函数y =A sin (ωx +ϕ)的性质及应用
学习目标
1. 掌握正弦型函数y =A sin (ωx +ϕ)的性质
2. 会求正弦型函数的值域，对称轴，对称中心，周期，单调区间。
3. 能解决简单的综合问题。
函数y =A sin (ωx +ϕ)的性质及应用
一．函数y =A sin (ωx +ϕ)的性质与应用
1. 函数y =A sin (ωx +ϕ)的周期性
⎡π⎤【例1】下列函数中，在⎢0, ⎥内递增且以π为最小正周期的函数是（ ） ⎣2⎦
A. y =sin x B. y =tan 2x C. y =sin 2x D. y =cos 4x
【例2】求下列函数的最小正周期：
π⎫⎛3⎫⎛（1）y =2sin 3x +⎪；（2）y =cos π+x ⎪；（3）y =sin x +1 4⎭⎝2⎭⎝
2. 函数y =A sin (ωx +ϕ)的奇偶性、对称性、对称中心
5π⎛【例3】函数y =sin 2x +2⎝⎫⎪的图象的一条对称轴方程是（ ） ⎭
A. x =-π
2 B. x =-π
4 C. x =π5 D. x =π 84
1π【例4】函数y =2x +) 的一个对称中心是（ ） 23
2ππ5ππA ．(, 0) B. (, 0) C.(-, 0) D.(, 0) 3333
3. 函数y =A sin (ωx +ϕ)的最值与值域
π⎫⎛⎡π⎤【例5. 】已知函数f (x )=2a sin 2x -⎪+b 的定义域为⎢0, ⎥，函数的最大值为1，最小值3⎭⎝⎣2⎦
为-5，求a 、b 的值.
4. 函数y =A sin (ωx +ϕ)的单调性
π⎫⎛【例6. 】已知：函数f (x )=2sin 2x +⎪，x ∈R 6⎭⎝
（1）求函数f (x )的单调增区间；
⎡π3⎤（2）当x ∈⎢, π⎥时，求f (x )的值域. ⎣44⎦
5, 奇偶性
y =3sin(2x +ϕ) （0
π【例7】已知函数f (x ) ＝A sin(ωx ＋φ) ，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜的图象与x 2
轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
(1)求f (x ) 的解析式；
（2）求 f(x ) 的周期
⎡ππ⎤(3)当x ∈⎢，⎥时，求f (x ) 的值域． ⎣122⎦
π⎛2π⎫2⎪. M 2⎝3⎭
⎛π⎫【例9】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0) 的图象过点P ，0⎪，图象上与点P 最⎝12⎭
⎛π⎫近的一个最高点是Q ，5⎪. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x ) 的递增区间． ⎝3⎭
一、选择题
π⎫⎛1．将函数y =sin 6x +⎪的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所4⎭⎝
得函数的图象向右平行移动
⎛π⎫A. , 0⎪ ⎝2⎭⎛π⎫B. , 0⎪ ⎝4⎭π个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是 8 ⎛π⎫C. , 0⎪ ⎝9⎭ ⎛π⎫D. , 0⎪ ⎝16⎭
4π2．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ) 的图象关于点(0) 3
中心对称，那么|φ|的最小值为 （ ）
A. ππππ 6432
π)(x ∈R，ω>0)的最小43．(2009·天津高考) 已知函数f (x ) ＝sin(ωx ＋
正周期为π，为了得到函数g (x ) ＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x ) 的图象 （ ）
ππA ．向左平移 B．向右平移个单位长度 88
ππC ．向左平移 D．向右平移个单位长度 44
4. 设函数f (x ) =cos ωx (ω＞0) ，将y =f (x ) 的图像向右平移
原图像重合，则ω的最小值等于 π个单位长度后，所得的图像与3
1A ． B. 3 C. 6 D. 9 3
ππ5. 若函数f (x ) ＝2sin(x ＋) ，0≤x ＜，则f (x ) 的最大值为 ( ) 62
A ．1 B．2 C.3＋3＋2
[0, π]y =sin(2x +) 6. 函数在区间 内的一个单调递减区间是（ ） 3π7π5π5π11πππ[0, ][, ][, ][, ][1**********]2
17. 若将函数y =2sin(x +ϕ) 的图像上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 再3π
向右平移
ππ个单位后得到的图像关于点(,0) 对称，则ϕ的最小值是（ ）
43
A.πππ3π B. C. D. 4324
8. 已知函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ), x ∈R ，其中ω>0, -π
π2时，f (x ) 取得最大值，则 （ ） A ．f (x ) 在区间[-2π,0]上是增函数 C ．f (x ) 在区间[3π,5π]上是减函数 B ．f (x ) 在区间[-3π, -π]上是增函数 D ．f (x ) 在区间[4π,6π]上是减函数
9. ．关于函数f (x ) ＝sin(2x －π) ，有下列命题 4
ππ) ；②直线x ＝－是f (x ) 图象的一条对称轴； 48
π个单位得到； 4①其表达式可写成f (x ) ＝cos(2x ＋③f (x ) 的图象可由g (x ) ＝sin2x 的图象向右平移
④存在α∈(0，π) ，使f (x ＋α) ＝f (x ＋3α) 恒成立．则其中真命题为 ( )
A ．②③ B．①② C．②④ D．③④
10.
将函数y =x +sin x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.
π
B. π
C. π
D. 5π
则ϕ的一个可能取值为
二、填空题
12. 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) ＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是
＝π，直线x 2ππA ＞0，ω＞0,0＜φ＜____________． 32
πx 的图象位于y 轴右侧的所有的对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，…，2
13. 设函数y ＝cos
则A 50的坐标是________．
三、解答题
π314. 已知函数f (x ) ＝sin(2ωx ＋) ＋x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为62
π6
(1)求ω；
(2)若将函数f (x ) 的图象向右平移π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的6
4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x ) 的图象，求函数g (x ) 的最大值及单调递减区间．
15. 已知函数f (x ) =2sin(2x +π
6)
（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期：
⎡ππ⎤（Ⅱ）求f (x ) 在区间⎢-, ⎥上的最大值和最小值. ⎣64⎦
函数y =A sin (ωx +ϕ)的性质及应用
学习目标
1. 掌握正弦型函数y =A sin (ωx +ϕ)的性质
2. 会求正弦型函数的值域，对称轴，对称中心，周期，单调区间。
3. 能解决简单的综合问题。
函数y =A sin (ωx +ϕ)的性质及应用
一．函数y =A sin (ωx +ϕ)的性质与应用
1. 函数y =A sin (ωx +ϕ)的周期性
⎡π⎤【例1】下列函数中，在⎢0, ⎥内递增且以π为最小正周期的函数是（ ） ⎣2⎦
A. y =sin x B. y =tan 2x C. y =sin 2x D. y =cos 4x
【例2】求下列函数的最小正周期：
π⎫⎛3⎫⎛（1）y =2sin 3x +⎪；（2）y =cos π+x ⎪；（3）y =sin x +1 4⎭⎝2⎭⎝
2. 函数y =A sin (ωx +ϕ)的奇偶性、对称性、对称中心
5π⎛【例3】函数y =sin 2x +2⎝⎫⎪的图象的一条对称轴方程是（ ） ⎭
A. x =-π
2 B. x =-π
4 C. x =π5 D. x =π 84
1π【例4】函数y =2x +) 的一个对称中心是（ ） 23
2ππ5ππA ．(, 0) B. (, 0) C.(-, 0) D.(, 0) 3333
3. 函数y =A sin (ωx +ϕ)的最值与值域
π⎫⎛⎡π⎤【例5. 】已知函数f (x )=2a sin 2x -⎪+b 的定义域为⎢0, ⎥，函数的最大值为1，最小值3⎭⎝⎣2⎦
为-5，求a 、b 的值.
4. 函数y =A sin (ωx +ϕ)的单调性
π⎫⎛【例6. 】已知：函数f (x )=2sin 2x +⎪，x ∈R 6⎭⎝
（1）求函数f (x )的单调增区间；
⎡π3⎤（2）当x ∈⎢, π⎥时，求f (x )的值域. ⎣44⎦
5, 奇偶性
y =3sin(2x +ϕ) （0
π【例7】已知函数f (x ) ＝A sin(ωx ＋φ) ，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜的图象与x 2
轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
(1)求f (x ) 的解析式；
（2）求 f(x ) 的周期
⎡ππ⎤(3)当x ∈⎢，⎥时，求f (x ) 的值域． ⎣122⎦
π⎛2π⎫2⎪. M 2⎝3⎭
⎛π⎫【例9】已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0) 的图象过点P ，0⎪，图象上与点P 最⎝12⎭
⎛π⎫近的一个最高点是Q ，5⎪. (1)求函数的解析式； (2)求函数f (x ) 的递增区间． ⎝3⎭
一、选择题
π⎫⎛1．将函数y =sin 6x +⎪的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所4⎭⎝
得函数的图象向右平行移动
⎛π⎫A. , 0⎪ ⎝2⎭⎛π⎫B. , 0⎪ ⎝4⎭π个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是 8 ⎛π⎫C. , 0⎪ ⎝9⎭ ⎛π⎫D. , 0⎪ ⎝16⎭
4π2．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ) 的图象关于点(0) 3
中心对称，那么|φ|的最小值为 （ ）
A. ππππ 6432
π)(x ∈R，ω>0)的最小43．(2009·天津高考) 已知函数f (x ) ＝sin(ωx ＋
正周期为π，为了得到函数g (x ) ＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x ) 的图象 （ ）
ππA ．向左平移 B．向右平移个单位长度 88
ππC ．向左平移 D．向右平移个单位长度 44
4. 设函数f (x ) =cos ωx (ω＞0) ，将y =f (x ) 的图像向右平移
原图像重合，则ω的最小值等于 π个单位长度后，所得的图像与3
1A ． B. 3 C. 6 D. 9 3
ππ5. 若函数f (x ) ＝2sin(x ＋) ，0≤x ＜，则f (x ) 的最大值为 ( ) 62
A ．1 B．2 C.3＋3＋2
[0, π]y =sin(2x +) 6. 函数在区间 内的一个单调递减区间是（ ） 3π7π5π5π11πππ[0, ][, ][, ][, ][1**********]2
17. 若将函数y =2sin(x +ϕ) 的图像上每个点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）， 再3π
向右平移
ππ个单位后得到的图像关于点(,0) 对称，则ϕ的最小值是（ ）
43
A.πππ3π B. C. D. 4324
8. 已知函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ), x ∈R ，其中ω>0, -π
π2时，f (x ) 取得最大值，则 （ ） A ．f (x ) 在区间[-2π,0]上是增函数 C ．f (x ) 在区间[3π,5π]上是减函数 B ．f (x ) 在区间[-3π, -π]上是增函数 D ．f (x ) 在区间[4π,6π]上是减函数
9. ．关于函数f (x ) ＝sin(2x －π) ，有下列命题 4
ππ) ；②直线x ＝－是f (x ) 图象的一条对称轴； 48
π个单位得到； 4①其表达式可写成f (x ) ＝cos(2x ＋③f (x ) 的图象可由g (x ) ＝sin2x 的图象向右平移
④存在α∈(0，π) ，使f (x ＋α) ＝f (x ＋3α) 恒成立．则其中真命题为 ( )
A ．②③ B．①② C．②④ D．③④
10.
将函数y =x +sin x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.
π
B. π
C. π
D. 5π
则ϕ的一个可能取值为
二、填空题
12. 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) ＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是
＝π，直线x 2ππA ＞0，ω＞0,0＜φ＜____________． 32
πx 的图象位于y 轴右侧的所有的对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，…，2
13. 设函数y ＝cos
则A 50的坐标是________．
三、解答题
π314. 已知函数f (x ) ＝sin(2ωx ＋) ＋x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为62
π6
(1)求ω；
(2)若将函数f (x ) 的图象向右平移π个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的6
4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x ) 的图象，求函数g (x ) 的最大值及单调递减区间．
15. 已知函数f (x ) =2sin(2x +π
6)
（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期：
⎡ππ⎤（Ⅱ）求f (x ) 在区间⎢-, ⎥上的最大值和最小值. ⎣64⎦