9.4.3 直线与平面垂直的判定和性质（三）
●教学目标 (一) 教学知识点
1. 垂线段、斜线段、射影. 2. 直线和平面所成的角. （二）能力训练要求 1. 等价转化思想.
依直角三角形的性质, 归纳转化为符合定理的式子. 2. 培养学生的空间想象能力.
某些结论的证明, 借助空间图形完成. （三）德育渗透目标
学会分析事物之间的关系, 选择解决问题的途径. ●教学重点
1. 垂线段、斜线段、射影之间的关系. 2. 直线和平面所成的角. ●教学难点
直线和平面所成角的性质的证明. ●教学方法 发现教学法
从空间图形及学生已有知识的基础上, 寻求、发现三种线段间的关系及其有关结论. ●教具准备 投影片三张. 第一张：（记作9.4.3 A）
第三张：（记作9.4.3 C）
Ⅰ. 复习回顾
1. 直线和平面垂直的性质定理. 2. 线面距离、点面距离. 3. 等价转化思想的渗透.
［师］请同学们依自己的理解复述上节内容.
［生］„„ Ⅱ. 讲授新课
4. 斜线在平面内的射影.
［师］通过预习我们把本节课将要学的概念归纳小结, 注意发现其概念、特点、规律. 请同学们叙述下列概念: 点在平面内的射影; 垂线段;
斜线、斜足、斜线段;
斜线的射影、斜线段的射影.
［生］点在平面内的射影：过一点向平面引垂线, 垂足叫做这点在这个平面内的射影, 点在平面内的射影还是一个点.
垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. ［师］请将立体图形作出, 使之符合上述叙说. ［生］（作图）如图, PQ ⊥α, Q ∈α, 点Q 是点P 在α内的射影, PQ 是点P 到α的垂线段
.
［师］请继续解释.
［生］斜线：一条直线和一个平面相交, 但不和这个平面垂直时, 这条直线就叫做这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点.
斜线段：从平面外一点向平面引斜线, 这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段, 依上图, PR ∩α=R , PR 不垂直α, 直线PR 是α的一条斜线, 点R 是斜足, 线段PR 是点P 到α的斜线段.
［师］那么射影是直线或线段又如何解释?
［生］线的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
线段的射影：垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.
［师］从教材中注意发现其中两个重要结论. ［生］（1）平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条, 而这点到这个平面的斜线段有无数条;
（2）斜线上任意一点在平面内的射影, 一定在斜线的射影上.
［师］结合投影片9.4.3 B,依三角形性质, 看能发现什么结论.
［生］经观察讨论, 可得以下结论.
定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中, （1）射影相等的两条斜线段相等, 射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等, 较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短. ［师］投影（9.4.3 B）告诉我们:
AO 是平面α的垂线段, AB 、AC 是平面α的斜线段, OB 、OC 分别是AB 、AC 在平面α内的射影, 这时有
（1）OB =OC ⇒AB =AC ; OB ＞OC ⇒AB ＞AC . （2）AB =AC ⇒OB =OC ; AB ＞AC ⇒OB ＞OC . （3）AO ＜AB , AO ＜AC . 5. 直线和平面所成的角.
［师］直线和平面所成的角应分三种情况 通过前面的学习我们知道：
直线与平面的位置关系从公共点的个数上分：有无数个、一个、没有； ［生］公共点无数个, 称直线在平面内； 公共点有一个, 称直线和平面相交； 没有公共点, 称直线与平面平行.
［师］直线与平面相交, 直线与平面的相互位置类同于两条相交直线, 也需要用角来表示, 但过交点在平面内可以作很多条直线. 与平面相交的直线l 与平面内的直线a 、b „„所成的角是不相等的, 为了定义的确定性, 我们必须找到一些角中有确定值的, 又能准确描述其位置的一个角, 这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角
.
那么, 直线和平面所成角的定义如何叙述呢? 请同学们思考.
［生］平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地, 如果一条直线垂直于一个平面, 我们说它们所成的角为直角;
一条直线和一个平面平行或在这个平面内, 我们说它们所成的角为0°角. 如投影片(9.4.3 C)所给图形
l 是平面α的一条斜线, 点O 是斜足, A 是l 上任意一点, AB 是α的垂线, 点B 是垂足, 所以直线OB （记作l ′）是l 在α内的射影, ∠AOB （记作θ）是l 与α所成的角.
［师］直线和平面所成的角是一个非常重要的概念, 在实际中有着广泛的应用, 如发射炮弹时, 当炮筒和地面所成的角为多少度时, 才能准确地命中目标? 也即射程为多远？又如,
铅球运动员在投掷时, 以多大的角度投掷, 投出的距离最远？
［师］教材最后一段实际上是研究最小角, 不妨称之为最小角定理.
斜线和平面所成的角是斜线和它所在平面内的射影所成的锐角, 它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角.
［师］结合投影(9.4.3 C)给出证明.
证明：因在该图中l 是平面α的斜线, A 是l 上任意的一点, AB 是平面α的垂线, B 是垂足, 直线OB 是直线l 在平面α内的射影, θ是斜线l 与平面α所成的角.
设OC 是平面α内与OB 不同的任意一条直线AC ⊥OC , 垂足为C . ∵垂线段AB 小于斜线段AC ,
∴在有公共斜边DA 的Rt △ABO 、Rt △ACO 中,sin θ＜sin AOC . ∴∠θ＜∠AOC .
因此, 斜线和平面所成的角, 是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成的角中最小的角. Ⅲ. 课堂练习
（一）课本P 25 1,2.
1. 已知直线l 1、l 2和平面α所成的角相等, 能否判断l 1∥l 2? (不能. 可利用举反例来说明.
将含45°的三角板所在的面与桌面垂直, 且斜边在桌面内, 此时两腰所在的直线与桌面都成45°, 但两腰所在的直线不平行)
2. 如图, AB =2a , AC ⊥α, BD ⊥α, C ∈α, D ∈α, CD =a , 那么直线AB 与α所成的角是多少度？
(利用等价转化思想，斜线和平面α所成角是斜线与其射影所成的锐角, 那么AB 与CD 所成的角就是AB 与α所的成角. 这是因为BD ⊥α, AC ⊥α,
那么过点B 作BE ⊥AC 于点E , BE ∥CD , 且BE =CD =a .
AB 与BE 所成的角等于AB 于CD 所成的角,
cos ABE =
a 1=. 2a 2
故∠ABE =60°) （二）补充练习
1. 下列命题正确的个数为
①两条斜线段相等, 则它们在同一平面内的射影也相等 ②两条平行线在同一平面内的射影也是平行线 ③若a 是平面α的斜线, 直线b 垂直于a 在α内的射影, 则b ⊥α ④若直线a ∥α, l 为平面α的斜线, a ⊥l , 则a 垂直于l 在α内的射影
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 斜线与平面α所成的角为θ, 则平面α内与斜线不相交的直线与斜线所成角的范围是
A. ［θ, π－θ］ C.(0,
B. ［θ,
π］ 2
π) 2
D.(0,θ］
老师口述题目, 学生思考后给出解释.
1.(①斜线段相等, 则其在同一平面内的射影也相等.
若斜线段是由面外一点引出, 则其射影相等;
若斜线段不是由面外一点引出, 则其射影不一定相等. ②两条平行线在同一面内的射影可以重合.
③满足“a 是平面α的斜线, 直线b 垂直于a 在α内的射影”的线b 与平面α可以是b ⊂α. 上述三个命题, 以举反例说明命题不正确. 结合选项的正确个数, 应选A) 2.(该题应从两个方面考虑:
一是线面成角, 说明θ是最小角;
二是与斜线不相交的直线和斜线是异面直线. 故应选B) Ⅳ. 课时小结 1. 注意定理条件.
定理的前提是“从平面外一点”, 那么“从平面外不同点”是否也具有同样性质？ 2. 最小角定理中也应注意过与不过斜足这一条件. 3. 两个定理运用时, 细致分析条件是否具备. Ⅴ. 课后作业
（一）课本P 29 9,10.
9. 求证：两条平行线和同一平面所成的角相等.
证明：(分类讨论完成证明过程, 以线面的位置关系分类) （1）若l 1∥α或l 1⊂α, 则l 2∥α或l 2⊂α. 这种情形下, l 1、l 2与α所成的角都是0°;
（2）若l 1⊥α, 则l 2⊥α. 这种情形下, l 1、l 2与α所成的角都是90°;
（3）若l 1与α斜交, 斜足为Q , 则l 2也与α斜交, 设斜足为Q 2, （否则与l 1∥l 2相矛盾） 分别在l 1、l 2上取P 1、P 2, （P 1、P 2在α同侧） 自P 1、P 2分别作α的垂线, 垂足分别为S 1、S 2, 连结Q 1S 1、Q 2S 2.
在△P 1Q 1S 1和△P 2Q 2S 2中, ∠P 1S 1Q 1=∠P 2S 2Q 2=90°, P 1Q 1∥P 2Q 2, P 1S 1∥P 2S 2, ∠Q 1P 1S 1=∠Q 2P 2S 2, 因此∠P 1Q 1S 1=∠P 2Q 2S 2.
10. 从平面外一点D 向平面引垂线段DA 及斜线段DB 、DC , DA =a , ∠BDA =∠CDA =60°, ∠
BDC =90°, 求BC 的长.
(通过等价转化, 将空间问题转化为平面问题) 解：在△ABD 及△ADC 中,
∵AD ⊥面ABC , AB ⊂面ABC , AC ⊂面ABC , 故AD ⊥AB , AD ⊥AC . 而∠BDA =∠CDA =60°, 即BD =CD =
a
=2a .
cos 60︒
连结BC , 则由∠BDC =90°有
22
BC =BD +CD =
2(2a ) 2=22a .
（二）1. 预习内容 P 26~27 6三垂线定理. 2. 预习提纲
（1）三垂线定理及其逆定理说明了什么关系？
（2）三垂线定理及其逆定理在解决问题过程中如何运用？ （3）实际应用问题解决的关键是什么？ ●板书设计
9.4.3 直线与平面垂直的判定和性质（三）
●教学目标 (一) 教学知识点
1. 垂线段、斜线段、射影. 2. 直线和平面所成的角. （二）能力训练要求 1. 等价转化思想.
依直角三角形的性质, 归纳转化为符合定理的式子. 2. 培养学生的空间想象能力.
某些结论的证明, 借助空间图形完成. （三）德育渗透目标
学会分析事物之间的关系, 选择解决问题的途径. ●教学重点
1. 垂线段、斜线段、射影之间的关系. 2. 直线和平面所成的角. ●教学难点
直线和平面所成角的性质的证明. ●教学方法 发现教学法
从空间图形及学生已有知识的基础上, 寻求、发现三种线段间的关系及其有关结论. ●教具准备 投影片三张. 第一张：（记作9.4.3 A）
第三张：（记作9.4.3 C）
Ⅰ. 复习回顾
1. 直线和平面垂直的性质定理. 2. 线面距离、点面距离. 3. 等价转化思想的渗透.
［师］请同学们依自己的理解复述上节内容.
［生］„„ Ⅱ. 讲授新课
4. 斜线在平面内的射影.
［师］通过预习我们把本节课将要学的概念归纳小结, 注意发现其概念、特点、规律. 请同学们叙述下列概念: 点在平面内的射影; 垂线段;
斜线、斜足、斜线段;
斜线的射影、斜线段的射影.
［生］点在平面内的射影：过一点向平面引垂线, 垂足叫做这点在这个平面内的射影, 点在平面内的射影还是一个点.
垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. ［师］请将立体图形作出, 使之符合上述叙说. ［生］（作图）如图, PQ ⊥α, Q ∈α, 点Q 是点P 在α内的射影, PQ 是点P 到α的垂线段
.
［师］请继续解释.
［生］斜线：一条直线和一个平面相交, 但不和这个平面垂直时, 这条直线就叫做这个平面的斜线.
斜足：斜线和平面的交点.
斜线段：从平面外一点向平面引斜线, 这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段, 依上图, PR ∩α=R , PR 不垂直α, 直线PR 是α的一条斜线, 点R 是斜足, 线段PR 是点P 到α的斜线段.
［师］那么射影是直线或线段又如何解释?
［生］线的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
线段的射影：垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.
［师］从教材中注意发现其中两个重要结论. ［生］（1）平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条, 而这点到这个平面的斜线段有无数条;
（2）斜线上任意一点在平面内的射影, 一定在斜线的射影上.
［师］结合投影片9.4.3 B,依三角形性质, 看能发现什么结论.
［生］经观察讨论, 可得以下结论.
定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中, （1）射影相等的两条斜线段相等, 射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等, 较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短. ［师］投影（9.4.3 B）告诉我们:
AO 是平面α的垂线段, AB 、AC 是平面α的斜线段, OB 、OC 分别是AB 、AC 在平面α内的射影, 这时有
（1）OB =OC ⇒AB =AC ; OB ＞OC ⇒AB ＞AC . （2）AB =AC ⇒OB =OC ; AB ＞AC ⇒OB ＞OC . （3）AO ＜AB , AO ＜AC . 5. 直线和平面所成的角.
［师］直线和平面所成的角应分三种情况 通过前面的学习我们知道：
直线与平面的位置关系从公共点的个数上分：有无数个、一个、没有； ［生］公共点无数个, 称直线在平面内； 公共点有一个, 称直线和平面相交； 没有公共点, 称直线与平面平行.
［师］直线与平面相交, 直线与平面的相互位置类同于两条相交直线, 也需要用角来表示, 但过交点在平面内可以作很多条直线. 与平面相交的直线l 与平面内的直线a 、b „„所成的角是不相等的, 为了定义的确定性, 我们必须找到一些角中有确定值的, 又能准确描述其位置的一个角, 这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角
.
那么, 直线和平面所成角的定义如何叙述呢? 请同学们思考.
［生］平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地, 如果一条直线垂直于一个平面, 我们说它们所成的角为直角;
一条直线和一个平面平行或在这个平面内, 我们说它们所成的角为0°角. 如投影片(9.4.3 C)所给图形
l 是平面α的一条斜线, 点O 是斜足, A 是l 上任意一点, AB 是α的垂线, 点B 是垂足, 所以直线OB （记作l ′）是l 在α内的射影, ∠AOB （记作θ）是l 与α所成的角.
［师］直线和平面所成的角是一个非常重要的概念, 在实际中有着广泛的应用, 如发射炮弹时, 当炮筒和地面所成的角为多少度时, 才能准确地命中目标? 也即射程为多远？又如,
铅球运动员在投掷时, 以多大的角度投掷, 投出的距离最远？
［师］教材最后一段实际上是研究最小角, 不妨称之为最小角定理.
斜线和平面所成的角是斜线和它所在平面内的射影所成的锐角, 它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角.
［师］结合投影(9.4.3 C)给出证明.
证明：因在该图中l 是平面α的斜线, A 是l 上任意的一点, AB 是平面α的垂线, B 是垂足, 直线OB 是直线l 在平面α内的射影, θ是斜线l 与平面α所成的角.
设OC 是平面α内与OB 不同的任意一条直线AC ⊥OC , 垂足为C . ∵垂线段AB 小于斜线段AC ,
∴在有公共斜边DA 的Rt △ABO 、Rt △ACO 中,sin θ＜sin AOC . ∴∠θ＜∠AOC .
因此, 斜线和平面所成的角, 是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成的角中最小的角. Ⅲ. 课堂练习
（一）课本P 25 1,2.
1. 已知直线l 1、l 2和平面α所成的角相等, 能否判断l 1∥l 2? (不能. 可利用举反例来说明.
将含45°的三角板所在的面与桌面垂直, 且斜边在桌面内, 此时两腰所在的直线与桌面都成45°, 但两腰所在的直线不平行)
2. 如图, AB =2a , AC ⊥α, BD ⊥α, C ∈α, D ∈α, CD =a , 那么直线AB 与α所成的角是多少度？
(利用等价转化思想，斜线和平面α所成角是斜线与其射影所成的锐角, 那么AB 与CD 所成的角就是AB 与α所的成角. 这是因为BD ⊥α, AC ⊥α,
那么过点B 作BE ⊥AC 于点E , BE ∥CD , 且BE =CD =a .
AB 与BE 所成的角等于AB 于CD 所成的角,
cos ABE =
a 1=. 2a 2
故∠ABE =60°) （二）补充练习
1. 下列命题正确的个数为
①两条斜线段相等, 则它们在同一平面内的射影也相等 ②两条平行线在同一平面内的射影也是平行线 ③若a 是平面α的斜线, 直线b 垂直于a 在α内的射影, 则b ⊥α ④若直线a ∥α, l 为平面α的斜线, a ⊥l , 则a 垂直于l 在α内的射影
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 斜线与平面α所成的角为θ, 则平面α内与斜线不相交的直线与斜线所成角的范围是
A. ［θ, π－θ］ C.(0,
B. ［θ,
π］ 2
π) 2
D.(0,θ］
老师口述题目, 学生思考后给出解释.
1.(①斜线段相等, 则其在同一平面内的射影也相等.
若斜线段是由面外一点引出, 则其射影相等;
若斜线段不是由面外一点引出, 则其射影不一定相等. ②两条平行线在同一面内的射影可以重合.
③满足“a 是平面α的斜线, 直线b 垂直于a 在α内的射影”的线b 与平面α可以是b ⊂α. 上述三个命题, 以举反例说明命题不正确. 结合选项的正确个数, 应选A) 2.(该题应从两个方面考虑:
一是线面成角, 说明θ是最小角;
二是与斜线不相交的直线和斜线是异面直线. 故应选B) Ⅳ. 课时小结 1. 注意定理条件.
定理的前提是“从平面外一点”, 那么“从平面外不同点”是否也具有同样性质？ 2. 最小角定理中也应注意过与不过斜足这一条件. 3. 两个定理运用时, 细致分析条件是否具备. Ⅴ. 课后作业
（一）课本P 29 9,10.
9. 求证：两条平行线和同一平面所成的角相等.
证明：(分类讨论完成证明过程, 以线面的位置关系分类) （1）若l 1∥α或l 1⊂α, 则l 2∥α或l 2⊂α. 这种情形下, l 1、l 2与α所成的角都是0°;
（2）若l 1⊥α, 则l 2⊥α. 这种情形下, l 1、l 2与α所成的角都是90°;
（3）若l 1与α斜交, 斜足为Q , 则l 2也与α斜交, 设斜足为Q 2, （否则与l 1∥l 2相矛盾） 分别在l 1、l 2上取P 1、P 2, （P 1、P 2在α同侧） 自P 1、P 2分别作α的垂线, 垂足分别为S 1、S 2, 连结Q 1S 1、Q 2S 2.
在△P 1Q 1S 1和△P 2Q 2S 2中, ∠P 1S 1Q 1=∠P 2S 2Q 2=90°, P 1Q 1∥P 2Q 2, P 1S 1∥P 2S 2, ∠Q 1P 1S 1=∠Q 2P 2S 2, 因此∠P 1Q 1S 1=∠P 2Q 2S 2.
10. 从平面外一点D 向平面引垂线段DA 及斜线段DB 、DC , DA =a , ∠BDA =∠CDA =60°, ∠
BDC =90°, 求BC 的长.
(通过等价转化, 将空间问题转化为平面问题) 解：在△ABD 及△ADC 中,
∵AD ⊥面ABC , AB ⊂面ABC , AC ⊂面ABC , 故AD ⊥AB , AD ⊥AC . 而∠BDA =∠CDA =60°, 即BD =CD =
a
=2a .
cos 60︒
连结BC , 则由∠BDC =90°有
22
BC =BD +CD =
2(2a ) 2=22a .
（二）1. 预习内容 P 26~27 6三垂线定理. 2. 预习提纲
（1）三垂线定理及其逆定理说明了什么关系？
（2）三垂线定理及其逆定理在解决问题过程中如何运用？ （3）实际应用问题解决的关键是什么？ ●板书设计