线性代数行列式的计算与性质
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为一个标量，写作
或的矩阵，取值为
。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。
矩阵A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示
（如：
），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A=⎛a d g ⎝b e h c ⎫⎪f ⎪i ⎪⎭， 也写作，或明确的写作： 行列式a
d
A=b e h c f i ， g
即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代
行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
一、行列式的定义与计算
一个n 阶方块矩阵 A 的行列式可直观地定义如下：
其中， 是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体；
表示对 全部元素的求和，即对于每个
，
在加法算式中出现一次；
对于每一对满足
的数对
， 是矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
表示置换 的符号差，具体地说，满
足
但
的有序数对
称为 的一个逆序。 如果 的逆序共有偶数个，则
，如果共有奇数个，则
。
举例来说，对于3元置换 （即是说
，，）而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此
，从而3阶行列式中项
的符号是正的。但对于三元置换
（即是说
，
，）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此
，从而3阶行列式中项
的符号是负的。
注意到对于任意正整数n ， 共拥有n! 个元素，因此上式中共有n! 个求和项，即这是一个有限多次的求和。
对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。
2阶矩阵的行列式：
3阶矩阵的行列式：
a 11
a 21
a 31a 12a 22a 32a 13a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 21a 32a 13-a 13a 22a 31-a 33
a 21a 12a 33-a 11a 32a 23
但对于阶数
n 条，由于
A 的主、副对角线总条数的元素个数 的方阵A ，这样的主对角线和副对角线分别只有因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外，还有其他更多的项。例如4阶行列式中，项
就不是任何对角线的元素乘积。不过，和2、3阶行列式情况相同的是，n 阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取n 个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。
另外，n×n 矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个n 元矢量，这时矩阵的行列式也被称为这n 个n 元矢量组成的矢量组的行列式
二、行列式的性质
行列式的一些基本性质，可以由它的多线性以及交替性推出。 在行列式中，一行（列）元素全为0，则此行列式的值为0。
a 21
a n 10a 22 0 a 2n a n 2 a nn
在行列式中，某一行（列）有公因子k ，则可以提出k 。
在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式。
行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号[51]。
在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0。
将一行（列）的k 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变。
注意：一行（列）的k 倍加上另一行（列），行列式的值改变。
将行列式的行列互换，行列式的值不变，其中行列互换相当于转置。这个性质可以简单地记作
例如
行列式的乘法定理：方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积。
。特别的，若将矩阵中的每一行每一列
上的数都乘以一个常数r ，那么所得到的行列式不是原来的r 倍，而是rn 倍
。。
以上的乘法公式还可以进一步推广为所谓柯西–比内公式，从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵，就有类似于以上的结果：假设 A 是一个 矩阵，而 B 是一个 矩阵。如果 S
是
中具有 m 个元素的子
集
记 AS 为 A 中列指标位于 S 中的
记 BS 为 B 中行指标位于 S 中的 ，我们 子矩阵。类似地， 子矩阵。那么
这里求
遍
有 C(n,m) 个）。 中 m 个元素的所有可能子集 S（共
如果 m = n，即 A 与 B 是同样大小的方块矩阵，则只有一个容许集合 S，柯西–比内公式退化为通常行列式的乘法公式。如过 m = 1 则有 n 容许集合 S，这个公式退化为点积。如果 m > n，没有容许集合 S，约定行列式 det(AB) 是零[54]。
若A 是可逆矩阵，
由行列式的乘法定理以及
行列式定义了一个从一般线性群到[55]。 可以知道，上的群同态。
若将方块矩阵中的元素取共轭，得到的是矩阵的共轭矩阵。共轭矩阵的行列式值等于矩阵行列式值的共轭：
若两个矩阵相似，那么它们的行列式相同。这是因为两个相似的矩阵之间只相差一个基底变换，而行列式描述的是矩阵对应的线性映射对体积的影响，而不是体积，所以基底变换并不会影响行列式的值。用数学语言来说，就是：
如果两个矩阵A 与B 相似，那么存在可逆矩阵P 使得
，所以
行列式是所有特征值（按代数重数计）的乘积。这可由矩阵必和其若尔当标准型相似推导出。特殊地，三角矩阵的行列式等于其对角线上所有元素的乘积。
由于三角矩阵的行列式计算简便，当矩阵的系数为域时，可以通过高斯消去法将矩阵变换成三角矩阵，或者将矩阵分解成三角矩阵的乘积之后再利用行列式的乘法定理进行计算。可以证明，所有的矩阵A 都可以分解成一个上三角矩阵U 、一个下三角矩阵L 以及一个置换矩阵P
的乘积：
。这时，矩阵A 的行列式可以写成：
分块矩阵的行列式并不能简单地表示成每个分块的行列式的乘积组合。对于分块的三角矩阵，仍然有类似的结论：
，矩
阵的行列式等于对角元素的行列式之乘积。
对于一般情况，若对角元素中有一个是可逆矩阵，比如说A 可逆，那么矩阵的行列式可以写做
。
矩阵的行列式和矩阵的迹数有一定的关联，当矩阵的系数为域时，在定义了矩阵的指数函数后，有如下的恒等式：
线性代数行列式的计算与性质
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为一个标量，写作
或的矩阵，取值为
。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。
行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。
矩阵A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示
（如：
），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A=⎛a d g ⎝b e h c ⎫⎪f ⎪i ⎪⎭， 也写作，或明确的写作： 行列式a
d
A=b e h c f i ， g
即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代
行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
一、行列式的定义与计算
一个n 阶方块矩阵 A 的行列式可直观地定义如下：
其中， 是集合{ 1, 2, ..., n }上置换的全体，即集合{ 1, 2, ..., n }到自身上的一一映射（双射）的全体；
表示对 全部元素的求和，即对于每个
，
在加法算式中出现一次；
对于每一对满足
的数对
， 是矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素。
表示置换 的符号差，具体地说，满
足
但
的有序数对
称为 的一个逆序。 如果 的逆序共有偶数个，则
，如果共有奇数个，则
。
举例来说，对于3元置换 （即是说
，，）而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此
，从而3阶行列式中项
的符号是正的。但对于三元置换
（即是说
，
，）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此
，从而3阶行列式中项
的符号是负的。
注意到对于任意正整数n ， 共拥有n! 个元素，因此上式中共有n! 个求和项，即这是一个有限多次的求和。
对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。
2阶矩阵的行列式：
3阶矩阵的行列式：
a 11
a 21
a 31a 12a 22a 32a 13a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 21a 32a 13-a 13a 22a 31-a 33
a 21a 12a 33-a 11a 32a 23
但对于阶数
n 条，由于
A 的主、副对角线总条数的元素个数 的方阵A ，这样的主对角线和副对角线分别只有因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外，还有其他更多的项。例如4阶行列式中，项
就不是任何对角线的元素乘积。不过，和2、3阶行列式情况相同的是，n 阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取n 个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。
另外，n×n 矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个n 元矢量，这时矩阵的行列式也被称为这n 个n 元矢量组成的矢量组的行列式
二、行列式的性质
行列式的一些基本性质，可以由它的多线性以及交替性推出。 在行列式中，一行（列）元素全为0，则此行列式的值为0。
a 21
a n 10a 22 0 a 2n a n 2 a nn
在行列式中，某一行（列）有公因子k ，则可以提出k 。
在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式。
行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号[51]。
在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0。
将一行（列）的k 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变。
注意：一行（列）的k 倍加上另一行（列），行列式的值改变。
将行列式的行列互换，行列式的值不变，其中行列互换相当于转置。这个性质可以简单地记作
例如
行列式的乘法定理：方块矩阵的乘积的行列式等于行列式的乘积。
。特别的，若将矩阵中的每一行每一列
上的数都乘以一个常数r ，那么所得到的行列式不是原来的r 倍，而是rn 倍
。。
以上的乘法公式还可以进一步推广为所谓柯西–比内公式，从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵，就有类似于以上的结果：假设 A 是一个 矩阵，而 B 是一个 矩阵。如果 S
是
中具有 m 个元素的子
集
记 AS 为 A 中列指标位于 S 中的
记 BS 为 B 中行指标位于 S 中的 ，我们 子矩阵。类似地， 子矩阵。那么
这里求
遍
有 C(n,m) 个）。 中 m 个元素的所有可能子集 S（共
如果 m = n，即 A 与 B 是同样大小的方块矩阵，则只有一个容许集合 S，柯西–比内公式退化为通常行列式的乘法公式。如过 m = 1 则有 n 容许集合 S，这个公式退化为点积。如果 m > n，没有容许集合 S，约定行列式 det(AB) 是零[54]。
若A 是可逆矩阵，
由行列式的乘法定理以及
行列式定义了一个从一般线性群到[55]。 可以知道，上的群同态。
若将方块矩阵中的元素取共轭，得到的是矩阵的共轭矩阵。共轭矩阵的行列式值等于矩阵行列式值的共轭：
若两个矩阵相似，那么它们的行列式相同。这是因为两个相似的矩阵之间只相差一个基底变换，而行列式描述的是矩阵对应的线性映射对体积的影响，而不是体积，所以基底变换并不会影响行列式的值。用数学语言来说，就是：
如果两个矩阵A 与B 相似，那么存在可逆矩阵P 使得
，所以
行列式是所有特征值（按代数重数计）的乘积。这可由矩阵必和其若尔当标准型相似推导出。特殊地，三角矩阵的行列式等于其对角线上所有元素的乘积。
由于三角矩阵的行列式计算简便，当矩阵的系数为域时，可以通过高斯消去法将矩阵变换成三角矩阵，或者将矩阵分解成三角矩阵的乘积之后再利用行列式的乘法定理进行计算。可以证明，所有的矩阵A 都可以分解成一个上三角矩阵U 、一个下三角矩阵L 以及一个置换矩阵P
的乘积：
。这时，矩阵A 的行列式可以写成：
分块矩阵的行列式并不能简单地表示成每个分块的行列式的乘积组合。对于分块的三角矩阵，仍然有类似的结论：
，矩
阵的行列式等于对角元素的行列式之乘积。
对于一般情况，若对角元素中有一个是可逆矩阵，比如说A 可逆，那么矩阵的行列式可以写做
。
矩阵的行列式和矩阵的迹数有一定的关联，当矩阵的系数为域时，在定义了矩阵的指数函数后，有如下的恒等式：