辽宁省试验中学、东北育才、大连八中、大连二十四中、鞍山一中期末考试
数学（理科）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．设全集U ={x ∈N |x
2．若复数(a 2
-1) +(a -1)
i （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） 3．已知{a n }为等比数列，若a 4+a 6=10，则a 1a 7+2a 3a 7+a 3
a 9=（ ） M 2
4．设点是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC =16，AB +AC =
AB -AC ，则AM =（ ）
5．如图的算法中，如果输入
，则输出的结果是（ ） 6．给出命题p :直线l 1:ax +3y +1=0与l 2:2x +(a +1) y +1=0互相平行的充要条件是a =-3，
命题q :若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）
A. 命题“p 且q ”为真 B. 命题“p 或q ”为假 C. 命题“p 或⌝q ”为假 D. 命题“p 且⌝q ”为真
⎧x ≥1
7．若关于x , y 的不等式组⎪
⎨x +y ≤2表示的区域为三角形，则实数a 的取值范围是（
）
⎪⎩
y ≥ax A. (-∞,1) B. (0,1) C. (-1.1) D. (1,+∞)
8．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1
到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法有（ ）
为等腰直角三角形，∠KM L =90︒，KL =1，则f (1
6
) 的值为（ ）
A. 4 B. -
14
C. -
12
D.
4
10．已知点M (-3, 0) , N (3,0) , B (1,0) ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M , N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为（ ）
A. x 2
-
y
2
8=1(x >1) B. x 2
-
y
2
10=1(x >0)
C. x 2
-
y
2
0) D. x 2
-
y
2
8
=1(x >10
=1(x >1)
11．函数f (x ) =x -bx +1有且仅有两个不同零点，则b 的值为（ ）
32
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (-．
A.
2
B.
2
C.
D. 无法确定
（Ⅰ）求sin 2α-tan α的值；
（Ⅱ）若函数f (x ) =cos (x -α) cos α-sin (x
-α) sin α，求函数y =
12．已知三边长分别为4、5、6的∆ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，(
π
2
-2x ) -
若点P 到∆ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P -ABC 的体积为：（ ）
第II 卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分（第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~24题为选考题，考生根据要求作答） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设二项式(x -a x
) 6的展开式中x 2
的系数为A ，常数项为B ，若B =4A ，则a =14．已知函数f (x ) =kx +1，其中实数k 随机选自区间[-2,1]，则对∀x ∈[-1,1]，都有f (x ) ≥0恒成立的概率是
15．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是cm 3
．
16．（5分）定义函数f (x ) =[x ⋅[x ]]，其中[x ]
表示不超过x 的最大整数，当
x ∈[0,n ) (n ∈N *
) 时，设函数f (x ) 的值域为集合A ，记A 中的元素个数为a a n +49n ，则
n
的最小值为
．
2f 2
(x ) 在区间[0,
π
2
]上的值域．
18．（12分）如图，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于直线AC ，
EC ⊥平面ABCD
，AB =1, AD =2, ∠ADC =60︒, AF =
（I ）求证：AC ⊥BF ；
（II ）求二面角F -BD -A 的大小． B
D
19．（12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（I ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，
那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（II ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
20．（12分）在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(-2, 0) , A 2(2,0) ，再取两个动点N 1(0,m ) ，
N 2(0,n ) ，且mn =3.
（I ）求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；
（II ）已知F 2(1,0) ，设直线l :y =kx +m 与（1）中的轨迹M 交于P , Q 两点，直线F 2P ，F 2Q 的倾斜角分别为α, β，且α+β=π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.
21．（12分）函数f (x ) =a ln x +1(a >0) ． （Ⅰ） 当x >0时，求证：f (x ) -1≥a (1-
选做题【选修4-4坐标系与参数方程】
1x
) ；
23．（10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）试分别将曲线C 1的极坐标方程ρ=sin θ-cos θ和曲线C 2的参数方程
*
（Ⅱ） 在区间(1,e ) 上f (x ) >x 恒成立，求实数a 的范围． （Ⅲ） 当a =
12
时，求证：f (2)+f (3)++f (n +1) >2(n +1(n ∈N ) ．
⎧x =sin t -cos t
（t 为参数）化为直角坐标方程和普通方程： ⎨
⎩y =sin t +cos t
（Ⅱ）若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线C 1和曲线C 2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离（视蚂蚁为点）．
24. （10分）已知f (x ) =x +a +x -2 （I ）当a =1时，解关于x 的不等式f (x ) >5；
（II ）已知关于x 的不等式f (x ) +a
辽宁省试验中学、东北育才、大连八中、大连二十四中、鞍山一中期末考试
数学（理科）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．设全集U ={x ∈N |x
2．若复数(a 2
-1) +(a -1)
i （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） 3．已知{a n }为等比数列，若a 4+a 6=10，则a 1a 7+2a 3a 7+a 3
a 9=（ ） M 2
4．设点是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC =16，AB +AC =
AB -AC ，则AM =（ ）
5．如图的算法中，如果输入
，则输出的结果是（ ） 6．给出命题p :直线l 1:ax +3y +1=0与l 2:2x +(a +1) y +1=0互相平行的充要条件是a =-3，
命题q :若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）
A. 命题“p 且q ”为真 B. 命题“p 或q ”为假 C. 命题“p 或⌝q ”为假 D. 命题“p 且⌝q ”为真
⎧x ≥1
7．若关于x , y 的不等式组⎪
⎨x +y ≤2表示的区域为三角形，则实数a 的取值范围是（
）
⎪⎩
y ≥ax A. (-∞,1) B. (0,1) C. (-1.1) D. (1,+∞)
8．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1
到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的方法有（ ）
为等腰直角三角形，∠KM L =90︒，KL =1，则f (1
6
) 的值为（ ）
A. 4 B. -
14
C. -
12
D.
4
10．已知点M (-3, 0) , N (3,0) , B (1,0) ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M , N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为（ ）
A. x 2
-
y
2
8=1(x >1) B. x 2
-
y
2
10=1(x >0)
C. x 2
-
y
2
0) D. x 2
-
y
2
8
=1(x >10
=1(x >1)
11．函数f (x ) =x -bx +1有且仅有两个不同零点，则b 的值为（ ）
32
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (-．
A.
2
B.
2
C.
D. 无法确定
（Ⅰ）求sin 2α-tan α的值；
（Ⅱ）若函数f (x ) =cos (x -α) cos α-sin (x
-α) sin α，求函数y =
12．已知三边长分别为4、5、6的∆ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，(
π
2
-2x ) -
若点P 到∆ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P -ABC 的体积为：（ ）
第II 卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分（第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~24题为选考题，考生根据要求作答） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设二项式(x -a x
) 6的展开式中x 2
的系数为A ，常数项为B ，若B =4A ，则a =14．已知函数f (x ) =kx +1，其中实数k 随机选自区间[-2,1]，则对∀x ∈[-1,1]，都有f (x ) ≥0恒成立的概率是
15．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是cm 3
．
16．（5分）定义函数f (x ) =[x ⋅[x ]]，其中[x ]
表示不超过x 的最大整数，当
x ∈[0,n ) (n ∈N *
) 时，设函数f (x ) 的值域为集合A ，记A 中的元素个数为a a n +49n ，则
n
的最小值为
．
2f 2
(x ) 在区间[0,
π
2
]上的值域．
18．（12分）如图，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于直线AC ，
EC ⊥平面ABCD
，AB =1, AD =2, ∠ADC =60︒, AF =
（I ）求证：AC ⊥BF ；
（II ）求二面角F -BD -A 的大小． B
D
19．（12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm ）：若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
（I ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，
那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（II ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
20．（12分）在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1(-2, 0) , A 2(2,0) ，再取两个动点N 1(0,m ) ，
N 2(0,n ) ，且mn =3.
（I ）求直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹M 的方程；
（II ）已知F 2(1,0) ，设直线l :y =kx +m 与（1）中的轨迹M 交于P , Q 两点，直线F 2P ，F 2Q 的倾斜角分别为α, β，且α+β=π，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.
21．（12分）函数f (x ) =a ln x +1(a >0) ． （Ⅰ） 当x >0时，求证：f (x ) -1≥a (1-
选做题【选修4-4坐标系与参数方程】
1x
) ；
23．（10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）试分别将曲线C 1的极坐标方程ρ=sin θ-cos θ和曲线C 2的参数方程
*
（Ⅱ） 在区间(1,e ) 上f (x ) >x 恒成立，求实数a 的范围． （Ⅲ） 当a =
12
时，求证：f (2)+f (3)++f (n +1) >2(n +1(n ∈N ) ．
⎧x =sin t -cos t
（t 为参数）化为直角坐标方程和普通方程： ⎨
⎩y =sin t +cos t
（Ⅱ）若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线C 1和曲线C 2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离（视蚂蚁为点）．
24. （10分）已知f (x ) =x +a +x -2 （I ）当a =1时，解关于x 的不等式f (x ) >5；
（II ）已知关于x 的不等式f (x ) +a