09年高三数学下册第二次调研考试试题

数学试题

注意事项：

1．本试卷分填空题和解答题两部分，共160分．考试用时120分钟．

2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，填空

题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．本卷考试结．．．．．．．．．束后，上交答题纸．

3．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 4．文字书写题统一使用0.5毫米及0.5毫米以上签字笔． 5．作图题可使用2B 铅笔，不需要用签字笔描摹．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答案卷上. ．．．．1、已知集合A ={3, m 2}, B ={-1, 3, 2m -1},若A ⊆B ，则实数m 的值为2、若复数z =(2-i )(a -i ), (i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 3、一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形，其俯视图是直径为的圆，则该几何体的表面积为 4、如图，给出一个算法的伪代码， Read x If x ≤0

Then

f ( )←x 4x Else

x f ()←x 2

End If

Pr ()int f x 则f (-3) +f (2) =

5、已知直线l 1:x +ay +6=和l 2:(a -2) x +3y +2a =0, 则l 1//l 2的充要条件是6、高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 7、在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为 8、设方程2+x =4的根为x 0, 若x 0∈(k -

, k +

), 则整数k =

x x

9、已知函数f (x ) =a log 2-b log 3+2, 若f (

12009

) =4. 则f (2009) 的值为

10、已知平面区域

U ={(x , y ) x +y ≤6, x ≥0, y ≥0}, A ={(x , y ) x ≤4, y ≥0, x -2y ≥0}，若向区域U 内随

机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为

11、已知抛物线y 2=2px (p >0) 上一点M （1，m ) 到其焦点的距离为5，双曲线

x -

=1的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数

12、已知平面向量a , b , c 满足a +b +c =0, 且a 与b 的夹角为1350，c 与b 的夹角为 0

120，c =2, 则a =

13、函数y =x -2sin x 在区间[-

2π3

]上的最大值为

14、如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）标5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，则标签20092的格点的坐标为二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

在斜三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且(1)求角A ； (2)若

16．（本题满分14分）

在在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：

（1）平面BDO ⊥平面ACO ；（2）EF//平面OCD.

17、（本题满分14分）

0），已知圆O 的方程为x +y =1, 直线l 1过点A (3，且与圆O 相切。

b -a -c

222

cos(A +C ) sin A cos A

sin B cos C

>2，求角C 的取值范围。

（1）求直线l 1的方程；

（2）设圆O 与x 轴交与P,Q 两点，M 是圆O 上异于P,Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ' ，直线QM 交直线l 2于点Q ' 。求证：以P ' Q ' 为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标。

18、（本题满分16分）

有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定。大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足：d =kv 2l +定车身长为4m ，当车速为60（km/h)时，车距为2.66个车身长。（1）写出车距d 关于车速v 的函数关系式;

（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

19、（本题满分16分）已知函数f (x ) =ax -3, g (x ) =bx

-1

，假l （k 为正的常数）

+cx

-2

(a , b ∈R ) 且g (-

) -g (1) =f (0).

（1）试求b,c 所满足的关系式；

（2）若b=0，方程f (x ) =g (x ) 在（0，有唯一解，求a 的取值范围； +∞）（3）若b=1，集合A ={x f (x ) >g (x ), 且g (x )

20. （本题满分16分）

已知数列a,b,c 为各项都是正数的等差数列，公差为d （d>0)，在a,b 之间和b,c 之间共插入m 个实数后，所得到的m+3个数所组成的数列{a n }是等比数列，其公比为q.

(1)若a=1,m=1,求公差d ；

(2)若在a,b 之间和b,c 之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m 个数的乘积（用a,c,m 表示）

(3)求证：q 是无理数。

数学试题参考答案与评分标准

1．1 2．

3．6π 4．－8 5．a =-1 6．20 7．

710

8．1 9．0 10．15. ⑴ ∵

11．

2cos B sin 2A

14．（1005，1004）

b -a -c

222

=-2cos B ,

cos(A +C ) sin A cos A

，……………………………… 2分

为斜三角形，

又∵

b -a -c

cos(A +C ) sin A cos A

，∴ -2cos B =

-2cos B sin 2A

, 而∆A B C

∵cosB ≠0，∴sin2A=1. ……………………………………………………………… 4分 ∵A ∈(0,π) ，∴2A =

π2, A =

π4

. …………………………………………………… 6分

sin =

3π4

cos C -cos

cos C

3π4sin C

⑵∵B +C =

3π4

，∴

sin B cos C

⎛3π⎫

sin -C ⎪

⎝4⎭

cos C

C >…12分

即tan C >1，∵0

3π4

，∴

π4

π2

. …………………………………14分

16．⑴∵O A ⊥平面ABC D ，BD ⊂平面ABC D ，所以O A ⊥BD ，…2分 ∵ABC D 是菱形，∴A C ⊥B D ，又O A A C =A ，

∴BD ⊥平面O AC ，……………………………………………………4分

又∵BD ⊂平面O BD ，∴平面BD O ⊥平面A C O ． ……………………………………6分 ⑵取O D 中点M ，连接E M ,C M , 则M E ‖AD , M E =∵ABC D 是菱形，∴A D //B C , A D =B C ， ∵F 为BC 的中点，∴C F ‖AD , C F =∴ME ‖CF , ME =CF ．

∴四边形E F C M 是平行四边形，∴EF //C M ，………………12分又∵E F ⊄平面O C D ，C M ⊂平面O C D ．

，

，………………10分

∴E F ‖平面O C D ． ………………………………………………………………14分 17. （1）∵直线l 1过点A (3,0) ，且与圆C ：x +y =1相切，

设直线l 1的方程为y =k (x -3) ，即kx -y -3k =0， …………………………2分

则圆心O (0,0) 到直线l

1的距离为d =∴直线l

1的方程为y =±

=1，解得k =±

，

x -

3) ，即y =±x -3) ． …… …………………4分

（2）对于圆方程x 2+y 2=1, 令y =0，得x =±1, 即P (-1, 0), Q (1,0) ．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，∴直线l 2方程为x =3，设M (s , t ) ，则直线PM 方程为y =

t s +1

(x +1).

⎧x =3,

4t 2t ⎪

解方程组⎨, 得P ' (3, ). 同理可得, Q ' (3, ). ……………… 10分 t

y =(x +1) s +1s -1⎪

s +1⎩

∴以P 'Q '为直径的圆C '的方程为(x -3)(x -3) +(y -又s 2+t 2=1，∴整理得(x 2+y 2-6x +1) +

6s -2t

4t s +1

)(y -

2t s -1

) =0，

y =0

，……………………… 12分

若圆C '经过定点，只需令y =0，从而有x 2-6x +1=

0，解得x =3± ∴圆C '

总经过定点坐标为(3±0) ． …………………………………………… 14分

2. 66l -

12l =

18．⑴因为当v =60时，d =2. 66l ，所以k =

2. 1660

60l

=0. 0006， ……4分

∴d =0.0024v 2+2 ………………………………………………………6分 ⑵设每小时通过的车辆为Q ，则Q =

1000v d +4

．即Q

1000v 0.0024v +6

10000.0024v +

……12分

∵0.0024v +

10000.24

≥125003

=0.24，…………………………………………………14分

12500

∴Q ≤，当且仅当0.0024v =，即v =50时，Q 取最大值．

答：当v =50(km /h )时，大桥每小时通过的车辆最多．………16分 19. （1）由g (-) -g (1) =f (0) ，得(-2b +4c ) -(b +c ) =-3

∴b 、c 所满足的关系式为b -c -1=0．……………………2分（2）由b =0，b -c -1=0，可得c =-1．

方程f (x ) =g (x ) ，即ax -3=-x -2，可化为a =3x -1-x -3，令x -1=t ，则由题意可得，a =3t -t 3在(0, +∞) 上有唯一解，…4分

令h (t ) =3t -t 3(t >0) ，由h '(t ) =3-3t 2=0，可得t =1，当00，可知h (t ) 是增函数；

当t >1时，由h '(t ) g (x ) 且g (x ) 且x

9+4a 2a

当a >0时， A =(, 0) ；当a =0时，A =(-

, 0) ；

当a

时（∆=9+4a

时，A ={x |x

当-

3+9+4a 2a

) ∪(

3-9+4a 2a

, 0) ． ………………………16分

注：可直接通过研究函数y =ax -3与y =

的图象来解决问题．

20．（1）由a =1，且等差数列a , b , c 的公差为d ，可知b =1+d , c =1+2d ，若插入的一个数在a , b 之间，则1+d =q 2，1+2d =q 3，消去q 可得(1+2d ) 2=(1+d ) 3，其正根为d =

1+25

． ………………………………2分

若插入的一个数在b , c 之间，则1+d =q ，1+2d =q 3，消去q 可得1+2d =(1+d ) 3，此方程无正根．故所求公差d =

1+25

．………4分

（2）设在a , b 之间插入l 个数，在b , c 之间插入t 个数，则l +t =m ，在等比数列{a n }中， ∵a 1=a , a l +2=b =

a +c 2

, a m +3=c ，a k a m +4-k =a 1a m +3=ac (k =2, 3, 4, …，m +2) ，

∴(a 2a 3…a m +2) 2=(a 2a m +2)(a 3a m +1) …(a m +1a 3)(a m +2a 2) =(ac ) m +1 ………………8分又∵q l +1=

b a

>0，q

t +1

c b

>0，l , t 都为奇数，∴q 可以为正数，也可以为负数．

m +1

①若q 为正数，则a 2a 3…a m +2=(ac )

，所插入m 个数的积为

a 2a 3 a m +2

2a +c

(ac )

；

②若q 为负数，a 2, a 3, …, a m +2中共有当

m 2m 2

m 2

+1个负数，

m +1

是奇数，即m =4k -2(k ∈N ) 时，所插入m 个数的积为

a 2a 3 a m +2

2a +c 2a +c

(ac )

；

当是偶数，即m =4k (k ∈N ）时，所插入m 个数的积为

a 2a 3 a m +2

m +1

=-(ac )

m +1

．

综上所述，当m =4k -2(k ∈N ) 时，所插入m 个数的积为

a 2a 3 a m +2

b 2a +c

(ac )

2a +c

(ac )

；

m +12

当m =4k (k ∈N ）时，所插入m 个数的积为

=±

．…………10分

注：可先将a 2, a 3, …, a m +2用a 和q 表示，然后再利用条件消去q 进行求解．（3）∵在等比数列{a n }，由q l +1=

b a =a +d a

，可得q l +1-1=

d a

，同理可得q m +2-1=

2d a

，

∴q m +2-1=2(q l +1-1) ，即q m +2=2q l +1-1(m ≥l ) ， …………………………12分假设q 是有理数，若q 为整数，∵a , b , c 是正数，且d >0，∴|q |>1，在2q l +1-q m +2=1中，∵2q l +1-q m +2是q 的倍数，故1也是q 的倍数，矛盾．

若q 不是整数，可设q =

y x

（其中x , y 为互素的整数，x >1），

则有() m +2=2() l +1-1，即y m +2=x m -l +1(2y l +1-x l +1) ，

∵m ≥l ，可得m -l +1≥1，∴y m +2是x 的倍数，即y 是x 的倍数，矛盾． ∴ q 是无理数．……………………………………16分

09年高三数学下册第二次调研考试试题

数学试题

注意事项：

1．本试卷分填空题和解答题两部分，共160分．考试用时120分钟．

2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．答题时，填空

题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在试卷上无效．本卷考试结．．．．．．．．．束后，上交答题纸．

Then

f ( )←x 4x Else

x f ()←x 2

End If

Pr ()int f x 则f (-3) +f (2) =

, k +

), 则整数k =

x x

9、已知函数f (x ) =a log 2-b log 3+2, 若f (

12009

) =4. 则f (2009) 的值为

10、已知平面区域

U ={(x , y ) x +y ≤6, x ≥0, y ≥0}, A ={(x , y ) x ≤4, y ≥0, x -2y ≥0}，若向区域U 内随

机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为

11、已知抛物线y 2=2px (p >0) 上一点M （1，m ) 到其焦点的距离为5，双曲线

x -

=1的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数

12、已知平面向量a , b , c 满足a +b +c =0, 且a 与b 的夹角为1350，c 与b 的夹角为 0

120，c =2, 则a =

13、函数y =x -2sin x 在区间[-

2π3

]上的最大值为

15．（本题满分14分）

在斜三角形ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且(1)求角A ； (2)若

16．（本题满分14分）

在在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，OA ⊥平面ABCD ，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：

（1）平面BDO ⊥平面ACO ；（2）EF//平面OCD.

17、（本题满分14分）

0），已知圆O 的方程为x +y =1, 直线l 1过点A (3，且与圆O 相切。

b -a -c

222

cos(A +C ) sin A cos A

sin B cos C

>2，求角C 的取值范围。

（1）求直线l 1的方程；

18、（本题满分16分）

（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

19、（本题满分16分）已知函数f (x ) =ax -3, g (x ) =bx

-1

，假l （k 为正的常数）

+cx

-2

(a , b ∈R ) 且g (-

) -g (1) =f (0).

（1）试求b,c 所满足的关系式；

（2）若b=0，方程f (x ) =g (x ) 在（0，有唯一解，求a 的取值范围； +∞）（3）若b=1，集合A ={x f (x ) >g (x ), 且g (x )

20. （本题满分16分）

(1)若a=1,m=1,求公差d ；

(2)若在a,b 之间和b,c 之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m 个数的乘积（用a,c,m 表示）

(3)求证：q 是无理数。

数学试题参考答案与评分标准

1．1 2．

3．6π 4．－8 5．a =-1 6．20 7．

710

8．1 9．0 10．15. ⑴ ∵

11．

2cos B sin 2A

14．（1005，1004）

b -a -c

222

=-2cos B ,

cos(A +C ) sin A cos A

，……………………………… 2分

为斜三角形，

又∵

b -a -c

cos(A +C ) sin A cos A

，∴ -2cos B =

-2cos B sin 2A

, 而∆A B C

∵cosB ≠0，∴sin2A=1. ……………………………………………………………… 4分 ∵A ∈(0,π) ，∴2A =

π2, A =

π4

. …………………………………………………… 6分

sin =

3π4

cos C -cos

cos C

3π4sin C

⑵∵B +C =

3π4

，∴

sin B cos C

⎛3π⎫

sin -C ⎪

⎝4⎭

cos C

C >…12分

即tan C >1，∵0

3π4

，∴

π4

π2

. …………………………………14分

16．⑴∵O A ⊥平面ABC D ，BD ⊂平面ABC D ，所以O A ⊥BD ，…2分 ∵ABC D 是菱形，∴A C ⊥B D ，又O A A C =A ，

∴BD ⊥平面O AC ，……………………………………………………4分

∴四边形E F C M 是平行四边形，∴EF //C M ，………………12分又∵E F ⊄平面O C D ，C M ⊂平面O C D ．

，

，………………10分

∴E F ‖平面O C D ． ………………………………………………………………14分 17. （1）∵直线l 1过点A (3,0) ，且与圆C ：x +y =1相切，

设直线l 1的方程为y =k (x -3) ，即kx -y -3k =0， …………………………2分

则圆心O (0,0) 到直线l

1的距离为d =∴直线l

1的方程为y =±

=1，解得k =±

，

x -

3) ，即y =±x -3) ． …… …………………4分

（2）对于圆方程x 2+y 2=1, 令y =0，得x =±1, 即P (-1, 0), Q (1,0) ．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，∴直线l 2方程为x =3，设M (s , t ) ，则直线PM 方程为y =

t s +1

(x +1).

⎧x =3,

4t 2t ⎪

解方程组⎨, 得P ' (3, ). 同理可得, Q ' (3, ). ……………… 10分 t

y =(x +1) s +1s -1⎪

s +1⎩

∴以P 'Q '为直径的圆C '的方程为(x -3)(x -3) +(y -又s 2+t 2=1，∴整理得(x 2+y 2-6x +1) +

6s -2t

4t s +1

)(y -

2t s -1

) =0，

y =0

，……………………… 12分

若圆C '经过定点，只需令y =0，从而有x 2-6x +1=

0，解得x =3± ∴圆C '

总经过定点坐标为(3±0) ． …………………………………………… 14分

2. 66l -

12l =

18．⑴因为当v =60时，d =2. 66l ，所以k =

2. 1660

60l

=0. 0006， ……4分

∴d =0.0024v 2+2 ………………………………………………………6分 ⑵设每小时通过的车辆为Q ，则Q =

1000v d +4

．即Q

1000v 0.0024v +6

10000.0024v +

……12分

∵0.0024v +

10000.24

≥125003

=0.24，…………………………………………………14分

12500

∴Q ≤，当且仅当0.0024v =，即v =50时，Q 取最大值．

答：当v =50(km /h )时，大桥每小时通过的车辆最多．………16分 19. （1）由g (-) -g (1) =f (0) ，得(-2b +4c ) -(b +c ) =-3

∴b 、c 所满足的关系式为b -c -1=0．……………………2分（2）由b =0，b -c -1=0，可得c =-1．

方程f (x ) =g (x ) ，即ax -3=-x -2，可化为a =3x -1-x -3，令x -1=t ，则由题意可得，a =3t -t 3在(0, +∞) 上有唯一解，…4分

令h (t ) =3t -t 3(t >0) ，由h '(t ) =3-3t 2=0，可得t =1，当00，可知h (t ) 是增函数；

当t >1时，由h '(t ) g (x ) 且g (x ) 且x

9+4a 2a

当a >0时， A =(, 0) ；当a =0时，A =(-

, 0) ；

当a

时（∆=9+4a

时，A ={x |x

当-

3+9+4a 2a

) ∪(

3-9+4a 2a

, 0) ． ………………………16分

注：可直接通过研究函数y =ax -3与y =

的图象来解决问题．

1+25

． ………………………………2分

若插入的一个数在b , c 之间，则1+d =q ，1+2d =q 3，消去q 可得1+2d =(1+d ) 3，此方程无正根．故所求公差d =

1+25

．………4分

（2）设在a , b 之间插入l 个数，在b , c 之间插入t 个数，则l +t =m ，在等比数列{a n }中， ∵a 1=a , a l +2=b =

a +c 2

, a m +3=c ，a k a m +4-k =a 1a m +3=ac (k =2, 3, 4, …，m +2) ，

∴(a 2a 3…a m +2) 2=(a 2a m +2)(a 3a m +1) …(a m +1a 3)(a m +2a 2) =(ac ) m +1 ………………8分又∵q l +1=

b a

>0，q

t +1

c b

>0，l , t 都为奇数，∴q 可以为正数，也可以为负数．

m +1

①若q 为正数，则a 2a 3…a m +2=(ac )

，所插入m 个数的积为

a 2a 3 a m +2

2a +c

(ac )

；

②若q 为负数，a 2, a 3, …, a m +2中共有当

m 2m 2

m 2

+1个负数，

m +1

是奇数，即m =4k -2(k ∈N ) 时，所插入m 个数的积为

a 2a 3 a m +2

2a +c 2a +c

(ac )

；

当是偶数，即m =4k (k ∈N ）时，所插入m 个数的积为

a 2a 3 a m +2

m +1

=-(ac )

m +1

．

综上所述，当m =4k -2(k ∈N ) 时，所插入m 个数的积为

a 2a 3 a m +2

b 2a +c

(ac )

2a +c

(ac )

；

m +12

当m =4k (k ∈N ）时，所插入m 个数的积为

=±

．…………10分

注：可先将a 2, a 3, …, a m +2用a 和q 表示，然后再利用条件消去q 进行求解．（3）∵在等比数列{a n }，由q l +1=

b a =a +d a

，可得q l +1-1=

d a

，同理可得q m +2-1=

2d a

，

若q 不是整数，可设q =

y x

（其中x , y 为互素的整数，x >1），

则有() m +2=2() l +1-1，即y m +2=x m -l +1(2y l +1-x l +1) ，

∵m ≥l ，可得m -l +1≥1，∴y m +2是x 的倍数，即y 是x 的倍数，矛盾． ∴ q 是无理数．……………………………………16分

09年高三数学下册第二次调研考试试题

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