函数的奇偶性
一． 函数按奇偶性分类
１． 奇函数
２． 偶函数
３． 非奇非偶函数
４． 既奇且偶函数 y = 0 (定义域关于原点对称即可)
二． 判断函数奇偶性的方法
１． 图像法
奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y 轴对称．反之，也真．
因此，可利用函数图像的对称性来判断其奇偶性。
２． 定义法
注意：⑴奇偶性是对整个定义域而言，是函数的一个整体性质．
⑵函数y = f(x)的定义域关于原点对称是y 为奇（偶）函数的必要条件。所以，在判断一个函数的奇偶性时，若它的定义域不关于原点对称，则此函数是非奇非偶函数．
例：f(x)=（1+x）-x 1+x
答案：∵-1
例：f(x)=1+sin x -cos x 1+sin x +cos x
答案：∵1+sinx+cosx≠0 ∴x ≠2k π+π且x ≠2k π-
是非奇非偶函数．
⑶定义的等价形式
f(-x) = - f(x) ⇔ f(-x)+ f(x) = 0 ⇔ π定义域不关于原点对称 ∴f(x)2f (-x ) =-1 (f(x)≠0) f (x )
f(-x) = f(x) ⇔ f(-x)- f(x) = 0 ⇔ f (-x ) =1 (f(x)≠0) f (x )
例：f(x)=11+ e x -12
x x + （a>0，且a ≠1） x a -12答案：奇函数 例：f(x)=
答案：偶函数
⑷有些函数须变形化简后，再加以判断，不能只看表面形式
-x 2
例：f(x)= x +2-2
-x 2
答案：∵-1≤x ≤1且x ≠0 ∴f(x)= ∴f(x)是奇函数． x
例：f(x)=lg(+x 2-x )
答案：奇函数
例: f(x)=x 2+|x -a |+1
答案：定义域为R
当a=0时，f(x)=x 2+|x |+1，为偶函数
当a ≠0时，f(a)=a +1, f(-a)=a 2+2|a |+1
故f(a)≠f(-a), 故f(a)≠f(-a)
∴f(x)是非奇非偶函数．
例：f(x)=2 x ⎧⎪e -1⎨-x ⎪⎩1-e x ≥0x
x 答案：对任意x>0,-x
-x 对任意x0, f(-x)=e-1 = -f(x)
又 f(0)=0
∴f(x)是奇函数．
三. 抽象函数的奇偶性
例：已知f(x)对x ，y ∈Ｒ，都有f(x+y)=f(x)+f(y).判断f(x)的奇偶性．
答案：由典型函数y=kx猜测f(x)是奇函数．
(注意:只能由典型函数推测, 但不能用来作为证明)
证明: 令x=y=0,得f(0)=0
令x=-y,则f(x)+ f(-x)= f(0)=0
∴f(x)是奇函数．
例:已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数, 且对x ，y ∈Ｒ，都有f (x ⋅y ) =y ⋅f (x ) +x ⋅f (y ) . ⑴求 f(1) 、f(-1)的值
⑵判断f(x)的奇偶性．
答案：令x=y=1，得f(1)＝０
令x=y=－1，得f(－1) ＝０
令y=－1，得f (-x ) =-f (x ) +xf (-1) =-f (x ) ∴ f(x)是奇函数．
四．函数奇偶性的应用
１．定义域具有对称性
例：设2a
２．奇函数：f (－x) ＝－f (x)
偶函数： f (－x) ＝f (x)＝f (｜x ｜)
例：已知f (x)＝x 3 + m x － tanx ＋２，若f (n)＝５，则f (－n) ＝_______
x +ax 是偶函数，则a ＝_________ 1-2x
1 答案：采用特殊值法，由f (1)＝f (－1) 可得a ＝- 2例：若函数f (x)＝
例：已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥０时，f (x ) =x 2-2x ，求f(x)在Ｒ上的表达式 答案：当x0 ,
f (x ) =-f (-x ) =-[(-x ) 2-2(-x )]=-x 2-2x
2⎧⎪x -2x ∴ f(x)＝⎨2⎪⎩-x -2x x ≥0x
例：设定义在［－２，２］上的偶函数f (x)在区间［０，２］上单调递减，若f (１－m)
３．若奇函数f (x)的定义域中有０，则f (0 )=0
例：f (x)是定义在Ｒ上的奇函数，且f (x－2) ＝f (x＋3) ，f (－4) ＝１，则f (2004)＋f (2005)=____ ４．两个奇（偶）函数的和、差都是奇（偶）函数（和、差均不为零）
一奇一偶两函数的和、差为非奇非偶函数
奇偶性相同的两函数的积（商）为偶函数（分母不为零）
奇偶性不同的两函数的积（商）为奇函数（分母不为零）
例：若f (x)＝sin k x+cox k+1x (k∈z) 为偶函数，则判断g (x)＝tan k+1x 的奇偶性如何．
例：Ｆ（x ）＝ ln 1+x f (x) 是偶函数，且f (x)不恒为０，判断f (x) 奇偶性 1-x
５．复合函数y = f [g (x) ]
若g (x)是奇函数，则y 与f (u)的奇偶性相同
若g (x)是偶函数，则y 一定是偶函数
例：已知定义在Ｒ上的函数f (x)和g (x)分别是奇函数和偶函数，那么函数f [f (x) ]、 f [g (x) ]、 g
[g (x)] 、g [f (x) ] 的奇偶性分别是________________
６．一次函数f (x) = kx + b (k≠0) 是奇函数⇔b=0
二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0) 为偶函数⇔b=0
例：若f (x) = ax2 + bx + c (a≠0) 为偶函数，求g (x) = ax3 + cx +b的奇偶性
五．综合题
例：已知函数f (x)满足f (x +1) =1，且f (x) 为偶函数，当x ∈［３，４］时，f (x) ＝log 3x ，求f (x )
当x ∈［－１，１］时，f (x)的解析式
答案：Ｔ＝２ 当x ∈［－１，0］时，x+4∈［３，４］，f (x)＝f (x＋４) ＝log 3(x +4) 当x ∈［０，１］时，－x ∈［－１，0］，f (x)＝f (－x) ＝log 3(-x +4)
函数的对称性和周期性
函数的对称性是对整个定义域而言，是函数的一个整体性质
1．一个函数的对称轴
若函数y = f (x)恒满足f (m + x) = f (m－x) ，（m 为常数）则它的图像关于直线x = m对称 若函数y = f (x)恒满足f (２m －x) = f (x)，（m 为常数）则它的图像关于直线x = m对称
特殊地，当m=0时，函数y = f (x)恒满足f (－x) = f (x)，即f (x)是偶函数，图像关于y 轴对称 若函数y = f (x)恒满足f (a + x) = f (b－x) ，（a ，b 为常数）则y = f (x)的图像关于直线x =a +b
2
对称
例：设函数f (x)满足条件f (x) = f (2－x) ，(x∈R) ，当x>1时，f (x)是增函数，则a = f(0)，b = f (log21) ，c = f (π) 的大小关系是__________ 4
例：已知f (x)为偶函数，当－１≤x
例：已知函数y = f (x)的图像关于直线x = 1对称，且x ≤1时函数解析式为y = x 2 + 1，求x ≥1时函数的解析式．
例：已知函数y = f (x)在其定义域上满足f (4 + x) = f (4－x) 且f (x) = 0有且只有６个不同的根，求这６个根的和．
例：已知函数y = sin2x +acos2x (a≠0) 的图像关于直线x ＝－π对称，a ＝ ______ 8
2． y = f (|x|) 的图像是去掉y 轴左侧部分，将y 轴右侧图像沿着y 轴翻折得到，它一定是偶函数 y = f (|x－b|)的对称轴是x ＝b ，是由y = f (|x|)左右平移得到的
例：画出y = x2－2|x|－１的图像
例：函数y = ３| x – b |是偶函数，则b=_____
例：函数y = log a |ax－1| (a>0且a ≠1) 的图像关于直线x = 2 对称，则a 等于______
例：若函数f (x)＝a|x－b|+2在[0, +∞)上为增函数，求实数a 、b 的取值范围
答案：显然a ≠0 f (x) 的对称轴是x ＝b ，所以b ≤0，又由单调性知a>0
3．若一个函数关于点（a ，b ）对称，则f (a－x) －b ＝b －f (a＋x) ，即f (a－x) + f (a＋x) = 2b 若一个函数关于点（a ，0）对称，则f (a－x) ＝－f (a＋x) ，即f (a－x) + f (a＋x) = 0
特殊地，若一个函数关于点（０，０）对称，则f (－x) ＝－f (x)，即f (－x) + f (x) =０，即此函数为奇函数，图像关于原点对称
例：f (x+3)为奇函数，可得到函数f (x ) 的什么性质
例：函数y = 1-2x 的图像的对称中心的坐标是___________，渐近线方程为__________ x +1
1-2x 3（y = =-2+） x +1x +1
例：已知定义域为R 的函数f (x)满足f (—x) = —f (x+4)，且当x>2时，f (x)单调递增，如果x 1+x2
Ａ．恒小于０ Ｂ．恒大于０
Ｃ．可能为０ Ｄ．可正可负
答案：Ａ 数形结合 由f (—x) = —f (x+4)知中心为：（２，０）
４．周期性
f (x+T) = f (x) 周期：T
f (x+T) = －f (x) f (x+T) =11 f (x+T) =- 周期：２T f (x ) f (x )
f (x+T) = f (x－T) 周期：２T
f (x+T) = －f (x－T) 周期：４T
⎧f (a +x ) =f (a -x ) 周期： ２(b-a） ⎨⎩f (b +x ) =f (b -x )
⎧f (a +x ) =f (a -x ) 特殊地， ⎨周期： ２a f (x ) 是偶函数⎩
⎧f (a +x ) =-f (a -x ) 周期： ２(b-a） ⎨⎩f (b +x ) =-f (b -x )
⎧f (a +x ) =-f (a -x ) 特殊地， ⎨周期： ２a f (x ) 是奇函数⎩
⎧f (a +x ) =f (a -x ) 周期： ４(b－a ） ⎨⎩f (b +x ) =-f (b -x )
例：偶函数定义域为Ｒ，恒满足f (2+x) = f (2－x) ．已知x ∈[－２，２]时，f (x) =－x 2 + 1．求当x ∈[－６，－２]时，f (x)的表达式．
例：已知f (x ) 是R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x +6)=f (x )+f (3)成立，若f (1)=2，则f (2005)等于（ ）
A ．2005 B ．2 C ．1 D ．0
答案：B
令x=－３，由题意则有f (3)＝f (－3) ＝０，所以f (x +6)=f (x ) ，６是一个周期
函数的奇偶性
一． 函数按奇偶性分类
１． 奇函数
２． 偶函数
３． 非奇非偶函数
４． 既奇且偶函数 y = 0 (定义域关于原点对称即可)
二． 判断函数奇偶性的方法
１． 图像法
奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y 轴对称．反之，也真．
因此，可利用函数图像的对称性来判断其奇偶性。
２． 定义法
注意：⑴奇偶性是对整个定义域而言，是函数的一个整体性质．
⑵函数y = f(x)的定义域关于原点对称是y 为奇（偶）函数的必要条件。所以，在判断一个函数的奇偶性时，若它的定义域不关于原点对称，则此函数是非奇非偶函数．
例：f(x)=（1+x）-x 1+x
答案：∵-1
例：f(x)=1+sin x -cos x 1+sin x +cos x
答案：∵1+sinx+cosx≠0 ∴x ≠2k π+π且x ≠2k π-
是非奇非偶函数．
⑶定义的等价形式
f(-x) = - f(x) ⇔ f(-x)+ f(x) = 0 ⇔ π定义域不关于原点对称 ∴f(x)2f (-x ) =-1 (f(x)≠0) f (x )
f(-x) = f(x) ⇔ f(-x)- f(x) = 0 ⇔ f (-x ) =1 (f(x)≠0) f (x )
例：f(x)=11+ e x -12
x x + （a>0，且a ≠1） x a -12答案：奇函数 例：f(x)=
答案：偶函数
⑷有些函数须变形化简后，再加以判断，不能只看表面形式
-x 2
例：f(x)= x +2-2
-x 2
答案：∵-1≤x ≤1且x ≠0 ∴f(x)= ∴f(x)是奇函数． x
例：f(x)=lg(+x 2-x )
答案：奇函数
例: f(x)=x 2+|x -a |+1
答案：定义域为R
当a=0时，f(x)=x 2+|x |+1，为偶函数
当a ≠0时，f(a)=a +1, f(-a)=a 2+2|a |+1
故f(a)≠f(-a), 故f(a)≠f(-a)
∴f(x)是非奇非偶函数．
例：f(x)=2 x ⎧⎪e -1⎨-x ⎪⎩1-e x ≥0x
x 答案：对任意x>0,-x
-x 对任意x0, f(-x)=e-1 = -f(x)
又 f(0)=0
∴f(x)是奇函数．
三. 抽象函数的奇偶性
例：已知f(x)对x ，y ∈Ｒ，都有f(x+y)=f(x)+f(y).判断f(x)的奇偶性．
答案：由典型函数y=kx猜测f(x)是奇函数．
(注意:只能由典型函数推测, 但不能用来作为证明)
证明: 令x=y=0,得f(0)=0
令x=-y,则f(x)+ f(-x)= f(0)=0
∴f(x)是奇函数．
例:已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数, 且对x ，y ∈Ｒ，都有f (x ⋅y ) =y ⋅f (x ) +x ⋅f (y ) . ⑴求 f(1) 、f(-1)的值
⑵判断f(x)的奇偶性．
答案：令x=y=1，得f(1)＝０
令x=y=－1，得f(－1) ＝０
令y=－1，得f (-x ) =-f (x ) +xf (-1) =-f (x ) ∴ f(x)是奇函数．
四．函数奇偶性的应用
１．定义域具有对称性
例：设2a
２．奇函数：f (－x) ＝－f (x)
偶函数： f (－x) ＝f (x)＝f (｜x ｜)
例：已知f (x)＝x 3 + m x － tanx ＋２，若f (n)＝５，则f (－n) ＝_______
x +ax 是偶函数，则a ＝_________ 1-2x
1 答案：采用特殊值法，由f (1)＝f (－1) 可得a ＝- 2例：若函数f (x)＝
例：已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥０时，f (x ) =x 2-2x ，求f(x)在Ｒ上的表达式 答案：当x0 ,
f (x ) =-f (-x ) =-[(-x ) 2-2(-x )]=-x 2-2x
2⎧⎪x -2x ∴ f(x)＝⎨2⎪⎩-x -2x x ≥0x
例：设定义在［－２，２］上的偶函数f (x)在区间［０，２］上单调递减，若f (１－m)
３．若奇函数f (x)的定义域中有０，则f (0 )=0
例：f (x)是定义在Ｒ上的奇函数，且f (x－2) ＝f (x＋3) ，f (－4) ＝１，则f (2004)＋f (2005)=____ ４．两个奇（偶）函数的和、差都是奇（偶）函数（和、差均不为零）
一奇一偶两函数的和、差为非奇非偶函数
奇偶性相同的两函数的积（商）为偶函数（分母不为零）
奇偶性不同的两函数的积（商）为奇函数（分母不为零）
例：若f (x)＝sin k x+cox k+1x (k∈z) 为偶函数，则判断g (x)＝tan k+1x 的奇偶性如何．
例：Ｆ（x ）＝ ln 1+x f (x) 是偶函数，且f (x)不恒为０，判断f (x) 奇偶性 1-x
５．复合函数y = f [g (x) ]
若g (x)是奇函数，则y 与f (u)的奇偶性相同
若g (x)是偶函数，则y 一定是偶函数
例：已知定义在Ｒ上的函数f (x)和g (x)分别是奇函数和偶函数，那么函数f [f (x) ]、 f [g (x) ]、 g
[g (x)] 、g [f (x) ] 的奇偶性分别是________________
６．一次函数f (x) = kx + b (k≠0) 是奇函数⇔b=0
二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0) 为偶函数⇔b=0
例：若f (x) = ax2 + bx + c (a≠0) 为偶函数，求g (x) = ax3 + cx +b的奇偶性
五．综合题
例：已知函数f (x)满足f (x +1) =1，且f (x) 为偶函数，当x ∈［３，４］时，f (x) ＝log 3x ，求f (x )
当x ∈［－１，１］时，f (x)的解析式
答案：Ｔ＝２ 当x ∈［－１，0］时，x+4∈［３，４］，f (x)＝f (x＋４) ＝log 3(x +4) 当x ∈［０，１］时，－x ∈［－１，0］，f (x)＝f (－x) ＝log 3(-x +4)
函数的对称性和周期性
函数的对称性是对整个定义域而言，是函数的一个整体性质
1．一个函数的对称轴
若函数y = f (x)恒满足f (m + x) = f (m－x) ，（m 为常数）则它的图像关于直线x = m对称 若函数y = f (x)恒满足f (２m －x) = f (x)，（m 为常数）则它的图像关于直线x = m对称
特殊地，当m=0时，函数y = f (x)恒满足f (－x) = f (x)，即f (x)是偶函数，图像关于y 轴对称 若函数y = f (x)恒满足f (a + x) = f (b－x) ，（a ，b 为常数）则y = f (x)的图像关于直线x =a +b
2
对称
例：设函数f (x)满足条件f (x) = f (2－x) ，(x∈R) ，当x>1时，f (x)是增函数，则a = f(0)，b = f (log21) ，c = f (π) 的大小关系是__________ 4
例：已知f (x)为偶函数，当－１≤x
例：已知函数y = f (x)的图像关于直线x = 1对称，且x ≤1时函数解析式为y = x 2 + 1，求x ≥1时函数的解析式．
例：已知函数y = f (x)在其定义域上满足f (4 + x) = f (4－x) 且f (x) = 0有且只有６个不同的根，求这６个根的和．
例：已知函数y = sin2x +acos2x (a≠0) 的图像关于直线x ＝－π对称，a ＝ ______ 8
2． y = f (|x|) 的图像是去掉y 轴左侧部分，将y 轴右侧图像沿着y 轴翻折得到，它一定是偶函数 y = f (|x－b|)的对称轴是x ＝b ，是由y = f (|x|)左右平移得到的
例：画出y = x2－2|x|－１的图像
例：函数y = ３| x – b |是偶函数，则b=_____
例：函数y = log a |ax－1| (a>0且a ≠1) 的图像关于直线x = 2 对称，则a 等于______
例：若函数f (x)＝a|x－b|+2在[0, +∞)上为增函数，求实数a 、b 的取值范围
答案：显然a ≠0 f (x) 的对称轴是x ＝b ，所以b ≤0，又由单调性知a>0
3．若一个函数关于点（a ，b ）对称，则f (a－x) －b ＝b －f (a＋x) ，即f (a－x) + f (a＋x) = 2b 若一个函数关于点（a ，0）对称，则f (a－x) ＝－f (a＋x) ，即f (a－x) + f (a＋x) = 0
特殊地，若一个函数关于点（０，０）对称，则f (－x) ＝－f (x)，即f (－x) + f (x) =０，即此函数为奇函数，图像关于原点对称
例：f (x+3)为奇函数，可得到函数f (x ) 的什么性质
例：函数y = 1-2x 的图像的对称中心的坐标是___________，渐近线方程为__________ x +1
1-2x 3（y = =-2+） x +1x +1
例：已知定义域为R 的函数f (x)满足f (—x) = —f (x+4)，且当x>2时，f (x)单调递增，如果x 1+x2
Ａ．恒小于０ Ｂ．恒大于０
Ｃ．可能为０ Ｄ．可正可负
答案：Ａ 数形结合 由f (—x) = —f (x+4)知中心为：（２，０）
４．周期性
f (x+T) = f (x) 周期：T
f (x+T) = －f (x) f (x+T) =11 f (x+T) =- 周期：２T f (x ) f (x )
f (x+T) = f (x－T) 周期：２T
f (x+T) = －f (x－T) 周期：４T
⎧f (a +x ) =f (a -x ) 周期： ２(b-a） ⎨⎩f (b +x ) =f (b -x )
⎧f (a +x ) =f (a -x ) 特殊地， ⎨周期： ２a f (x ) 是偶函数⎩
⎧f (a +x ) =-f (a -x ) 周期： ２(b-a） ⎨⎩f (b +x ) =-f (b -x )
⎧f (a +x ) =-f (a -x ) 特殊地， ⎨周期： ２a f (x ) 是奇函数⎩
⎧f (a +x ) =f (a -x ) 周期： ４(b－a ） ⎨⎩f (b +x ) =-f (b -x )
例：偶函数定义域为Ｒ，恒满足f (2+x) = f (2－x) ．已知x ∈[－２，２]时，f (x) =－x 2 + 1．求当x ∈[－６，－２]时，f (x)的表达式．
例：已知f (x ) 是R 上的偶函数，对x ∈R 都有f (x +6)=f (x )+f (3)成立，若f (1)=2，则f (2005)等于（ ）
A ．2005 B ．2 C ．1 D ．0
答案：B
令x=－３，由题意则有f (3)＝f (－3) ＝０，所以f (x +6)=f (x ) ，６是一个周期