三角形的四心在向量中的应用
相关知识点：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2）||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，特别地，当a、 b同向或有0⇔|a+b|=|a|+|b|
b反向或有0⇔|a-b|= b不≥||a|-|b||=|a-b|；当a、|a|+|b|≥|a|-|b||=a+b|；当a、共线⇔|a|-|b||
（3）在∆ABC中，①若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则其重心的坐标为
y+⎛x+x2+x3y+2y⎫3
如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，G 1,1⎪。
33⎝⎭
24
-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：(-,)）；
33
②PG=(PA+PB+PC)⇔G为∆ABC的重心，特别地PA+PB+PC=0⇔P
3
为∆ABC的重心；
③PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA⇔P为∆ABC的垂心；
④向量λ(AB+AC)(λ≠0)所在直线过∆ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在
|AB||AC|
直线)；
⑤|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0⇔P∆ABC的内心；
λ，点M为平面内的任一点，则（3）若P分有向线段PP12所成的比为
MP=
MPMP1+MP2； 1+λMP2，特别地P为PP的中点⇔MP=12
21+λ
（4）向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线⇔存在实数
α、β使得
PA=αPB+βP且Cα+β=1.如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点
−−→
A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=λ1OA+λ2OB,其中λ1,λ2∈R且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）
−−→−−→
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合
（1）++=⇔O是∆ABC的重心.
证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
x1+x2+x3⎧x=⎪⎧(x1-x)+(x2-x)+(x3-x)=0⎪3⇔⎨ ++=⇔⎨
y+y+y23⎩(y1-y)+(y2-y)+(y3-y)=0⎪y=1
⎪3⎩
⇔O是∆ABC的重心.
证法2：如图
OA+OB+OC =+2= ∴=2
∴A、O、D三点共线，且O分AD
为2：1
∴O是∆ABC的重心
B
DC
（2）⋅=⋅=⋅⇔O为∆ABC的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
⋅=⋅⇔(-)=⋅=0 ⇔⊥
同理⊥，⊥
⇔O为∆ABC的垂心
BDC
（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是∆ABC的内心
aOA+bOB+cOC=0⇔O为∆ABC的内心. 分别为AB、AC方向上的单位向量， cb平分∠BAC, +∴
cb
bcABAC
)，令λ= +∴=λ(
a+b+ccb
证明：
∴
bc（) +
a+b+ccb
化简得(a+b+c)+b+c=
=
（4
==⇔O为∆ABC的外心。
典型例题：
例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
∴a+b+c=
=+λ(+)，λ∈[0,+∞) ，则点P的轨迹一定通过∆ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示∆ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.
AB+AC=2AD
∴OP=OA+2λAD =+ ∴=2λ ∴//
B
D
C
∴点P的轨迹一定通过∆ABC的重心，即选C.
例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P
满足=+λ+
则点P的轨迹一定通过∆ABC的（ B ） ，λ∈[0,+∞) ，
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：分别为AB、AC方向上的单位向量，
平分∠BAC,
∴
+
∴点P的轨迹一定通过∆ABC的内心，即选B.
例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P
满足
=+λ，λ∈[0,+∞) ，则点P的轨迹一定通过∆ABC的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足
. +
⋅BC
+
+
=-
=0
∴点P的轨迹一定通过∆ABC的垂心，即选D.
例4：在∆
ABC中，AB=3,BC=AC=2，若O为∆ABC的垂心，则AO⋅AC的值为( C )
（A）2
（B）
73
（C）3
（D
）5例5：.(2013年江西省重点中学盟校高三第二次联考，10,5分) 已知为锐角三角形的
外心，
, 且
, 则实数
的值为( A )
A.
B.
C.
D.
例6：（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，10,5分）已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且
若
则
（ A ）
A．
B.
C. D. 不能确
定
例7：(2012湖北省黄冈中学高三11月月考，10,5分)已知为平面上的一个定点，A、B、
C是该平面上不共线的三个动点，点
满足条件
，则动点
的轨迹一定通过
的（ C ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
例8：（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知P是∆ABC内
一点,且满足PA+2PB+3PC=0,记
∆ABP、∆BCP、∆ACP
的面积依次为S1、S2、S3,则S1:S2:S3等于 A．1:2:3
B．1:4:9
C．:2:1
D．3:1:2
）（
【答案】D
例9：（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）设点G是∆ABC的重心,若
∠A=120 ,⋅=-1,则的最小值是
（ ）
A．
3
3
B．
23
C．
233
D．
4
【答案】B
例10：（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）设P为∆ABC所在平
面内一点,且5AP-2AB-AC=0,则∆PAB的面积与∆ABC的面积之比等于 A
CD．不确定
【答案】C
例11：（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）△ABC外接圆的半径为1,
圆心为O,
且AB+AC=2AO,|AB|=OA|,则CA⋅CB的值是
A．3
B
CD．1
【答案】D
练习：
1．已知∆ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足++=，若实数λ满足：AB+AC=λAP，则λ的值为（ ）
A．2 B．
3
2
C．3 D．6 2．若∆A
BC的外接圆的圆心为O，半径为1，++=，则OA⋅OB=( ) A．
12 B．0 C．1 D．-12
3．点O在∆ABC内部且满足+2+2=，则∆ABC面积与凹四边形
ABOC面积之比是（ ）
A．0 B．
32 C．54
4 D．3
4．∆ABC的外接圆的圆心为O，若=++，则H是∆ABC的（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
）
）
（（
5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA+BC=OB
2
2
2
+=+，则O是∆ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
222
∆ABC的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H， =m(++)，
则实数m =
→→→→1ABACABAC→→→7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(+ )·BC=0 · = , 则
2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知∆ABC三个顶点A、B、C，若=⋅+⋅+⋅，则
2
∆ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C
三角形的四心在向量中的应用
相关知识点：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2）||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，特别地，当a、 b同向或有0⇔|a+b|=|a|+|b|
b反向或有0⇔|a-b|= b不≥||a|-|b||=|a-b|；当a、|a|+|b|≥|a|-|b||=a+b|；当a、共线⇔|a|-|b||
（3）在∆ABC中，①若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则其重心的坐标为
y+⎛x+x2+x3y+2y⎫3
如若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，G 1,1⎪。
33⎝⎭
24
-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______（答：(-,)）；
33
②PG=(PA+PB+PC)⇔G为∆ABC的重心，特别地PA+PB+PC=0⇔P
3
为∆ABC的重心；
③PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA⇔P为∆ABC的垂心；
④向量λ(AB+AC)(λ≠0)所在直线过∆ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在
|AB||AC|
直线)；
⑤|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0⇔P∆ABC的内心；
λ，点M为平面内的任一点，则（3）若P分有向线段PP12所成的比为
MP=
MPMP1+MP2； 1+λMP2，特别地P为PP的中点⇔MP=12
21+λ
（4）向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线⇔存在实数
α、β使得
PA=αPB+βP且Cα+β=1.如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点
−−→
A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=λ1OA+λ2OB,其中λ1,λ2∈R且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）
−−→−−→
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合
（1）++=⇔O是∆ABC的重心.
证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
x1+x2+x3⎧x=⎪⎧(x1-x)+(x2-x)+(x3-x)=0⎪3⇔⎨ ++=⇔⎨
y+y+y23⎩(y1-y)+(y2-y)+(y3-y)=0⎪y=1
⎪3⎩
⇔O是∆ABC的重心.
证法2：如图
OA+OB+OC =+2= ∴=2
∴A、O、D三点共线，且O分AD
为2：1
∴O是∆ABC的重心
B
DC
（2）⋅=⋅=⋅⇔O为∆ABC的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
⋅=⋅⇔(-)=⋅=0 ⇔⊥
同理⊥，⊥
⇔O为∆ABC的垂心
BDC
（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是∆ABC的内心
aOA+bOB+cOC=0⇔O为∆ABC的内心. 分别为AB、AC方向上的单位向量， cb平分∠BAC, +∴
cb
bcABAC
)，令λ= +∴=λ(
a+b+ccb
证明：
∴
bc（) +
a+b+ccb
化简得(a+b+c)+b+c=
=
（4
==⇔O为∆ABC的外心。
典型例题：
例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
∴a+b+c=
=+λ(+)，λ∈[0,+∞) ，则点P的轨迹一定通过∆ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示∆ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.
AB+AC=2AD
∴OP=OA+2λAD =+ ∴=2λ ∴//
B
D
C
∴点P的轨迹一定通过∆ABC的重心，即选C.
例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P
满足=+λ+
则点P的轨迹一定通过∆ABC的（ B ） ，λ∈[0,+∞) ，
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：分别为AB、AC方向上的单位向量，
平分∠BAC,
∴
+
∴点P的轨迹一定通过∆ABC的内心，即选B.
例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P
满足
=+λ，λ∈[0,+∞) ，则点P的轨迹一定通过∆ABC的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足
. +
⋅BC
+
+
=-
=0
∴点P的轨迹一定通过∆ABC的垂心，即选D.
例4：在∆
ABC中，AB=3,BC=AC=2，若O为∆ABC的垂心，则AO⋅AC的值为( C )
（A）2
（B）
73
（C）3
（D
）5例5：.(2013年江西省重点中学盟校高三第二次联考，10,5分) 已知为锐角三角形的
外心，
, 且
, 则实数
的值为( A )
A.
B.
C.
D.
例6：（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，10,5分）已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且
若
则
（ A ）
A．
B.
C. D. 不能确
定
例7：(2012湖北省黄冈中学高三11月月考，10,5分)已知为平面上的一个定点，A、B、
C是该平面上不共线的三个动点，点
满足条件
，则动点
的轨迹一定通过
的（ C ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
例8：（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知P是∆ABC内
一点,且满足PA+2PB+3PC=0,记
∆ABP、∆BCP、∆ACP
的面积依次为S1、S2、S3,则S1:S2:S3等于 A．1:2:3
B．1:4:9
C．:2:1
D．3:1:2
）（
【答案】D
例9：（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）设点G是∆ABC的重心,若
∠A=120 ,⋅=-1,则的最小值是
（ ）
A．
3
3
B．
23
C．
233
D．
4
【答案】B
例10：（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）设P为∆ABC所在平
面内一点,且5AP-2AB-AC=0,则∆PAB的面积与∆ABC的面积之比等于 A
CD．不确定
【答案】C
例11：（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）△ABC外接圆的半径为1,
圆心为O,
且AB+AC=2AO,|AB|=OA|,则CA⋅CB的值是
A．3
B
CD．1
【答案】D
练习：
1．已知∆ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足++=，若实数λ满足：AB+AC=λAP，则λ的值为（ ）
A．2 B．
3
2
C．3 D．6 2．若∆A
BC的外接圆的圆心为O，半径为1，++=，则OA⋅OB=( ) A．
12 B．0 C．1 D．-12
3．点O在∆ABC内部且满足+2+2=，则∆ABC面积与凹四边形
ABOC面积之比是（ ）
A．0 B．
32 C．54
4 D．3
4．∆ABC的外接圆的圆心为O，若=++，则H是∆ABC的（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
）
）
（（
5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA+BC=OB
2
2
2
+=+，则O是∆ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
222
∆ABC的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H， =m(++)，
则实数m =
→→→→1ABACABAC→→→7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(+ )·BC=0 · = , 则
2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知∆ABC三个顶点A、B、C，若=⋅+⋅+⋅，则
2
∆ABC为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C