八年级数学下册导学案（二十八）
杨成超
八年级数学下册——重心导学案
【教学目标】：
进一步认识规则几何图形的重心就是它的几何中心. 探究不规则几何图形的重心. 。
【教学重难点】：
探索三角形、任意多边形的重心.
【自学指导】：
学生看P109---P110注意以下问题：
①
②
③
④ 我们采用了什么样的方法来探究几何图形的重心? 我们得到的结论是什么? 不同形状、不同类型的三角形的重心又会有什么不同？它们是否都在三角形内部？ 寻找三角形和任意多边形的重心 质量分布不均又没有特定几何形状的物体重心如何寻找呢？
【自学检测】：
（1）用一个手指顶住一块均匀的正方形硬纸片, 找出平衡点的位置．
（2）探索这个平衡点与正方形对角线的交点有什么关系, 你有什么发现?
（3）根据（2）的发现, 你能找出矩形、菱形、一般平行四边形的重心在什么位置吗? 发现：
【师生共同探究，总结】：
✧ 线段的重心是线段的中点.
✧ 平行四边形的重心, 是它的两条对角线的交点.
✧ 分组, 然后各种对不同形状的三角形进行研究.
1. 在三角形薄板的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点;
2. 用下端系有小重物的细线缠绕在一个小钉上, 吊起薄板, 记下铅垂线
的“痕迹”;
3. 在另一个小钉上重复(2)的活动, 找到两条铅垂线的交点.
✧ 寻找三角形和任意多边形的重心
✧ 三角形的三条中线交于一点. 这一点就是三角形的重心.
✧ 如下图所示.
第一组:我们组是找的锐角三角形的重心, 它就在三角形内部. （如图a ） 第二组
:我们的研究的直角三角形, 我们发现直角三角形的重心也在三角形
内部（如图b ）
第三组:我们研究的是钝角三角形, 钝角三角形, 钝角三角形的重心仍在三角形上, 而且在三角形的内部
.
✧ 对于线段、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形等规则的几何图
形, 它们的重心就是该图形的几何中心.
✧ 对于任何的多边形这些不规则的几何图形, 它们的重心就需要采用悬挂法来
找.
✧ 重心就是重力的作用点，重心及其位置的变化，直接影响重力作用的
整体效果。在重力起主要作用的力学过程中，如建筑设计、机械制造等技术领域，对其稳定性、平衡性、转动性等一系列力学问题，关于重心的思考是必不可少，甚至是至关重要的。对于质量分布均匀又有一定的几何形状的物体，它的重心都与其几何中心重合。
✧ 重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：
(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 证明：刚才证明三线交一时已证。 6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
✧ 下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。
三角形的重心就是三边中线的交点。 线段的重心就是线段的中点。 平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。
平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。
圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。
锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。
四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。
✧ 重心的影响因素
1. 物体的形状
2. 质量的分布
✧ 寻找重心的方法
下面是一些寻找形状不规则或质量不均匀物体重心的方法。
a. 悬挂法
只适用于薄板（不一定均匀）。首先找一根细绳，在物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就是物体重心。
b. 支撑法
只适用于细棒（不一定均匀）。用一个支点支撑物体，不断变化位置，越稳定的位置，越接近重心。
一种可能的变通方式是用两个支点支撑，然后施加较小的力使两个支点靠近，因为离重心近的支点摩擦力会大，所以物体会随之移动，使另一个支点更接近重心，如此可以找到重心的近似位置。
c. 针顶法 同样只适用于薄板。用一根细针顶住板子的下面，当板子能够保持平衡，那么针顶的位置接近重心。
与支撑法同理，可用3根细针互相接近的方法，找到重心位置的范围，不过这就没有支撑法的变通方式那样方便了。
d. 用铅垂线找重心（任意一图形，质地均匀）
用绳子找其一端点悬挂，后用铅垂线挂在此端点上（描下来）。而后用同样的方法作另一条线。两线交点即其重心。
✧ 重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点, 称为三角形重心;
垂心:三角形各边上的高交于一点, 称为三角形垂心;
外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点, 称为三角形外心;
内心:三角形三内角平分线交于一点, 称为三角形内心;
中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。 三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，
五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
外 心
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
【提高练习】：
1. 规则几何图形重心是它的______不规则几何图形的重心可以通过______来找．
2. 用一块均匀的木板做一个翘翘板，支点应放在____________.
3. 用手指顶起一块平行四边形的硬纸板，欲使纸板平衡，则手指应放在_______.
4. 已知O 是菱形的重心，过O 作一条直线将非正方形的菱形分成两部分不可能是（ ）.
A. 平行四边形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.矩形
5. 三角形的重心是三角形三条（ ）的交点.
A ．中线 B．高 C．角平分线
Ｄ．垂直平分线
6. 如图，用确定几何重心的方法将图形分成面积相等的两部分.
【作业】：
1．线段的重心是 ．
2．平行四边形的重心是 ．
3．三角形的重心是
4．等边三角形的重心，也是它的心；心；心．
5．O 为正方形ABCD 的重心，EF 、GH 过O 点，且EF 垂直于GH ，则EF 、GH 将正方形分成的四部分面积有何关系？ ．
6．任意三角形的重心的位置一定在（ ）
A ．三角形的内部 B．三角形的外部 C．三角形的某边上 D．以上均有可能
7．（8分）三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的倍．
8．（10分）小明作了个三角形的风筝，他想找到风筝的重心，你能帮他找到重心吗？试一试．
第8题图 o G Rt , ∠, AC BC = 3, 是的重心．9．已知： ∆ ACB ACB = 90 = 4 , ∆ABC 求：点G 到直角顶点C 的距离GC 的值．
第9
10．设四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，△OAB 、△OBC 、△OCD 、△ODA 的重心分别为E 、F 、G 、H ，则S EFGH ∶S ABCD 值是多少．
第10
11．下列说法中正确的是（ ）
①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一
A ．①③④ B ．②③④ C ．①②③ D ．①②③④
12．在△ABC 中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，则点G 到BC 边的距离为．
13．已知△ABC 三边长分别为5、12、13，CD 为中线，那么重心到垂心的距离是多少？
第13题图
14．工人师傅要把一块角钢（如图）分成面积相等的两块，你能帮忙份一下吗？
第14题图
15．在 △ABC ，中线BE 与中线CD 交于G 点，若M 为BE 的中点, N 为CD
的中点, 求：S ∆M NG :S ∆EDG
第15
16．如图，你能作出平行四边形的重心吗？对于任给四边形，你能作出它的重心吗？试一试．
第16题图
八年级数学下册导学案（二十八）
杨成超
八年级数学下册——重心导学案
【教学目标】：
进一步认识规则几何图形的重心就是它的几何中心. 探究不规则几何图形的重心. 。
【教学重难点】：
探索三角形、任意多边形的重心.
【自学指导】：
学生看P109---P110注意以下问题：
①
②
③
④ 我们采用了什么样的方法来探究几何图形的重心? 我们得到的结论是什么? 不同形状、不同类型的三角形的重心又会有什么不同？它们是否都在三角形内部？ 寻找三角形和任意多边形的重心 质量分布不均又没有特定几何形状的物体重心如何寻找呢？
【自学检测】：
（1）用一个手指顶住一块均匀的正方形硬纸片, 找出平衡点的位置．
（2）探索这个平衡点与正方形对角线的交点有什么关系, 你有什么发现?
（3）根据（2）的发现, 你能找出矩形、菱形、一般平行四边形的重心在什么位置吗? 发现：
【师生共同探究，总结】：
✧ 线段的重心是线段的中点.
✧ 平行四边形的重心, 是它的两条对角线的交点.
✧ 分组, 然后各种对不同形状的三角形进行研究.
1. 在三角形薄板的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点;
2. 用下端系有小重物的细线缠绕在一个小钉上, 吊起薄板, 记下铅垂线
的“痕迹”;
3. 在另一个小钉上重复(2)的活动, 找到两条铅垂线的交点.
✧ 寻找三角形和任意多边形的重心
✧ 三角形的三条中线交于一点. 这一点就是三角形的重心.
✧ 如下图所示.
第一组:我们组是找的锐角三角形的重心, 它就在三角形内部. （如图a ） 第二组
:我们的研究的直角三角形, 我们发现直角三角形的重心也在三角形
内部（如图b ）
第三组:我们研究的是钝角三角形, 钝角三角形, 钝角三角形的重心仍在三角形上, 而且在三角形的内部
.
✧ 对于线段、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形等规则的几何图
形, 它们的重心就是该图形的几何中心.
✧ 对于任何的多边形这些不规则的几何图形, 它们的重心就需要采用悬挂法来
找.
✧ 重心就是重力的作用点，重心及其位置的变化，直接影响重力作用的
整体效果。在重力起主要作用的力学过程中，如建筑设计、机械制造等技术领域，对其稳定性、平衡性、转动性等一系列力学问题，关于重心的思考是必不可少，甚至是至关重要的。对于质量分布均匀又有一定的几何形状的物体，它的重心都与其几何中心重合。
✧ 重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：
(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 证明：刚才证明三线交一时已证。 6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
✧ 下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。
三角形的重心就是三边中线的交点。 线段的重心就是线段的中点。 平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。
平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。
圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。
锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。
四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。
✧ 重心的影响因素
1. 物体的形状
2. 质量的分布
✧ 寻找重心的方法
下面是一些寻找形状不规则或质量不均匀物体重心的方法。
a. 悬挂法
只适用于薄板（不一定均匀）。首先找一根细绳，在物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就是物体重心。
b. 支撑法
只适用于细棒（不一定均匀）。用一个支点支撑物体，不断变化位置，越稳定的位置，越接近重心。
一种可能的变通方式是用两个支点支撑，然后施加较小的力使两个支点靠近，因为离重心近的支点摩擦力会大，所以物体会随之移动，使另一个支点更接近重心，如此可以找到重心的近似位置。
c. 针顶法 同样只适用于薄板。用一根细针顶住板子的下面，当板子能够保持平衡，那么针顶的位置接近重心。
与支撑法同理，可用3根细针互相接近的方法，找到重心位置的范围，不过这就没有支撑法的变通方式那样方便了。
d. 用铅垂线找重心（任意一图形，质地均匀）
用绳子找其一端点悬挂，后用铅垂线挂在此端点上（描下来）。而后用同样的方法作另一条线。两线交点即其重心。
✧ 重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点, 称为三角形重心;
垂心:三角形各边上的高交于一点, 称为三角形垂心;
外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点, 称为三角形外心;
内心:三角形三内角平分线交于一点, 称为三角形内心;
中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。 三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，
五心性质很重要，认真掌握莫记混．
重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
外 心
三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
【提高练习】：
1. 规则几何图形重心是它的______不规则几何图形的重心可以通过______来找．
2. 用一块均匀的木板做一个翘翘板，支点应放在____________.
3. 用手指顶起一块平行四边形的硬纸板，欲使纸板平衡，则手指应放在_______.
4. 已知O 是菱形的重心，过O 作一条直线将非正方形的菱形分成两部分不可能是（ ）.
A. 平行四边形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.矩形
5. 三角形的重心是三角形三条（ ）的交点.
A ．中线 B．高 C．角平分线
Ｄ．垂直平分线
6. 如图，用确定几何重心的方法将图形分成面积相等的两部分.
【作业】：
1．线段的重心是 ．
2．平行四边形的重心是 ．
3．三角形的重心是
4．等边三角形的重心，也是它的心；心；心．
5．O 为正方形ABCD 的重心，EF 、GH 过O 点，且EF 垂直于GH ，则EF 、GH 将正方形分成的四部分面积有何关系？ ．
6．任意三角形的重心的位置一定在（ ）
A ．三角形的内部 B．三角形的外部 C．三角形的某边上 D．以上均有可能
7．（8分）三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的倍．
8．（10分）小明作了个三角形的风筝，他想找到风筝的重心，你能帮他找到重心吗？试一试．
第8题图 o G Rt , ∠, AC BC = 3, 是的重心．9．已知： ∆ ACB ACB = 90 = 4 , ∆ABC 求：点G 到直角顶点C 的距离GC 的值．
第9
10．设四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，△OAB 、△OBC 、△OCD 、△ODA 的重心分别为E 、F 、G 、H ，则S EFGH ∶S ABCD 值是多少．
第10
11．下列说法中正确的是（ ）
①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一
A ．①③④ B ．②③④ C ．①②③ D ．①②③④
12．在△ABC 中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，则点G 到BC 边的距离为．
13．已知△ABC 三边长分别为5、12、13，CD 为中线，那么重心到垂心的距离是多少？
第13题图
14．工人师傅要把一块角钢（如图）分成面积相等的两块，你能帮忙份一下吗？
第14题图
15．在 △ABC ，中线BE 与中线CD 交于G 点，若M 为BE 的中点, N 为CD
的中点, 求：S ∆M NG :S ∆EDG
第15
16．如图，你能作出平行四边形的重心吗？对于任给四边形，你能作出它的重心吗？试一试．
第16题图