§5行列式的性质

§5 行列式的性质

一、定义二、行列式的性质三、应用举例

一、定义

a11 a12 记 a21 a22 D=  a n1 a n 2

 a1n  a2 n    ann

a11 a21 a12 a22 T D =  a1n a2 n

 a n1  an 2  

 ann

行列式 D T 称为行列式 D 的转置行列式.

二、行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等. 说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.

1 7 6 6 3 5 7 1 5 5 2 = − 6 6 2. 5 3 8 8

1 7 5 1 7 5 6 6 2 = −3 5 8 , 3 5 8 6 6 2

交换 i , j 两行，记作 ri rj . 交换 i , j 两列，记作 ci c j .

1 7 5 1 7 5 r2 r3 6 6 2 === − 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2

7 1 5 1 7 5 c 2 c3 6 6 2 === − 6 6 2 . 5 3 8 3 5 8

推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明互换相同的两行，有 D = − D, ∴ D = 0.

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.

a11 a12  a1n a11 a12  a1n   kai 1 kai 2  kain = k a i 1 a i 2  a in   an1 an 2  ann a n1 a n 2  a nn

推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零．

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和. ′ i )  a1 n a11 a12  (a1i + a1 a 21 a 22  (a 2 i + a ′ 例如 2i )  a2n D=     ′ )  a nn a n1 a n 2  (a ni + a ni 则D等于下列两个行列式之和：

a11  a1i a 21  a 2 i     a1 n  a2n   a nn

a n1  a ni

a11 a 21 +  a n1

′i  a1  a′ 2i

 a1 n  a2n

   ′  a nn  a ni

性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式值不变． a11  a1i  a1 j  a1n 例如 a 21  a 2 i  a 2 j  a 2 j k×     a n1  a ni  a nj  a nj

a11  (a1i + ka1 j )  a1 j  a1n a21  (a2 i + ka2 j )  a2 j  a2 j ci + kc j     an1  (ani + kanj )  anj  anj

三、应用举例

计算行列式常用方法利用运算 ri + kr j 把行

列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．

−1 −1 2 1 −1 0 2 D= −1 2 −1 0 2 1 1 0 0

例1

D=4

1 2 3 例2 D = 2 3 1 3 1 2

a a b a+b c a+b+c d a+b+c+d

例3 D =

a 2 a + b 3 a + 2b + c 4 a + 3 b + 2 c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d

a b b b b b a b b b

例4 计算阶行列式

D= b b a b b b b b a b b b b b a

解

a + 4b a + 4b c1 + c2 +  + c5 a + 4b a + 4b a + 4b

b a b b b

b b a b b

b b b a b

b b b b a

=====

i = 2, 3,4,5

ri − r1

a + 4b b 0 a−b 0 0 0 0 0 0

b 0

a−b 0 0 = (a + 4b)(

a − b)4 . 0 a−b 0 0 0 a−b

a11  a1k  

0 b11  b1n   bn1  bnn

例5

a k 1  a kk 设D= c11  c1k   c n1  c nk

b11  b1n a11  a1k  , D1 = det(a ij ) =   , D2 = det(bij ) =  bn1  bnn a k 1  a kk

证明

D = D1 D2 .

证明

对 D1 作运算 ri + kr j，把 D1 化为下三角形行列式

p11 设为 D1 =   pk 1  0 = p11  pkk ; pkk

对 D2 作运算 c i + kc j , 把 D2 化为下三角形行列式

q11 0 设为 D2 =   = q11  qnn . qn1  qnn

对 D 的前 k 行作运算 ri + kr j，再对后 n 列作运算 c i + kc j , 把 D 化为下三角形行列式

p11  pk 1 D= c11  c n1

故

  pkk  c1 k   c nk

0 q11   qn1  qnn ,

D = p11  pkk ⋅ q11 qnn = D1 D2 .

三、小结

计算行列式常用方法 (1) 利用定义;

(2) 利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．