抽象函数性质寻根
一、抽象函数 考场有约
如果把用解析式定义的函数称为“具体函数”, 那么, 不用解析式而直接用性质定义的函数则可称为“抽象函数”. 抽象函数在近年的考卷中频频出现，如2007年天津卷第7题就是抽象函数的例子.
【例1】 在R 上定义的函数f (x ) 是偶函数，且f (x ) = f (2 – x ) ，若f (x ) 在区间［1，2］上是减函数，则f (x )
A. 在区间［–2，–1］上是增函数，在区间［3，4］上是增函数
B. 在区间［–2，–1］上是增函数，在区间［3，4］上是减函数
C. 在区间［–2，–1］上是减函数，在区间［3，4］上是增函数
D. 在区间［–2，–1］上是减函数，在区间［3，4］上是减函数
【分析】 习惯于用具体解析式研究函数性质的人，对用抽象定义的函数往往感到不习惯. 其实直接用抽象函数来解决函数问题，有时比用解析式还方便. 本题就是这样的例子.
【解答】 B 由函数是偶函数知函数的图像关于y 轴对称，函数在区间［–2，–1］的单调性与在区间［1，2］的单调性相反，为增函数；由 f (x ) = f (2 – x ) 知
函数的图像关于直线x =1对称，故函数在区间［3，4］上的单调性与在区间［–2，–1］上的单调性相反，为减函数，所以选B.
【点评】 本题以抽象函数为载体考查了函数图像和函数的性质.
抽象函数的解法通常采用“形象法”——画图. 按给出的性质画出符合性质的最简略图. 如本题所画的略图如下——直线段示图——它符合题目给出的3条性质.
【互动】 抽象与形象互动. 从函数略图上形象看到，这个函数是个周期函数，用函数的抽象性质证明如下：
由f (x ) = f (2 – x ) 和f (– x ) = f (x ) 可以推得 f (x ) = f (2 + x ) ，由此可知f (x ) 是一个周期为2的周期函数的.
从形象上还可看到，函数有无穷条对称轴x = m (m ∈Z ). 因为x = 0和x = 1是它的对称轴，又函数的周期为2，故x = m 都是它的对称轴. 证明从略。
【注意】 对称性问题，要弄清：是一个函数本身的对称，还是两个函数的对称.
a +b 如由f (a +x ) = f ( b – x ) 得函数f (x ) 的图像关于直线x =对称，而函数y = 2
b -a f ( a + x ) 与y = f ( b – x ) 的图像关于直线x =对称. 2
二、抽象函数 函数集合
用性质定义的抽象函数，它往往不是一个具体的函数，有时符合性质的函数是一类函数，或者说是一类函数的集合.
如例1，符合给定的3条性质的函数除了简图中线段表示的函数外，还有没有其他的函数也含有这3条性质——我们继续研究例1.
【例2】 在R 上定义的函数f (x ) 是偶函数，且f (x ) = f (2 – x ) ，若f (x ) 在区间［1，2］上是减函数，则函数f (x ) 可能是：
A. sinπx B. – sinπx C. cosπx D. – cosπx
【解答】 D 这4个函数的周期都是2. 符合“偶函数”条件的只有C 和
D. 而在区间［1，2］上递减的只有D. 故答案为D. 图像如下
【探究】 例1中的函数f (x ) ，除了上述两图像表示的具体函数以外，还有没有其他的函数呢？显然，这个函数集合中的“元素”——多到无穷. 如以下解析式表示的函数都是：
f (x ) = – A cosπx + m ，其中A 为正数，m 为任意实数.
那么，这里的f (x ) 到底是个什么函数呢？请不要老是往统一的解析式上寻找. 它是一个函数集合，我们可以用集合的描述法表示如下：
A = { f (x ) | f (x ) 是R 上偶函数，f (x ) = f (2 – x ) ，f (x ) 在区间［1，2］上递减} 像这样的抽象函数还有：
B = { f (x ) | f (– x )= f (x )}是偶函数的集合；
C = { f (x ) | f (– x )= – f (x )}是奇函数的集合；
D = { f (x ) | f ( x +y ) = f ( x ) + f (y )}是正比例函数的集合；
x +y f (x ) +f (y ) ) = E = { f (x ) |f (}是一次函数的集合，等等. 22
对这些抽象函数（集合），随着其他条件（性质）的添加，则抽象函数逐步提出它们的“子集”或“元素”.
如在D 中，限制条件f (1)= – 2，则得到此集合中的一个“元素”：f (x ) = – 2 x .
三、抽象函数 用方程定义
在7大数学思想中，人们把“函数方程思想”放在首位，函数与方程本来就是一对孪生兄弟. 函数的解析式 y = f (x ) 可视二元方程F (x ，y ) = 0；反之，对二元方程F (x ，y ) ，也可把y 视作x 的函数.
因此，函数不仅可用解析式定义，还可用方程或不等式定义.
【例3】 已知函数f (x ) 的定义域为R ，对任意实数m ，n 都有f (m+n) = f (m ) ·f (n ) ，且当x >0时01 f (x ) 是R 上的减函数
（Ⅲ）设A ={(x ，y )| f (x 2) ·f (y 2)> f (1)}，B ={(x ，y )| f (ax – y +2) =若A ∩B =Φ，试确定实数a 的取值范围.
【分析】 这就是用方程和不等式定义的函数，按命题人思想，并不需要先求函数解析式（即使是已经知道这个函数是个指数函数），而是用函数的性质直接解题. 【解（Ⅰ）】 f (0) = f (0+0) = f (0)·f (0) = f 2 (0)
即 f (0) – f 2 (0) = f (0)［1 – f (0)］= 0 故 f (0) = 1或f (0) = 0
舍去f (0) = 0的证明
假设f (0) = 0，则有 f (n – n ) = f (n ) ·f (– n ) = 0
⇒f (n ) ，f (– n ) 中至少有一个为0，设f (n ) = 0
按n 的任意性，则有f (x ) = 0，这与x > 0时，0
故只有 f (0) = 1因为1 > 0，所以0
【解（Ⅱ）】由已知 x > 0，0
⇒f (-x ) f (-x ) 1>1⇒>1 >1⇒f (x ) -f (-x ) f (x -x ) f (x )
⇒f (– x ) > 1，用x ( 1.
设x 1
则有 f (x 1) -f (x 2) =f (x 1) ∙f (-x 1) -f (x 2) ∙f (-x 1) f (-x 1)
=f (0) -f (x 2-x 1) 1-f (x 2-x 1) =>0 f (-x 1) f (-x 1)
⇒f (x 1) > f (x 2) ⇒f (x ) 是R 上的减函数.
【解（Ⅲ）】 f (x ) 是R 上的减函数，由f (x 2) ·f (y 2) > f (1)
⇒f (x 2+y 2) > f (1) ⇒ x 2+y 2
由 f (ax – y +2) = 1 ⇒ ax – y +2 = 0 ②
故有 A ={(x ，y )|x 2 + y 2
⎧x 2+y 2
按几何意义，单位圆x 2 + y 2 = 1的圆心O （0，0）到直线l ：ax – y +2 = 0的距离大于半径1. 即 d Ol =|2|
a +12>1⇒-3
【点评】 本题是用“函数方程”解题的典型例子. 实际上按题设所给的方程（外加不等式）可以确定了这个函数：f (x ) = a x ，其中，0
四、函数方程 探求函数解析式
既然函数方程与函数解析式都能表示函数，那么它们之间就具有等价性. 如从指数函数f (x ) = a x （0 0时0
【例4】 已知函数f (x ) 的定义域为R ，对任意实数m ，n 都有f (m+n) = f (m ) ·f (n ) ，且当x >0时0
11（Ⅰ）求值 ① f (3) ; ② f () ; ③ f (–1) ；④ f (– 3) ；⑤ f (-) 33
（Ⅱ）猜想并探求函数f (x ) 的解析式。
【解（Ⅰ）】 ① f (3) = f (1+1+1) = f 3(1) = a 3
11111 ② f () =f (++) =f (1) =a ⇒f () =a =a 3 3333331
③ f (–1) =f (-1) ∙f (1) f (0) 1===a -1 f (1) a a
④ f (– 3) = f (–1–1–1)= f 3 (–1) = a –3
-11111 ⑤ f (-) =f (---) =f (-1) =a -1⇒f (-) =a 3 3333331
【解（Ⅱ）】 已知函数f (x ), ① f (x ) 的定义域为R ; ② 对任意实数m ，n 都有f (m+n) = f (m ) ·f (n ); ③且当x >0时0
由此猜想, 函数的解析式是f (x ) = a x . 0
证明 当x = m （∈N +）f (x ) = f (m ) = f (1+1+„+1) （共m 个1)
= f (1)·f (1)„f (1) （共m 个f (1)）
= [f (1) ] m = [f (1) ] x = a x .
当x = – m, f (x ) = f (–m ) = f (–1–1–„–1) （共m 个–1)
= f (–1) ·f (–1) „f (–1) （共m 个f (–1) ）
= [f (-1) ] m = [f (-1) ] x = a x .
当x = 0时，已有f (x ) = 1 = a 0. 即当x 为整数时，有解析式f (x ) = a x
n 不难证明x = 时，即x 为有理数时，有解析式f (x ) = a m = a x . m n
当x 为无理数时，可视无理数为有理数的极限，也有f (x ) = a x .
因此，对一切实数x ，函数的解析式为f (x ) = a x .
【说明】本例的函数方程为函数的指数模型，常见的超越函数模型有以下几类：
①指数函数满足f ( x +y ) = f (x ) ·f ( y ) 对数函数满足f (x ·y ) = f (x ) f ( y ) ，f ( x y ) = y f (x ) ；②正弦函数满足f (x ±y ) = f (x ) g ( y ) ±f (y ) g (x ) ；
③余弦函数满足f ( x ±y )= f ( x ) f ( y ) g ( x ) g ( y ) ；
④正切函数满足f (x ±y ) =f (x ) ±f (y ) . 1 f (x ) f (y )
五、函数方程 探求反函数性质
一个函数的反函数如果存在，它的性质可由原函数确定. 如果原函数的性质可用函数方程表示，则反函数对应的性质也可用对应的函数方程表示.
如果函数f (x ) 满足 f (x 1+x 2) = f (x 1) f (x 2) （Ⅰ）
设y 1 = f (x 1) ，y 2 = f (x 2) ，则x 1= f –1(y 1) ，x 2 = f –1(y 2), 对（Ⅰ）式两边取反函数，可得
f –1［f (x 1+x 2) ］= f –1［ f (x 1) ·f (x 2) ］⇔x 1+x 2 = f –1(y 1·y 2)
⇔f –1(y 1·y 2) = f –1(y 1)+ f –1(y 2) (Ⅱ)
方程（Ⅱ）与（Ⅰ）表示的函数互为反函数.
【题5】 已知函数f (x ) 定义域在(0，+ ∞) 上，对于任意的x ，y ∈(0，+ ∞) ，
都有f (xy ) = f (x ) + f ( y ) ，当且仅当x > 1时，f (x )
y （1）设x ，y ∈(0，+ ∞) ，求证f () =f (y ) -f (x ) ； x
（2）设x 1，x 2∈(0，+ ∞) ，若f (x 1)
（3）解关于x 的不等式f [x 2-(a +1) x +a +1]>0.
【分析】 本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的性质解题. 【解（1）】 因为f ( xy ) = f (x ) + f ( y ) ，
y y 所以 f () +f (x ) =f (y ) ，所以 f () =f (y ) -f (x ). x x
【解（2）】因为f ( x 1)
即 f (x 1x ) =f (x 1) -f (x 2) ⇒f (1)
因为当且仅当x > 1时，f (x ) 1， 所以x 1>1，x 1>x 2. x 2
【解（3）】令x = y =1代入f ( xy ) = f (x ) + f (y ) 得f (1) = f (1) + f (1)，f (1) = 0， 所以关于x 的不等式f [x 2-(a +1) x +a +1]>0为f [x 2-(a +1) x +a +1]>f (1) ，由（2）可知函数f (x ) 在定义域(0，+ ∞) 上是减函数，所以0
当a > 1时，1
当a
当a = 1，x ≠1，此时x 2 – (a + 1) x +a
【说明】 在正比例函数f (x ) 中，有方程
f (x 1+x 2) = f (x 1) + f (x 2) （Ⅰ）
设其反函数为f –1(x ) ，则y 1 = f (x 1) ，y 2 = f (x 2) ，x 1 = f –1 ( y 1) ，x 2 = f –1 ( y 2) 对式（Ⅰ）两边取反函数，则有
f –1［f (x 1+x 2) ］= f –1［ f (x 1) + f (x 2) ］
⇔x 1+x 2 = f –1(y 1 + y 2)
⇔f –1(y 1 + y 2) = f –1(y 1)+ f –1(y 2) （Ⅱ）
式（Ⅱ）表明, f –1(x ) 也是正比例函数.
六、抽象函数的常见题型
函数的解析式与函数的方程式在解题上比优劣，前者最大的优势是求自变量对应的函数值，而在研究函数的性质方面，有时还不如方程式简便.
函数的性质有单调性、奇偶性、对称性、周期性等.
有关抽象函数的“方程题型”，往往是函数的“性质题型”.
抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据.
在解选择题或填空题时，可以赋值为特殊函数，借助常见函数来求解
【题6】 设f (x ) 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是
A. f (x ) f ( – x ) 是奇函数 B. f (x ) | f ( – x )|是奇函数
C. f (x ) – f ( – x ) 是偶函数 D. f (x ) + f ( – x ) 是偶函数
【解析】 A 中，F ( x ) = f (x ) f ( – x ) ，则 F ( – x ) = f ( – x ) f (x ) = F ( x ) ， 即函数F ( x ) = f (x ) f ( – x ) 为偶函数。
B 中，F ( x ) = f (x ) | f ( – x )|，F ( – x ) = f ( – x ) | f (x )|
此时F ( x ) 与F ( – x ) 的关系不能确定，即函数F ( x ) = f (x ) | f ( – x )|的奇偶性不确定，C 中，F ( x ) = f ( x ) – f ( – x ) ，F ( – x ) = f ( – x ) – f (x ) ，
即函数F ( x ) = f (x ) – f ( – x ) 为奇函数，
D 中，F ( x ) = f (x ) + f ( – x ) ，F ( – x ) = f ( – x ) + f (x ) = F ( x ) ，
即函数F ( x ) = f (x ) + f ( – x ) 为偶函数，故选D.
【点评】 上述解法为直接法，直接利用奇偶函数的性质进行判断. 如用淘汰法，在任意函数中取f (x ) = 1和f (x ) = x ，则迅速排除A 、B 、C 三支，答案为
D. 【题7】 已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x +2) = – f (x ) ，则f (6)的值为
A. –1 B. 0 C. 1 D. 2
【解析】 因为f (x ) 是定义在R 上的奇函数，所以f (0) = 0，又f (x + 4) = – f (x +2) = f ( x) 故函数f (x ) 的周期为4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0，故选B.
【说明】 下面图像分别表示的函数f 1 (x ) 、f 2 (x ) 是题设条件所给的函数集合中简单的两个具体函数. f 1 (x )
f 2 (x )
如果在题设中再增添条件，则抽象函数“走向具体”. 若增加的条件为：f (x ) 在区间［1，2］上递增，则得f (x ) 的一个函数子集，函数f 1 (x ) 为其中1“元”，
π x 正弦函数f (x ) = sin也是其中1“元”. 2
若增加的条件为：f (x ) 在区间［1，2］递减，则得f (x ) 的另一个函数子集，
π x 函数f 2 (x ) 为其中1“元”，正弦函数f (x ) = – sin也是其中1“元”. 2
【归纳】 总结抽象函数的方程模型
a +b （1）对称函数的模型为 f (x + a ) = f (b – x ) ，其对称轴为x = 2
（2）周期函数的模型为 f (x + a ) = f (x + b ) ，其周期为T = |a – b |
七、抽象函数的常见错误
如果抽象函数是一个函数集合，那么解抽象函数时常犯的错误有：（1）把元素或子集的个性当成了集合的共性；（2）反过来, 对集合隐藏的共性不能按需
要在解题中进行充分挖掘. 特别是当抽象函数的性质用函数方程组表示时，容易忽略“组中”各方程中变量的任意性而产生的“互动”.
【例8】 奇函数f (x ) 定义在R 上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x ) ，则在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为
A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个
【分析】 本题的抽象函数是奇函数与周期函数的“交”：
(Ⅰ ) ⎧f (-x ) =-f (x ) ⎨Ⅱ ) ⎩f (x ) =f (x +T ) (
解题时要想把抽象性质“用足”，不仅要充分利用各个函数方程（（Ⅰ）和（Ⅱ）），还要充分利用方程（Ⅰ）和（Ⅱ）的互动.
【错解】 A.. 因为f (x ) 是R 上的奇函数，先由方程（Ⅰ）得
f (0) = 0 ⇒ x 1= 0再由方程（Ⅱ）得
f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 ⇒ x 2 = T ，x 3 = 2T .
即在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为3个（0，T ，2T ）.
【正解】 C. 由方程（Ⅰ）得f (0) = 0 ⇒ x 1= 0
再由方程（Ⅱ）得
f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 ⇒ x 2 = T ，x 3 = 2T .
T T 又因为 f (x -) =f (x +) 令x = 0得 22
T T T T f (-) =f () ①又 f (-) =-f () ② 2222
T T T 3T 联立①，②得 f () =0 ⇒ x 4=再由（Ⅱ）得 f (+T ) =0⇒x 5= 2222
【点评】 方程f (x ) = 0根x 4和x 5的求得，是充分地利用了函数方程（Ⅰ）和（Ⅱ）的互动.
错解中漏掉x 4和x 5的原因是，孤立地考虑了奇函数，把“起始根”只定在x 1 = 0上. 正解中，在周期性的互动下，找到了另一个“起始根”x 4 .
⎡T T ⎤【说明】 定义在R 上、周期为T 的奇函数f (x ) ，在区间⎢-, ⎥上有3⎣22⎦
T ⎫⎛T 个零点 -, 0, ⎪. 如正弦函数f (x ) = sinx 的周期为2π，它在区间［–π，π］2⎭⎝2
上有3个零点（–π，0，π）.
八、抽象函数 命题人也出错误
抽象函数，曾出现过高考大错题. 命题人出错，也出现在“奇函数——周期函数”的零点问题上.
【例9】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是
A.2 B.3 C.4 D.5
【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下是“D”的一种解法.
【错解】f (x ) 周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得
f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0
f (x ) 为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得
f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0
于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D.
【正解】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.
根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x ) 的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1）
由 f (x ) 的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2）
从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.
所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解. 于是，方程的解共有7个：即是1、
1.5、2、3、4、4.5、5.
【结论】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的.
【实例】 f (x ) 同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x ) 的一个解析函数具体例子：
2π4πf (x ) =sin x +sin x 33
并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：
这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5. 2π4πx +sin x 在一个周期［0，3］函数f (x ) =sin 33
上的图像如下. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］
有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.
【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实
在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.
严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，
其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没
有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽
象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽
象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.
抽象函数性质寻根
一、抽象函数 考场有约
如果把用解析式定义的函数称为“具体函数”, 那么, 不用解析式而直接用性质定义的函数则可称为“抽象函数”. 抽象函数在近年的考卷中频频出现，如2007年天津卷第7题就是抽象函数的例子.
【例1】 在R 上定义的函数f (x ) 是偶函数，且f (x ) = f (2 – x ) ，若f (x ) 在区间［1，2］上是减函数，则f (x )
A. 在区间［–2，–1］上是增函数，在区间［3，4］上是增函数
B. 在区间［–2，–1］上是增函数，在区间［3，4］上是减函数
C. 在区间［–2，–1］上是减函数，在区间［3，4］上是增函数
D. 在区间［–2，–1］上是减函数，在区间［3，4］上是减函数
【分析】 习惯于用具体解析式研究函数性质的人，对用抽象定义的函数往往感到不习惯. 其实直接用抽象函数来解决函数问题，有时比用解析式还方便. 本题就是这样的例子.
【解答】 B 由函数是偶函数知函数的图像关于y 轴对称，函数在区间［–2，–1］的单调性与在区间［1，2］的单调性相反，为增函数；由 f (x ) = f (2 – x ) 知
函数的图像关于直线x =1对称，故函数在区间［3，4］上的单调性与在区间［–2，–1］上的单调性相反，为减函数，所以选B.
【点评】 本题以抽象函数为载体考查了函数图像和函数的性质.
抽象函数的解法通常采用“形象法”——画图. 按给出的性质画出符合性质的最简略图. 如本题所画的略图如下——直线段示图——它符合题目给出的3条性质.
【互动】 抽象与形象互动. 从函数略图上形象看到，这个函数是个周期函数，用函数的抽象性质证明如下：
由f (x ) = f (2 – x ) 和f (– x ) = f (x ) 可以推得 f (x ) = f (2 + x ) ，由此可知f (x ) 是一个周期为2的周期函数的.
从形象上还可看到，函数有无穷条对称轴x = m (m ∈Z ). 因为x = 0和x = 1是它的对称轴，又函数的周期为2，故x = m 都是它的对称轴. 证明从略。
【注意】 对称性问题，要弄清：是一个函数本身的对称，还是两个函数的对称.
a +b 如由f (a +x ) = f ( b – x ) 得函数f (x ) 的图像关于直线x =对称，而函数y = 2
b -a f ( a + x ) 与y = f ( b – x ) 的图像关于直线x =对称. 2
二、抽象函数 函数集合
用性质定义的抽象函数，它往往不是一个具体的函数，有时符合性质的函数是一类函数，或者说是一类函数的集合.
如例1，符合给定的3条性质的函数除了简图中线段表示的函数外，还有没有其他的函数也含有这3条性质——我们继续研究例1.
【例2】 在R 上定义的函数f (x ) 是偶函数，且f (x ) = f (2 – x ) ，若f (x ) 在区间［1，2］上是减函数，则函数f (x ) 可能是：
A. sinπx B. – sinπx C. cosπx D. – cosπx
【解答】 D 这4个函数的周期都是2. 符合“偶函数”条件的只有C 和
D. 而在区间［1，2］上递减的只有D. 故答案为D. 图像如下
【探究】 例1中的函数f (x ) ，除了上述两图像表示的具体函数以外，还有没有其他的函数呢？显然，这个函数集合中的“元素”——多到无穷. 如以下解析式表示的函数都是：
f (x ) = – A cosπx + m ，其中A 为正数，m 为任意实数.
那么，这里的f (x ) 到底是个什么函数呢？请不要老是往统一的解析式上寻找. 它是一个函数集合，我们可以用集合的描述法表示如下：
A = { f (x ) | f (x ) 是R 上偶函数，f (x ) = f (2 – x ) ，f (x ) 在区间［1，2］上递减} 像这样的抽象函数还有：
B = { f (x ) | f (– x )= f (x )}是偶函数的集合；
C = { f (x ) | f (– x )= – f (x )}是奇函数的集合；
D = { f (x ) | f ( x +y ) = f ( x ) + f (y )}是正比例函数的集合；
x +y f (x ) +f (y ) ) = E = { f (x ) |f (}是一次函数的集合，等等. 22
对这些抽象函数（集合），随着其他条件（性质）的添加，则抽象函数逐步提出它们的“子集”或“元素”.
如在D 中，限制条件f (1)= – 2，则得到此集合中的一个“元素”：f (x ) = – 2 x .
三、抽象函数 用方程定义
在7大数学思想中，人们把“函数方程思想”放在首位，函数与方程本来就是一对孪生兄弟. 函数的解析式 y = f (x ) 可视二元方程F (x ，y ) = 0；反之，对二元方程F (x ，y ) ，也可把y 视作x 的函数.
因此，函数不仅可用解析式定义，还可用方程或不等式定义.
【例3】 已知函数f (x ) 的定义域为R ，对任意实数m ，n 都有f (m+n) = f (m ) ·f (n ) ，且当x >0时01 f (x ) 是R 上的减函数
（Ⅲ）设A ={(x ，y )| f (x 2) ·f (y 2)> f (1)}，B ={(x ，y )| f (ax – y +2) =若A ∩B =Φ，试确定实数a 的取值范围.
【分析】 这就是用方程和不等式定义的函数，按命题人思想，并不需要先求函数解析式（即使是已经知道这个函数是个指数函数），而是用函数的性质直接解题. 【解（Ⅰ）】 f (0) = f (0+0) = f (0)·f (0) = f 2 (0)
即 f (0) – f 2 (0) = f (0)［1 – f (0)］= 0 故 f (0) = 1或f (0) = 0
舍去f (0) = 0的证明
假设f (0) = 0，则有 f (n – n ) = f (n ) ·f (– n ) = 0
⇒f (n ) ，f (– n ) 中至少有一个为0，设f (n ) = 0
按n 的任意性，则有f (x ) = 0，这与x > 0时，0
故只有 f (0) = 1因为1 > 0，所以0
【解（Ⅱ）】由已知 x > 0，0
⇒f (-x ) f (-x ) 1>1⇒>1 >1⇒f (x ) -f (-x ) f (x -x ) f (x )
⇒f (– x ) > 1，用x ( 1.
设x 1
则有 f (x 1) -f (x 2) =f (x 1) ∙f (-x 1) -f (x 2) ∙f (-x 1) f (-x 1)
=f (0) -f (x 2-x 1) 1-f (x 2-x 1) =>0 f (-x 1) f (-x 1)
⇒f (x 1) > f (x 2) ⇒f (x ) 是R 上的减函数.
【解（Ⅲ）】 f (x ) 是R 上的减函数，由f (x 2) ·f (y 2) > f (1)
⇒f (x 2+y 2) > f (1) ⇒ x 2+y 2
由 f (ax – y +2) = 1 ⇒ ax – y +2 = 0 ②
故有 A ={(x ，y )|x 2 + y 2
⎧x 2+y 2
按几何意义，单位圆x 2 + y 2 = 1的圆心O （0，0）到直线l ：ax – y +2 = 0的距离大于半径1. 即 d Ol =|2|
a +12>1⇒-3
【点评】 本题是用“函数方程”解题的典型例子. 实际上按题设所给的方程（外加不等式）可以确定了这个函数：f (x ) = a x ，其中，0
四、函数方程 探求函数解析式
既然函数方程与函数解析式都能表示函数，那么它们之间就具有等价性. 如从指数函数f (x ) = a x （0 0时0
【例4】 已知函数f (x ) 的定义域为R ，对任意实数m ，n 都有f (m+n) = f (m ) ·f (n ) ，且当x >0时0
11（Ⅰ）求值 ① f (3) ; ② f () ; ③ f (–1) ；④ f (– 3) ；⑤ f (-) 33
（Ⅱ）猜想并探求函数f (x ) 的解析式。
【解（Ⅰ）】 ① f (3) = f (1+1+1) = f 3(1) = a 3
11111 ② f () =f (++) =f (1) =a ⇒f () =a =a 3 3333331
③ f (–1) =f (-1) ∙f (1) f (0) 1===a -1 f (1) a a
④ f (– 3) = f (–1–1–1)= f 3 (–1) = a –3
-11111 ⑤ f (-) =f (---) =f (-1) =a -1⇒f (-) =a 3 3333331
【解（Ⅱ）】 已知函数f (x ), ① f (x ) 的定义域为R ; ② 对任意实数m ，n 都有f (m+n) = f (m ) ·f (n ); ③且当x >0时0
由此猜想, 函数的解析式是f (x ) = a x . 0
证明 当x = m （∈N +）f (x ) = f (m ) = f (1+1+„+1) （共m 个1)
= f (1)·f (1)„f (1) （共m 个f (1)）
= [f (1) ] m = [f (1) ] x = a x .
当x = – m, f (x ) = f (–m ) = f (–1–1–„–1) （共m 个–1)
= f (–1) ·f (–1) „f (–1) （共m 个f (–1) ）
= [f (-1) ] m = [f (-1) ] x = a x .
当x = 0时，已有f (x ) = 1 = a 0. 即当x 为整数时，有解析式f (x ) = a x
n 不难证明x = 时，即x 为有理数时，有解析式f (x ) = a m = a x . m n
当x 为无理数时，可视无理数为有理数的极限，也有f (x ) = a x .
因此，对一切实数x ，函数的解析式为f (x ) = a x .
【说明】本例的函数方程为函数的指数模型，常见的超越函数模型有以下几类：
①指数函数满足f ( x +y ) = f (x ) ·f ( y ) 对数函数满足f (x ·y ) = f (x ) f ( y ) ，f ( x y ) = y f (x ) ；②正弦函数满足f (x ±y ) = f (x ) g ( y ) ±f (y ) g (x ) ；
③余弦函数满足f ( x ±y )= f ( x ) f ( y ) g ( x ) g ( y ) ；
④正切函数满足f (x ±y ) =f (x ) ±f (y ) . 1 f (x ) f (y )
五、函数方程 探求反函数性质
一个函数的反函数如果存在，它的性质可由原函数确定. 如果原函数的性质可用函数方程表示，则反函数对应的性质也可用对应的函数方程表示.
如果函数f (x ) 满足 f (x 1+x 2) = f (x 1) f (x 2) （Ⅰ）
设y 1 = f (x 1) ，y 2 = f (x 2) ，则x 1= f –1(y 1) ，x 2 = f –1(y 2), 对（Ⅰ）式两边取反函数，可得
f –1［f (x 1+x 2) ］= f –1［ f (x 1) ·f (x 2) ］⇔x 1+x 2 = f –1(y 1·y 2)
⇔f –1(y 1·y 2) = f –1(y 1)+ f –1(y 2) (Ⅱ)
方程（Ⅱ）与（Ⅰ）表示的函数互为反函数.
【题5】 已知函数f (x ) 定义域在(0，+ ∞) 上，对于任意的x ，y ∈(0，+ ∞) ，
都有f (xy ) = f (x ) + f ( y ) ，当且仅当x > 1时，f (x )
y （1）设x ，y ∈(0，+ ∞) ，求证f () =f (y ) -f (x ) ； x
（2）设x 1，x 2∈(0，+ ∞) ，若f (x 1)
（3）解关于x 的不等式f [x 2-(a +1) x +a +1]>0.
【分析】 本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的性质解题. 【解（1）】 因为f ( xy ) = f (x ) + f ( y ) ，
y y 所以 f () +f (x ) =f (y ) ，所以 f () =f (y ) -f (x ). x x
【解（2）】因为f ( x 1)
即 f (x 1x ) =f (x 1) -f (x 2) ⇒f (1)
因为当且仅当x > 1时，f (x ) 1， 所以x 1>1，x 1>x 2. x 2
【解（3）】令x = y =1代入f ( xy ) = f (x ) + f (y ) 得f (1) = f (1) + f (1)，f (1) = 0， 所以关于x 的不等式f [x 2-(a +1) x +a +1]>0为f [x 2-(a +1) x +a +1]>f (1) ，由（2）可知函数f (x ) 在定义域(0，+ ∞) 上是减函数，所以0
当a > 1时，1
当a
当a = 1，x ≠1，此时x 2 – (a + 1) x +a
【说明】 在正比例函数f (x ) 中，有方程
f (x 1+x 2) = f (x 1) + f (x 2) （Ⅰ）
设其反函数为f –1(x ) ，则y 1 = f (x 1) ，y 2 = f (x 2) ，x 1 = f –1 ( y 1) ，x 2 = f –1 ( y 2) 对式（Ⅰ）两边取反函数，则有
f –1［f (x 1+x 2) ］= f –1［ f (x 1) + f (x 2) ］
⇔x 1+x 2 = f –1(y 1 + y 2)
⇔f –1(y 1 + y 2) = f –1(y 1)+ f –1(y 2) （Ⅱ）
式（Ⅱ）表明, f –1(x ) 也是正比例函数.
六、抽象函数的常见题型
函数的解析式与函数的方程式在解题上比优劣，前者最大的优势是求自变量对应的函数值，而在研究函数的性质方面，有时还不如方程式简便.
函数的性质有单调性、奇偶性、对称性、周期性等.
有关抽象函数的“方程题型”，往往是函数的“性质题型”.
抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据.
在解选择题或填空题时，可以赋值为特殊函数，借助常见函数来求解
【题6】 设f (x ) 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是
A. f (x ) f ( – x ) 是奇函数 B. f (x ) | f ( – x )|是奇函数
C. f (x ) – f ( – x ) 是偶函数 D. f (x ) + f ( – x ) 是偶函数
【解析】 A 中，F ( x ) = f (x ) f ( – x ) ，则 F ( – x ) = f ( – x ) f (x ) = F ( x ) ， 即函数F ( x ) = f (x ) f ( – x ) 为偶函数。
B 中，F ( x ) = f (x ) | f ( – x )|，F ( – x ) = f ( – x ) | f (x )|
此时F ( x ) 与F ( – x ) 的关系不能确定，即函数F ( x ) = f (x ) | f ( – x )|的奇偶性不确定，C 中，F ( x ) = f ( x ) – f ( – x ) ，F ( – x ) = f ( – x ) – f (x ) ，
即函数F ( x ) = f (x ) – f ( – x ) 为奇函数，
D 中，F ( x ) = f (x ) + f ( – x ) ，F ( – x ) = f ( – x ) + f (x ) = F ( x ) ，
即函数F ( x ) = f (x ) + f ( – x ) 为偶函数，故选D.
【点评】 上述解法为直接法，直接利用奇偶函数的性质进行判断. 如用淘汰法，在任意函数中取f (x ) = 1和f (x ) = x ，则迅速排除A 、B 、C 三支，答案为
D. 【题7】 已知定义在R 上的奇函数f (x ) 满足f (x +2) = – f (x ) ，则f (6)的值为
A. –1 B. 0 C. 1 D. 2
【解析】 因为f (x ) 是定义在R 上的奇函数，所以f (0) = 0，又f (x + 4) = – f (x +2) = f ( x) 故函数f (x ) 的周期为4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0，故选B.
【说明】 下面图像分别表示的函数f 1 (x ) 、f 2 (x ) 是题设条件所给的函数集合中简单的两个具体函数. f 1 (x )
f 2 (x )
如果在题设中再增添条件，则抽象函数“走向具体”. 若增加的条件为：f (x ) 在区间［1，2］上递增，则得f (x ) 的一个函数子集，函数f 1 (x ) 为其中1“元”，
π x 正弦函数f (x ) = sin也是其中1“元”. 2
若增加的条件为：f (x ) 在区间［1，2］递减，则得f (x ) 的另一个函数子集，
π x 函数f 2 (x ) 为其中1“元”，正弦函数f (x ) = – sin也是其中1“元”. 2
【归纳】 总结抽象函数的方程模型
a +b （1）对称函数的模型为 f (x + a ) = f (b – x ) ，其对称轴为x = 2
（2）周期函数的模型为 f (x + a ) = f (x + b ) ，其周期为T = |a – b |
七、抽象函数的常见错误
如果抽象函数是一个函数集合，那么解抽象函数时常犯的错误有：（1）把元素或子集的个性当成了集合的共性；（2）反过来, 对集合隐藏的共性不能按需
要在解题中进行充分挖掘. 特别是当抽象函数的性质用函数方程组表示时，容易忽略“组中”各方程中变量的任意性而产生的“互动”.
【例8】 奇函数f (x ) 定义在R 上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x ) ，则在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为
A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个
【分析】 本题的抽象函数是奇函数与周期函数的“交”：
(Ⅰ ) ⎧f (-x ) =-f (x ) ⎨Ⅱ ) ⎩f (x ) =f (x +T ) (
解题时要想把抽象性质“用足”，不仅要充分利用各个函数方程（（Ⅰ）和（Ⅱ）），还要充分利用方程（Ⅰ）和（Ⅱ）的互动.
【错解】 A.. 因为f (x ) 是R 上的奇函数，先由方程（Ⅰ）得
f (0) = 0 ⇒ x 1= 0再由方程（Ⅱ）得
f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 ⇒ x 2 = T ，x 3 = 2T .
即在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为3个（0，T ，2T ）.
【正解】 C. 由方程（Ⅰ）得f (0) = 0 ⇒ x 1= 0
再由方程（Ⅱ）得
f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 ⇒ x 2 = T ，x 3 = 2T .
T T 又因为 f (x -) =f (x +) 令x = 0得 22
T T T T f (-) =f () ①又 f (-) =-f () ② 2222
T T T 3T 联立①，②得 f () =0 ⇒ x 4=再由（Ⅱ）得 f (+T ) =0⇒x 5= 2222
【点评】 方程f (x ) = 0根x 4和x 5的求得，是充分地利用了函数方程（Ⅰ）和（Ⅱ）的互动.
错解中漏掉x 4和x 5的原因是，孤立地考虑了奇函数，把“起始根”只定在x 1 = 0上. 正解中，在周期性的互动下，找到了另一个“起始根”x 4 .
⎡T T ⎤【说明】 定义在R 上、周期为T 的奇函数f (x ) ，在区间⎢-, ⎥上有3⎣22⎦
T ⎫⎛T 个零点 -, 0, ⎪. 如正弦函数f (x ) = sinx 的周期为2π，它在区间［–π，π］2⎭⎝2
上有3个零点（–π，0，π）.
八、抽象函数 命题人也出错误
抽象函数，曾出现过高考大错题. 命题人出错，也出现在“奇函数——周期函数”的零点问题上.
【例9】 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是
A.2 B.3 C.4 D.5
【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D ，即答案为5. 答案D 从何而来？以下是“D”的一种解法.
【错解】f (x ) 周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得
f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0
f (x ) 为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得
f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0
于是，求得 f (x )=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D.
【正解】 除了上述解法得 f (x )=0的5个解外，还有如下的解.
根据方程 f (x )=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x ) 的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1）
由 f (x ) 的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2）
从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.
所以，1.5和4.5也是方程 f (x )=0的解. 于是，方程的解共有7个：即是1、
1.5、2、3、4、4.5、5.
【结论】 按上面讨论的结果，方程 f (x ) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D 是错的.
【实例】 f (x ) 同时满足4个条件：（1）定义在R 上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x ) 的一个解析函数具体例子：
2π4πf (x ) =sin x +sin x 33
并在区间（0，6）上找到 f (x )=0的7个解，列表如下：
这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5. 2π4πx +sin x 在一个周期［0，3］函数f (x ) =sin 33
上的图像如下. 图像与 x 轴有5个交点，故在［0，6］
有9个交点，从而在（0，6）上有7个交点.
【反思】 命题人的错误自然出在疏忽二字上. 实
在地，本题较难，首先难倒了命题人自己.
严格地讲，试题“超纲”. 对两个周期函数的和函数，
其最小正周期是它们的“最小公倍数”——这本身就没
有进行过证明，对某些具体函数可以具体分析，但对抽
象函数来讲，却没有理论依据. 而本题，又恰恰是个抽
象函数，而且是个综合问题. 命题出错似乎是必然的.