第16卷 第2期
机械科学与技术V o l . 16 N o. 2变位内齿轮齿形系数的研究
薛卫东 郑银玲
(西安公路交通大学 西安 710064)
摘 要 , 给出
。研究结果表明:GB 3480
-83。
4
引 言
内齿轮是机械传动特别是行星齿轮传动中经常使用的构件, 出于配凑中心距或提高承载能力的需要, 变位内齿轮获得了广泛的应用。而在内齿轮齿根强度计算时, 通常是用齿条齿廓对其进行近似替代, 用30°切线法来确定其齿根危险断面, 从而把其齿形系数视为常量[1], 这不仅忽视了内齿轮齿数和变位系数等参数对内齿轮齿形的影响, 而且和内齿轮的最大齿根应力发生在齿根45°切线附近的研究结论[2]、[3]相矛盾。因此, 本文首先讨论了内齿轮的变位系数及齿数对齿根45°切线处的齿厚、弯曲力臂以及载荷作用角的影响, 进而就变位内齿轮齿形系数的计算问题进行了探讨。
1 内齿轮的齿根过渡曲线
如图1所示, 以齿轮型刀具的中心O 1为原点、刀具齿槽对称线为y 1轴, 建立刀具齿廓所在的动坐标x 1o 1y 1; 以内齿轮的中心O 2为原点、内齿轮齿形对称线为y 2轴, 建立内齿轮齿廓所在的动坐标x 2o 2y 2。又设刀具齿顶圆角中心为O ′, 过刀具齿顶圆角上任一点C ′的刀具齿廓法线和刀具节圆交于P ′点。如果P ′点和刀具与内齿轮的啮合节点P 不重合, 则该C ′点便不是刀具和内齿轮的啮合点。设O 1O ′和y 1轴的夹角为u 1, O 1O ′和O 1P ′的夹角为Υ1, 则当刀具转动(u 1+Υ点和节点P 重合, 点C ′成为啮合点C 。于是, 当C ′点坐标为1) 角, 内齿轮对应转动5角时, P ′
(x 1, y 1) 时, 通过坐标变换[4], 便可获得内齿轮齿根过渡曲线上和C ′点相接触的点C (x 2, y 2) 所满足的方程。即
x 2
y =co s (5-u 1-Υu 1-Υ1) sin (5-1) -sin (5-u 1-Υu 1-Υ1) co s (5-1) x 1y sin 5+a co s 5(1)
式中a ′为刀具和内齿轮的实际中心距。
设刀具的模数为m 、分度圆压力角为Α、齿数为Z C 、变位系数为x c 、齿顶圆角半径为Θ0, 内Ξ收稿日期:19960613
・206・机械科学与技术第16卷 齿轮的齿数为Z i 、变位系数为x i 、则通过几何计算可求得刀具
和内齿轮的啮合角Α′, 中心距a ′, 它们各自的基圆半径r bc 、r bi ,
节圆半径r c ′r i ′, 齿顶圆半径r ac 、r ai 以及齿顶圆压力角ΑΑac 、ai 。
在图2中, 设刀具渐开线齿廓与其基圆的交点为A 、与其分度
圆的交点为B 、与其齿顶圆角的连接点为C , 那么, 根据渐开线的
性质, 过C 点的齿廓法线CO ′必与其基圆相切于N 点。因为O 1N
的长度为r bc , O 1O ′的长度为(r ac -Θ0) , 所以CN 的长度Θc 为
221 2Θ[(r ac -Θr bc ]+Θc =0) -0
设图2中CO 1的长度为r oc , 则r oc 满足
222 r oc =Θc +r bc
221 222=[((r ac -Θr bc ) +Θ0) -0C 点的压力角Αoc 满足:
r (3) oc =, 刀具分度圆齿
) m , 所以, 刀具分度圆与其渐开线齿廓槽宽为:(Πx c tg Α
交点处的向径O 1B 和y 1轴的夹角Κ为:
(m Z c ) m ) Κ=[(0. 5Π-2x c tg Α2] 2) =(0. 5Π-2x c tg ΑZ
c 图1
因为图2中B 点的渐开线展角:∠B O 1A =inv Α, C 点的渐开线展角:
∠CO 1A =inv Αoc , 所以, 向径O 1C 和y 1轴的夹角71为:
71=Κ+∠CO 1A -∠B O 1A
) =[(0. 5Π-2x c tg ΑZ c ]+inv Αinv Α(4) oc -
由图2中△O 1O ′N 可知, O 1C 和O 1O ′的夹角72满足:
(r ac -Θ) co s (Αoc -72) =r bc
于是, O 1O ′和y 1轴的夹角即图1中的u 1为
u 1=71+72(5) (6)
图2 设图1中O 1N ′为C ′P ′的垂线, O 1P ′和O 1N ′的夹角为7, 则由△O 1O ′N ′
和△O 1P ′N ′可得
(r ac -Θ0) co s (Υ1+7) =r ′c co s 7
(r ac -Θ即: tg 7=[(r ac -Θr ′0) co s Υ1-c ] 0) sin Υ1
设内齿轮齿根过渡曲线上C 点的切线角为Η, 则由图1可知:
Η=5+7
由刀具和内齿轮的运动关系可知:
5=(U 1+ΥZ i 1) Z c
(x 1, y 1) 满足: 由图1可知, 刀具齿顶圆角上任一点C ′
x 1sin u 1-co s (u 1+Υ1+7=(r ac -Θ+Θ0) 0y co s u sin (u 1+
Υ1+7)
代入式(1) , 并应用式(8) , 可得
x 2sin (5-Υ1) sin 5-co s =(r ac -Θ+a +Θ0) 0y
co s (5-Υco s sin 1) (7) (8) (9) (10) (11)
第2期薛卫东等:变位内齿轮齿形系数的研究・207・
) , 可先由式(2) ～(6) 求得u 1角, 再由式(7) 综上所述, 对于给定的切线角Η(例如Η=45°
～(9) 通过迭代计算求得Υ1角及5角, 最后由式(11) 便可获得内齿轮的齿根过渡曲线上C (x 2, y 2) 点的坐标。
2 内齿轮的轮齿弯曲参数
) 处的轮齿厚s F 、内齿轮的轮齿弯曲参数主要包括:危险截面(Η=45°弯曲力臂h F a 和载荷
作用角ΑF a (见图1) 。
设变位内齿轮的齿顶圆齿厚所对应的圆心角为2K , 则
) (12) K =[(0. 5Π-2x i tg Αinv Z i ]ai 弯曲参数ΑFa 、h F a 、s F 分别为:ΑF a =ai +F a 2-
s F x 2) (s K +sin K tg ΑF Α(13)
=4mm , 分度圆压力角Α=20°, 齿数
Z c =25, 变位系数x c =x i , Θ. 15m (m 为模数) , 则由式(2) ～(13) 便可对变位内齿轮的轮齿弯曲参数00
进行计算和分析。
图6
图3和图4分别给出了载荷作用角Αm (m 为模数) 与内齿轮齿F a 和无量纲弯曲力臂h F a 图5
数Z i 及内齿轮变位系数x i 的关系曲线。从图中可以看到:正变位内齿轮的载荷作用角比较大, 弯曲力臂比较小, 所以在轮齿危险截面上产生的弯矩也就比较小。
・208・机械科学与技术第16卷 图5给出了齿根危险截面处齿厚s F 和弯曲力臂h Fa 的比值L a 与内齿轮齿数Z i 及内齿轮变位系数x i 的关系曲线。从图中可以看到:正变位可使内齿轮危险截面处的齿厚增大, 从而可减小该截面上的弯曲应力。
3 变位内齿轮的齿形系数根据齿形系数的定义[1], 变位内齿轮的齿形系数y F a 为
22(s F a y Fa =6(h F a m ) co s Αm ) co s Α=6co s ΑL a (h F a m ) co F a Fa (14)
根据图2～图5的计算结果, F a x i 及齿数
从图5可以看到:, , 随其变Z i 的关系曲线(如图6) 。
位系数的增大而减小。虽然齿数较多时, , 容忽视。
4 结论
(1) 、弯曲力臂以及载荷作用角等轮齿弯, 因而对其齿形系数也就要产生较大的影响, GB 3480-83中将内齿轮的齿形系数视为常量的作法值得商榷。
(2) 内齿轮的齿形系数随其变位系数的增大而减小, 随其齿数的增多而增大。
参 考 文 献
1 GB 3480-83, 渐开线圆柱齿轮承载能力计算方法.
2 郑泰享等. 内齿平齿车の曲げ应力. 日本机械学会论文集(C 编) , 1981(8)
3 胡培年, 杨廷栋, 朱祥和. 行星传动内齿圈强度研究. 第五届机械传动年会论文集, 1992
4 吴序堂. 齿轮啮合原理. 北京:机械工业出版社, 1982
Study on Tooth Form Factor of M od if ied I n terna l Gears
Xue W eidong Zheng Y in ling
(X i ′an H ighw ay U n iversity , X i ′an 710064)
Abstract T he research is carried ou t on the cho rdal th ickness and bending mom en t on dangerou s secti on of modified in ternal gear too th . T he effects of the modificati on coefficien t and num ber of teeth on the too th fo rm facto r of in ternal gears w ere clarified . T he resu lts show that the calcu lati on of too th fo rm facto r in the standard of GB 3480-83is i m perfect .
Keywords In ternal gear M odified gear Too th fo rm facto r
第16卷 第2期
机械科学与技术V o l . 16 N o. 2变位内齿轮齿形系数的研究
薛卫东 郑银玲
(西安公路交通大学 西安 710064)
摘 要 , 给出
。研究结果表明:GB 3480
-83。
4
引 言
内齿轮是机械传动特别是行星齿轮传动中经常使用的构件, 出于配凑中心距或提高承载能力的需要, 变位内齿轮获得了广泛的应用。而在内齿轮齿根强度计算时, 通常是用齿条齿廓对其进行近似替代, 用30°切线法来确定其齿根危险断面, 从而把其齿形系数视为常量[1], 这不仅忽视了内齿轮齿数和变位系数等参数对内齿轮齿形的影响, 而且和内齿轮的最大齿根应力发生在齿根45°切线附近的研究结论[2]、[3]相矛盾。因此, 本文首先讨论了内齿轮的变位系数及齿数对齿根45°切线处的齿厚、弯曲力臂以及载荷作用角的影响, 进而就变位内齿轮齿形系数的计算问题进行了探讨。
1 内齿轮的齿根过渡曲线
如图1所示, 以齿轮型刀具的中心O 1为原点、刀具齿槽对称线为y 1轴, 建立刀具齿廓所在的动坐标x 1o 1y 1; 以内齿轮的中心O 2为原点、内齿轮齿形对称线为y 2轴, 建立内齿轮齿廓所在的动坐标x 2o 2y 2。又设刀具齿顶圆角中心为O ′, 过刀具齿顶圆角上任一点C ′的刀具齿廓法线和刀具节圆交于P ′点。如果P ′点和刀具与内齿轮的啮合节点P 不重合, 则该C ′点便不是刀具和内齿轮的啮合点。设O 1O ′和y 1轴的夹角为u 1, O 1O ′和O 1P ′的夹角为Υ1, 则当刀具转动(u 1+Υ点和节点P 重合, 点C ′成为啮合点C 。于是, 当C ′点坐标为1) 角, 内齿轮对应转动5角时, P ′
(x 1, y 1) 时, 通过坐标变换[4], 便可获得内齿轮齿根过渡曲线上和C ′点相接触的点C (x 2, y 2) 所满足的方程。即
x 2
y =co s (5-u 1-Υu 1-Υ1) sin (5-1) -sin (5-u 1-Υu 1-Υ1) co s (5-1) x 1y sin 5+a co s 5(1)
式中a ′为刀具和内齿轮的实际中心距。
设刀具的模数为m 、分度圆压力角为Α、齿数为Z C 、变位系数为x c 、齿顶圆角半径为Θ0, 内Ξ收稿日期:19960613
・206・机械科学与技术第16卷 齿轮的齿数为Z i 、变位系数为x i 、则通过几何计算可求得刀具
和内齿轮的啮合角Α′, 中心距a ′, 它们各自的基圆半径r bc 、r bi ,
节圆半径r c ′r i ′, 齿顶圆半径r ac 、r ai 以及齿顶圆压力角ΑΑac 、ai 。
在图2中, 设刀具渐开线齿廓与其基圆的交点为A 、与其分度
圆的交点为B 、与其齿顶圆角的连接点为C , 那么, 根据渐开线的
性质, 过C 点的齿廓法线CO ′必与其基圆相切于N 点。因为O 1N
的长度为r bc , O 1O ′的长度为(r ac -Θ0) , 所以CN 的长度Θc 为
221 2Θ[(r ac -Θr bc ]+Θc =0) -0
设图2中CO 1的长度为r oc , 则r oc 满足
222 r oc =Θc +r bc
221 222=[((r ac -Θr bc ) +Θ0) -0C 点的压力角Αoc 满足:
r (3) oc =, 刀具分度圆齿
) m , 所以, 刀具分度圆与其渐开线齿廓槽宽为:(Πx c tg Α
交点处的向径O 1B 和y 1轴的夹角Κ为:
(m Z c ) m ) Κ=[(0. 5Π-2x c tg Α2] 2) =(0. 5Π-2x c tg ΑZ
c 图1
因为图2中B 点的渐开线展角:∠B O 1A =inv Α, C 点的渐开线展角:
∠CO 1A =inv Αoc , 所以, 向径O 1C 和y 1轴的夹角71为:
71=Κ+∠CO 1A -∠B O 1A
) =[(0. 5Π-2x c tg ΑZ c ]+inv Αinv Α(4) oc -
由图2中△O 1O ′N 可知, O 1C 和O 1O ′的夹角72满足:
(r ac -Θ) co s (Αoc -72) =r bc
于是, O 1O ′和y 1轴的夹角即图1中的u 1为
u 1=71+72(5) (6)
图2 设图1中O 1N ′为C ′P ′的垂线, O 1P ′和O 1N ′的夹角为7, 则由△O 1O ′N ′
和△O 1P ′N ′可得
(r ac -Θ0) co s (Υ1+7) =r ′c co s 7
(r ac -Θ即: tg 7=[(r ac -Θr ′0) co s Υ1-c ] 0) sin Υ1
设内齿轮齿根过渡曲线上C 点的切线角为Η, 则由图1可知:
Η=5+7
由刀具和内齿轮的运动关系可知:
5=(U 1+ΥZ i 1) Z c
(x 1, y 1) 满足: 由图1可知, 刀具齿顶圆角上任一点C ′
x 1sin u 1-co s (u 1+Υ1+7=(r ac -Θ+Θ0) 0y co s u sin (u 1+
Υ1+7)
代入式(1) , 并应用式(8) , 可得
x 2sin (5-Υ1) sin 5-co s =(r ac -Θ+a +Θ0) 0y
co s (5-Υco s sin 1) (7) (8) (9) (10) (11)
第2期薛卫东等:变位内齿轮齿形系数的研究・207・
) , 可先由式(2) ～(6) 求得u 1角, 再由式(7) 综上所述, 对于给定的切线角Η(例如Η=45°
～(9) 通过迭代计算求得Υ1角及5角, 最后由式(11) 便可获得内齿轮的齿根过渡曲线上C (x 2, y 2) 点的坐标。
2 内齿轮的轮齿弯曲参数
) 处的轮齿厚s F 、内齿轮的轮齿弯曲参数主要包括:危险截面(Η=45°弯曲力臂h F a 和载荷
作用角ΑF a (见图1) 。
设变位内齿轮的齿顶圆齿厚所对应的圆心角为2K , 则
) (12) K =[(0. 5Π-2x i tg Αinv Z i ]ai 弯曲参数ΑFa 、h F a 、s F 分别为:ΑF a =ai +F a 2-
s F x 2) (s K +sin K tg ΑF Α(13)
=4mm , 分度圆压力角Α=20°, 齿数
Z c =25, 变位系数x c =x i , Θ. 15m (m 为模数) , 则由式(2) ～(13) 便可对变位内齿轮的轮齿弯曲参数00
进行计算和分析。
图6
图3和图4分别给出了载荷作用角Αm (m 为模数) 与内齿轮齿F a 和无量纲弯曲力臂h F a 图5
数Z i 及内齿轮变位系数x i 的关系曲线。从图中可以看到:正变位内齿轮的载荷作用角比较大, 弯曲力臂比较小, 所以在轮齿危险截面上产生的弯矩也就比较小。
・208・机械科学与技术第16卷 图5给出了齿根危险截面处齿厚s F 和弯曲力臂h Fa 的比值L a 与内齿轮齿数Z i 及内齿轮变位系数x i 的关系曲线。从图中可以看到:正变位可使内齿轮危险截面处的齿厚增大, 从而可减小该截面上的弯曲应力。
3 变位内齿轮的齿形系数根据齿形系数的定义[1], 变位内齿轮的齿形系数y F a 为
22(s F a y Fa =6(h F a m ) co s Αm ) co s Α=6co s ΑL a (h F a m ) co F a Fa (14)
根据图2～图5的计算结果, F a x i 及齿数
从图5可以看到:, , 随其变Z i 的关系曲线(如图6) 。
位系数的增大而减小。虽然齿数较多时, , 容忽视。
4 结论
(1) 、弯曲力臂以及载荷作用角等轮齿弯, 因而对其齿形系数也就要产生较大的影响, GB 3480-83中将内齿轮的齿形系数视为常量的作法值得商榷。
(2) 内齿轮的齿形系数随其变位系数的增大而减小, 随其齿数的增多而增大。
参 考 文 献
1 GB 3480-83, 渐开线圆柱齿轮承载能力计算方法.
2 郑泰享等. 内齿平齿车の曲げ应力. 日本机械学会论文集(C 编) , 1981(8)
3 胡培年, 杨廷栋, 朱祥和. 行星传动内齿圈强度研究. 第五届机械传动年会论文集, 1992
4 吴序堂. 齿轮啮合原理. 北京:机械工业出版社, 1982
Study on Tooth Form Factor of M od if ied I n terna l Gears
Xue W eidong Zheng Y in ling
(X i ′an H ighw ay U n iversity , X i ′an 710064)
Abstract T he research is carried ou t on the cho rdal th ickness and bending mom en t on dangerou s secti on of modified in ternal gear too th . T he effects of the modificati on coefficien t and num ber of teeth on the too th fo rm facto r of in ternal gears w ere clarified . T he resu lts show that the calcu lati on of too th fo rm facto r in the standard of GB 3480-83is i m perfect .
Keywords In ternal gear M odified gear Too th fo rm facto r