湖南工学院教案用纸
第十章 函数项级数
§ 1 函数项级数的一致收敛性(1)
一、本次课主要内容
点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。 二、教学目的与要求
使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。
三、教学重点难点
函数列一致收敛的概念、性质 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
P 1
P68 1（5）（7）
湖南
工学院教案用
纸
一．
函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列
，介绍概念：
收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.
1. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“
例1
对定义在
证其收敛域为
例
2
, 且
”定义验证在
内
.
.
内的等比函数列
”定义
.
,
用“
”定义验
P 2
.
用“
例
3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: （1）
（2
）
（3）设
（4）
. . 为区间
.
上的全体有理数所成数列. 令
, ,
.
.
.
（5） 有
, ,
. （ 注意
. ）
二. 函数列的一致收敛性:
湖南工学院教案用纸
问题: 若在数集D 上 是否必遗传给极限函数
,
. 试问: 通项
的解析性质
? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未
P 3
能遗传, 而例3⑶说明可积性未能遗传
. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但
.
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数
的一种手段. 对这种函数
,
就是其表达式.
于是, 由通项函数的解析性质研
究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢
?
一个充分条件就是所谓“一致收敛”.
一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.
定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy 准则
) 函数列
,
( 介绍另一种形式证
令
, ，
.)
)
对
, ……, 有
. ,
.
在数集D
上一致收敛,
( 利用式 易见逐点收敛. 设
D .
,
D 成立, 即
推论1
在D 上
推论2 设在数集
D 上
， ,
. 若存在数列
.
D , 使
, 则函数列
应用系2 判断函数列
―
在数集D 上非一致收敛 . 在数集D 上非一致收敛时, 常选
为函数
在数集D 上的最值点.
验证函数一致收敛性: 例4
. 证明函数列
在R 内一致收敛.
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例5
证 显然有
,
例6 证 易见 由系1 ,
……
上的函数列 ,
.
证明在R 内
. 由系2 ,
,
但不一致收敛. 在点
处取得极大值
P 4
不一致收敛.
. 证明在
而
内
, .
在
内成立.
例7 对定义在区间
证明:
证
, 但在 时, 只要 . . 但由于
上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4. , 就有 ,
. 因此, 在
. 于是, 在
,
上有
上有 , 因
此 , 该函数列在
例8
例9 考查级数
上不一致收敛.
. 考查函数列
在下列区间上的一致收敛性:
.
; ⑵
从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 .
该例的结果说明什么问题 ?
教学后记：
5
第十章 函数项级数
§ 1 函数项级数的一致收敛性（2）
一、本次课主要内容
函数项级数一致收敛性。 二、教学目的与要求
使学生理解函数项级数一致收敛性概念。掌握函数项级数一致收敛性的判断。 三、教学重点难点
函数序列一致收敛性的判别方法。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
6
P68 1（9）（11），P69 5
一. 函数项级数及其一致收敛性: 1． 函数项级数及其和函数：
, 前 项部分和函数列
，收敛
7
点，收敛域, 和函数, 余项.
例1 定义在
内的函数项级数( 称为几何级数 )
的部分和函数列为
, 收敛域为
.
2. 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数
在区间D 上一致收敛,
对
,
在区间D 上一致收敛,
D 成立.
推论 级数
, .
Th3 级数
在区间D 上一致收敛,
.
例2 证明级数
证 令
=
在R 内一致收敛 .
, 则
时
对
R 成立. ……
8
例3 几何级数
一致收敛.
证 在区间
在区间
上一致收敛；但在
内非
上 , 有
, .
一致收敛 ;
而在区间
内 , 取
, 有
,
.
非一致收敛.
( 亦可由通项
敛.)
几何级数
在区间
内非一致收敛于零,
非一致收
何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数
在区间
内闭一致收敛 .
虽然在区间
内非一致收敛 , 但在包含于
内的任
二. 函数项级数一致收敛判别法: 1. M - 判别法:
Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数
敛的正项级数. 若当 充分大时, 对
收敛 .
定义在区间D 上,
, 则
是收
9
D 有|
在D 上一致
证
然后用Cauchy 准则.
亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数
的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数
级数 , 则级数
是级数
在区间D 上存在优
在区间D 上一致收敛 . 应用时, 常可试取. 但应注意, 级数
级数
在区间D 上不存在优级数 ,
在区间D 上非一致收敛.
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例 3 判断函数项级数
例 4 设
数收敛 .
简证 , 留为作业. 2. Abel 判别法:
. ……
与
和
是区间
都绝对收敛, 则级数
在R 内的一致收敛性 . 上的单调函数. 试证明 : 若级在区间
上绝对并一致
Th 5 设 ⅰ> 级数
在区间
上收敛; ⅱ> 对每个
在
上一致有界, 即
, 数列
, 使对
和
单调 ; ⅲ> 函数列
, 有( [1]P43 )
3. Dirichlet 判别法: Th 6 设ⅰ> 级数
有界;
ⅱ> 对于每一个
, 数列
单调; ⅲ> 在区间
上函数列
在区间
上一致收敛 .
的部分和函数列
在区间
上一致
. 则级数
10
在区间
上一致收敛 .
一致收敛于零. 则级数
例5 判断函数项级数
解 记
ⅱ> 对每个
,
；ⅲ>
在区间
上的一致收敛性.
. 则有ⅰ> 级数
对
收敛;
和
成立. 由Abel 判别法,
在区间
上一致收敛.
例6 设数列
证 在
单调收敛于零 . 试证明 : 级数
上一致收敛. 上有
在区间
.
可见级数
,
的部分和函数列在区间
上一致有界 . 取
11
. 就有级数
的部分和函数列在区间
对每一个
单调且一致上一致收敛.
上一致有界, 而函数列
收敛于零. 由Dirichlet 判别法, 级数
在区间
其实 , 在数列
单调收敛于零的条件下, 级数
的任何区间上都一致收敛.
在不包含
习 题 课
例1 设
.
若对每个自然数 有|
在 上一致收敛于函数
例2 证明函数列
例3
解
0,
―
. 在区间
,
上非一致收敛. . 讨论函数列{
. |
― 0|
}的一致收敛性.
|
对
成立, 则函数列{
}
,
,
.
且
,
. 可求得
函数列{
}在区间
上非一致收敛.
.
例4 设函数
明函数列{
在区间
}在区间
上连续 . 定义
上一致收敛于零.
. 试证
证法一 由
|
|
有界 . 设在区间
上|
;
|
.
12
|
|
;
……………………… |
|
,
.
.
注意到对
0,
证法二
.
有界. 设在区间
上|
,
.
|
. 把函数
在
点展开成具Lagrange 型余项的
阶Taylor 公式 , 注意到
,
就有
,
,
, .
所以
, 0,
,
.
. 且
,
. 令
例5 设
试证明: 若对
{
}在区间
证 对
和
由Cauchy 收敛准则 , 函数列{
例6 设在数集
在数集
上函数列{
}在区间
上一致收敛 .
和
, 有
上一致收敛 . 取
, 有
.
, 使
时, 有
. 于是对任何自然数
, 则函数列
,
. …….
,
13
上有界 , 则函数列{
在数集
}在数集
|
}一致收敛于函数
. 若每个
}在数集
上一致有界 . 上有界 ) 设在
上一致收敛,
|
上有|
, 当
,
|
时 , 对
.
证 ( 先证函数
对
, 由函数列{
, 有 |
界.
|
|
. 即函数
在数集
上有
( 次证函数列{
| 取
即函数列{
|―|
}在数集
|
|
上一致有界 ) ―
|
时, 对
|
和
|
有|
, 有 . |
.
易见对
}在数集
上一致有界 .
14
教学后记：
第十章 函数项级数
15
§ 2 一致收敛级数的判别与性质（1）
一、本次课主要内容
函数项级数的一致收敛的柯西收敛准则和一致收敛级数的性质。 二、教学目的与要求
使学生掌握判别函数的一致收敛性。深刻理解函数项级数一致收敛的判别方法。 三、教学重点难点
函数项级数一致收敛的判别方法的选择与使用。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
P82 1（4）（6）（8）（10）
一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质: 1. 连续性: Th 1 设在
在
上
, 且对
, 函数
在
上连续
,
16
上连续.
,
在点
. )
.
在点
连续 . 即证: 对
,
,
证 ( 要证 : 对
当|
时,
估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数
连续, 第二项
推论 设在
上
在
也可以任意小 . …… . 若
在
上间断 ，则函数列{
}在
上一致收敛和所有
上连续不能同时成立.
}, 有
註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{
.
即极限次序可换 .
2. 可积性: Th 2 若在区间
上连续. 则有
上函数列{
}一致收敛 , 且每个
.
在
证 设在
上
, 由Th1, 函数
在区间
上连续,
因此可积. 我们要证
. 注意到
, 可见只要
在
上成立.
Th2的条件可减弱为: 用条件“
在
上连续”.
关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 设{
}是定义在区间
在
上的函数列. 若{
}在
上收
在
上( R ) 可积”代替条件“
17
敛且一致可积 , 则其极限函数
.
上( R ) 可积 , 且有
3. 可微性： Th 3 设函数列{
,
在
一致收敛, 则函数列{
}定义在区间
}在区间
上, 在某个点
}在
上收敛, 且有
收敛. 对
上
上连续可导, 且由导函数构成的函数列{
.
证 设
，
.
, .
对
, 注意到函数
+
连续和
+
, 就有
（ 对第二项交换极限与积分次序）
+
+
.
估计 |
+
―
―
|
―
| + |
, 可证得
.
.
18
即
. 亦即求导运算与极限运算次序可换.
教学后记：
第十章 函数项级数
§ 2 一致收敛级数的判别与性质（2）
一、本次课主要内容
函数项级数的一致收敛的连续性定理，逐项积分定理和DiNi 定理 二、教学目的与要求
使学生理解函数项级数的性质。 三、教学重点难点
函数像级数一致收敛的性质的使用。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
19
P83 8
二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质: 例1 P40例3 例2 证明函数
在区间
内连续.
20
证 ( 先证
，
在区间
；又
,
在点
内闭一致收敛.) 对
，
在
，有一致收敛.
( 次证对
论 ,
在区间
上连续, 内连续.
连续 ) 对
连续, 的任意性,
, 由上段讨
在区间
在区间
上一致收敛; 又函数
在点
连续. 由点
例3
, . 计算积分
.
可见
数
教学后记：
时, 级数
的部分和有界 . 由Dirichlet 判别法推得级
收敛 .
收敛 . 同理可得级数数
第十章 函数项级数
§ 3 幂级数
一、本次课主要内容
幂级数概念收敛半径以及性质。 二、教学目的与要求
使学生理解掌握幂级数的收敛半径了解幂级数在收敛半径内的性质与使用。 三、教学重点难点 幂级数的性质 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
21
P92 1（6）（7）（8）（9），P93 4（1）
幂级数的一般概念. 型如
数数列
唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如
的
和
的幂级数 . 幂级数由系
22
幂级数. 幂级数是最简单的函数项级数之一.
一. 幂级数的收敛域:
1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域： Th 1 （ Abel ） 若幂级数
的任何 ，幂级数
对满足不等式
证
在点
收敛 ，
则对满足不等式
发散 ，则
收敛而且绝对收敛 ；若在点
的任何 ，幂级数
发散.
}有界. 设|
, 其中
|
, 有
收敛, {
|
.
.
2. 收敛半径 R的求法. Th 2 对于幂级数
, 若
, 则
时
ⅰ>
时
,
; ⅱ>
; ⅲ>
时
.
证
的).
……
, ( 强调开方次数与 的次数是一致
由于
, 因此亦可用比值法求收敛半径.
幂级数
的收敛区间:
.
23
幂级数
的收敛域: 一般来说 , 收敛区间
、
、
或
收敛域. 幂级数
之一.
的
收敛域是区间
例1 求幂级数
例2 求幂级数
的收敛域
.
的收敛域
.
例3 求下列幂级数的收敛域:
⑴
; ⑵
，则级数
: 令
.
2. 复合幂级数
的收敛区间为
, 则化为幂级数
. 设该幂级数
确
的收敛区间由不等式
定. 可相应考虑收敛域.
特称幂级数
为第中,
为正整数) 为缺项幂级数 .其中
. 应注意
项的系数 . 并应注意缺项幂级数
为第
项的系数 .
并不是复合幂级数 , 该级数
例4 求幂级数
解
的收敛域 .
是缺项幂级数 .
. 收敛区间为
通项
. 因此 , 该幂级数的收敛域为
的收敛域 .
解 令
性结果, 当且仅当
即
时级数
.
时级数
收敛. 所以所论级数的收敛域为
, 所论级数成为幂级数
收敛. 因此当且仅当
,
. 由几何级数的敛散
.
时,
24
.
例5 求级数
例6 求幂级数
的收敛半径 .
解
.
二． 幂级数的一致收敛性：
Th 3 若幂级数
内闭一致收敛 .
证
的收敛半径为
，则该幂级数在区间
, 设
, 级数
, 则对
, 有
绝对收敛, 由优级数判别法,
在区间
幂级数
在
致收敛.
上一致收敛. 因此 , 幂级数
内闭一
Th 4 设幂级数
收敛, 则幂级数
的收敛半径为
在区间
( 或
, 且在点
( 或
)
) 上一致收敛 .
25
证
. 收敛 , 函数列
在区间
上
递减且一致有界, 由Abel 判别法, 幂级数在区间上一致收敛 .
易见 , 当幂级数
间
的收敛域为
(
时 , 该幂级数即在区
上一致收敛 .
三. 幂级数的性质: 1. 逐项求导和积分后的级数: 设
,
*) 和 **)仍为幂级数. 我们有
命题1 *) 和 **)与
有相同的收敛半径 . ( 简证 )
值得注意的是，*) 和 **)与
虽有相同的收敛半径（ 因而有相同的收
.
敛区间），但未必有相同的收敛域 ， 例如级数
2. 幂级数的运算性质:
定义 两个幂级数
和
在点
的某邻域内相等是指：它们
在该邻域内收敛且有相同的和函数.
命题
2
,
.(由以下命题4系2)
26
命题3 设幂级数
, 则
和
的收敛半径分别为
和
,
ⅰ>
+
)(
, — Const ，
.
ⅱ>
, .
ⅲ> (
)
, , .
3. 和函数的性质: 命题4 设在
ⅰ>
在
(
内
内连续;
. 则
ⅱ> 若级数
或
收敛, 则
在点
( 或
) 是左( 或右 )连续的;
ⅲ> 对
,
在点 可微且有
;
ⅳ> 对
.
,
在区间
上可积, 且
27
当级数
收敛时, 无论级数
. 这是因为: 由级数
在点
收敛与否, 均有
收敛, 得函数
在点
推论1 和函数
由系1可见,
左连续, 因此有
.
在区间
内任意次可导, 且有
, …… .
任意次可导.
是幂级数的和函数的必要条件是
, 则有
推论2 若
例7 验证函数
验证 所给幂级数的收敛域为
满足微分方程
.
.
.
, 代入,
.
教学反思：
28
第十章 函数项级数
§ 4 函数的幂级数展开（1）
一、本次课主要内容
泰勒级数与余项公式。 二、教学目的与要求 使学生了解函数的泰勒公式。 三、教学重点难点
函数泰勒公式的记忆与使用。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
29
P 106 1（5）（9）（10），2,3
一. 函数的幂级数展开: 1. Taylor 级数: 设函数
在点
有任意阶导数.
30
Taylor 公式和Maclaurin 公式 . Taylor 公式：
.
余项
的形式:
,
的某邻域内有
阶导数 ，
存在 ）
之间.
Peano 型余项
: （ 只要求在点
Lagrange 型余项
:
在 与
或
.
积分型余项: 当函数
在点
的某邻域内有
.
阶连续导数时, 有
Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项
.
特别地，
时，Cauchy 余项为
在
与 之间.
31
Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得
,
称此级数为函数
在点
的Taylor 级数. 只要函数
在点
无限次可
导, 就可写出其Taylor 级数. 称
级数
.
=
时的Taylor 级数为Maclaurin 级数, 即
自然会有以下问题: 对于在点
域内或在点
的某邻域内, 函数
无限次可导的函数
, 在
的定义
和其Taylor 级数是否相等呢 ?
2． 函数与其Taylor 级数的关系： 例1 函数
在点
无限次可微 . 求得
. 其Taylor 级数为
.
该幂级数的收敛域为
并不相等, 因为级数发散.
. 仅在区间
内有
=
. 而在其他点
那么, 在Taylor 级数的收敛点, 是否必有
答也是否定的 .
和其Taylor 级数相等呢 ? 回
32
例2 函数
其Taylor 级数
，在
在点
无限次可导且有
外, 函数
因此
内处处收敛 . 但除了点
和
其Taylor 级数并不相等.
另一方面, 由本章§1命题4推论2（和函数的性质）知：在点
倘有数
在点
, 则
的Taylor 级数.
在点
无限次可导且级数
的某邻域内
必为函
综上 , 我们有如下结论: ⑴ 对于在点
均发散, 即便在点
无限次可导的函数
, 其Taylor 级数可能除点
外.
的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是
由此可见, 不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数.
⑵ 若幂级数
数就是函数
在点
在点
的某邻域内收敛于函数
, 则该幂级
的Taylor 级数. 在点
的某邻域内表示为关于
的幂级数，我们
于是 , 为把函数
只能考虑其Taylor 级数.
3． 函数的Taylor 展开式：
若在点
在点
函数
的某邻域内函数
的Taylor 级数收敛且和恰为
，则称函数
可展开成Taylor 级数(自然要附带展开区间. 称此时的Taylor 级数为在点
的Taylor 展开式或幂级数展开式. 简称函数
在点
可
33
展为幂级数.
当= 0 时, 称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式. 通常多考虑
的是Maclaurin 展开式.
4. 可展条件: Th 1 ( 必要条件 ) 函数
导数 .
Th 2 ( 充要条件 ) 设函数
在点
有任意阶导数 . 则
在区间
在点
可展 ,
在点
有任意阶
内等于其Taylor 级数( 即可展 )的充要条件是: 对
, 有
. 其中
是Taylor 公式中的余项.
证 把函数
展开为 阶Taylor 公式, 有
在点
可展.
, 则有
.
Th 3 ( 充分条件 ) 设函数
列
一致有界, 则函数
有任意阶导数 , 且导函数所成函数
证 利用Lagrange 型余项 , 设
.
例3 展开函数
解
,
,
.
ⅰ> 按幂; ⅱ> 按
幂.
34
所以 , ⅰ>
可见 , 的多项式
.
的Maclaurin 展开式就是其本身.
ⅱ>
.
教学反思：
第十章 函数项级数
§ 4 函数的幂级数展开（2）
一、本次课主要内容
任意连续函数的泰勒展开 二、教学目的与要求
使学生了解初等函数的泰勒展开。 三、教学重点难点
初等函数泰勒公式的记忆与使用。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
P106 5
35
一. 初等函数的幂级数展开式（初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式）.
为得到初等函数的幂级数展开式 , 或直接展开, 或间接展开.
36
1.
( 或
. ( 验证对
R ，
在
区间
) 上有界, 得一致有界. 因此可展 ).
.
2. , .
, .
可展是因为
3. 二项式
为正整数时,
在
的展开式:
内一致有界.
为多项式, 展开式为其自身;
内展开为
为不是正整数时, 可在区间
对余项的讨论可利用Cauchy 余项. 具体讨论参阅[1]P56.
时, 收敛域为
;
时, 收敛域为
时, 收敛域为
利用二项式
.
, 得
;
37
的展开式 , 可得到很多函数的展开式. 例如取
，
.
时
, , .
间接展开: 利用已知展开式 , 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式. 利用微积运算时, 要求一致收敛. 幂级数在其收敛区间内闭一致收敛 ,总可保证这些运算畅通无阻.
4.
.
.
事实上 , 利用上述
的展开式, 两端积分 , 就有
,
.
验证知展开式在点
5.
收敛, 因此 , 在区间
上该展开式成立.
.
由
. 两端积分, 有
38
验证知上述展开式在点
用了习题中第2题的结果,)
收敛, 因此该展开式在区间
上成立.(这里应
例4 展开函数
解
.
.
例5 展开函数
解
.
.
教学反思：
第十章 函数项级数
§ 5 多项式逼近连续函数
一、本次课主要内容
任意连续函数的多项式逼近 二、教学目的与要求
使学生任意函数的多项式逼近。 三、教学重点难点 初等函数多项式逼近使用。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
P109 2,3
39
一. 求收敛区间或收敛域:
40
例1 求幂级数
例2 求幂级数
的收敛区间 .
的收敛域.
解 设
时,
, 注意到
, 有
收敛域为
.
.
二. 函数展开:
例3 把函数
解
展开成 的幂级数 .
, ,
,
;
;
,
.
与 的展开式
.
比较.
例4 展开函数
解
,
41
, .
因此,
，
.
例5 展开函数
.
解
, ;
因此, , .
例6 把函数
解
展开成
的幂级数.
,
.
而
=
, .
三. 函数展开式应用举例: 1. 做近似计算 :
42
例7 计算积分
, 精确到
.
解
.
因此
, .
上式最后是Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使度. 于是
, 可取
. 故从第
项到第
项这前7 项之和达到要求的精
2. 利用展开式求高阶导数: 原理.
.
例8 设
解
证明对
存在并求其值.
,
.
时
, ,
直接验证可知上式当
时也成立 . 因此在
,
内有
43
.
函数 作为 的幂级数的和函数, 对
存在 , 且
即
四. 幂级数求和:
原理: 对某些幂级数, 有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换化为已知的函数展开式( 特别是化为函数
例9 求幂级数
和.
和
的展开式 ),借以求和.
的和函数并求级数
和Leibniz 级数
的
解 幂级数
的 收敛域为
, 设和函数为
, 则在
内有
,
注意到
, 则对
有
.
44
又
在点
连续 , 于是在区间
,
内上式成立. 即有
.
取
取
, 有
, 有
.
.
例10 求幂级数
的和函数. 并利用该幂级数的和函数求幂级数
的和.
的和函数以及数项级数
解 该幂级数的收敛域为
. 在
.
内设
现求
. 对
, 有
.
由
连续 , 有
.
因此
, , .
作代换
, 有
45
.
.
.
例11 求幂级数
解法一 收敛域为
的和函数.
, 设和函数为
, 则有
.
因此
, =
, .
解法二
例12 求幂级数
的和函数.
, .
解
.
例13 求数项级数
的和.
解 该级数为Leibniz 型级数, 因此收敛. 考虑幂级数
敛域为
. 设和函数为
, 在
内有
, 其收
46
, .
注意到
, 对
有
, .
于是
, .
教学反思：
湖南工学院教案用纸
第十章 函数项级数
§ 1 函数项级数的一致收敛性(1)
一、本次课主要内容
点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。 二、教学目的与要求
使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。
三、教学重点难点
函数列一致收敛的概念、性质 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
P 1
P68 1（5）（7）
湖南
工学院教案用
纸
一．
函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列
，介绍概念：
收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.
1. 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“
例1
对定义在
证其收敛域为
例
2
, 且
”定义验证在
内
.
.
内的等比函数列
”定义
.
,
用“
”定义验
P 2
.
用“
例
3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: （1）
（2
）
（3）设
（4）
. . 为区间
.
上的全体有理数所成数列. 令
, ,
.
.
.
（5） 有
, ,
. （ 注意
. ）
二. 函数列的一致收敛性:
湖南工学院教案用纸
问题: 若在数集D 上 是否必遗传给极限函数
,
. 试问: 通项
的解析性质
? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未
P 3
能遗传, 而例3⑶说明可积性未能遗传
. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但
.
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数
的一种手段. 对这种函数
,
就是其表达式.
于是, 由通项函数的解析性质研
究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢
?
一个充分条件就是所谓“一致收敛”.
一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.
定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的Cauchy 准则
) 函数列
,
( 介绍另一种形式证
令
, ，
.)
)
对
, ……, 有
. ,
.
在数集D
上一致收敛,
( 利用式 易见逐点收敛. 设
D .
,
D 成立, 即
推论1
在D 上
推论2 设在数集
D 上
， ,
. 若存在数列
.
D , 使
, 则函数列
应用系2 判断函数列
―
在数集D 上非一致收敛 . 在数集D 上非一致收敛时, 常选
为函数
在数集D 上的最值点.
验证函数一致收敛性: 例4
. 证明函数列
在R 内一致收敛.
湖南工学院教案用纸
例5
证 显然有
,
例6 证 易见 由系1 ,
……
上的函数列 ,
.
证明在R 内
. 由系2 ,
,
但不一致收敛. 在点
处取得极大值
P 4
不一致收敛.
. 证明在
而
内
, .
在
内成立.
例7 对定义在区间
证明:
证
, 但在 时, 只要 . . 但由于
上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4. , 就有 ,
. 因此, 在
. 于是, 在
,
上有
上有 , 因
此 , 该函数列在
例8
例9 考查级数
上不一致收敛.
. 考查函数列
在下列区间上的一致收敛性:
.
; ⑵
从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 .
该例的结果说明什么问题 ?
教学后记：
5
第十章 函数项级数
§ 1 函数项级数的一致收敛性（2）
一、本次课主要内容
函数项级数一致收敛性。 二、教学目的与要求
使学生理解函数项级数一致收敛性概念。掌握函数项级数一致收敛性的判断。 三、教学重点难点
函数序列一致收敛性的判别方法。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
6
P68 1（9）（11），P69 5
一. 函数项级数及其一致收敛性: 1． 函数项级数及其和函数：
, 前 项部分和函数列
，收敛
7
点，收敛域, 和函数, 余项.
例1 定义在
内的函数项级数( 称为几何级数 )
的部分和函数列为
, 收敛域为
.
2. 一致收敛性: 定义一致收敛性. Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数
在区间D 上一致收敛,
对
,
在区间D 上一致收敛,
D 成立.
推论 级数
, .
Th3 级数
在区间D 上一致收敛,
.
例2 证明级数
证 令
=
在R 内一致收敛 .
, 则
时
对
R 成立. ……
8
例3 几何级数
一致收敛.
证 在区间
在区间
上一致收敛；但在
内非
上 , 有
, .
一致收敛 ;
而在区间
内 , 取
, 有
,
.
非一致收敛.
( 亦可由通项
敛.)
几何级数
在区间
内非一致收敛于零,
非一致收
何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数
在区间
内闭一致收敛 .
虽然在区间
内非一致收敛 , 但在包含于
内的任
二. 函数项级数一致收敛判别法: 1. M - 判别法:
Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数
敛的正项级数. 若当 充分大时, 对
收敛 .
定义在区间D 上,
, 则
是收
9
D 有|
在D 上一致
证
然后用Cauchy 准则.
亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数
的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数
级数 , 则级数
是级数
在区间D 上存在优
在区间D 上一致收敛 . 应用时, 常可试取. 但应注意, 级数
级数
在区间D 上不存在优级数 ,
在区间D 上非一致收敛.
注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例 3 判断函数项级数
例 4 设
数收敛 .
简证 , 留为作业. 2. Abel 判别法:
. ……
与
和
是区间
都绝对收敛, 则级数
在R 内的一致收敛性 . 上的单调函数. 试证明 : 若级在区间
上绝对并一致
Th 5 设 ⅰ> 级数
在区间
上收敛; ⅱ> 对每个
在
上一致有界, 即
, 数列
, 使对
和
单调 ; ⅲ> 函数列
, 有( [1]P43 )
3. Dirichlet 判别法: Th 6 设ⅰ> 级数
有界;
ⅱ> 对于每一个
, 数列
单调; ⅲ> 在区间
上函数列
在区间
上一致收敛 .
的部分和函数列
在区间
上一致
. 则级数
10
在区间
上一致收敛 .
一致收敛于零. 则级数
例5 判断函数项级数
解 记
ⅱ> 对每个
,
；ⅲ>
在区间
上的一致收敛性.
. 则有ⅰ> 级数
对
收敛;
和
成立. 由Abel 判别法,
在区间
上一致收敛.
例6 设数列
证 在
单调收敛于零 . 试证明 : 级数
上一致收敛. 上有
在区间
.
可见级数
,
的部分和函数列在区间
上一致有界 . 取
11
. 就有级数
的部分和函数列在区间
对每一个
单调且一致上一致收敛.
上一致有界, 而函数列
收敛于零. 由Dirichlet 判别法, 级数
在区间
其实 , 在数列
单调收敛于零的条件下, 级数
的任何区间上都一致收敛.
在不包含
习 题 课
例1 设
.
若对每个自然数 有|
在 上一致收敛于函数
例2 证明函数列
例3
解
0,
―
. 在区间
,
上非一致收敛. . 讨论函数列{
. |
― 0|
}的一致收敛性.
|
对
成立, 则函数列{
}
,
,
.
且
,
. 可求得
函数列{
}在区间
上非一致收敛.
.
例4 设函数
明函数列{
在区间
}在区间
上连续 . 定义
上一致收敛于零.
. 试证
证法一 由
|
|
有界 . 设在区间
上|
;
|
.
12
|
|
;
……………………… |
|
,
.
.
注意到对
0,
证法二
.
有界. 设在区间
上|
,
.
|
. 把函数
在
点展开成具Lagrange 型余项的
阶Taylor 公式 , 注意到
,
就有
,
,
, .
所以
, 0,
,
.
. 且
,
. 令
例5 设
试证明: 若对
{
}在区间
证 对
和
由Cauchy 收敛准则 , 函数列{
例6 设在数集
在数集
上函数列{
}在区间
上一致收敛 .
和
, 有
上一致收敛 . 取
, 有
.
, 使
时, 有
. 于是对任何自然数
, 则函数列
,
. …….
,
13
上有界 , 则函数列{
在数集
}在数集
|
}一致收敛于函数
. 若每个
}在数集
上一致有界 . 上有界 ) 设在
上一致收敛,
|
上有|
, 当
,
|
时 , 对
.
证 ( 先证函数
对
, 由函数列{
, 有 |
界.
|
|
. 即函数
在数集
上有
( 次证函数列{
| 取
即函数列{
|―|
}在数集
|
|
上一致有界 ) ―
|
时, 对
|
和
|
有|
, 有 . |
.
易见对
}在数集
上一致有界 .
14
教学后记：
第十章 函数项级数
15
§ 2 一致收敛级数的判别与性质（1）
一、本次课主要内容
函数项级数的一致收敛的柯西收敛准则和一致收敛级数的性质。 二、教学目的与要求
使学生掌握判别函数的一致收敛性。深刻理解函数项级数一致收敛的判别方法。 三、教学重点难点
函数项级数一致收敛的判别方法的选择与使用。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
P82 1（4）（6）（8）（10）
一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质: 1. 连续性: Th 1 设在
在
上
, 且对
, 函数
在
上连续
,
16
上连续.
,
在点
. )
.
在点
连续 . 即证: 对
,
,
证 ( 要证 : 对
当|
时,
估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数
连续, 第二项
推论 设在
上
在
也可以任意小 . …… . 若
在
上间断 ，则函数列{
}在
上一致收敛和所有
上连续不能同时成立.
}, 有
註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{
.
即极限次序可换 .
2. 可积性: Th 2 若在区间
上连续. 则有
上函数列{
}一致收敛 , 且每个
.
在
证 设在
上
, 由Th1, 函数
在区间
上连续,
因此可积. 我们要证
. 注意到
, 可见只要
在
上成立.
Th2的条件可减弱为: 用条件“
在
上连续”.
关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 设{
}是定义在区间
在
上的函数列. 若{
}在
上收
在
上( R ) 可积”代替条件“
17
敛且一致可积 , 则其极限函数
.
上( R ) 可积 , 且有
3. 可微性： Th 3 设函数列{
,
在
一致收敛, 则函数列{
}定义在区间
}在区间
上, 在某个点
}在
上收敛, 且有
收敛. 对
上
上连续可导, 且由导函数构成的函数列{
.
证 设
，
.
, .
对
, 注意到函数
+
连续和
+
, 就有
（ 对第二项交换极限与积分次序）
+
+
.
估计 |
+
―
―
|
―
| + |
, 可证得
.
.
18
即
. 亦即求导运算与极限运算次序可换.
教学后记：
第十章 函数项级数
§ 2 一致收敛级数的判别与性质（2）
一、本次课主要内容
函数项级数的一致收敛的连续性定理，逐项积分定理和DiNi 定理 二、教学目的与要求
使学生理解函数项级数的性质。 三、教学重点难点
函数像级数一致收敛的性质的使用。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
19
P83 8
二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质: 例1 P40例3 例2 证明函数
在区间
内连续.
20
证 ( 先证
，
在区间
；又
,
在点
内闭一致收敛.) 对
，
在
，有一致收敛.
( 次证对
论 ,
在区间
上连续, 内连续.
连续 ) 对
连续, 的任意性,
, 由上段讨
在区间
在区间
上一致收敛; 又函数
在点
连续. 由点
例3
, . 计算积分
.
可见
数
教学后记：
时, 级数
的部分和有界 . 由Dirichlet 判别法推得级
收敛 .
收敛 . 同理可得级数数
第十章 函数项级数
§ 3 幂级数
一、本次课主要内容
幂级数概念收敛半径以及性质。 二、教学目的与要求
使学生理解掌握幂级数的收敛半径了解幂级数在收敛半径内的性质与使用。 三、教学重点难点 幂级数的性质 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
21
P92 1（6）（7）（8）（9），P93 4（1）
幂级数的一般概念. 型如
数数列
唯一确定. 幂级数至少有一个收敛点. 以下只讨论型如
的
和
的幂级数 . 幂级数由系
22
幂级数. 幂级数是最简单的函数项级数之一.
一. 幂级数的收敛域:
1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域： Th 1 （ Abel ） 若幂级数
的任何 ，幂级数
对满足不等式
证
在点
收敛 ，
则对满足不等式
发散 ，则
收敛而且绝对收敛 ；若在点
的任何 ，幂级数
发散.
}有界. 设|
, 其中
|
, 有
收敛, {
|
.
.
2. 收敛半径 R的求法. Th 2 对于幂级数
, 若
, 则
时
ⅰ>
时
,
; ⅱ>
; ⅲ>
时
.
证
的).
……
, ( 强调开方次数与 的次数是一致
由于
, 因此亦可用比值法求收敛半径.
幂级数
的收敛区间:
.
23
幂级数
的收敛域: 一般来说 , 收敛区间
、
、
或
收敛域. 幂级数
之一.
的
收敛域是区间
例1 求幂级数
例2 求幂级数
的收敛域
.
的收敛域
.
例3 求下列幂级数的收敛域:
⑴
; ⑵
，则级数
: 令
.
2. 复合幂级数
的收敛区间为
, 则化为幂级数
. 设该幂级数
确
的收敛区间由不等式
定. 可相应考虑收敛域.
特称幂级数
为第中,
为正整数) 为缺项幂级数 .其中
. 应注意
项的系数 . 并应注意缺项幂级数
为第
项的系数 .
并不是复合幂级数 , 该级数
例4 求幂级数
解
的收敛域 .
是缺项幂级数 .
. 收敛区间为
通项
. 因此 , 该幂级数的收敛域为
的收敛域 .
解 令
性结果, 当且仅当
即
时级数
.
时级数
收敛. 所以所论级数的收敛域为
, 所论级数成为幂级数
收敛. 因此当且仅当
,
. 由几何级数的敛散
.
时,
24
.
例5 求级数
例6 求幂级数
的收敛半径 .
解
.
二． 幂级数的一致收敛性：
Th 3 若幂级数
内闭一致收敛 .
证
的收敛半径为
，则该幂级数在区间
, 设
, 级数
, 则对
, 有
绝对收敛, 由优级数判别法,
在区间
幂级数
在
致收敛.
上一致收敛. 因此 , 幂级数
内闭一
Th 4 设幂级数
收敛, 则幂级数
的收敛半径为
在区间
( 或
, 且在点
( 或
)
) 上一致收敛 .
25
证
. 收敛 , 函数列
在区间
上
递减且一致有界, 由Abel 判别法, 幂级数在区间上一致收敛 .
易见 , 当幂级数
间
的收敛域为
(
时 , 该幂级数即在区
上一致收敛 .
三. 幂级数的性质: 1. 逐项求导和积分后的级数: 设
,
*) 和 **)仍为幂级数. 我们有
命题1 *) 和 **)与
有相同的收敛半径 . ( 简证 )
值得注意的是，*) 和 **)与
虽有相同的收敛半径（ 因而有相同的收
.
敛区间），但未必有相同的收敛域 ， 例如级数
2. 幂级数的运算性质:
定义 两个幂级数
和
在点
的某邻域内相等是指：它们
在该邻域内收敛且有相同的和函数.
命题
2
,
.(由以下命题4系2)
26
命题3 设幂级数
, 则
和
的收敛半径分别为
和
,
ⅰ>
+
)(
, — Const ，
.
ⅱ>
, .
ⅲ> (
)
, , .
3. 和函数的性质: 命题4 设在
ⅰ>
在
(
内
内连续;
. 则
ⅱ> 若级数
或
收敛, 则
在点
( 或
) 是左( 或右 )连续的;
ⅲ> 对
,
在点 可微且有
;
ⅳ> 对
.
,
在区间
上可积, 且
27
当级数
收敛时, 无论级数
. 这是因为: 由级数
在点
收敛与否, 均有
收敛, 得函数
在点
推论1 和函数
由系1可见,
左连续, 因此有
.
在区间
内任意次可导, 且有
, …… .
任意次可导.
是幂级数的和函数的必要条件是
, 则有
推论2 若
例7 验证函数
验证 所给幂级数的收敛域为
满足微分方程
.
.
.
, 代入,
.
教学反思：
28
第十章 函数项级数
§ 4 函数的幂级数展开（1）
一、本次课主要内容
泰勒级数与余项公式。 二、教学目的与要求 使学生了解函数的泰勒公式。 三、教学重点难点
函数泰勒公式的记忆与使用。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
29
P 106 1（5）（9）（10），2,3
一. 函数的幂级数展开: 1. Taylor 级数: 设函数
在点
有任意阶导数.
30
Taylor 公式和Maclaurin 公式 . Taylor 公式：
.
余项
的形式:
,
的某邻域内有
阶导数 ，
存在 ）
之间.
Peano 型余项
: （ 只要求在点
Lagrange 型余项
:
在 与
或
.
积分型余项: 当函数
在点
的某邻域内有
.
阶连续导数时, 有
Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项
.
特别地，
时，Cauchy 余项为
在
与 之间.
31
Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得
,
称此级数为函数
在点
的Taylor 级数. 只要函数
在点
无限次可
导, 就可写出其Taylor 级数. 称
级数
.
=
时的Taylor 级数为Maclaurin 级数, 即
自然会有以下问题: 对于在点
域内或在点
的某邻域内, 函数
无限次可导的函数
, 在
的定义
和其Taylor 级数是否相等呢 ?
2． 函数与其Taylor 级数的关系： 例1 函数
在点
无限次可微 . 求得
. 其Taylor 级数为
.
该幂级数的收敛域为
并不相等, 因为级数发散.
. 仅在区间
内有
=
. 而在其他点
那么, 在Taylor 级数的收敛点, 是否必有
答也是否定的 .
和其Taylor 级数相等呢 ? 回
32
例2 函数
其Taylor 级数
，在
在点
无限次可导且有
外, 函数
因此
内处处收敛 . 但除了点
和
其Taylor 级数并不相等.
另一方面, 由本章§1命题4推论2（和函数的性质）知：在点
倘有数
在点
, 则
的Taylor 级数.
在点
无限次可导且级数
的某邻域内
必为函
综上 , 我们有如下结论: ⑴ 对于在点
均发散, 即便在点
无限次可导的函数
, 其Taylor 级数可能除点
外.
的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是
由此可见, 不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数.
⑵ 若幂级数
数就是函数
在点
在点
的某邻域内收敛于函数
, 则该幂级
的Taylor 级数. 在点
的某邻域内表示为关于
的幂级数，我们
于是 , 为把函数
只能考虑其Taylor 级数.
3． 函数的Taylor 展开式：
若在点
在点
函数
的某邻域内函数
的Taylor 级数收敛且和恰为
，则称函数
可展开成Taylor 级数(自然要附带展开区间. 称此时的Taylor 级数为在点
的Taylor 展开式或幂级数展开式. 简称函数
在点
可
33
展为幂级数.
当= 0 时, 称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式. 通常多考虑
的是Maclaurin 展开式.
4. 可展条件: Th 1 ( 必要条件 ) 函数
导数 .
Th 2 ( 充要条件 ) 设函数
在点
有任意阶导数 . 则
在区间
在点
可展 ,
在点
有任意阶
内等于其Taylor 级数( 即可展 )的充要条件是: 对
, 有
. 其中
是Taylor 公式中的余项.
证 把函数
展开为 阶Taylor 公式, 有
在点
可展.
, 则有
.
Th 3 ( 充分条件 ) 设函数
列
一致有界, 则函数
有任意阶导数 , 且导函数所成函数
证 利用Lagrange 型余项 , 设
.
例3 展开函数
解
,
,
.
ⅰ> 按幂; ⅱ> 按
幂.
34
所以 , ⅰ>
可见 , 的多项式
.
的Maclaurin 展开式就是其本身.
ⅱ>
.
教学反思：
第十章 函数项级数
§ 4 函数的幂级数展开（2）
一、本次课主要内容
任意连续函数的泰勒展开 二、教学目的与要求
使学生了解初等函数的泰勒展开。 三、教学重点难点
初等函数泰勒公式的记忆与使用。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
P106 5
35
一. 初等函数的幂级数展开式（初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式）.
为得到初等函数的幂级数展开式 , 或直接展开, 或间接展开.
36
1.
( 或
. ( 验证对
R ，
在
区间
) 上有界, 得一致有界. 因此可展 ).
.
2. , .
, .
可展是因为
3. 二项式
为正整数时,
在
的展开式:
内一致有界.
为多项式, 展开式为其自身;
内展开为
为不是正整数时, 可在区间
对余项的讨论可利用Cauchy 余项. 具体讨论参阅[1]P56.
时, 收敛域为
;
时, 收敛域为
时, 收敛域为
利用二项式
.
, 得
;
37
的展开式 , 可得到很多函数的展开式. 例如取
，
.
时
, , .
间接展开: 利用已知展开式 , 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式. 利用微积运算时, 要求一致收敛. 幂级数在其收敛区间内闭一致收敛 ,总可保证这些运算畅通无阻.
4.
.
.
事实上 , 利用上述
的展开式, 两端积分 , 就有
,
.
验证知展开式在点
5.
收敛, 因此 , 在区间
上该展开式成立.
.
由
. 两端积分, 有
38
验证知上述展开式在点
用了习题中第2题的结果,)
收敛, 因此该展开式在区间
上成立.(这里应
例4 展开函数
解
.
.
例5 展开函数
解
.
.
教学反思：
第十章 函数项级数
§ 5 多项式逼近连续函数
一、本次课主要内容
任意连续函数的多项式逼近 二、教学目的与要求
使学生任意函数的多项式逼近。 三、教学重点难点 初等函数多项式逼近使用。 四、教学方法和手段
课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置
P109 2,3
39
一. 求收敛区间或收敛域:
40
例1 求幂级数
例2 求幂级数
的收敛区间 .
的收敛域.
解 设
时,
, 注意到
, 有
收敛域为
.
.
二. 函数展开:
例3 把函数
解
展开成 的幂级数 .
, ,
,
;
;
,
.
与 的展开式
.
比较.
例4 展开函数
解
,
41
, .
因此,
，
.
例5 展开函数
.
解
, ;
因此, , .
例6 把函数
解
展开成
的幂级数.
,
.
而
=
, .
三. 函数展开式应用举例: 1. 做近似计算 :
42
例7 计算积分
, 精确到
.
解
.
因此
, .
上式最后是Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使度. 于是
, 可取
. 故从第
项到第
项这前7 项之和达到要求的精
2. 利用展开式求高阶导数: 原理.
.
例8 设
解
证明对
存在并求其值.
,
.
时
, ,
直接验证可知上式当
时也成立 . 因此在
,
内有
43
.
函数 作为 的幂级数的和函数, 对
存在 , 且
即
四. 幂级数求和:
原理: 对某些幂级数, 有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换化为已知的函数展开式( 特别是化为函数
例9 求幂级数
和.
和
的展开式 ),借以求和.
的和函数并求级数
和Leibniz 级数
的
解 幂级数
的 收敛域为
, 设和函数为
, 则在
内有
,
注意到
, 则对
有
.
44
又
在点
连续 , 于是在区间
,
内上式成立. 即有
.
取
取
, 有
, 有
.
.
例10 求幂级数
的和函数. 并利用该幂级数的和函数求幂级数
的和.
的和函数以及数项级数
解 该幂级数的收敛域为
. 在
.
内设
现求
. 对
, 有
.
由
连续 , 有
.
因此
, , .
作代换
, 有
45
.
.
.
例11 求幂级数
解法一 收敛域为
的和函数.
, 设和函数为
, 则有
.
因此
, =
, .
解法二
例12 求幂级数
的和函数.
, .
解
.
例13 求数项级数
的和.
解 该级数为Leibniz 型级数, 因此收敛. 考虑幂级数
敛域为
. 设和函数为
, 在
内有
, 其收
46
, .
注意到
, 对
有
, .
于是
, .
教学反思：