高等数学（下）知识点
高等数学下册知识点
第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、 利用坐标做向量的运算：设a =(a x , a y , a z ) ，b =(b x , b y , b z ) ，
则 a ±b =(a x ±b x , a y ±b y , a z ±b z ) , λa =(λa x , λa y , λa z ) ；
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：
r =x 2+y 2+z 2
；
222
2） 两点间的距离公式：A B =(x 2-x 1) +(y 2-y 1) +(z 2-z 1)
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角α, β, γ
x y z , cos β=, cos γ=4） 方向余弦：cos α=r r r
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1
5） 投影：Pr j u a =a cos ϕ，其中ϕ
（二） 数量积，向量积 1、
a 为向量与u 的夹角。
数量积：a ⋅b =a b cos θ
21）a ⋅a =a
2）a ⊥b ⇔a ⋅b =0
a ⋅b =a x b x +a y b y +a z b z
运算律：
2、 向量积：c =a ⨯b
大小：a b sin θ，方向：a , b , c 符合右手规则
1）a ⨯a =0
2）a //b ⇔a ⨯b =0
i j k
a ⨯b =a x a y a z
b x b y b z
运算律：反交换律 b ⨯a =-a ⨯b
（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：2、 旋转曲面：
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S :f (x , y , z ) =0
yoz 面上曲线C :f (y , z ) =0，
22
y f (y , ±x +z ) =0 绕轴旋转一周：
绕
z 轴旋转一周：
f (±x 2+y 2, z ) =0
3、 柱面：
⎧⎪F (x , y ) =0F (x , y ) =0表示母线平行于z 轴，准线为⎨的柱面
⎪⎩z =0
4、 二次曲面
1）
x 2y 22
+2=z 2椭圆锥面：a b
x 2y 2z 2
+2+2=1 2椭球面：a b c
2）
x 2y 2z 2
+2+2=1 2旋转椭球面：a a c
3）
x y z
+2-2=1 2单叶双曲面：a b c x 2y 2z 2
-2-2=1 2双叶双曲面：a b c
222
4）
5）
x 2y 2
+2=z 2椭圆抛物面：a b
6）
x y
-2=z 2双曲抛物面（马鞍面）：a b x 2y 2
+2=1 2椭圆柱面：a b x y
-2=1 2双曲柱面：a b 2
抛物柱面：x =ay
⎧⎪F (x , y , z ) =0
一般方程：⎨
⎪⎩G (x , y , z ) =0
2
2
22
7）
8）
9）
（四） 空间曲线及其方程
1、
⎧x =x (t ) ⎧x =a cos t ⎪⎪⎪⎪y =y (t ) 2、 参数方程：⎨，如螺旋线：⎨y =a sin t ⎪⎪⎪⎪⎩z =z (t ) ⎩z =bt
3、 空间曲线在坐标面上的投影
⎧⎪F (x , y , z ) =0
⎨，消去z ⎪⎩G (x , y , z ) =0
（五） 平面及其方程
⎧⎪H (x , y ) =0
，得到曲线在面xoy 上的投影⎨
⎪⎩z =0
1、 点法式方程：
A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0
法向量：n =(A , B , C ) ，过点(x 0, y 0, z 0)
2、 一般式方程：
Ax +By +Cz +D =0
x y z
++=1
截距式方程：
a b c
3、
两平面的夹角：n 1=(A 1, B 1, C 1) ，n 2=(A 2, B 2, C 2) ，
A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2
A +B +C ⋅A +B +C
2
1
21
21
22
22
22
cos θ=
∏1⊥∏2⇔ A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0
A 1B 1C 1
=∏1//∏2⇔ =
A 2B 2C 2
4、 点
P 0(x 0, y 0, z 0) 到平面Ax +By +Cz +D =0的距离：
A 2+B 2+C 2
d =
Ax 0+By 0+Cz 0+D
（六） 空间直线及其方程
⎧⎪A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0
1、 一般式方程：⎨
⎪⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0
x -x 0y -y 0z -z 0
==2、 对称式（点向式）方程：
m n p
方向向量：s =(m , n , p ) ，过点(x 0, y 0, z 0)
⎧x =x 0+mt ⎪⎪
y =y 0+nt
3、 参数式方程：⎨
⎪⎪⎩z =z 0+pt
4、 两直线的夹角：s 1=(m 1, n 1, p 1) ，s 2=(m 2, n 2, p 2) ，
cos ϕ=
m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2m +n +p ⋅m +n +p
21
21
21
22
22
22
L 1⊥L 2⇔ m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2=0
m 1n 1p 1
==L 1//L 2⇔
m 2n 2p 2
sin ϕ=
5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
Am +Bn +Cp
A +B +C ⋅m +n +p
2
2
2
2
2
2
L //∏⇔ Am +Bn +Cp =0
A B C
L ⊥∏⇔ ==
m n p
6、 平面束：
∏1:A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0，∏2:A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0
过∏1, ∏2的交线的平面构成平面束，方程为：
A 1x +B 1y +C 1z +D 1+λ(A 2x +B 2y +C 2z +D 2) =0
第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念
1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、 多元函数：z
=f (x , y ) ，图形：
0)
3、 极限：(x , y ) lim →(x , y 4、 连续：(x , y ) lim →(x , y
f (x , y ) =A f (x , y ) =f (x 0, y 0)
0)
5、 偏导数：
f ( x 0+∆x , y 0) -f ( x 0, y 0) f x (x 0, y 0) =lim ∆x →0∆x
f (x 0, y 0+∆y ) -f (x 0, y 0) f y (x 0, y 0) =lim ∆y →0∆y
∂f f (x +∆x , y +∆y ) -f (x , y )
=lim 6、 方向导数*： ∂l t →0+t
其中α,
∂f ∂f ∂f
=cos α+cos β∂l ∂x ∂y
7、
β
为
l
的方向角。
梯度：z =f (x , y ) ，则gradf (x 0, y 0) =f x (x 0, y 0) i +f y (x 0, y 0) j 。
8、
∂z ∂z dz =dx +dy
全微分：设z =f (x , y ) ，则
∂x ∂y
（二） 性质
1、 极限与累次极限的关系
2、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
充分条件
3、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 4、 微分法 1） 定义：
2） 复合函数求导：链式法则 3） 隐函数求导： （三） 应用 1、 极值
1） 无条件极值：求函数z
=f (x , y ) 的极值
f =0⎧x ⎪⎨解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点(x 0, y 0) ，令 f =0⎪⎩y
A =f xx (x 0, y 0) ，B =f xy (x 0, y 0) ，C =f yy (x 0, y 0) ，
① 若AC -B
2
>0，A >0，函数有极小值，若AC -B 2>0，A
② 若AC -B ③ 若AC -B
2
f (x , y ) 在条件ϕ(x , y ) =0下的极值
2
2） 条件极值：求函数z =令：
L (x , y ) =f (x , y ) +λϕ(x , y ) ——— Lagrange函数
⎧L x =0
⎪⎪
L =0
解方程组 ⎨y
⎪⎪⎩ϕ(x , y ) =0
2、 几何应用
1） 曲线的切线与法平面
⎧x =x (t ) ⎪⎪Γ:⎨y =y (t ) ，则Γ上一点M (x 0, y 0, z 0) （对应参数为t 0）处的切线方程为： 曲线
⎪⎪⎩z =z (t )
x -x 0y -y 0z -z 0==
x '(t 0) y '(t 0) z '(t 0)
法平面方程为：曲面∑:
2） 曲面的切平面与法线
x '(t 0)(x -x 0) +y '(t 0)(y -y 0) +z '(t 0)(z -z 0) =0
F (x , y , z ) =0，则∑上一点M (x 0, y 0, z 0) 处的切平面方程为：
F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0
x -x 0y -y 0z -z 0
== 法线方程为：
F x (x 0, y 0, z 0) F y (x 0, y 0, z 0) F z (x 0, y 0, z 0)
第十章 重积分 （一） 二重积分
1、 定义：
f (ξ∑⎰⎰f (x , y ) d σ=lim λ
D
→0
k =1
n
k
, ηk ) ∆σk
2、 性质：（6条）
3、 几何意义：曲顶柱体的体积。 4、 对称性问题：
x 轴对称，若f (x , y ) 关于y 为奇函数，即f (x , -y ) =-f (x , y ) ，则；若f (x , y ) 关于y 为偶函数，即f (x , -y ) =f (x , y ) ，则f (x , y ) d σ=0⎰⎰D
① 设闭区域D 关于
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ=2⎰⎰f (x , y ) d σ，其中D 1为D 在x 轴上方的部分．
D 1
② 设闭区域D 关于
y 轴对称，若f (x , y ) 关于x 为奇函数，即f (-x , y ) =-f (x , y ) ，则
；若
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ=0
f (x , y )
关于
x
为偶函数，即
f (-x , y ) =f (x , y )
，则
⎰⎰
即
D
f (x , y ) d σ=2⎰⎰f (x , y ) d σ，其中D 1为D 在y
D 1
轴右边的部分．
③ 如果D 关于原点对称，即(x ,
y ) ∈D 时，有(-x , -y ) ∈D ，若f (x , y ) 关于x , y 为奇函数，
D
f (-x , -y ) =-f (x , y ) ，则⎰⎰f (x , y ) d σ=0；若f (x , y ) 关于x , y 为偶函数，则
D
⎰⎰
f (x , y ) d σ=2⎰⎰f (x , y ) d σ，其中D 3为D 在上半平面部分；
D 3
④ 如果
D
关于
D
y =x
对称，即
(x , y ) ∈D
时，有
(y , x ) ∈D
，则
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ=⎰⎰f (y , x ) d σ
5、 计算：
1） 直角坐标
⎧ϕ1(x ) ≤y ≤ϕ2(x ) ⎫D =⎨(x , y ) ⎬，
a ≤x ≤b ⎩⎭
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰dx ⎰ϕ
D
a
b
ϕ2(x )
1(x )
f (x , y ) d y
⎧φ1(y ) ≤x ≤φ2(y ) ⎫
D =⎨(x , y ) ⎬，
c ≤y ≤d ⎩⎭
2） 极坐标
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰
D
d
c
dy ⎰
φ2(y )
φ1(y )
f (x , y ) d x
⎧ρ1(θ) ≤ρ≤ρ2(θ) ⎫
D =⎨(ρ, θ) ⎬
α≤θ≤β⎩⎭
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰αd θ⎰ρ
D
β
ρ2(θ)
1(θ)
f (ρcos θ, ρsin θ) ρd ρ
（二） 三重积分
1、 定义：
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =lim ∑f (ξk , ηk , ζk ) ∆v k
λ→0
k =1
n
2、 性质： 3、 计算： 1） 直角坐标
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =⎰⎰d x d y ⎰
D
z 2(x , y ) z 1(x , y )
f (x , y , z ) d z -------------“先一后二”
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =⎰d z ⎰⎰
a
b
D Z
f (x , y , z ) d x d y -------------“先二后一”
2） 柱面坐标
⎧x =ρcos θ⎪⎪
⎨y =ρsin θ，⎪⎪⎩z =z
3） 球面坐标
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =⎰⎰⎰f (ρcos θ, ρsin θ, z ) ρd ρd θdz
Ω
⎧x =r sin ϕcos θ⎪⎪
⎨y =r sin ϕsin θ⎪⎪⎩z =r cos ϕ
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =⎰⎰⎰f (r sin ϕcos θ, r sin ϕsin θ, r cos ϕ) r 2sin ϕdrd ϕd θ
Ω
（三） 应用 曲面S
:z =f (x , y ) , (x , y ) ∈D 的面积：A =⎰⎰D
∂z 2∂z 2
1+() +() d x d y
∂x ∂y
第十一章 曲线积分与曲面积分
（一） 对弧长的曲线积分 1、 定义：2、 性质： 1） L [αf 2）
⎰
L
f (x , y ) ds =lim ∑f (ξi , ηi ) ⋅∆s i
λ→0
i =1
n
⎰(x , y ) +β(x , y )]ds =α⎰f (x , y ) ds +β⎰g (x , y ) ds .
L
L
L 1
L 2
⎰
L
f (x , y ) ds =⎰f (x , y ) ds +⎰f (x , y ) ds . (L =L 1+L 2).
3）在L 上，若4）L d s
f (x , y ) ≤g (x , y ) ，则⎰L f (x , y ) ds ≤⎰L g (x , y ) ds .
⎰
=l ( l 为曲线弧 L 的长度)
3、 计算：
设
⎧⎪x =ϕ(t ),
(α≤t ≤β) ，其中f (x , y ) 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎨
⎪⎩y =ψ(t ),
ϕ(t ), ψ(t ) 在[α, β]上具有一阶连续导数，且ϕ'2(t ) +ψ'2(t ) ≠0，则
⎰
L
f (x , y ) ds =⎰f [ϕ(t ), ψ(t '2(t ) +ψ'2(t ) dt , (α
α
β
（二） 对坐标的曲线积分 1、 定义：设 L 为有界，定义
xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数P (x , y ) ，Q (x , y ) 在 L 上
n
⎰
L
P (x , y ) d x =lim ∑P (ξk , ηk ) ∆x k
λ→0
k =1
n
k
，
∑Q (ξ⎰Q (x , y ) d y =lim λ
L
→0
k =1
, ηk ) ∆y k
.
向量形式：L 2、 性质： 1）2）
⎰
F ⋅d r =⎰P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y
L
⎰
L
[αF 1(x , y ) ⋅+βF 2(x , y ) ⋅]=α⎰F 1(x , y ) ⋅+β⎰F 2(x , y ) ⋅；
L
L
⎰
L
F (x , y ) ⋅d =⎰F (x , y ) ⋅d +⎰F (x , y ) ⋅d ；
L 1
L 2
-
3）用L 表示L 的反向弧 , 则⎰L -F (x , y ) ⋅d =-⎰L F (x , y ) ⋅d
3、 计算：
设P (x , y ) , Q (x , y ) 在有向光滑弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为
⎧⎪x =ϕ(t ),
(t :α→β) ⎨
⎪⎩y =ψ(t ),
，其中
ϕ(t ), ψ(t )
在
[α, β]
上具有一阶连续导数，且
ϕ'2(t ) +ψ'2(t ) ≠0，则
⎰P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y =⎰α{P [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt
L
β
4、 两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为
⎧⎪x =ϕ(t ) L ： ⎨，L ⎪⎩y =ψ(t )
上点(x , y ) 处的切向量的方向角为：α, β
，
ψ'(t ) ϕ'(t )
cos α=，cos β=22
'2(t ) +ψ'2(t ) '(t ) +ψ'(t )
则
，
⎰Pdx +Qdy =⎰(P cos α+Q cos β) ds .
L
L
（三） 格林公式
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数P (x , y ) , Q (x , y ) 在
⎛∂Q ∂P ⎫ ⎪-d x d y =P d x +Q d y D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰ ⎪∂x ∂y ⎭D ⎝L
2、G 为一个单连通区域，函数P (x , y ) , Q (x , y ) 在G 上具有连续一阶偏导数，则
∂Q ∂P
= ⇔曲线积分 ⎰Pdx +Qdy 在G 内与路径无关 ∂x ∂y L
⇔曲线积分Pdx +Qdy =0
L
⇔ P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y 在G 内为某一个函数u (x , y ) 的全微分
（四） 对面积的曲面积分 1、 定义：
设∑为光滑曲面，函数定义
f (x , y , z ) 是定义在∑上的一个有界函数，
n
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) d S =lim ∑f (ξi , ηi , ζi ) ∆S i
λ→0
i =1
2、 计算：———“一单二投三代入”
∑:z =z (x , y ) ，(x , y ) ∈D xy ，则
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) d S =⎰⎰
D x y
f [x , y , z (x , y )]1+z x (x , y ) +z y (x , y ) d x d y
22
（五） 对坐标的曲面积分
1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量 2、 定义：
设∑为有向光滑曲面，函数P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) 是定义在∑上的有界函数，定义
⎰⎰
∑
R (x , y , z ) d xdy =lim ∑R (ξi , ηi , ζi ) (∆S i ) xy
λ→0
i =1
n
同理，
∑P (ξ⎰⎰P (x , y , z ) d ydz =lim λ
∑
→0
i =1
n
i
, ηi , ζi ) (∆S i ) yz
∑R (ξ⎰⎰Q (x , y , z ) d zdx =lim λ
∑
→0
i =1
n
i
, ηi , ζi ) (∆S i ) zx
3、 性质： 1）∑=∑1
∑
+∑2，则
⎰⎰Pdydz +Qdzdx +R d xdy
=⎰⎰Pdydz +Qdzdx +R d xdy +⎰⎰Pdydz +Qdzdx +R d xdy
∑1-
∑2
2）∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则4、 计算：——“一投二代三定号”
⎰⎰
∑
-
R d xdy =-⎰⎰R d xdy
∑
∑:z =z (x , y ) ，(x , y ) ∈D xy ，z =z (x , y ) 在D xy 上具有一阶连续偏导数，R (x , y , z ) 在∑上
连续，则
⎰⎰R (x , y , z ) dxdy =±⎰⎰
∑
D x y
R [x , y , z (x , y )]dxdy , ∑为上侧取“+”， ∑为下侧取
“-”.
5、 两类曲面积分之间的关系：
⎰⎰
∑
P d y d z +Q d z d x +R d x d y =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ)d S
∑
其中α, β, γ
为有向曲面∑在点(x , y , z ) 处的法向量的方向角。
（六） 高斯公式
1、 高斯公式：设空间闭区域 Ω 由分片光滑的闭曲面∑ 所围成, ∑ 的方向取外侧, 函数 P , Q , R 在Ω 上有连续的一阶偏导数, 则有
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫⎰⎰⎰Ω ∂x +∂y +∂z ⎪⎪d x d y d z =∑P d y d z +Q d z d x +R d x d y
⎝⎭
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫或⎰⎰⎰Ω ∂x +∂y +∂z ⎪⎪d x d y d z =(P cos α+Q cos β+R cos γ)d S
⎝⎭∑
2、 通量与散度*
通量：向量场A =(P , Q , R ) 通过曲面∑指定侧的通量为：Φ=⎰⎰∑P d y d z +Q d z d x +R d x d y ∂P ∂Q ∂R
++散度：div A =
∂x ∂y ∂z
（七） 斯托克斯公式*
1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则, P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) 在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
⎛∂R ∂Q ⎫⎛∂P ∂R ⎫⎛∂Q ∂P ⎫ ⎪ ⎪⎰⎰ ∂y -∂z ⎪d y d z + ∂z -∂x ⎪d z d x + ∂x -∂y ⎪⎪d x d y =ΓP d x +Q d y +R d z
⎭⎝⎭⎝⎭∑⎝
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
⎰⎰
∑
d y d z d z d x d x d y ∂∂∂
=P d x +Q d y +R d z Γ ∂x ∂y ∂z
P Q R
2、 环流量与旋度*
环流量：向量场A =(P , Q , R ) 沿着有向闭曲线Γ的环流量为ΓP d x +Q d y +R d z ⎛∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ⎫
旋度：rot A = ∂y -∂z , ∂z -∂x , ∂x -∂y ⎪⎪
⎝⎭
第十二章 无穷级数 （一） 常数项级数 1、 定义：
1）无穷级数：
∑u
n =1
n k =1
∞
n
=u 1+u 2+u 3+ +u n +
部分和：S n
=∑u k =u 1+u 2+u 3+ +u n ，
正项级数：
∑u
n =1∞n =1
∞
n
，u n
≥0
交错级数：
n (-1) u n ，u n ≥0 ∑
∞
∞
2）级数收敛：若lim S n
n →∞
=S
存在，则称级数
∑u
n =1
n
收敛，否则称级数
∑u
n =1
n
发散
3）条件收敛：
∞
∑u
n =1n
∞
n
收敛，而
∑u
n =1
∞
n
发散；
绝对收敛：
∑u
n =1
收敛。
2、 性质：
1） 改变有限项不影响级数的收敛性；
2） 级数
∑a
n =1
∞
n
，
∑b
n =1
∞
n
收敛，则
∑(a
n =1
∞
n
±b n ) 收敛；
3） 级数
∑a
n =1
∞
n
收敛，则任意加括号后仍然收敛；
4） 必要条件：级数3、 审敛法 正项级数：
∑u
n =1
∞
n
收敛
⇒lim u
n →∞
n
=0. （注意：不是充分条件！）
∑u
n =1
∞
n
，u n
≥0
存在；
lim S n 1） 定义：n
→∞
2）
=S
n
∑u
n =1
∞
n
收敛
⇔{S }有界；
∑u
n =1
∞∞
n
3） 比较审敛法：，
∑v
n =1
∞
n
为正项级数，且u n ≤v n (n =1, 2, 3, )
∞
n
若
∑v
n =1∞n =1
n
收敛，则
∞
∑u
n =1
∞
n
收敛；若
∑u
n =1
发散，则
∑v
n =1
∞
n
发散.
4） 比较法的推论：
∑u ，∑v
n
n =1
n
为正项级数，若存在正整数
m ，当n >m 时，u n ≤kv n ，
而
∞
∑v
n =1n
∞
n
收敛，则
∑u
n =1
∞
n
收敛；若存在正整数
m ，当n >m 时，u n ≥kv n ，而∑v n 发散，则
n =1
∞
∑u
n =1
发散.
∞u n
=l (0≤l
比较法的极限形式：∑u n ，∑v n 为正项级数，若lim n →∞v n =1n =1n =1n
∞
∞
∞
5）
∞u n u n
>0或lim =+∞，而∑v n
收敛，则∑u n 收敛；若lim n →∞v n →∞v n =1n =1n n
∞
发散，则
∑u
n =1
∞
n
发散.
6）
∞u n +1
=l ，则当l 1比值法：∑u n 为正项级数，设lim n →∞u n =1n =1n
时，级数
∑u
n =1
∞
n
发散；当l
=1时，级数∑u n 可能收敛也可能发散.
n =1
∞
7） 根值法：
∑u
n =1
∞
n
为正项级数，设lim n →∞
∞
n =l ，则当l 1时，
n =1
∞
级数
∑u
n =1
∞
n
发散；当l
∞
=1时，级数∑u n 可能收敛也可能发散.
n =1
n
8） 极限审敛法：
∑u
n =1
n ⋅u n 为正项级数，若lim n →∞
p
>0或lim n ⋅u n =+∞，则级数∑u n 发散；
n →∞
∞
n =1
∞
若存在
n ⋅u n =l (0≤l 1，使得lim
n →∞
n =1
n (-1) u n ，u n ≥0满足：u n +1≤u n (n =1, 2, 3, ) ，且∑n =1∞
交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：
∞
lim u n =0，则级数∑(-1) n u n 收敛。
n →∞
n =1
任意项级数：
∑u
n =1
∞
n
绝对收敛，则
∑u
n =1
∞
n
收敛。
⎧收敛， q
aq ⎨
常见典型级数：几何级数：∑
n =0 q ≥1⎪⎩发散，
∞
p >11⎧⎪收敛，
⎨∑p p -级数：
n =1n ⎪发散， p ≤1⎩
∞
（二） 函数项级数 1、 定义：函数项级数
∞
∑u
n =1
∞
n
(x ) ，收敛域，收敛半径，和函数；
2、
n
a x 幂级数：∑n
n =0
a n +1
收敛半径的求法：lim n →∞a n
⎧1
⎪ρ, 0
R =⎨0, ρ=+∞
=ρ，则收敛半径 ⎪
⎪+∞, ρ=0⎪⎩
3、 泰勒级数
f (x ) =∑
n =0
∞
f (n ) (x 0) f (n +1) (ξ) n
(x -x 0) ⇔ lim R n (x ) =lim (x -x 0) n +1=0
n →∞n →∞(n +1) ! n !
展开步骤：（直接展开法） 1） 求出2） 求出
f (n ) (x ), n =1, 2, 3, ； f (n ) (x 0), n =0, 1, 2, ；
3） 写出
∑
n =0
∞
f (n ) (x 0)
(x -x 0) n ； n !
4）
f (n +1) (ξ) n +1
lim R (x ) =lim (x -x ) =0是否成立。 0验证n →∞n n →∞(n +1) !
x
∞
间接展开法：（利用已知函数的展开式）
1n
1）e =∑x , x ∈(-∞, +∞) ；
n =0n !
2）
sin x =∑(-1)
n =0
∞
∞
n +1
1
x 2n +1, x ∈(-∞, +∞) ；
(2n +1) !
12n
x , x ∈(-∞, +∞) ；
(2n )!
3）cos x
=∑(-1)
n =0
n +1
∞
1n
=x , x ∈(-1, 1) ； ∑4）
1-x n =0
∞
1n n
=(-1) x , x ∈(-1, 1) ∑5）
1+x n =0
(-1) n n +1
1+x ) =∑x , x ∈(-1, 1] 6）ln(
n =0n +1
∞
∞
1n 2n
=(-1) x , x ∈(-1, 1) ∑7）2
1+x n =0
∞
m (m -1) (m -n +1) n m
x , x ∈(-1, 1) 8）(1+x ) =1+∑n ! n =1
4、 傅里叶级数*
1） 定义：
正交系：1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x , , sin nx , cos nx 函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π, π]上积分为零。 傅里叶级数：
a 0∞
f (x ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx )
2n =1
1π⎧
⎪a n =π⎰-πf (x ) cos nx d x (n =0, 1, 2, ) ⎪系数：⎨
1π⎪
b n =⎰f (x ) sin nx d x (n =1, 2, 3, ) ⎪π-π⎩
2） 收敛定理：(展开定理)
设 f (x ) 是周期为2π的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x ) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为连续点⎧f (x ),
a 0⎪+∑(a n cos nx +b n sin nx )=⎨+-
f (x ) +f (x ) 2n =1
⎪, x 为间断点
2⎩
∞
3） 傅里叶展开：
1π⎧
⎪a n =π⎰-πf (x ) cos nx d x (n =0, 1, 2, ) ⎪
①求出系数：⎨；
1π⎪
b n =⎰f (x ) sin nx d x (n =1, 2, 3, ) ⎪π-π⎩
②写出傅里叶级数
a 0∞
f (x ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx ) ；
2n =1
③根据收敛定理判定收敛性。
高等数学（下）知识点
高等数学下册知识点
第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、 利用坐标做向量的运算：设a =(a x , a y , a z ) ，b =(b x , b y , b z ) ，
则 a ±b =(a x ±b x , a y ±b y , a z ±b z ) , λa =(λa x , λa y , λa z ) ；
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：
r =x 2+y 2+z 2
；
222
2） 两点间的距离公式：A B =(x 2-x 1) +(y 2-y 1) +(z 2-z 1)
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角α, β, γ
x y z , cos β=, cos γ=4） 方向余弦：cos α=r r r
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1
5） 投影：Pr j u a =a cos ϕ，其中ϕ
（二） 数量积，向量积 1、
a 为向量与u 的夹角。
数量积：a ⋅b =a b cos θ
21）a ⋅a =a
2）a ⊥b ⇔a ⋅b =0
a ⋅b =a x b x +a y b y +a z b z
运算律：
2、 向量积：c =a ⨯b
大小：a b sin θ，方向：a , b , c 符合右手规则
1）a ⨯a =0
2）a //b ⇔a ⨯b =0
i j k
a ⨯b =a x a y a z
b x b y b z
运算律：反交换律 b ⨯a =-a ⨯b
（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：2、 旋转曲面：
高等数学（下）知识点
S :f (x , y , z ) =0
yoz 面上曲线C :f (y , z ) =0，
22
y f (y , ±x +z ) =0 绕轴旋转一周：
绕
z 轴旋转一周：
f (±x 2+y 2, z ) =0
3、 柱面：
⎧⎪F (x , y ) =0F (x , y ) =0表示母线平行于z 轴，准线为⎨的柱面
⎪⎩z =0
4、 二次曲面
1）
x 2y 22
+2=z 2椭圆锥面：a b
x 2y 2z 2
+2+2=1 2椭球面：a b c
2）
x 2y 2z 2
+2+2=1 2旋转椭球面：a a c
3）
x y z
+2-2=1 2单叶双曲面：a b c x 2y 2z 2
-2-2=1 2双叶双曲面：a b c
222
4）
5）
x 2y 2
+2=z 2椭圆抛物面：a b
6）
x y
-2=z 2双曲抛物面（马鞍面）：a b x 2y 2
+2=1 2椭圆柱面：a b x y
-2=1 2双曲柱面：a b 2
抛物柱面：x =ay
⎧⎪F (x , y , z ) =0
一般方程：⎨
⎪⎩G (x , y , z ) =0
2
2
22
7）
8）
9）
（四） 空间曲线及其方程
1、
⎧x =x (t ) ⎧x =a cos t ⎪⎪⎪⎪y =y (t ) 2、 参数方程：⎨，如螺旋线：⎨y =a sin t ⎪⎪⎪⎪⎩z =z (t ) ⎩z =bt
3、 空间曲线在坐标面上的投影
⎧⎪F (x , y , z ) =0
⎨，消去z ⎪⎩G (x , y , z ) =0
（五） 平面及其方程
⎧⎪H (x , y ) =0
，得到曲线在面xoy 上的投影⎨
⎪⎩z =0
1、 点法式方程：
A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0
法向量：n =(A , B , C ) ，过点(x 0, y 0, z 0)
2、 一般式方程：
Ax +By +Cz +D =0
x y z
++=1
截距式方程：
a b c
3、
两平面的夹角：n 1=(A 1, B 1, C 1) ，n 2=(A 2, B 2, C 2) ，
A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2
A +B +C ⋅A +B +C
2
1
21
21
22
22
22
cos θ=
∏1⊥∏2⇔ A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0
A 1B 1C 1
=∏1//∏2⇔ =
A 2B 2C 2
4、 点
P 0(x 0, y 0, z 0) 到平面Ax +By +Cz +D =0的距离：
A 2+B 2+C 2
d =
Ax 0+By 0+Cz 0+D
（六） 空间直线及其方程
⎧⎪A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0
1、 一般式方程：⎨
⎪⎩A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0
x -x 0y -y 0z -z 0
==2、 对称式（点向式）方程：
m n p
方向向量：s =(m , n , p ) ，过点(x 0, y 0, z 0)
⎧x =x 0+mt ⎪⎪
y =y 0+nt
3、 参数式方程：⎨
⎪⎪⎩z =z 0+pt
4、 两直线的夹角：s 1=(m 1, n 1, p 1) ，s 2=(m 2, n 2, p 2) ，
cos ϕ=
m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2m +n +p ⋅m +n +p
21
21
21
22
22
22
L 1⊥L 2⇔ m 1m 2+n 1n 2+p 1p 2=0
m 1n 1p 1
==L 1//L 2⇔
m 2n 2p 2
sin ϕ=
5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
Am +Bn +Cp
A +B +C ⋅m +n +p
2
2
2
2
2
2
L //∏⇔ Am +Bn +Cp =0
A B C
L ⊥∏⇔ ==
m n p
6、 平面束：
∏1:A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0，∏2:A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0
过∏1, ∏2的交线的平面构成平面束，方程为：
A 1x +B 1y +C 1z +D 1+λ(A 2x +B 2y +C 2z +D 2) =0
第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念
1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、 多元函数：z
=f (x , y ) ，图形：
0)
3、 极限：(x , y ) lim →(x , y 4、 连续：(x , y ) lim →(x , y
f (x , y ) =A f (x , y ) =f (x 0, y 0)
0)
5、 偏导数：
f ( x 0+∆x , y 0) -f ( x 0, y 0) f x (x 0, y 0) =lim ∆x →0∆x
f (x 0, y 0+∆y ) -f (x 0, y 0) f y (x 0, y 0) =lim ∆y →0∆y
∂f f (x +∆x , y +∆y ) -f (x , y )
=lim 6、 方向导数*： ∂l t →0+t
其中α,
∂f ∂f ∂f
=cos α+cos β∂l ∂x ∂y
7、
β
为
l
的方向角。
梯度：z =f (x , y ) ，则gradf (x 0, y 0) =f x (x 0, y 0) i +f y (x 0, y 0) j 。
8、
∂z ∂z dz =dx +dy
全微分：设z =f (x , y ) ，则
∂x ∂y
（二） 性质
1、 极限与累次极限的关系
2、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
充分条件
3、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 4、 微分法 1） 定义：
2） 复合函数求导：链式法则 3） 隐函数求导： （三） 应用 1、 极值
1） 无条件极值：求函数z
=f (x , y ) 的极值
f =0⎧x ⎪⎨解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点(x 0, y 0) ，令 f =0⎪⎩y
A =f xx (x 0, y 0) ，B =f xy (x 0, y 0) ，C =f yy (x 0, y 0) ，
① 若AC -B
2
>0，A >0，函数有极小值，若AC -B 2>0，A
② 若AC -B ③ 若AC -B
2
f (x , y ) 在条件ϕ(x , y ) =0下的极值
2
2） 条件极值：求函数z =令：
L (x , y ) =f (x , y ) +λϕ(x , y ) ——— Lagrange函数
⎧L x =0
⎪⎪
L =0
解方程组 ⎨y
⎪⎪⎩ϕ(x , y ) =0
2、 几何应用
1） 曲线的切线与法平面
⎧x =x (t ) ⎪⎪Γ:⎨y =y (t ) ，则Γ上一点M (x 0, y 0, z 0) （对应参数为t 0）处的切线方程为： 曲线
⎪⎪⎩z =z (t )
x -x 0y -y 0z -z 0==
x '(t 0) y '(t 0) z '(t 0)
法平面方程为：曲面∑:
2） 曲面的切平面与法线
x '(t 0)(x -x 0) +y '(t 0)(y -y 0) +z '(t 0)(z -z 0) =0
F (x , y , z ) =0，则∑上一点M (x 0, y 0, z 0) 处的切平面方程为：
F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0
x -x 0y -y 0z -z 0
== 法线方程为：
F x (x 0, y 0, z 0) F y (x 0, y 0, z 0) F z (x 0, y 0, z 0)
第十章 重积分 （一） 二重积分
1、 定义：
f (ξ∑⎰⎰f (x , y ) d σ=lim λ
D
→0
k =1
n
k
, ηk ) ∆σk
2、 性质：（6条）
3、 几何意义：曲顶柱体的体积。 4、 对称性问题：
x 轴对称，若f (x , y ) 关于y 为奇函数，即f (x , -y ) =-f (x , y ) ，则；若f (x , y ) 关于y 为偶函数，即f (x , -y ) =f (x , y ) ，则f (x , y ) d σ=0⎰⎰D
① 设闭区域D 关于
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ=2⎰⎰f (x , y ) d σ，其中D 1为D 在x 轴上方的部分．
D 1
② 设闭区域D 关于
y 轴对称，若f (x , y ) 关于x 为奇函数，即f (-x , y ) =-f (x , y ) ，则
；若
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ=0
f (x , y )
关于
x
为偶函数，即
f (-x , y ) =f (x , y )
，则
⎰⎰
即
D
f (x , y ) d σ=2⎰⎰f (x , y ) d σ，其中D 1为D 在y
D 1
轴右边的部分．
③ 如果D 关于原点对称，即(x ,
y ) ∈D 时，有(-x , -y ) ∈D ，若f (x , y ) 关于x , y 为奇函数，
D
f (-x , -y ) =-f (x , y ) ，则⎰⎰f (x , y ) d σ=0；若f (x , y ) 关于x , y 为偶函数，则
D
⎰⎰
f (x , y ) d σ=2⎰⎰f (x , y ) d σ，其中D 3为D 在上半平面部分；
D 3
④ 如果
D
关于
D
y =x
对称，即
(x , y ) ∈D
时，有
(y , x ) ∈D
，则
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ=⎰⎰f (y , x ) d σ
5、 计算：
1） 直角坐标
⎧ϕ1(x ) ≤y ≤ϕ2(x ) ⎫D =⎨(x , y ) ⎬，
a ≤x ≤b ⎩⎭
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰dx ⎰ϕ
D
a
b
ϕ2(x )
1(x )
f (x , y ) d y
⎧φ1(y ) ≤x ≤φ2(y ) ⎫
D =⎨(x , y ) ⎬，
c ≤y ≤d ⎩⎭
2） 极坐标
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰
D
d
c
dy ⎰
φ2(y )
φ1(y )
f (x , y ) d x
⎧ρ1(θ) ≤ρ≤ρ2(θ) ⎫
D =⎨(ρ, θ) ⎬
α≤θ≤β⎩⎭
⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰αd θ⎰ρ
D
β
ρ2(θ)
1(θ)
f (ρcos θ, ρsin θ) ρd ρ
（二） 三重积分
1、 定义：
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =lim ∑f (ξk , ηk , ζk ) ∆v k
λ→0
k =1
n
2、 性质： 3、 计算： 1） 直角坐标
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =⎰⎰d x d y ⎰
D
z 2(x , y ) z 1(x , y )
f (x , y , z ) d z -------------“先一后二”
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =⎰d z ⎰⎰
a
b
D Z
f (x , y , z ) d x d y -------------“先二后一”
2） 柱面坐标
⎧x =ρcos θ⎪⎪
⎨y =ρsin θ，⎪⎪⎩z =z
3） 球面坐标
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =⎰⎰⎰f (ρcos θ, ρsin θ, z ) ρd ρd θdz
Ω
⎧x =r sin ϕcos θ⎪⎪
⎨y =r sin ϕsin θ⎪⎪⎩z =r cos ϕ
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) d v =⎰⎰⎰f (r sin ϕcos θ, r sin ϕsin θ, r cos ϕ) r 2sin ϕdrd ϕd θ
Ω
（三） 应用 曲面S
:z =f (x , y ) , (x , y ) ∈D 的面积：A =⎰⎰D
∂z 2∂z 2
1+() +() d x d y
∂x ∂y
第十一章 曲线积分与曲面积分
（一） 对弧长的曲线积分 1、 定义：2、 性质： 1） L [αf 2）
⎰
L
f (x , y ) ds =lim ∑f (ξi , ηi ) ⋅∆s i
λ→0
i =1
n
⎰(x , y ) +β(x , y )]ds =α⎰f (x , y ) ds +β⎰g (x , y ) ds .
L
L
L 1
L 2
⎰
L
f (x , y ) ds =⎰f (x , y ) ds +⎰f (x , y ) ds . (L =L 1+L 2).
3）在L 上，若4）L d s
f (x , y ) ≤g (x , y ) ，则⎰L f (x , y ) ds ≤⎰L g (x , y ) ds .
⎰
=l ( l 为曲线弧 L 的长度)
3、 计算：
设
⎧⎪x =ϕ(t ),
(α≤t ≤β) ，其中f (x , y ) 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为⎨
⎪⎩y =ψ(t ),
ϕ(t ), ψ(t ) 在[α, β]上具有一阶连续导数，且ϕ'2(t ) +ψ'2(t ) ≠0，则
⎰
L
f (x , y ) ds =⎰f [ϕ(t ), ψ(t '2(t ) +ψ'2(t ) dt , (α
α
β
（二） 对坐标的曲线积分 1、 定义：设 L 为有界，定义
xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数P (x , y ) ，Q (x , y ) 在 L 上
n
⎰
L
P (x , y ) d x =lim ∑P (ξk , ηk ) ∆x k
λ→0
k =1
n
k
，
∑Q (ξ⎰Q (x , y ) d y =lim λ
L
→0
k =1
, ηk ) ∆y k
.
向量形式：L 2、 性质： 1）2）
⎰
F ⋅d r =⎰P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y
L
⎰
L
[αF 1(x , y ) ⋅+βF 2(x , y ) ⋅]=α⎰F 1(x , y ) ⋅+β⎰F 2(x , y ) ⋅；
L
L
⎰
L
F (x , y ) ⋅d =⎰F (x , y ) ⋅d +⎰F (x , y ) ⋅d ；
L 1
L 2
-
3）用L 表示L 的反向弧 , 则⎰L -F (x , y ) ⋅d =-⎰L F (x , y ) ⋅d
3、 计算：
设P (x , y ) , Q (x , y ) 在有向光滑弧L 上有定义且连续, L 的参数方程为
⎧⎪x =ϕ(t ),
(t :α→β) ⎨
⎪⎩y =ψ(t ),
，其中
ϕ(t ), ψ(t )
在
[α, β]
上具有一阶连续导数，且
ϕ'2(t ) +ψ'2(t ) ≠0，则
⎰P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y =⎰α{P [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt
L
β
4、 两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为
⎧⎪x =ϕ(t ) L ： ⎨，L ⎪⎩y =ψ(t )
上点(x , y ) 处的切向量的方向角为：α, β
，
ψ'(t ) ϕ'(t )
cos α=，cos β=22
'2(t ) +ψ'2(t ) '(t ) +ψ'(t )
则
，
⎰Pdx +Qdy =⎰(P cos α+Q cos β) ds .
L
L
（三） 格林公式
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数P (x , y ) , Q (x , y ) 在
⎛∂Q ∂P ⎫ ⎪-d x d y =P d x +Q d y D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰ ⎪∂x ∂y ⎭D ⎝L
2、G 为一个单连通区域，函数P (x , y ) , Q (x , y ) 在G 上具有连续一阶偏导数，则
∂Q ∂P
= ⇔曲线积分 ⎰Pdx +Qdy 在G 内与路径无关 ∂x ∂y L
⇔曲线积分Pdx +Qdy =0
L
⇔ P (x , y ) d x +Q (x , y ) d y 在G 内为某一个函数u (x , y ) 的全微分
（四） 对面积的曲面积分 1、 定义：
设∑为光滑曲面，函数定义
f (x , y , z ) 是定义在∑上的一个有界函数，
n
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) d S =lim ∑f (ξi , ηi , ζi ) ∆S i
λ→0
i =1
2、 计算：———“一单二投三代入”
∑:z =z (x , y ) ，(x , y ) ∈D xy ，则
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) d S =⎰⎰
D x y
f [x , y , z (x , y )]1+z x (x , y ) +z y (x , y ) d x d y
22
（五） 对坐标的曲面积分
1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量 2、 定义：
设∑为有向光滑曲面，函数P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) 是定义在∑上的有界函数，定义
⎰⎰
∑
R (x , y , z ) d xdy =lim ∑R (ξi , ηi , ζi ) (∆S i ) xy
λ→0
i =1
n
同理，
∑P (ξ⎰⎰P (x , y , z ) d ydz =lim λ
∑
→0
i =1
n
i
, ηi , ζi ) (∆S i ) yz
∑R (ξ⎰⎰Q (x , y , z ) d zdx =lim λ
∑
→0
i =1
n
i
, ηi , ζi ) (∆S i ) zx
3、 性质： 1）∑=∑1
∑
+∑2，则
⎰⎰Pdydz +Qdzdx +R d xdy
=⎰⎰Pdydz +Qdzdx +R d xdy +⎰⎰Pdydz +Qdzdx +R d xdy
∑1-
∑2
2）∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则4、 计算：——“一投二代三定号”
⎰⎰
∑
-
R d xdy =-⎰⎰R d xdy
∑
∑:z =z (x , y ) ，(x , y ) ∈D xy ，z =z (x , y ) 在D xy 上具有一阶连续偏导数，R (x , y , z ) 在∑上
连续，则
⎰⎰R (x , y , z ) dxdy =±⎰⎰
∑
D x y
R [x , y , z (x , y )]dxdy , ∑为上侧取“+”， ∑为下侧取
“-”.
5、 两类曲面积分之间的关系：
⎰⎰
∑
P d y d z +Q d z d x +R d x d y =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ)d S
∑
其中α, β, γ
为有向曲面∑在点(x , y , z ) 处的法向量的方向角。
（六） 高斯公式
1、 高斯公式：设空间闭区域 Ω 由分片光滑的闭曲面∑ 所围成, ∑ 的方向取外侧, 函数 P , Q , R 在Ω 上有连续的一阶偏导数, 则有
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫⎰⎰⎰Ω ∂x +∂y +∂z ⎪⎪d x d y d z =∑P d y d z +Q d z d x +R d x d y
⎝⎭
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫或⎰⎰⎰Ω ∂x +∂y +∂z ⎪⎪d x d y d z =(P cos α+Q cos β+R cos γ)d S
⎝⎭∑
2、 通量与散度*
通量：向量场A =(P , Q , R ) 通过曲面∑指定侧的通量为：Φ=⎰⎰∑P d y d z +Q d z d x +R d x d y ∂P ∂Q ∂R
++散度：div A =
∂x ∂y ∂z
（七） 斯托克斯公式*
1、 斯托克斯公式：设光滑曲面 ∑ 的边界 Γ是分段光滑曲线, ∑ 的侧与 Γ 的正向符合右手法则, P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) 在包含∑ 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
⎛∂R ∂Q ⎫⎛∂P ∂R ⎫⎛∂Q ∂P ⎫ ⎪ ⎪⎰⎰ ∂y -∂z ⎪d y d z + ∂z -∂x ⎪d z d x + ∂x -∂y ⎪⎪d x d y =ΓP d x +Q d y +R d z
⎭⎝⎭⎝⎭∑⎝
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
⎰⎰
∑
d y d z d z d x d x d y ∂∂∂
=P d x +Q d y +R d z Γ ∂x ∂y ∂z
P Q R
2、 环流量与旋度*
环流量：向量场A =(P , Q , R ) 沿着有向闭曲线Γ的环流量为ΓP d x +Q d y +R d z ⎛∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ⎫
旋度：rot A = ∂y -∂z , ∂z -∂x , ∂x -∂y ⎪⎪
⎝⎭
第十二章 无穷级数 （一） 常数项级数 1、 定义：
1）无穷级数：
∑u
n =1
n k =1
∞
n
=u 1+u 2+u 3+ +u n +
部分和：S n
=∑u k =u 1+u 2+u 3+ +u n ，
正项级数：
∑u
n =1∞n =1
∞
n
，u n
≥0
交错级数：
n (-1) u n ，u n ≥0 ∑
∞
∞
2）级数收敛：若lim S n
n →∞
=S
存在，则称级数
∑u
n =1
n
收敛，否则称级数
∑u
n =1
n
发散
3）条件收敛：
∞
∑u
n =1n
∞
n
收敛，而
∑u
n =1
∞
n
发散；
绝对收敛：
∑u
n =1
收敛。
2、 性质：
1） 改变有限项不影响级数的收敛性；
2） 级数
∑a
n =1
∞
n
，
∑b
n =1
∞
n
收敛，则
∑(a
n =1
∞
n
±b n ) 收敛；
3） 级数
∑a
n =1
∞
n
收敛，则任意加括号后仍然收敛；
4） 必要条件：级数3、 审敛法 正项级数：
∑u
n =1
∞
n
收敛
⇒lim u
n →∞
n
=0. （注意：不是充分条件！）
∑u
n =1
∞
n
，u n
≥0
存在；
lim S n 1） 定义：n
→∞
2）
=S
n
∑u
n =1
∞
n
收敛
⇔{S }有界；
∑u
n =1
∞∞
n
3） 比较审敛法：，
∑v
n =1
∞
n
为正项级数，且u n ≤v n (n =1, 2, 3, )
∞
n
若
∑v
n =1∞n =1
n
收敛，则
∞
∑u
n =1
∞
n
收敛；若
∑u
n =1
发散，则
∑v
n =1
∞
n
发散.
4） 比较法的推论：
∑u ，∑v
n
n =1
n
为正项级数，若存在正整数
m ，当n >m 时，u n ≤kv n ，
而
∞
∑v
n =1n
∞
n
收敛，则
∑u
n =1
∞
n
收敛；若存在正整数
m ，当n >m 时，u n ≥kv n ，而∑v n 发散，则
n =1
∞
∑u
n =1
发散.
∞u n
=l (0≤l
比较法的极限形式：∑u n ，∑v n 为正项级数，若lim n →∞v n =1n =1n =1n
∞
∞
∞
5）
∞u n u n
>0或lim =+∞，而∑v n
收敛，则∑u n 收敛；若lim n →∞v n →∞v n =1n =1n n
∞
发散，则
∑u
n =1
∞
n
发散.
6）
∞u n +1
=l ，则当l 1比值法：∑u n 为正项级数，设lim n →∞u n =1n =1n
时，级数
∑u
n =1
∞
n
发散；当l
=1时，级数∑u n 可能收敛也可能发散.
n =1
∞
7） 根值法：
∑u
n =1
∞
n
为正项级数，设lim n →∞
∞
n =l ，则当l 1时，
n =1
∞
级数
∑u
n =1
∞
n
发散；当l
∞
=1时，级数∑u n 可能收敛也可能发散.
n =1
n
8） 极限审敛法：
∑u
n =1
n ⋅u n 为正项级数，若lim n →∞
p
>0或lim n ⋅u n =+∞，则级数∑u n 发散；
n →∞
∞
n =1
∞
若存在
n ⋅u n =l (0≤l 1，使得lim
n →∞
n =1
n (-1) u n ，u n ≥0满足：u n +1≤u n (n =1, 2, 3, ) ，且∑n =1∞
交错级数：
莱布尼茨审敛法：交错级数：
∞
lim u n =0，则级数∑(-1) n u n 收敛。
n →∞
n =1
任意项级数：
∑u
n =1
∞
n
绝对收敛，则
∑u
n =1
∞
n
收敛。
⎧收敛， q
aq ⎨
常见典型级数：几何级数：∑
n =0 q ≥1⎪⎩发散，
∞
p >11⎧⎪收敛，
⎨∑p p -级数：
n =1n ⎪发散， p ≤1⎩
∞
（二） 函数项级数 1、 定义：函数项级数
∞
∑u
n =1
∞
n
(x ) ，收敛域，收敛半径，和函数；
2、
n
a x 幂级数：∑n
n =0
a n +1
收敛半径的求法：lim n →∞a n
⎧1
⎪ρ, 0
R =⎨0, ρ=+∞
=ρ，则收敛半径 ⎪
⎪+∞, ρ=0⎪⎩
3、 泰勒级数
f (x ) =∑
n =0
∞
f (n ) (x 0) f (n +1) (ξ) n
(x -x 0) ⇔ lim R n (x ) =lim (x -x 0) n +1=0
n →∞n →∞(n +1) ! n !
展开步骤：（直接展开法） 1） 求出2） 求出
f (n ) (x ), n =1, 2, 3, ； f (n ) (x 0), n =0, 1, 2, ；
3） 写出
∑
n =0
∞
f (n ) (x 0)
(x -x 0) n ； n !
4）
f (n +1) (ξ) n +1
lim R (x ) =lim (x -x ) =0是否成立。 0验证n →∞n n →∞(n +1) !
x
∞
间接展开法：（利用已知函数的展开式）
1n
1）e =∑x , x ∈(-∞, +∞) ；
n =0n !
2）
sin x =∑(-1)
n =0
∞
∞
n +1
1
x 2n +1, x ∈(-∞, +∞) ；
(2n +1) !
12n
x , x ∈(-∞, +∞) ；
(2n )!
3）cos x
=∑(-1)
n =0
n +1
∞
1n
=x , x ∈(-1, 1) ； ∑4）
1-x n =0
∞
1n n
=(-1) x , x ∈(-1, 1) ∑5）
1+x n =0
(-1) n n +1
1+x ) =∑x , x ∈(-1, 1] 6）ln(
n =0n +1
∞
∞
1n 2n
=(-1) x , x ∈(-1, 1) ∑7）2
1+x n =0
∞
m (m -1) (m -n +1) n m
x , x ∈(-1, 1) 8）(1+x ) =1+∑n ! n =1
4、 傅里叶级数*
1） 定义：
正交系：1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x , , sin nx , cos nx 函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π, π]上积分为零。 傅里叶级数：
a 0∞
f (x ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx )
2n =1
1π⎧
⎪a n =π⎰-πf (x ) cos nx d x (n =0, 1, 2, ) ⎪系数：⎨
1π⎪
b n =⎰f (x ) sin nx d x (n =1, 2, 3, ) ⎪π-π⎩
2） 收敛定理：(展开定理)
设 f (x ) 是周期为2π的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x ) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为连续点⎧f (x ),
a 0⎪+∑(a n cos nx +b n sin nx )=⎨+-
f (x ) +f (x ) 2n =1
⎪, x 为间断点
2⎩
∞
3） 傅里叶展开：
1π⎧
⎪a n =π⎰-πf (x ) cos nx d x (n =0, 1, 2, ) ⎪
①求出系数：⎨；
1π⎪
b n =⎰f (x ) sin nx d x (n =1, 2, 3, ) ⎪π-π⎩
②写出傅里叶级数
a 0∞
f (x ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx ) ；
2n =1
③根据收敛定理判定收敛性。