图形的相似
（2013，永州）如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD 上是否存在P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由； （2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；
（4）若AB=m ，CD=n ，BD=l ，请问m , n , l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点？两个P 点？三个P 点？
A
C
B D P
第
25题图
（2013，成都）如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，∠A =∠C =90o ，BD ⊥BE ，AD =BC .
（1）求证：AC =AD +CE ；
()
（2）若AD =3，CE =5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 与点Q ；
i ）当点P 与A ，B 两点不重合时，求
DP
的值； PQ
ii ）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长. （直接写出结果，不必写出解答过程）
（1）证△ABD ≌△CEB →AB=CE；
1
（2）如图，过Q 作QH ⊥BC 于点H ，则△ADP ∽△HPQ ，△BHQ ∽△BCE ， ∴
BH QH AD AP
= ，； =
BC EC PH QH
BH y
= 35
设AP=x ，QH=y ，则有∴BH=
3y 3y
，PH=+5-x 55
∴
33y
+5-x 5
=
x
，即(x -5)(3y -5x ) =0 y
又∵P 不与A 、B 重合，∴x ≠5, 即 x -5≠0， ∴3y -5x =0即3y =5x
∴
DP x 3
== PQ y 5
(3)
234
3
（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：
AO 2
（1）若O 是△ABC 的重心（如图1），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：=；
AD 3（2）若AD 是△ABC 的一条中线（如图2），O 是AD 上一点，且满足
AO 2
=，试判断O 是AD 3
△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S 四边形BCHG ．S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究的最大值。 B
（图1）
2
S 四边形BCHG S
AGH
B
B
（图2）
（图3）
（2013•自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB 1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B 1C 顺时针旋转45°得图②，点P 1是A 1C 与AB 的交点，点Q 是A 1B 1与BC 的交点，求证：CP 1=CQ；
（2）在图②中，若AP 1=2，则CQ 等于多少？
（3）如图③，在B 1C 上取一点E ，连接BE 、P 1E ，设BC=1，当BE⊥P1B 时，求△P1BE 面积的最大值．
3
（2013•黄石）如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果
AC BC
，那么称点C 为线段=
AB AC
AB 的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S 的图形分成两部分，
S 1S 2
=，那么称直线为该图形的黄金分割线. 这两部分的面积分别为S 1、S 2，如果
S S 1
（1）如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ，请问点D 是否是AB 边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC 在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD 中，∠D =∠C =90，对角线AC 、BD 交于点F ，延长AB 、DC 交于点E ，连接EF 交梯形上、下底于G 、H 两点，请问直线GH 是不是直角梯形ABCD 的黄金分割线，并证明你的结论.
A
A
B
H B D
4
D
A
C 图1
B
A D 图2
B
图3
C 图4
E
）点D 是AB 边上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A =36°，AB =AC ∴∠B =∠ACB =72° ∵CD 平分∠ACB ∴∠DCB =36°
∴∠BDC =∠B =72°
∵∠A =∠BCD ，∠B =∠B ∴△BCD ∽△BAC
∴BC BD
AB =
BC
又∵BC =CD =AD ∴AD BD AB =AB
∴D 是AB 边上的黄金分割点 ············（2）直线CD 是△ABC 的黄金分割线，理由如下：
设△ABC 的边AB 上的高为h ，则
S 12AD ⋅h ，S 11
ADC =DBC =2BD ⋅h ，S ABC =2
AB ⋅h
∴S
ADC
:S
ABC
=AD :AB ，S
DBC
:S
ADC
=BD :AD
∵D 是AB 的黄金分割点 ∴
AD BD
AB =
AD
∴S ADC
:S
ABC
=S
DBC
:S
ADC
∴CD 是△ABC 的黄金分割线 ············
（3）GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线
∵BC ∥AD
∴△EBG ∽△EAH ，△EGC ∽△EHD
∴
BG EG
AH =
EH ① GC EG
HD =
EH
② 由①、 ②得 BG GC AH =HD 即BG AH
GC =
HD
③ 同理，由△BGF ∽△DHF ，△CGF ∽△AHF 得
3分）3分）5
解析：
解：（1 （
（
BG GC BG HD
即 ④ ==
HD AH GC AH
AH HD
由③、④得 =
HD AH
∴AH =HD ∴BG =GC
∴ 梯形ABGH 与梯形GCDH 上下底分别相等，高也相等
1
∴S 梯形ABGH =S 梯形GCDH =S 梯形ABCD
2
∴GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线 ······· （3分）
（2013•武汉）已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ． （1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证
DE AD
； =
CF CD
（2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得
DE AD
成立？并证明你的结论； =
CF CD
DE
的值． CF
A E
B
D
（3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出
D F F A D A
G E E
B C B 第24题图②第24题图①
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°， ∵DE ⊥CF ，∴∠ADE ＝∠DCF ，∴△ADE ∽△DCF ，∴（2）当∠B+∠EGC ＝180°时，
第24题图③
C
DE AD
． =
CF DC
DE AD
成立，证明如下： =
CF DC
在AD 的延长线上取点M ，使CM ＝CF ，则∠CMF ＝∠CFM ． ∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠CDM ， ∵∠B+∠EGC ＝180°，
A
∴∠AED ＝∠FCB ，∴∠CMF ＝∠AED ． ∴△ADE ∽△DCM ，
F G
M
DE AD DE AD ∴，即． ==CM DC CF DC DE 25（3）=．
CF 24
E B
第24题图②
C
6
（2013•宜昌）如图1，在⊿ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AO ⊥BC 于点O ，F 是线段AO 上的点（与A 、O 不重合），∠EAF=90°，AE=AF，连接FE ，FC ，BF. （1）求证：BE=BF；
（2）如图2，若将⊿AEF 绕点A 旋转，使边AF 在∠BAC 的内部，延长CF 交AB 于点G ，交BE 于点K.
①求证：⊿AGC ∽⊿KGB ；
②当⊿BEF 为等腰直角三角形时，请直接写出．．．．AB ：BF 的值.
（2013•莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D 为AB 边上一点，点M 、N 分别在BC 、AC 边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F ，NE⊥AB于点E ．
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D 为AB 中点，求证：DM=DN，AE=DF； （2）拓展探究：若AC≠BC．
7
①如图2，若D 为AB 中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M 在BC 边上”改为“点M 在线段CB 的延长线上”，其它条件不变，请探究AE 与DF 的数量关系并加以证明．
8
9
（2013•吉林省）如图，在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝. 点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，连接DE 、DF ，动点P ，Q 分别从点A 、B 同时出发，运动速度均为1㎝/s，点P 沿A F D的方向运动到点D 停止；点Q 沿B C的方向运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动. 在运动过程中，过点Q 作BC 的垂线交AB 于点M ，以点P ，M ，Q 为顶点作平行四边形PMQN. 设平行四边形边形PMQN 与矩形FDEC 重叠部分
2
的面积为y （㎝）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P 运动的时间为x （s ） （1）当点P 运动到点F 时，CQ= ㎝；
（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度； （3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式.
（2013•泰州） 如图，矩形ABCD 中，点P 在边CD 上，且与点C 、 D不重合，过点A 作AP 的垂线与CB 的延长线相交于点Q ，连接PQ ，PQ 的中点为M. (1)求证：△ADP ∽△ABQ ；
2
(2)若AD=10，AB=20，点P 在边CD 上运动，设DP=x , BM =y ，求y 与x 的函数关系式，并求线段BM 长的最小值；
B Q
B
D
E
E
A
P N F
C
A
F
C
10
(3)若AD=10, AB=a ， DP=8，随着a 的大小的变化，点M 的位置也在变化，当点M 落在矩形ABCD 外部时，求a 的取值范围。
解：(1)证明：∵ 四边形ABCD 是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90° ∵∠ABC+∠ABQ=180° ∴∠ABQ=∠ADP =90° ∵AQ ⊥AP ∴∠PAQ=90° ∴∠QAB+ ∠BAP=90° 又∵∠PAD+∠BAP=90° ∴∠PAD=∠QAB 在△ADP 与△ABQ 中 ∵⎨
x
P
Q
20-x
⎧∠ADP =∠ABQ
⎩∠PAD =∠QAB
∴△ADP ∽△ABQ
（2）如图，作MN ⊥QC ，则∠QNM=∠QCD=90° 又∵∠MQN=∠PQC ∴△MQN ∽△PQC ∴
N
MN QM
= PC QP QM 1
= QP 2
∵点M 是PQ 的中点 ∴
∴
MN QM QN 1
=== PC QP QC 2
1111
PC =(20-x ) QN =QC =(QB +10) 2222
又∵PC =DC -DP =20-x ∴MN =
∵△ADP ∽△ABQ ∴
AD DP 10x == ∴BQ =2x AB BQ 20BQ
111
QC =(QB +10) =(2x +10) 222
1
∴BN =QB -QN =2x -(2x +10) =x -5
2
∵QN =
⎛1⎫
在Rt △MBN 中，由勾股定理得：BM 2=MN 2+BN 2= (20-x ) ⎪+(x -5) 2
⎝2⎭
2
即：y =
52
x -20x +125 (0≤x ≤20) 4
当x =4即DP =4时，线段BM
长的最小值==.
(3)如图，当点PQ 中点M 落在AB 上时，此时QB=BC=10
P a
10a =由△ADP ∽△ABQ 得解得：a =12.5 810
Q
10 C ∴随着a 的大小的变化，点M 的位置也在变化，
当点M 落在矩形ABCD 外部时，求a 的取值范围为：a >12.5
（2013•包头）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 上的一个动点，连接DE ，交AC 于点F ．
（1）如图①，当
时，求
的值；
OA ；
（2）如图②当DE 平分∠CDB时，求证：AF=
（3）如图③，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG⊥BC于点G ，求证：CG=BG ．
（2013•北京） 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，
C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB 等于
A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 答案：B
解析：由△EAB ∽△EDC ，得：
CE CD 1020
==，即，解得：AB ＝40 BE AB 20AB
（2013•天津）如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 7 ．
（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），点B （0，4），点E 在OB 上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．
2222
①设AA′=m，其中0＜m ＜2，试用含m 的式子表示A′B+BE′，并求出使A′B+BE′取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
（2013• 衢州）提出问题
（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以
AM 为边作等边△AMN ，连结CN . 求证：∠ABC =∠ACN .
类比探究
（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC =∠ACN 还成立吗？请说明理由. 拓展延伸
（3）如图3，在等腰△ABC 中， BA=BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结
AM ，以AM 为边作等腰△AMN ，使顶角∠AMN =∠ABC . 连结CN . 试探究∠ABC 与∠ACN 的数量
关系，并说明理由.
图1
图2 图3
第22题
（1）证明：∵等边△ABC ，等边△AMN
∴AB =AC ，AM =AN ，∠BAC =∠MAN =60°
∴∠BAM =∠CAN „„„„„„„„„„1分 ∴△BAM ≌△CAN （SAS ） „„„„„„„„„„2分 ∴∠ABC =∠ACN „„„„„„„„„„3分 （2）解：结论∠ABC =∠ACN 仍成立 . „„„„„„„„„4分 理由如下：∵等边△ABC ，等边△AMN ∴AB =AC , AM =AN ， ∠BAC =∠MAN =60°
∴∠BAM =∠CAN ∴△BAM ≌△CAN „„„„„„„„„5分 ∴∠ABC =∠ACN „„„„„„„„„6分 （3）解：∠ABC =∠ACN „„„„„„„„„7分
理由如下：∵BA =BC ， MA=MN ，顶角∠ABC =∠AMN
∴底角∠BAC =∠MAN ∴△ABC ∽△AMN ， „„„„„„„8分 ∴AB AC 又∠BAM =∠BAC-∠MAC ，∠CAN =∠MAN-∠MAC
AM
AN
∴∠BAM =∠CAN ∴△BAM ∽△CAN „„„„„9分 ∴∠ABC =∠ACN „„„„„„„„„10分
图1
图2 图3 第22题
（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD 交于点G ，点F 在BC 上．
（1）如图1，AC ：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图2，AC ：AB=1：，EF⊥CE ，求EF ：EG 的值．
（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点P′），当AP 旋转至AP′⊥AB时，点B 、P 、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E ． （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=5时，求线段AB 的长．
（2013•邵阳）如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，点P 是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P 关于直线BC 的对称点，连结PP′交BC 于点M ，BP′交AC 于D ，连结BP 、AP′、CP′．
（1）若四边形BPCP′为菱形，求BM 的长； （2）若△BMP′∽△ABC，求BM 的长；
（3）若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积．
21
22
（2013•临沂）如图，矩形ABCD 中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB ，BC 所在的直线相交，交点分别为E ，F ． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则
的值为
；
的值；
的
（2）现将三角板绕点P 逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP ：PC=1：2时，如图3，值是否变化？证明你的结论．
23
24
25
图形的相似
（2013，永州）如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD 上是否存在P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由； （2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；
（4）若AB=m ，CD=n ，BD=l ，请问m , n , l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点？两个P 点？三个P 点？
A
C
B D P
第
25题图
（2013，成都）如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，∠A =∠C =90o ，BD ⊥BE ，AD =BC .
（1）求证：AC =AD +CE ；
()
（2）若AD =3，CE =5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 与点Q ；
i ）当点P 与A ，B 两点不重合时，求
DP
的值； PQ
ii ）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长. （直接写出结果，不必写出解答过程）
（1）证△ABD ≌△CEB →AB=CE；
1
（2）如图，过Q 作QH ⊥BC 于点H ，则△ADP ∽△HPQ ，△BHQ ∽△BCE ， ∴
BH QH AD AP
= ，； =
BC EC PH QH
BH y
= 35
设AP=x ，QH=y ，则有∴BH=
3y 3y
，PH=+5-x 55
∴
33y
+5-x 5
=
x
，即(x -5)(3y -5x ) =0 y
又∵P 不与A 、B 重合，∴x ≠5, 即 x -5≠0， ∴3y -5x =0即3y =5x
∴
DP x 3
== PQ y 5
(3)
234
3
（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：
AO 2
（1）若O 是△ABC 的重心（如图1），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：=；
AD 3（2）若AD 是△ABC 的一条中线（如图2），O 是AD 上一点，且满足
AO 2
=，试判断O 是AD 3
△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S 四边形BCHG ．S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究的最大值。 B
（图1）
2
S 四边形BCHG S
AGH
B
B
（图2）
（图3）
（2013•自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB 1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B 1C 顺时针旋转45°得图②，点P 1是A 1C 与AB 的交点，点Q 是A 1B 1与BC 的交点，求证：CP 1=CQ；
（2）在图②中，若AP 1=2，则CQ 等于多少？
（3）如图③，在B 1C 上取一点E ，连接BE 、P 1E ，设BC=1，当BE⊥P1B 时，求△P1BE 面积的最大值．
3
（2013•黄石）如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果
AC BC
，那么称点C 为线段=
AB AC
AB 的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S 的图形分成两部分，
S 1S 2
=，那么称直线为该图形的黄金分割线. 这两部分的面积分别为S 1、S 2，如果
S S 1
（1）如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ，请问点D 是否是AB 边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC 在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD 中，∠D =∠C =90，对角线AC 、BD 交于点F ，延长AB 、DC 交于点E ，连接EF 交梯形上、下底于G 、H 两点，请问直线GH 是不是直角梯形ABCD 的黄金分割线，并证明你的结论.
A
A
B
H B D
4
D
A
C 图1
B
A D 图2
B
图3
C 图4
E
）点D 是AB 边上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A =36°，AB =AC ∴∠B =∠ACB =72° ∵CD 平分∠ACB ∴∠DCB =36°
∴∠BDC =∠B =72°
∵∠A =∠BCD ，∠B =∠B ∴△BCD ∽△BAC
∴BC BD
AB =
BC
又∵BC =CD =AD ∴AD BD AB =AB
∴D 是AB 边上的黄金分割点 ············（2）直线CD 是△ABC 的黄金分割线，理由如下：
设△ABC 的边AB 上的高为h ，则
S 12AD ⋅h ，S 11
ADC =DBC =2BD ⋅h ，S ABC =2
AB ⋅h
∴S
ADC
:S
ABC
=AD :AB ，S
DBC
:S
ADC
=BD :AD
∵D 是AB 的黄金分割点 ∴
AD BD
AB =
AD
∴S ADC
:S
ABC
=S
DBC
:S
ADC
∴CD 是△ABC 的黄金分割线 ············
（3）GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线
∵BC ∥AD
∴△EBG ∽△EAH ，△EGC ∽△EHD
∴
BG EG
AH =
EH ① GC EG
HD =
EH
② 由①、 ②得 BG GC AH =HD 即BG AH
GC =
HD
③ 同理，由△BGF ∽△DHF ，△CGF ∽△AHF 得
3分）3分）5
解析：
解：（1 （
（
BG GC BG HD
即 ④ ==
HD AH GC AH
AH HD
由③、④得 =
HD AH
∴AH =HD ∴BG =GC
∴ 梯形ABGH 与梯形GCDH 上下底分别相等，高也相等
1
∴S 梯形ABGH =S 梯形GCDH =S 梯形ABCD
2
∴GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线 ······· （3分）
（2013•武汉）已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ． （1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证
DE AD
； =
CF CD
（2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得
DE AD
成立？并证明你的结论； =
CF CD
DE
的值． CF
A E
B
D
（3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出
D F F A D A
G E E
B C B 第24题图②第24题图①
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°， ∵DE ⊥CF ，∴∠ADE ＝∠DCF ，∴△ADE ∽△DCF ，∴（2）当∠B+∠EGC ＝180°时，
第24题图③
C
DE AD
． =
CF DC
DE AD
成立，证明如下： =
CF DC
在AD 的延长线上取点M ，使CM ＝CF ，则∠CMF ＝∠CFM ． ∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠CDM ， ∵∠B+∠EGC ＝180°，
A
∴∠AED ＝∠FCB ，∴∠CMF ＝∠AED ． ∴△ADE ∽△DCM ，
F G
M
DE AD DE AD ∴，即． ==CM DC CF DC DE 25（3）=．
CF 24
E B
第24题图②
C
6
（2013•宜昌）如图1，在⊿ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AO ⊥BC 于点O ，F 是线段AO 上的点（与A 、O 不重合），∠EAF=90°，AE=AF，连接FE ，FC ，BF. （1）求证：BE=BF；
（2）如图2，若将⊿AEF 绕点A 旋转，使边AF 在∠BAC 的内部，延长CF 交AB 于点G ，交BE 于点K.
①求证：⊿AGC ∽⊿KGB ；
②当⊿BEF 为等腰直角三角形时，请直接写出．．．．AB ：BF 的值.
（2013•莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D 为AB 边上一点，点M 、N 分别在BC 、AC 边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F ，NE⊥AB于点E ．
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D 为AB 中点，求证：DM=DN，AE=DF； （2）拓展探究：若AC≠BC．
7
①如图2，若D 为AB 中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M 在BC 边上”改为“点M 在线段CB 的延长线上”，其它条件不变，请探究AE 与DF 的数量关系并加以证明．
8
9
（2013•吉林省）如图，在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝. 点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，连接DE 、DF ，动点P ，Q 分别从点A 、B 同时出发，运动速度均为1㎝/s，点P 沿A F D的方向运动到点D 停止；点Q 沿B C的方向运动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动. 在运动过程中，过点Q 作BC 的垂线交AB 于点M ，以点P ，M ，Q 为顶点作平行四边形PMQN. 设平行四边形边形PMQN 与矩形FDEC 重叠部分
2
的面积为y （㎝）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P 运动的时间为x （s ） （1）当点P 运动到点F 时，CQ= ㎝；
（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度； （3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式.
（2013•泰州） 如图，矩形ABCD 中，点P 在边CD 上，且与点C 、 D不重合，过点A 作AP 的垂线与CB 的延长线相交于点Q ，连接PQ ，PQ 的中点为M. (1)求证：△ADP ∽△ABQ ；
2
(2)若AD=10，AB=20，点P 在边CD 上运动，设DP=x , BM =y ，求y 与x 的函数关系式，并求线段BM 长的最小值；
B Q
B
D
E
E
A
P N F
C
A
F
C
10
(3)若AD=10, AB=a ， DP=8，随着a 的大小的变化，点M 的位置也在变化，当点M 落在矩形ABCD 外部时，求a 的取值范围。
解：(1)证明：∵ 四边形ABCD 是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90° ∵∠ABC+∠ABQ=180° ∴∠ABQ=∠ADP =90° ∵AQ ⊥AP ∴∠PAQ=90° ∴∠QAB+ ∠BAP=90° 又∵∠PAD+∠BAP=90° ∴∠PAD=∠QAB 在△ADP 与△ABQ 中 ∵⎨
x
P
Q
20-x
⎧∠ADP =∠ABQ
⎩∠PAD =∠QAB
∴△ADP ∽△ABQ
（2）如图，作MN ⊥QC ，则∠QNM=∠QCD=90° 又∵∠MQN=∠PQC ∴△MQN ∽△PQC ∴
N
MN QM
= PC QP QM 1
= QP 2
∵点M 是PQ 的中点 ∴
∴
MN QM QN 1
=== PC QP QC 2
1111
PC =(20-x ) QN =QC =(QB +10) 2222
又∵PC =DC -DP =20-x ∴MN =
∵△ADP ∽△ABQ ∴
AD DP 10x == ∴BQ =2x AB BQ 20BQ
111
QC =(QB +10) =(2x +10) 222
1
∴BN =QB -QN =2x -(2x +10) =x -5
2
∵QN =
⎛1⎫
在Rt △MBN 中，由勾股定理得：BM 2=MN 2+BN 2= (20-x ) ⎪+(x -5) 2
⎝2⎭
2
即：y =
52
x -20x +125 (0≤x ≤20) 4
当x =4即DP =4时，线段BM
长的最小值==.
(3)如图，当点PQ 中点M 落在AB 上时，此时QB=BC=10
P a
10a =由△ADP ∽△ABQ 得解得：a =12.5 810
Q
10 C ∴随着a 的大小的变化，点M 的位置也在变化，
当点M 落在矩形ABCD 外部时，求a 的取值范围为：a >12.5
（2013•包头）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 上的一个动点，连接DE ，交AC 于点F ．
（1）如图①，当
时，求
的值；
OA ；
（2）如图②当DE 平分∠CDB时，求证：AF=
（3）如图③，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG⊥BC于点G ，求证：CG=BG ．
（2013•北京） 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，
C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB 等于
A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 答案：B
解析：由△EAB ∽△EDC ，得：
CE CD 1020
==，即，解得：AB ＝40 BE AB 20AB
（2013•天津）如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 7 ．
（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），点B （0，4），点E 在OB 上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如图①，求点E 的坐标；
（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．
2222
①设AA′=m，其中0＜m ＜2，试用含m 的式子表示A′B+BE′，并求出使A′B+BE′取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．
（2013• 衢州）提出问题
（1）如图1，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结AM ，以
AM 为边作等边△AMN ，连结CN . 求证：∠ABC =∠ACN .
类比探究
（2）如图2，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点（不含端点C ），其它条件不变，（1）中结论∠ABC =∠ACN 还成立吗？请说明理由. 拓展延伸
（3）如图3，在等腰△ABC 中， BA=BC ，点M 是BC 上的任意一点（不含端点B 、C ），连结
AM ，以AM 为边作等腰△AMN ，使顶角∠AMN =∠ABC . 连结CN . 试探究∠ABC 与∠ACN 的数量
关系，并说明理由.
图1
图2 图3
第22题
（1）证明：∵等边△ABC ，等边△AMN
∴AB =AC ，AM =AN ，∠BAC =∠MAN =60°
∴∠BAM =∠CAN „„„„„„„„„„1分 ∴△BAM ≌△CAN （SAS ） „„„„„„„„„„2分 ∴∠ABC =∠ACN „„„„„„„„„„3分 （2）解：结论∠ABC =∠ACN 仍成立 . „„„„„„„„„4分 理由如下：∵等边△ABC ，等边△AMN ∴AB =AC , AM =AN ， ∠BAC =∠MAN =60°
∴∠BAM =∠CAN ∴△BAM ≌△CAN „„„„„„„„„5分 ∴∠ABC =∠ACN „„„„„„„„„6分 （3）解：∠ABC =∠ACN „„„„„„„„„7分
理由如下：∵BA =BC ， MA=MN ，顶角∠ABC =∠AMN
∴底角∠BAC =∠MAN ∴△ABC ∽△AMN ， „„„„„„„8分 ∴AB AC 又∠BAM =∠BAC-∠MAC ，∠CAN =∠MAN-∠MAC
AM
AN
∴∠BAM =∠CAN ∴△BAM ∽△CAN „„„„„9分 ∴∠ABC =∠ACN „„„„„„„„„10分
图1
图2 图3 第22题
（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD 交于点G ，点F 在BC 上．
（1）如图1，AC ：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图2，AC ：AB=1：，EF⊥CE ，求EF ：EG 的值．
（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P 为AC 边上的一点，将线段AP 绕点A 顺时针方向旋转（点P 对应点P′），当AP 旋转至AP′⊥AB时，点B 、P 、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E ． （1）求证：∠CBP=∠ABP； （2）求证：AE=CP；
（3）当，BP′=5时，求线段AB 的长．
（2013•邵阳）如图所示，在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，点P 是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点，点P′是点P 关于直线BC 的对称点，连结PP′交BC 于点M ，BP′交AC 于D ，连结BP 、AP′、CP′．
（1）若四边形BPCP′为菱形，求BM 的长； （2）若△BMP′∽△ABC，求BM 的长；
（3）若△ABD为等腰三角形，求△ABD的面积．
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（2013•临沂）如图，矩形ABCD 中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ，BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB ，BC 所在的直线相交，交点分别为E ，F ． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则
的值为
；
的值；
的
（2）现将三角板绕点P 逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求
（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP ：PC=1：2时，如图3，值是否变化？证明你的结论．
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