , y )在区域D 上连续.
★讲解且过渡：二元函数的连续其实和一元函数的连续很相近，甚至完全可以类推过来，以便理解和掌握，只是在判断连续的时候求二重极限的时候有点困难，此时的重点依然是刚才介绍的二重极限的求解，如果二重极限很容易求的话，那么连续就很容易判断了，在这例题就不介绍了，下面看另外一个知识点——偏导数
二 偏导数
★引入：在一元函数中的介绍完连续后，下面应该介绍导数，但是在二元函数里也是这样的，只是要注意在二元函数里的自变量是两个，所以此时‘求导’的时候不能像在一元函数中那样，为了方便研究我们引入了“偏导数”这个概念 ●讲义内容
【定义4】：设函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) ∈D 的某一邻域内有定义，把y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x ，相应的函数有增量∆z =f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0) ，而如果极限
lim
f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0)
∆x
∆x →0
存在，则称函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处关于x 的偏导数存在，并定义此极限值为函数
z =f (x , y ) ∂z ∂y
(x 0, y )
在点
, z 'y
P 0(x 0,
y 处) 对变量x 的偏导数，记作
,
∂f ∂y
(x 0, y )
(x 0, y )
, f y '(x 0, y 0)
类似地，可以定义函数z =f (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 处对变量y 的偏导数
lim
f (x 0, y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)
∆y
, f y '(x 0, y 0) .
，
∆y →0
记作
∂z ∂y
(x 0, y )
,
∂f ∂y
(x 0, y )
, z 'y
(x 0, y )
★讲解且过渡：
由一元函数的导数定义做引申和比较，对二元函数中因为两个自变量再要求导的话就不能那么随意了，这个时候只能是先求一个，那么另一个自变量就要先固定，这样的话我们就给出了上面的定义，本质上就是f (x , y 0) 关于x 在x 0出的导数，也即转化成了一元函数的求导，同时这也是求偏导的法则，务必要理解和掌握，另外它的记号也要记住，这节是考试的重点，
例题解析
⎧xy
, (x , y ) ≠(0,0) ⎪22
【例9】：讨论函数f (x , y ) =⎨x +y 在(0,0) 处的连续性和偏导的存在性
⎪0 ,(x , y ) =(0,0) ⎩⎧x 3+y 3
, (x , y ) ≠(0,0) ⎪22
f (x , y ) =【例10】：讨论函数在(0,0) 处的连续性、偏导的存在性 ⎨x +y
⎪0 ,(x , y ) =(0,0) ⎩
★讲解且过渡：这两道题关键是会利用定义判断连续喝偏导数，至于偏导数的计算我们会在后续章节进行讨论，并且从这两个例子可以看出对于二元函数来说偏导数的存在和连续性是没有关系的，再有关于偏导数的讨论和计算中核心的法则是：固定一个变量，对另一个变量求导.
三、可微和全微分
★引入：讨论完偏导数的定义后，下面我们看看二元函数可微的定义，其实正如一元函数
中类似的， ●讲义内容
【定义6】：若函数z =f (x , y ) 在点(x , y ) 的全增量∆z =f (x +∆x , y +∆y ) -f (x , y ) 可表示为
∆z =A ∆x +B ∆y +o
，
其中A 、B 仅依赖于(x , y ) 而与∆x 、∆y 无关，则称函数z =f (x , y ) 在点(x , y ) 可微，其中A ∆x +B ∆y 称为函数z =f (x , y ) 在点(x , y ) 的全微分，记作dz ，即dz =A ∆x +B ∆y ★讲解且过渡：对于二元函数可微的定义我们可以借助于一元函数的思想，这个概念比较重要，但是和一元函数中是有区别的，把他的概念和学生一块分析一遍，做到例题熟悉一下他的定义，
【例11】请讨论【例10】在(0,0) 的可微性
★讲解：由本题可以大致了解下对于二元函数可微、偏导数存在、连续之间的联系，下面我们得到了他们之间的关系
四．相互关系
●讲义内容
【定理4.5】：设函数z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处可微，那么z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处必然连续，并且两个偏导数均存在，并且
∆z =
∂z ∂x ∆x +
∂z ∂y ∆y +o
★讲解且过渡：对于多元函数来说，其连续和偏导数存在是没有联系的，这个实上面的例xy ⎧
, (x , y ) ≠(0,0) ⎪22
子我们已经做过介绍，其他例子诸如：f (x , y ) =⎨x +y 与
⎪0, (x , y ) =(0,0) ⎩
g (x , y ) =x +y 在(0,0) 处的连续性与偏导数，不是太难验证，现在要说明的是如果函数
可微，那么能否推出连续或者偏导数存在，下面进行一个简单的推导： 若可微因为
∆z =A ∆x +B ∆y +o 则lim
f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0)
∆x
=A （此时∆y =0），所以可偏导，
∆x →0
=lim
A ∆x +ο(∆x )
∆x
∆x →0
对y 类似证明，
又因为lim ∆z =0显然成立，所以lim f (x 0+∆x , y 0) =f (x 0, y 0) ，即证连续，
∆x →0
∆y →0
∆x →0∆y →0
反之，若函数可偏导或者连续能否推出可微呢？此时不需要举例，只需简单的逻辑推理即可，如果可偏导可以推出可微的话，那么也即可以推出连续，这与刚才的举例两者没有必然关系
是矛盾的，同理连续也是不能推出可微的, 证毕
那么有没有其他的条件可以推出可微，其实是存在的，即偏导数是连续的，就可以推出是可微的，但是对我们考研来说，此定理过于复杂，不需要掌握，只需了解即可，下面给出这个定理 ●讲义内容
【定理4.6】：如果函数z =f (x , y ) 的偏导函数
∂z ∂z
在(x , y ) 点连续，则函数在该点可微. ,
∂x ∂y
例题解析
1⎧22
(x +y ) sin , (x , y ) ≠(0,0) ⎪22
【例11】f (x , y ) =⎨讨论此函数在(0,0) 点的连续性，x +y
⎪0, (x , y ) =(0,0) ⎩
偏导性以及可微性
★讲解：
连续性的证明用到了无穷小量乘以有界量依然是无穷小量，偏导的话可以根据定义来说明
，
lim
可微的话用到了定义的充要条件即：
∆z -f x (x 0, y 0)∆x +f y (x 0, y 0)
∆y (∆x , ∆y )→(0,0)
=0，其实我们也是通过这个式子来研究二
元函数的可微性的。
五、方向导数与梯度（数一内容）
●讲义内容
【定义7】方向导数
设某一方向的单位向量为n =(cosα, cos β) ，则函数f (x ) 在(x 0, y 0) 点处沿着该方向的增量为f (x 0+t cos α, y 0+t cos β) -f (x 0, y 0), t >0，该方向的方向导数定义为
∂f ∂n
(x 0, y 0)
=lim +
t →0
f (x 0+t cos α, y 0+t cos β) -f (x 0, y 0)
t
【定理4.8】：如果函数f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点可微，则f (x , y ) 在该点的所有方向导数均存在，且有
∂f ∂n
(x 0, y 0)
=f x (x 0, y 0) cos α+f y (x 0, y 0) cos β，
其中n =(cosα, cos β) ，上述定理还可以推广到三维的情形：
∂f ∂n
(x 0, y 0, z 0)
=f x (x 0, y 0, z 0) cos α+f y (x 0, y 0, z 0) cos β+f z (x 0, y 0, z 0) cos γ
其中n =(cosα, cos β, cos γ)
★讲解且过渡：
针对方向导数的定义，理解起来可能比较难一点，在考研大纲里这块定义要求的不是太高，重要的是学会计算，但是要了解其定义，即
①t 取从右端趋于0，也就是说t 是大于零的（这是因为(cosα, cos β) 与
(-cos α, -cos β) 是两个不同的方向. 如果t 可以小于0的话，就无法区分这两个方向了）.
②二元函数的偏导数刻画的是当自变量沿坐标轴变化时函数的变化率. 方向导数是当自变量沿某一固定方向变化时函数的变化率.
如果不能理解其实也不要太着急，刚才已经说了要学会计算，并且题目都是在可微的情况下计算的，需要注意的是可微只是方向导数存在的充分条件，上述的定理式子一定要记号，推导如下：
∆z =A ∆x +B ∆y +o
=At cos α+B t cos β+ο(t )
=lim +
t →0
⇒lim
t →0
f (x 0+t cos α, y 0+t cos β) -f (x 0, y 0)
t
∆z t
+
=A cos α+B cos β
=f x '(x 0, y 0) cos α+f y '(x 0, y 0) cos β
●讲义内容
【定义8】函数f (x , y ) 在(x 0, y 0) 点的梯度定义为：
⎧∂f ∂f ⎫
grad f (x 0, y 0) =⎨, ⎬
∂x ∂y ⎩⎭
(x 0, y 0)
类似地，可以定义三元函数的梯度.
★讲解且过渡：
梯度其实就是个向量，那么梯度和方向导数有什么关系吗？ ●讲义内容
设f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处可微，l 为非零向量，且l ={cos α, cos β}是其单位向量，
则有
∂f ∂l
(x 0, y 0)
⎧∂f ∂f ⎫=⎨, ⎬
∂x ∂y ⎭⎩
(x 0, y 0)
⋅{cos α, cos β}
=grad f (x 0, y 0) ⋅l =grad f (x 0, y 0) cos θ
其中θ为grad f (x 0, y 0) 与l 的夹角
★讲解且过渡：
从梯度和方向导数的关系不难得到，梯度是函数方向导数最大的方向，也就是函数的变化率最大的方向，当然其反方向是变化率最小的方向，
例题解析
【例25】：函数u =ln(x +导数为 .
y +z ) 在A （1，0，1）处沿A 点指向B （3，-2，2）点方向
2
2
【例26】：计算函数u =xyz +x 2-2y 3+3z 2在点(2,3, 4) 沿从点A (3,4,1) 到点B (2,2, 2) 的方向的方向导数和梯度.