凸多邊形各邊中點連線所圍的面積
王文光
摘要:本文借助於GSP套裝軟體所提供的環境,觀察凸n邊形各邊中點連線所圍成區域面積與原來凸n邊形面積之比值。我們得到如下的結論:當n=3時,該值為1/4;當n=4時,該值為1/2;當n=5時,該值介於1/2和3/4之間;當n≥6時,該值介於1/2和1之間。
在國中數學課本中,我們知道三角形、四邊形各邊中點連線所圍成面積與原來面積的比值,分別為1/4和1/2。在本文裡,我們擬針對凸五邊形及其他凸n邊形,探討是否也有類似的固定比值?如果沒有,是否有其他的關係呢?為對任意多邊形更進一步探討此一關係,我們先利用GSP軟體,進行一般的觀察,瞭解其中的關係,並進行驗證。
1.三角形、四邊形的情形
首先重溫三角形、四邊形的性質,來進行瞭解,如圖一、二所示,作為進一步觀察五邊形的情形的預備工作。
定理一:在△ABC中,若E、F、G分別為
EF平行
4AC、EF=△ABC。
41
42數學傳播28卷4期民93年12月
證明:............(skip)............證畢。
定理二:在任意四邊形ABCD中,E、F、G、H分別為
則
1.四邊形EFGH為平行四邊形;
2.
凸多邊形各邊中點連線所圍的面積
王文光
摘要:本文借助於GSP套裝軟體所提供的環境,觀察凸n邊形各邊中點連線所圍成區域面積與原來凸n邊形面積之比值。我們得到如下的結論:當n=3時,該值為1/4;當n=4時,該值為1/2;當n=5時,該值介於1/2和3/4之間;當n≥6時,該值介於1/2和1之間。
在國中數學課本中,我們知道三角形、四邊形各邊中點連線所圍成面積與原來面積的比值,分別為1/4和1/2。在本文裡,我們擬針對凸五邊形及其他凸n邊形,探討是否也有類似的固定比值?如果沒有,是否有其他的關係呢?為對任意多邊形更進一步探討此一關係,我們先利用GSP軟體,進行一般的觀察,瞭解其中的關係,並進行驗證。
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41
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