・４２・
重庆
《数学教学通讯｝２００２年第４期（总第１４９期）
再谈函数图像的对称性与周期性的性质
（四川省资阳外１３ｔ话－学校
６４１３０１）
周晓军
读了贵刊在１９９７年第２期陈飞新老师写的《关于周期性与奇偶性的若干性质》一文，颇受
启发，考虑到《新大纲》加强了对周期函数的教
一２ｍ）］一一ｆ（２ｍ—ｚ）＝一ｆ［ｍ＋（撒一ｚ）］＝ｆ［ｍ一（埘一ｚ）］亍厂（ｚ）．
所以（１）成立．
学要求，深刻探索图像的对称性与周期性的关系
就显得很有必要．下面补充谈几个性质：（原文的几条性质此处从略）
性质ｌ：设函数Ｙ一厂（ｚ）的定义域为Ｒ，ｆ（ｍ＋ｚ）＝一ｆ（ｍ—ｚ）的充要条件是函数
（２）由（１）知２ｍ是它的一个周期，所以
，（一ｚ）＝ｆ（２ｍ—ｚ）＝一厂（ｍ一班＋ｚ）一＼一厂（ｚ）．所以厂（ｚ）是奇函数．
性质３：设定义域为Ｒ的函数厂（ｚ）的图像有对称中心（刀，ｏ），对称中心（７，ｌ，ｏ）（以≠ｍ），
则：（１）厂（ｚ）是周期函数，２（ｎ—ｍ）是它的一个周期．
，（ｚ）的图像关于（优，ｏ）对称．（证明略）
性质２：设定义域为Ｒ的函数，（ｚ）的图像
有对称轴ｚ＝九，对称中心（优，Ｏ）（以≠ｍ），则（１）厂（ｚ）是周期函数，４（力一ｍ）是它的一个周期．
（２）当行＝喜优或以＝百ｍ时，厂（ｚ）是奇函
‘．
厶
数．
（２）当，ｌ＝要疣或咒＝导时，厂（ｚ）是奇函
‘
厶
其证明类似性质２．（略）．
以上几条性质进一步揭示当函数图像关于
特殊直线或点对称时，函数具备的周期性．非三
数．
证明：（１）｛珥为，（ｚ）的对称轴ｚ＝，ｌ，所以ｆ（ｎ＋ｚ）一ｆ（ｎ—ｚ）．又厂（Ｔ）有对称中心（，，２，Ｏ），所以ｆ（ｍ＋ｚ）＝一ｆ（ｍ—ｚ）．
角函数的周期问题历来是中学数学中的一个难点，通过探讨函数图像的对称性与周期性的关
系，不仅可以让学生理解图像的几何关系与函数
所以／［４（咒一７咒）十ｚ］＝ｆｉｎ＋（３ｎ一４ｍ＋ｚ）］＝ｆＥＮ一（３ｎ一４ｍ＋ｚ）］＝ｆ［（４ｍ一
２咒一ｚ）］＝ｆｉｒｅ＋（３ｍ一２以一ｚ）］一一ｆｅｒｎ
的数量关系的辩证统一，明确形结构与式结构的结合、迁移、转化的奥妙，而且可开拓学生的视野，由题及类，培养其抽象思维，丰富其对周期函数的认识，优化他们的思维品质．
数推理能力是高考试题很突出的特点．还需提高
数学符号语言的阅读理解及运用能力．
一
一（３ｍ一２肛一ｚ）］＝一ｆ（２ｎ＋ｚ一２ｍ）＝一ｆ［ｎ十（ｎ＋ｚ一２，７ｚ）］＝一ｆｉｎ一（，２十ｚ
１ｒ］’—广１—ｒＴ‘ｒ１—＿Ｔ丫１—１—＇—一『—Ｔ—ｒ—ｒ—ｒ●广１吖１—１—＇『—ｒ—ｒ—ｒ］广．‘ｒ１—１—Ｔ—丫—ｒ—ｒ１●１—ｒ１广１—１—了—’ｒ．１丫。
３
复习对策
根据以上的分析及目前高考试题的特点，在复习中应注意以下问题
（１）扎实的基础是根本．
（４）属于考试要求之内但教学复习中的弱
点需要针对性的弥补．
（５）锻炼自己“处变不惊”的能力．
处变不惊，反映了一个人优秀的素质．高考试题中，常常有一看到就会使你发慌的新问题．你若能沉着、冷静，仔细地分析，胜利就属于你．
（２）深刻理解不等式几种基本证明方法的
实质，并能自如地运用．
（３）加强代数推理论证能力的训练．考查代万方数据
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重庆
《数学教学通讯｝２００２年第４期（总第１４９期）
再谈函数图像的对称性与周期性的性质
（四川省资阳外１３ｔ话－学校
６４１３０１）
周晓军
读了贵刊在１９９７年第２期陈飞新老师写的《关于周期性与奇偶性的若干性质》一文，颇受
启发，考虑到《新大纲》加强了对周期函数的教
一２ｍ）］一一ｆ（２ｍ—ｚ）＝一ｆ［ｍ＋（撒一ｚ）］＝ｆ［ｍ一（埘一ｚ）］亍厂（ｚ）．
所以（１）成立．
学要求，深刻探索图像的对称性与周期性的关系
就显得很有必要．下面补充谈几个性质：（原文的几条性质此处从略）
性质ｌ：设函数Ｙ一厂（ｚ）的定义域为Ｒ，ｆ（ｍ＋ｚ）＝一ｆ（ｍ—ｚ）的充要条件是函数
（２）由（１）知２ｍ是它的一个周期，所以
，（一ｚ）＝ｆ（２ｍ—ｚ）＝一厂（ｍ一班＋ｚ）一＼一厂（ｚ）．所以厂（ｚ）是奇函数．
性质３：设定义域为Ｒ的函数厂（ｚ）的图像有对称中心（刀，ｏ），对称中心（７，ｌ，ｏ）（以≠ｍ），
则：（１）厂（ｚ）是周期函数，２（ｎ—ｍ）是它的一个周期．
，（ｚ）的图像关于（优，ｏ）对称．（证明略）
性质２：设定义域为Ｒ的函数，（ｚ）的图像
有对称轴ｚ＝九，对称中心（优，Ｏ）（以≠ｍ），则（１）厂（ｚ）是周期函数，４（力一ｍ）是它的一个周期．
（２）当行＝喜优或以＝百ｍ时，厂（ｚ）是奇函
‘．
厶
数．
（２）当，ｌ＝要疣或咒＝导时，厂（ｚ）是奇函
‘
厶
其证明类似性质２．（略）．
以上几条性质进一步揭示当函数图像关于
特殊直线或点对称时，函数具备的周期性．非三
数．
证明：（１）｛珥为，（ｚ）的对称轴ｚ＝，ｌ，所以ｆ（ｎ＋ｚ）一ｆ（ｎ—ｚ）．又厂（Ｔ）有对称中心（，，２，Ｏ），所以ｆ（ｍ＋ｚ）＝一ｆ（ｍ—ｚ）．
角函数的周期问题历来是中学数学中的一个难点，通过探讨函数图像的对称性与周期性的关
系，不仅可以让学生理解图像的几何关系与函数
所以／［４（咒一７咒）十ｚ］＝ｆｉｎ＋（３ｎ一４ｍ＋ｚ）］＝ｆＥＮ一（３ｎ一４ｍ＋ｚ）］＝ｆ［（４ｍ一
２咒一ｚ）］＝ｆｉｒｅ＋（３ｍ一２以一ｚ）］一一ｆｅｒｎ
的数量关系的辩证统一，明确形结构与式结构的结合、迁移、转化的奥妙，而且可开拓学生的视野，由题及类，培养其抽象思维，丰富其对周期函数的认识，优化他们的思维品质．
数推理能力是高考试题很突出的特点．还需提高
数学符号语言的阅读理解及运用能力．
一
一（３ｍ一２肛一ｚ）］＝一ｆ（２ｎ＋ｚ一２ｍ）＝一ｆ［ｎ十（ｎ＋ｚ一２，７ｚ）］＝一ｆｉｎ一（，２十ｚ
１ｒ］’—广１—ｒＴ‘ｒ１—＿Ｔ丫１—１—＇—一『—Ｔ—ｒ—ｒ—ｒ●广１吖１—１—＇『—ｒ—ｒ—ｒ］广．‘ｒ１—１—Ｔ—丫—ｒ—ｒ１●１—ｒ１广１—１—了—’ｒ．１丫。
３
复习对策
根据以上的分析及目前高考试题的特点，在复习中应注意以下问题
（１）扎实的基础是根本．
（４）属于考试要求之内但教学复习中的弱
点需要针对性的弥补．
（５）锻炼自己“处变不惊”的能力．
处变不惊，反映了一个人优秀的素质．高考试题中，常常有一看到就会使你发慌的新问题．你若能沉着、冷静，仔细地分析，胜利就属于你．
（２）深刻理解不等式几种基本证明方法的
实质，并能自如地运用．
（３）加强代数推理论证能力的训练．考查代万方数据