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第八课时 函数的最值 【学习导航】
知识网络
学习要求
1．了解函数的最大值与最小值概念；
2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；
3．能求一些常见函数的最值和值域．
自学评价
1．函数最值的定义：
一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为A 若存在定值x 0∈A ，使得对于任意x ∈x ) ≤f (x 0) 恒成立，则称f (x 0) 为y =f (x ) y x 0) 若存在定值x 0∈A x ∈A ，有f (x ) ≥f (x 0) 恒成立，则称f (x 0) 为y =f (x ) y min =f (x 0) ；
2 [a , b ]，
f (x ) 是增函数，则y max =f (a ) ，y min =f (b )
若y =f (x ) 是减函数，则y max =f (b ) y min =f (a )
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间和最值：
例1：如图为函数y =f (x ) ，x ∈[-4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
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【解】
由图可以知道：
当x =-1.5时，该函数取得最小值-2；
当x =3时，函数取得最大值为3；
函数的单调递增区间有２个：(-1.5,3) 和(5,6)；
该函数的单调递减区间有三个：(-4, -1.5) 、(4,5)和(6,7)
二．求函数最值：
例2：求下列函数的最小值：
（1）y =x 2-2x ；
（2）f (x ) =
【解】
（１）y =x -2x =(x -1) ∴当x =1时，y min =-1；
221，x ∈[1,3]． x 1x [1,3]上是单调减函数，所以当x =3时函数f (x ) =取得x 1. 函数f (x ) =x -mx +4(m >0) 在(-∞,0]上的最小值（A
）
(A ) 4
(B ) -4
(C ) 与m 的取值有关 (D ) 不存在
2. 函数f (x ) =的最小值是 ０ ，最大值是
3. 求下列函数的最值：
3 ． 2
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(1)f (x ) =x 4+1, x ∈{-1,0,1,2}；
(2)f (x ) =3x +5, x ∈[3,6]
析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的．
解：(1)f (1)=f (-1) =2; f (0)=1; f (2)=17
所以当x =0时，y min =1；当x =2时，y max =17；
(2)函数f (x ) =3x +5是一次函数，且3>0
故f (x ) =3x +5在区间[3,6]上是增函数
所以当x =3时，y min =14；
当x =6时，y max =23；
【选修延伸】
含参数问题的最值：
例３: 求f (x ) =x 2-2ax ，x ∈[0,4) 的最小值．
【解】
f (x ) =(x -a ) 2-a 2
①若a ≤0，则f (x ) 在[0,4) x ) ]f (0)=0；
②若0
③若a ≥4，则f (x ) 在[0,4) ()
点评:
论！
思维点拔：一、利用单调性写函数的最值？
[a , c ]上是图像连续的，且在[a , b ] 是单, c ]上是单调递减的，则该函数在区间[a , c ]上的最大值一定是在x =b 处取得；同理，若函数在区间[a , c ]上是图像连续的，且在[a , b ] 是单调递减的，在[b , c ]上是单调递增的，则该函数在区间[a , c ]上的最小值一定是在x =b 处取得．
追踪训练
１．函数f (x ) =1的最大值是 1-x (1-x )
( D)
(A ) 4534 (B ) (C ) (D ) 5443
2. y=x2+x 2-1的最小值为( C )
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A.0 B. 3 4C.1 D 不存在.
3. 函数f (x ) =ax 2+2ax +1(a >0) 在区间[-3,2]上的最大值为4，则a =____3____． 8
⎧x +3(x
5．已知二次函数f (x ) =ax 2+2ax +1在[-3,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解：函数f (x ) =ax 2+2ax +1的对称轴为x =-1，
当a 0时，则当x =2时函数取最大值
4，即8a +1=4即a =
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第8课 函数的最值
分层训练
1．函数y =(2k +1) x +b 在实数集上是增函数，则 （ ）
A ．k >-1
2 B ．k
2
C ．b >0 D ．b >0
2．已知函数f(x)在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)
A ． 至少有一实根 B ． 至多有一实根
C ．没有实根 D ．必有唯一的实根
3．已知f(x)=8+2x－x 2, 如果g(x)=f( 2－x 2 ),那么g(x) （ ）
A ．在区间(－1,0) 上是减函数
B ．在区间(0,1)上是减函数
C ．在区间(－2,0) 上是增函数
D ．在区间(0,2)上是增函数
考试热点
4．函数f (x ) =⎧⎨x 2-2x x ⎩2x x ∈[- ．
5
－-x 的最大值为_____.最小值为_____.
6
7．(1) (2)
8．已知函数f (x ) =x 2+2x +a
x , x ∈[1,+∞) ．
（1）当a =0.5时，求函数f (x ) 的最小值；
（2）若对任意x ∈[1,+∞), f (x ) >0恒成立，试求实数a 的取值范围．
）
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拓展延伸
19．已知≤a ≤1，若函数f (x )=ax 2-2x +1在区间[1，3]上的最大值为M (a )，最小3
值为N (a )，令g (a )=M (a )-N (a )．
（1）求g (a )的函数表达式；
（2）判断函数g (a )在区间[1，1]上的单调性，并求出g (a )的最小值 . 3
10．在经济学中，函数f (x ) 的边际函数为Mf (x ) ，定义为Mf =1) -f (x ) ，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x 台的收入函数为R (x ) x -20x 2（单位元），其成本函数为C (x ) =500x +4000（单位元）. ①求出利润函数p (x ) 及其边际利润函数Mp (；
②求出的利润函数p (x ) 及其边际利润函数
③你认为本题中边际利润函数Mp (x )
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第八课时 函数的最值 【学习导航】
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学习要求
1．了解函数的最大值与最小值概念；
2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；
3．能求一些常见函数的最值和值域．
自学评价
1．函数最值的定义：
一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为A 若存在定值x 0∈A ，使得对于任意x ∈x ) ≤f (x 0) 恒成立，则称f (x 0) 为y =f (x ) y x 0) 若存在定值x 0∈A x ∈A ，有f (x ) ≥f (x 0) 恒成立，则称f (x 0) 为y =f (x ) y min =f (x 0) ；
2 [a , b ]，
f (x ) 是增函数，则y max =f (a ) ，y min =f (b )
若y =f (x ) 是减函数，则y max =f (b ) y min =f (a )
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间和最值：
例1：如图为函数y =f (x ) ，x ∈[-4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
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【解】
由图可以知道：
当x =-1.5时，该函数取得最小值-2；
当x =3时，函数取得最大值为3；
函数的单调递增区间有２个：(-1.5,3) 和(5,6)；
该函数的单调递减区间有三个：(-4, -1.5) 、(4,5)和(6,7)
二．求函数最值：
例2：求下列函数的最小值：
（1）y =x 2-2x ；
（2）f (x ) =
【解】
（１）y =x -2x =(x -1) ∴当x =1时，y min =-1；
221，x ∈[1,3]． x 1x [1,3]上是单调减函数，所以当x =3时函数f (x ) =取得x 1. 函数f (x ) =x -mx +4(m >0) 在(-∞,0]上的最小值（A
）
(A ) 4
(B ) -4
(C ) 与m 的取值有关 (D ) 不存在
2. 函数f (x ) =的最小值是 ０ ，最大值是
3. 求下列函数的最值：
3 ． 2
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(1)f (x ) =x 4+1, x ∈{-1,0,1,2}；
(2)f (x ) =3x +5, x ∈[3,6]
析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的．
解：(1)f (1)=f (-1) =2; f (0)=1; f (2)=17
所以当x =0时，y min =1；当x =2时，y max =17；
(2)函数f (x ) =3x +5是一次函数，且3>0
故f (x ) =3x +5在区间[3,6]上是增函数
所以当x =3时，y min =14；
当x =6时，y max =23；
【选修延伸】
含参数问题的最值：
例３: 求f (x ) =x 2-2ax ，x ∈[0,4) 的最小值．
【解】
f (x ) =(x -a ) 2-a 2
①若a ≤0，则f (x ) 在[0,4) x ) ]f (0)=0；
②若0
③若a ≥4，则f (x ) 在[0,4) ()
点评:
论！
思维点拔：一、利用单调性写函数的最值？
[a , c ]上是图像连续的，且在[a , b ] 是单, c ]上是单调递减的，则该函数在区间[a , c ]上的最大值一定是在x =b 处取得；同理，若函数在区间[a , c ]上是图像连续的，且在[a , b ] 是单调递减的，在[b , c ]上是单调递增的，则该函数在区间[a , c ]上的最小值一定是在x =b 处取得．
追踪训练
１．函数f (x ) =1的最大值是 1-x (1-x )
( D)
(A ) 4534 (B ) (C ) (D ) 5443
2. y=x2+x 2-1的最小值为( C )
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A.0 B. 3 4C.1 D 不存在.
3. 函数f (x ) =ax 2+2ax +1(a >0) 在区间[-3,2]上的最大值为4，则a =____3____． 8
⎧x +3(x
5．已知二次函数f (x ) =ax 2+2ax +1在[-3,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解：函数f (x ) =ax 2+2ax +1的对称轴为x =-1，
当a 0时，则当x =2时函数取最大值
4，即8a +1=4即a =
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分层训练
1．函数y =(2k +1) x +b 在实数集上是增函数，则 （ ）
A ．k >-1
2 B ．k
2
C ．b >0 D ．b >0
2．已知函数f(x)在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)
A ． 至少有一实根 B ． 至多有一实根
C ．没有实根 D ．必有唯一的实根
3．已知f(x)=8+2x－x 2, 如果g(x)=f( 2－x 2 ),那么g(x) （ ）
A ．在区间(－1,0) 上是减函数
B ．在区间(0,1)上是减函数
C ．在区间(－2,0) 上是增函数
D ．在区间(0,2)上是增函数
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4．函数f (x ) =⎧⎨x 2-2x x ⎩2x x ∈[- ．
5
－-x 的最大值为_____.最小值为_____.
6
7．(1) (2)
8．已知函数f (x ) =x 2+2x +a
x , x ∈[1,+∞) ．
（1）当a =0.5时，求函数f (x ) 的最小值；
（2）若对任意x ∈[1,+∞), f (x ) >0恒成立，试求实数a 的取值范围．
）
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拓展延伸
19．已知≤a ≤1，若函数f (x )=ax 2-2x +1在区间[1，3]上的最大值为M (a )，最小3
值为N (a )，令g (a )=M (a )-N (a )．
（1）求g (a )的函数表达式；
（2）判断函数g (a )在区间[1，1]上的单调性，并求出g (a )的最小值 . 3
10．在经济学中，函数f (x ) 的边际函数为Mf (x ) ，定义为Mf =1) -f (x ) ，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x 台的收入函数为R (x ) x -20x 2（单位元），其成本函数为C (x ) =500x +4000（单位元）. ①求出利润函数p (x ) 及其边际利润函数Mp (；
②求出的利润函数p (x ) 及其边际利润函数
③你认为本题中边际利润函数Mp (x )