中点四边形的性质
龚屹鹏 赵毅轩
四边形是我们在日常生活中常见的一种几何图形，像窗子、伸缩门等。四边形的应用尤其是特殊的四边形的应用非常广泛并且特别重要。那么，我们如何解决中点四边形中的各种问题呢？下面我们就从四边形入手来寻找中点四边形及其性质。
概念：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形为中点四边形。
BDE
A
H
H
C
G
DAD
图1-1
以上三个图形均是三个不规则的凸四边形的各边中点连线所构成的中点四边形。
由三个图可以发现，所构成的中点四边形都与平行四边形极为相似，由此做出假设：凸四边形内部构成的中点四边形均为平行四边形。 用图1-1中的其中一个图进行论证
DHA
证明：
连接四边形对角线AC、BD（如图）
∵在△ACB中，F、E分别为边BC、BA的中点 即FE为中位线 ∴FE=1/2CA、FE//CA.
同理，在△ACD中可得：GH=1/2AC、GH//AC ∵FE=1/2CA、GH=1/2AC ∴FE=GH（等量代换） 又∵FE//CA、GH//AC
∴FE//GH（平行于同一条直线的两条直线相互平行） ∴在四边形EFGH中，FE=GH、FE//GH
∴四边形EFGH为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）
通过上述证明可得：任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形均为平行四边形。 五．分类讨论
结论得出任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形均为平行四边形，而平行四边行有几种特殊情况，大致分为1.菱形2.矩形，矩形中又可分为1.正方形2.长方形。而对于得出的中点四边形为菱形、正方形、长方形这三种图形时，原先的四边行又应具有哪些特性呢？
拿上面的证明图来说：
DHA
（1）菱形
菱形对于普通平行四边行而言，新的特点是邻边相等，也就意味着，
在已知的平行四边形EFGH中不仅要FE=GH，同时要FE=GF，而由中位线定理得FE=1/2CA、GF=1/2BD，则： 令FE=GF
∵FE=1/2CA、FE=1/2BD ∴CA=BD
也就是说当原四边形的两条对角线相等时，新的中点四边形会变成菱形。
结论：对角线相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为菱形。（如图1-2）
ABF
C
DG
H
图1-2
（2）长方形
长方形对于普通平行四边形而言，新的特点是邻边垂直，也就意味着，在已知的平行四边形EFGH中要FE⊥FG，而由中位线定理得FE//AC、FG//BD，则： 令FE⊥FG ∵FE//AC、FG//BD ∴AC⊥BD
也就是说当原四边形的两条对角线垂直时，新的中点四边形会变成长方形。
结论：对角线相互垂直的四边形各边中点连线而成的中点四边形为长
方形。（如图1-3）
D
图1-3
（3）正方形
正方行对于普通平行四边形而言，结合了菱形和长方形对于普通平行四边形新增的特点，结合（1）、（2）中的证明及论述得出当原四边形的两条对角线既相互垂直又相等时，新的中点四边形会变成正方形。 结论：对角线既相互垂直又相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为正方形。（如图1-4）
D
图1-4
任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形均为平行四边形，而其中1. 对角线相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为菱形2. 对角线相互垂直的四边形各边中点连线而成的中点四边形为长方形3. 对角线既相互垂直又相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为正方形。
中点四边形的性质
龚屹鹏 赵毅轩
四边形是我们在日常生活中常见的一种几何图形，像窗子、伸缩门等。四边形的应用尤其是特殊的四边形的应用非常广泛并且特别重要。那么，我们如何解决中点四边形中的各种问题呢？下面我们就从四边形入手来寻找中点四边形及其性质。
概念：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形为中点四边形。
BDE
A
H
H
C
G
DAD
图1-1
以上三个图形均是三个不规则的凸四边形的各边中点连线所构成的中点四边形。
由三个图可以发现，所构成的中点四边形都与平行四边形极为相似，由此做出假设：凸四边形内部构成的中点四边形均为平行四边形。 用图1-1中的其中一个图进行论证
DHA
证明：
连接四边形对角线AC、BD（如图）
∵在△ACB中，F、E分别为边BC、BA的中点 即FE为中位线 ∴FE=1/2CA、FE//CA.
同理，在△ACD中可得：GH=1/2AC、GH//AC ∵FE=1/2CA、GH=1/2AC ∴FE=GH（等量代换） 又∵FE//CA、GH//AC
∴FE//GH（平行于同一条直线的两条直线相互平行） ∴在四边形EFGH中，FE=GH、FE//GH
∴四边形EFGH为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）
通过上述证明可得：任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形均为平行四边形。 五．分类讨论
结论得出任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形均为平行四边形，而平行四边行有几种特殊情况，大致分为1.菱形2.矩形，矩形中又可分为1.正方形2.长方形。而对于得出的中点四边形为菱形、正方形、长方形这三种图形时，原先的四边行又应具有哪些特性呢？
拿上面的证明图来说：
DHA
（1）菱形
菱形对于普通平行四边行而言，新的特点是邻边相等，也就意味着，
在已知的平行四边形EFGH中不仅要FE=GH，同时要FE=GF，而由中位线定理得FE=1/2CA、GF=1/2BD，则： 令FE=GF
∵FE=1/2CA、FE=1/2BD ∴CA=BD
也就是说当原四边形的两条对角线相等时，新的中点四边形会变成菱形。
结论：对角线相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为菱形。（如图1-2）
ABF
C
DG
H
图1-2
（2）长方形
长方形对于普通平行四边形而言，新的特点是邻边垂直，也就意味着，在已知的平行四边形EFGH中要FE⊥FG，而由中位线定理得FE//AC、FG//BD，则： 令FE⊥FG ∵FE//AC、FG//BD ∴AC⊥BD
也就是说当原四边形的两条对角线垂直时，新的中点四边形会变成长方形。
结论：对角线相互垂直的四边形各边中点连线而成的中点四边形为长
方形。（如图1-3）
D
图1-3
（3）正方形
正方行对于普通平行四边形而言，结合了菱形和长方形对于普通平行四边形新增的特点，结合（1）、（2）中的证明及论述得出当原四边形的两条对角线既相互垂直又相等时，新的中点四边形会变成正方形。 结论：对角线既相互垂直又相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为正方形。（如图1-4）
D
图1-4
任意凸四边形各边中点连线所得的中点四边形均为平行四边形，而其中1. 对角线相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为菱形2. 对角线相互垂直的四边形各边中点连线而成的中点四边形为长方形3. 对角线既相互垂直又相等的四边形各边中点连线而成的中点四边形为正方形。