第1课
前言
一元、多元函数微分学和积分学、矢量代数、空间解析几何、无穷级数和微分方程
第一章 函数
第一节 函数的概念
一、区间、邻域
第2课
第一节 函数的概念
二 函数的概念
三 函数的几个简单性质
1 函数的有界性
第3课
三、函数的几个简单性质
1、函数的有界性
2、函数的单调性
3、函数的奇偶性
4、函数的周期性
四、复合函数、反函数
1、复合函数
第4课
复合函数例题
2、反函数
§2. 初等函数
一、基本初等函数
二、初等函数
第5课
三、双曲函数
第二章、极限 13：50
§1. 数列的极限
一、数列极限的定义
第6课
(接上节) 数列极限的定义、例题
二、收敛数列的两个性质
1、定理一（唯一性）
第7课
例题
2、定理二（有界性）
§2、函数的极限
一、自变量x 趋于一个定值x0的f(x)的极限（只是谈及）
第8课
（接一讲：自变量x 趋于一个定值x0的f(x)的极限）
分析，定义，几何意义，例题
第9课
左极限和右极限的定义，极限存在的条件
二、自变量x 趋于无穷大的函数f(x)的极限
三、无穷小量和无穷大量
1、无穷小量
2、无穷大量
第10课
第二章 极限
第二节 函数的极限
三、无穷小量与无穷大量
注意2点
例题
2、无穷大
3、无穷小与无穷大的关系
四、海涅定理
例题
第11课
第三节 函数极限的性质和极限的运算 （本章重点）
一、极限值与函数值的关系
1、极限值的唯一性
2、极限值与函数值的同号性
3、有界性
第12课
二、极限与无穷小的关系 f(x)=A+a(x)
三、无穷小的性质
1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
推论：常数与无穷小的乘积仍是无穷小
有限个无穷小的乘积仍是无穷小
3. 无穷小与有界函数的商仍是无穷小
第13课
四、极限的四则运算
１、limf(x)+limg(x)=A+B
２、lim[f(x)g(x)]=AB
３、lim[f(x)\g(x)]=A\B
４、f(x)>(x),A>B
第14课
例题
第四节 极限存在准则，两个重要极限 16:00
一、准则1 夹挤准则
例1
第15课
例2 重要极限之一
二、准则2 单调有界准则 25：30
例1 重要极限之二
第16课
例题
第五节 无穷小量的比较 39：00
第17课
第五节 无穷小量的比较
例题
等价无穷小代换定理
注意：加减不可替换，乘除可替换
第六节 连续函数 34：00
一、函数连续性的定义
第18课
一、函数连续性的定义
左连续，右连续
二、函数的间断点 24：30
第19课
三、初等函数的连续性
1、连续函数的和、积、商的连续性
2、反函数与复合函数的连续性
1) 反函数的连续性：单调且连续
2）复合函数的极限
第20课
2、反函数与复合函数的连续性
3）复合函数的连续性
3、初等函数的连续性 13:30
初等函数在定义域内连续。
第21课
四、连续函数在闭区间上的性质
1、最大、最小值定理 06:06
2、有界性定理
3、零值点定理
4、介值定理
fenderdj 写道：
问下 零值定理为什么要求是闭区间
要f(a),f(b)存在且异号，方便描述。若是开区间，就要说明f(x)在a 的右极限和b 的左极限存在且异号。
第22课
第3章、导数与微分
第一节 导数概念
一、两个实例
二、导数定义
第23课
三、导数的几何意义 11:48
（求曲线上某点的切线方程和法线方程）
四、函数的可导性与连续性关系 32:49
第24课
证明可导与连续性关系的逆命题不成立
五、几个基本初等函数的导数公式 14:45
1、常数
2、幂函数
3、正弦、余弦函数
4、对数函数
第25课
第二节 函数的微分法
一、函数的和、差、积、商的求导法则
（只讲到和、差、积）
第26课
续上
（函数商的求导法则）
推导出tanx,cotx,secx,cscx 的导数公式
二、反函数的导数 23:30
推导出反三角函数的导数公式
arcsinx,arccosx,
arctanx,arccotx,
第27课
求指数函数的导数
三、复合函数的导数 5:33
复合函数的求导法则
第28课
例题
四、高阶导数(7')
多做练习
第29课
第三节、隐函数、参量函数的导数
一、隐函数的导数
隐函数的求导，包括幂指函数的求导
第30课
取对数微分法 例2
二、参量函数的导数 05:10
三、*极坐标系下曲线的切线的斜率(38')
第31课
例1：求心形线...... 某一点处切线的斜率
四、相关变化率(5'50)
两个例子
第四节、函数的微分(24')
一、 微 分的概念
第32课
二、可微与可导的关系（互为充要条件） 微分的几何意义
三、微分公式
1、基本初等函数的微分公式
2、函数的和、差、积、商的微分公式
四、复合函数的微分公式
微分形式不变性
第33课
第四章、微分中值定理 导数的应用
第一节、微分中值定理
一、Rolle 定理(罗尔定理) 6
二、Lagrange 定理(拉格朗日定理) 分析
第34课
Lagrange 定理的证明
利用它做证明题。
三、Cauchy 定理(柯西定理)
四、Taylor 定理(泰勒定理)(23'30") 其证明(未证完)
第36课
Taylor 定理继续证明
f(x)的n 阶Maclaurin 公式－麦克劳林公式 Peano 型余项
第37课
第二节、罗必塔法则
一、0/0型不定式
法则I
推论I
第38课
二、8/8型(7')
法则II(不证，超出范围)
推论II
三、其它类型未定式(24'30")
0.8型、8-8型、0^0型,1^8型,8^0型 解决方法：化为0/0或8/8型
第39课
第三节、函数的增减性与极值
1、函数单调增、减的必要条件
2、函数单调增、减的充分条件
第40课
例2、3
二、函数的极值、及求法(21')
1、极值的必要条件
第41课
2、极值存在的充分条件
第一充分条件
第二充分条件(37')
第42课
例3
第四节、函数的最大、小值(11')
例（未完）
例（续）
利用函数的最值可以证明不等式
例3
第五节、函数的凹凸性、拐点
函数的凹凸性的定义
函数的凹凸性的判别
第44课
判定拐点的方法
第六节、函数图形的描绘 （42' ）
第45课
一、曲线的渐近线
二、函数图形的描绘(34')
第46课
例子：作图(续)
第七节、曲率(14'30")
一、弧的微分
光滑曲线
有向光滑曲线弧长的度量
一、弧微分
第47课
二、曲率及其计算公式(3')
直线的曲率为0
圆的曲率为1/R
第48课
例1
例2
第五章、不定积分(21')
第一节、不定积分概念 25
一、原函数与不定积分
第49课
二、不定积分的几何意义(9')
三、不定积分性质
四、不定积分的基本公式－基本积分表
第50课
几个例子
第二节、换元积分法(20')
一、第一换元法
第51课
第一换元积分法的几个例子
第52课
二、第二换元法(0')
第53课
第二换元法的例子（5' ）
第三节、分部积分法(42')
第54课
分部积分法的证明
分部积分法的几个例子
第55课
第四节、几类函数的积分法
一、有理函数的积分
第56课
部分分式(和) 的积分
第57课
二、三角函数有理式的积分
举例
三、两种无理函数的积分
第一类
第58课
第二类
第六章、定积分(16')
第一节、定积分概念
一、实例
1、曲边梯形的面积
分割
作积
求和
取极限
第59课
估计是
二、定积分的定义
上册59讲asf 音频：http://ishare.iask.sina.com.cn/f/5886928.html
第60课
三、定积分的几何意义
例1、利用定积分的几何意义来求定积分值 例2、应用定积分的定义来求定积分值
第二节、定积分性质、定积分中值定理
一、定积分性质(24')
1、
2、
3、
第61课
定积分性质
4
5
6
二、定积分中值定理（38' ）
1、定积分第一中值定理
第62课
1、定积分第一中值定理
2、定积分第二中值定理
第三节、定积分与原函数的关系(35')
一、变上限的定积分
第63课
(继)
二、牛顿－莱布尼兹公式(Newton-Leibniz)
第64课
举例
第四节、定积分计算法(32')
一、定积分的换元积分法
第65课
证明(定积分的换元积分法)
举例
第66课
例
二、定积分的分部积分法(13')
第67课
第六节、广义积分、T-函数（咖玛函数）(0')
一、无穷限的广义积分(4'40")
二、无界函数的广义积分(41')
第68课
三、T －函数(咖玛函数)(21'20")
第69课
第七节、定积分在几何上的应用(6')
一、定积分元素法
二、平面图形面积(29')
1、直角坐标情形
第70课
例子
2、极坐标的情况(15')
三、求立体的体积(34')
1、平行截面面积为已知的立体的体积
第71课
例子
2、旋转体的体积(12')
第72课
四、平面曲线的弧长
1、直角坐标的情形
2、极坐标的情形(25')
第73课
五、旋转体的侧面积
第八节、定积分在物理上的应用(30')
一、变力做功
第74课
例子
电荷做功
抽水做功
弹簧弹性力做功(19')
二、引力(35')
例
第75课
续例
三、液体的侧力(29'20)
推出公式
第76课
例子
四、函数值的平均值(22')
算术平均值
例子(37'33")
=====定积分全部结束=====•
第77课
第七章、空间解析几何 矢量代数
§1. 空间直角坐标系
一、空间点的直角坐标
第78课
二、空间中两点间的距离
例1
例2
§2. 矢量代数(24')
一、矢量概念
二、矢量运算
1. 矢量加法
第79课
2. 矢量减法(10')
3. 矢量与数的乘法
第80课
三、矢量的坐标表达法
1. 矢量在轴上的投影(6')
投影定理（32' ）
第81课
2. 矢量的坐标表达式
第82课
3. 矢量的模和方向余弦(9')
四、二阶及三阶行列式基本知识(30')
1. 二阶行列式
2. 三阶行列式
第83课
五、数量积，矢量积(19')
1. 两矢量的数量积
第84课
2. 两个矢量的矢量积(15')
第85课
例1
例2(35')
例3
第86课
§3. 平面及其方程
一、曲面方程的概念
例1
例2
例3
二、平面的点法式方程(26')
例1
例2
第87课
例3
三、平面的一般式方程
四、平面的截距式方程(44'20")
第88课
五、两平面夹角(2'30")
例1
六、平面外一点到平面的距离
§4. 空间直线及其方程
一、空间曲线及其方程
第89课
二、直线的对称式和参量式方程
例1
三、直线的一般式方程
例2
四、直线的相互关系
五、直线与平面的夹角
第90课
例3
例4
习题：7-4 1,3,4,5,6,7,8,11,13
§5. 曲面与方程
一、柱面(36')
例1
第91课
二、旋转曲面
例1
例2
习题：7-5 1,3,4,6,8
第92课
§6. 二次曲面
一、椭球面
二、抛曲面
第93课
三、双曲面(12')
1. 单叶双曲面
2. 双叶双曲面
例1
习题：7-6 1,2,3
第94课
§7. 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
例1
例2
二、空间曲线的参量方程
例3
第95课
三、空间曲线在坐标面上的投影曲线
例1
例2
例3
=====高数上册完=====＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
第96课
第8章、多元函数微积分
§1. 多元函数概念
一、平面点集的基本知识
1. 邻域
2. 区域
3. 聚点
第97课
4.n 维空间(5')
二、多元函数的概念
例1
例2
第98课
二元函数的几何意义
例1
例2
习题：8-1 1,2,4,7,8(1)(4)(6)
三、二元函数的极限
第99课
例1
二元函数极限的四则运算(15')
例2
例3
四、二元函数的连续性
第100课
在有界闭区域上连续的多元函数性质
1. 最大、最小值存在性定理
2. 介值定理
§2. 偏导数
一、偏导数概念(25')
第101课
例1
例2
例3
例4
二元函数偏导数的几何意义
二、高阶偏导数(42')
第102课
例5
例6
习题：8-2 1(1)(4)(5)(8)(9),2(4)(5)(7),9,11,12,13,15
§3. 全微分
一、全微分概念(28')
第103课
例
全微分定义
定理1 可微的必要条件（38' ） 可微->偏导存在 习题：8-3 1(1)(5)(7)(9)(10)
第104课
二、可微的充要条件
例1
定理2 可微的充分条件(26')
证明
第105课
（续证）
例1
总结
§4. 多元复合函数微分法
一、多元复合函数微分法(21')
定理
证明
第106课
复合函数结构示意图
例1
例2
例3
例4
例5
第107课
一、多元复合函数微分法（续）
二、全微分形式不变性(4'15")
三、多元复合函数的高阶偏导数（本节核心、重点内容） 例1
例2(40')
习题：8-4 17,18,19,20,22,23
第108课
例3
§5. 隐函数的微分法(21')
隐函数：（定义）
一、一个方程所确定的隐函数
隐函数存在定理1
例1
第109课
一、一个方程所确定的隐函数（续）
例2
隐函数存在定理2 (15'40")
例1(30')
例2(40')
第110课
二、方程组所确定的隐函数
隐函数存在定理3
例1(22')
例2(34'30")
习题：8-4 17,18,19,20,22,23
8-5 1,2,3,6,7,8,9,10,14,15,18,20,21
第111课
§6. 方向导数，梯度
一、方向导数
定理
证
例1
第112课
二、梯度
＜梯度定义＞
例1
例2(32')
§7. 偏导数在几何上的应用
一、空间曲线的切线和法平面(43')
第113课
（续前节）
例1
例2(22'30")
习题：8-6 2,3,4,5,7,9
8-7 2,3,4,6,8
二、曲面的切平面和法线(35')
证明
第114课
结论
＜定义＞切平面
曲面的法线
法线的方程
例1
例2
第115课
例3(1')证明：
§8. 多元函数的极值和求法(15')
一、二元函数的极值和求法
＜二元函数极值定义＞
1、＜极值存在的必要条件＞
2、＜极值存在的充分条件＞(39')
第116课
求二元函数极值的步骤
例1(8')
二、求二元函数的最大值、最小值(19')
例2(26')
习题：8-7 11,13,14,18,20,22,23
第117课
§8. 多元函数的极值和求法(续)
例
三、条件极值(22'30")----Lagrange系数法 解决条件极值的方法，有两种：
第118课
解决条件极值的方法（续）
例1(20')
习题：8-8 1(2)(4),2,4,5,9,10,15,16,18
第9章、重积分(37')
§1、二重积分的概念、性质
一、实例
1、曲顶柱体体积
第119课
§1. 二重积分的概念、性质（续）
2、平面薄板质量
二、二重积分定义(29')
第120课
三、二重积分性质(3'40")
1、
2、
3、
5、估值定理（介值定理）(14')
6、中值定理
§2. 二重积分的计算(22') -- 化为两次单积分的计算
一、在直角坐标系下
第121课
（续）
计算二重积分步骤
例1
例2
第122课
（续）
例3
例4
例5(36')
习题：9-1 2(1)(4),3(2)(3)
9-2 1(3)(4)(5),2(2)(3),3(1)(3)(4)(6)(8)(9),4(3)(4)
第123课
二、在极坐标下
1、二重积分由直角坐标变换为极坐标的变换公式
2、极坐标下的累次积分(34')
第124课
例1(4')
例2
例3(25'18")
例4(40')
习题：9-2 5(1)(2)(4),6(2)(3),7(1)(2)(3)(5)(7)
第125课
例5(2'20")
§3. 三重积分(20'30")
一、三重积分定义
二、三重积分性质(38'30")
1、
2、
3、
第126课
4、(4'30")
5、
例1
§4. 三重积分的计算(21')
一、直角坐标系下(23')
第127课
例1
例2
例3 (36')
习题9-4 1（1）(2)(4) 2(1)(2)(3)(4)
第128课
二、在柱面坐标系下
例1 (27'11")
例2
第129课
续例2
三、球面坐标系下
例1 42'
习题：9-4 3(1)(2)(3)(5)
第130课
在球面坐标系下，三重积分化为三次积分 例1 4'
例2 20'
习题： 9-4 4(1)(2)(3)(5) 5(3)(5)
第131课
第五节 重积分的应用
一、重积分在几何上的应用
1、封闭曲面所围立体的体积
例1
例2
2、曲面的面积(34'31")
第132课
例1 04'14''
例2 13'08''
二、重积分在物理上的应用(29')
1、物体的质量
2、物体的重心(35')
习题9-5 1(1)(2)(3) 2(1)(2)(5)
第133课 （2010.8.7）
1平面薄板的重心
2空间立体的重心
例1 28'26''
第134课
续例1
例2 3'20''
3物体的转动惯量 25'
第135课
例1
例2 17'
习题9-5 6,7,8,10,12,14
第十章 曲线积分与曲面积分(27') 例1
第一节 第一类曲线积分
第136课
一、第一类曲线积分的概念和性质
二、第一类曲线积分的计算(13')
1、设空间曲线L 由参量方程给出 证明
第137课
例1
例2 8'30''
例3 18'50''
习题10-1 2,3,5,7,10,11,15
第二节 第二类曲线积分 24'50''
一、矢量场的概念
矢量场、曲线方向的规定
二、第二类曲线积分概念、性质（43'30" ） 例
第138课
概念 19'56''
性质1，2，3
第139课
三、第二类曲线积分的计算 9'30''
第140课
例1
例3 28'24''
第141课
四、两类曲线积分的关系
两类曲线积分可以互相转化
第三节 格林（Green ）公式(19')
一、格林公式
证明(36')
第142课
证明 续
例1(37')
第143课
例2
例3(21')
二、平面曲线积分与路径无关的条件(44')
第144课
证明
第145课
证明 续
注意 (20')
例1 (28')
第146课
例2
例3(30')
第四节 第一类曲面积分(41')
一、第一类曲面积分的概念、性质
第147课
性质1、2、3
二、第一类曲面积分计算（本节重点问题）(20') 例1 (38')
第148课
例2
第五节 第二类曲面积分(21')
（和曲面的方向有关）
一、有向曲面的概念
二、第二类曲面积分的定义
两类曲面积分的关系(38')
第150课
三、第二类曲面积分计算法
例1 (28')
第151课
例2
第六节 高斯公式 曲面积分与曲面积分无关的条件(33')
一、高斯公式
第152课
证明
例1 (20')
例2 (29')
第153课
二、曲面积分与路径无关的条件 （不考）
定理：
证明（略）
第七节 斯托克斯公式、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式(9')
证明（略）
例1 (21')
二、空间曲线积分与路径无关的条件(40')（不考）
第154课
第11章 级数
第一节 常数项级数
一、级数基本概念
级数、级数的部分和、级数收敛
例1、讨论几何级数的敛散性 (21')
例2、(32')
例3、(35'39")
二、级数的基本性质(40')
性质1、推论
第155课
性质2、
性质3、
性质4、
性质5(一个必要条件，可用来证发散)
第156课
三、正项级数敛散性判别法
正项级数：定义、收敛的充要条件
1、比较判别法 (11')
例1 讨论P 级数的敛散性
例2 根号里有平方
第157课
例3
例4
定理：比较判别法的极限形式
例1
例2
例3
第158课
2、比值判别法
例1、
例2、
例3 很不错，是比值与比较两个判别法的综合
第159课
3、根值判别法
例1 (14')
例2 (17')
4、积分判别法(20')
例1
例2
小结 (38')
四、任意项级数敛散性的判别法 (42')
1、交错级数
第160课
萊布尼茲定理
例1 (21')
2、绝对收敛，条件收敛
第161课
例1
3、绝对收敛级数的两个性质 (23')
第二节 幂级数 (31')
函数项级数基本概念
函数项级数
收敛域，发散域
第162课
一、幂级数及其收敛域
阿贝尔定理 收敛域
第163课
收敛半径的求法
定理
例1 (22')
例2 (30')
例3 (32')
例4 (35') 缺项则用比值判别法
第164课
例题5
二、幂级数的性质 (10')
四则运算性质
分析运算性质
例1 (34')
例2 (42')
第165课
第三节 函数的幂级数展开
一、泰勒级数 泰勒展开式（幂级数展开式） 定理1 n阶导数存在是展开为幂级数的必要条件
定理2 余项极限为0是幂级数展开的充要条件 (31')
第166课
二、函数展开为幂级数
1、直接展开法
例1 (10')
例2 (23')
2、间接展开法 (35')
（1）逐项求导法
例1
（2）逐项积分法 (40')
例2
第167课
（3）变量代换法 (6')
例3
例4
（4）四则运算法
例5 (17')
（5）求和函数法
例6 (29')
第168课
例6 续
三、求幂级数的和函数 (10'34")
记住几个重要的基本和函数
例1 (17')
例2
例3
求数项级数的和
例4
第169课
四、欧拉公式
五、幂级数在近似计算上的应用
第170课
第五节 付里叶级数 (35')
一、三角函数系的正交性 (41')
第171课
二、傅立叶级数 (16')
Dirichlet 定理 (39') --- 收敛条件
例1 (43')
第172课
例1 续
例2 (28')
第173课
三、正弦级数、余弦级数
1、奇、偶函数的傅立叶级数
证明
例1 (22')
例2 (28')
2、把函数展开成正弦级数或余弦级数 (41')
第174课
例1 (6'30")
四、以2l 为周期的周期函数的傅立叶级数 (13')
第175课
第12章 微分方程
第一节 微分方程基本概念
例1 (6')
例2 (10')
第176课
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
二、齐次方程 (38’)
第177课
可化为齐次的方程 (20')
三、一阶线性方程 (33')
第178课
例1
例2
四、伯努利方程 (14')
五、全微分方程 (27')
第179课
1、用曲线积分法
2、用不定积分法
例1 (19')
六、一阶微分方程应用举例 (29')
例1 （冷却问题）
例2 （44' ）
第180课
例2 续
（1）瞬态法
（2）微量法
第181课
第三节 可降阶的高阶方程
一、y'n'=f(x)型的方程
二、y"=f(x,y')型的方程
三、y"=f(y,y')型的方程
第182课
第四节 线性微分方程解的结构
一、线性齐次方程解的结构
二、线性非齐次方程解的结构定理 (37')
第183课
定理3
第五节 常系数线性微分方程 (12')
一、常系数线性齐次方程 (16')
第184课
例题1、2、3 （三种情况一样一个）、4（多重）
二、常系数线性非齐次方程 (35')
第185课
求解两种情况
例1 (34')
第186课
例2、3、4
第二种情况 (含有sin cos的情形) (30') 例1 (36')
第187课
例2、3
小结 (34')
第188课
三、常系数线性微分方程应用举例 (21')
第189课
四、欧拉方程 (14'30")
第1课
前言
一元、多元函数微分学和积分学、矢量代数、空间解析几何、无穷级数和微分方程
第一章 函数
第一节 函数的概念
一、区间、邻域
第2课
第一节 函数的概念
二 函数的概念
三 函数的几个简单性质
1 函数的有界性
第3课
三、函数的几个简单性质
1、函数的有界性
2、函数的单调性
3、函数的奇偶性
4、函数的周期性
四、复合函数、反函数
1、复合函数
第4课
复合函数例题
2、反函数
§2. 初等函数
一、基本初等函数
二、初等函数
第5课
三、双曲函数
第二章、极限 13：50
§1. 数列的极限
一、数列极限的定义
第6课
(接上节) 数列极限的定义、例题
二、收敛数列的两个性质
1、定理一（唯一性）
第7课
例题
2、定理二（有界性）
§2、函数的极限
一、自变量x 趋于一个定值x0的f(x)的极限（只是谈及）
第8课
（接一讲：自变量x 趋于一个定值x0的f(x)的极限）
分析，定义，几何意义，例题
第9课
左极限和右极限的定义，极限存在的条件
二、自变量x 趋于无穷大的函数f(x)的极限
三、无穷小量和无穷大量
1、无穷小量
2、无穷大量
第10课
第二章 极限
第二节 函数的极限
三、无穷小量与无穷大量
注意2点
例题
2、无穷大
3、无穷小与无穷大的关系
四、海涅定理
例题
第11课
第三节 函数极限的性质和极限的运算 （本章重点）
一、极限值与函数值的关系
1、极限值的唯一性
2、极限值与函数值的同号性
3、有界性
第12课
二、极限与无穷小的关系 f(x)=A+a(x)
三、无穷小的性质
1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
推论：常数与无穷小的乘积仍是无穷小
有限个无穷小的乘积仍是无穷小
3. 无穷小与有界函数的商仍是无穷小
第13课
四、极限的四则运算
１、limf(x)+limg(x)=A+B
２、lim[f(x)g(x)]=AB
３、lim[f(x)\g(x)]=A\B
４、f(x)>(x),A>B
第14课
例题
第四节 极限存在准则，两个重要极限 16:00
一、准则1 夹挤准则
例1
第15课
例2 重要极限之一
二、准则2 单调有界准则 25：30
例1 重要极限之二
第16课
例题
第五节 无穷小量的比较 39：00
第17课
第五节 无穷小量的比较
例题
等价无穷小代换定理
注意：加减不可替换，乘除可替换
第六节 连续函数 34：00
一、函数连续性的定义
第18课
一、函数连续性的定义
左连续，右连续
二、函数的间断点 24：30
第19课
三、初等函数的连续性
1、连续函数的和、积、商的连续性
2、反函数与复合函数的连续性
1) 反函数的连续性：单调且连续
2）复合函数的极限
第20课
2、反函数与复合函数的连续性
3）复合函数的连续性
3、初等函数的连续性 13:30
初等函数在定义域内连续。
第21课
四、连续函数在闭区间上的性质
1、最大、最小值定理 06:06
2、有界性定理
3、零值点定理
4、介值定理
fenderdj 写道：
问下 零值定理为什么要求是闭区间
要f(a),f(b)存在且异号，方便描述。若是开区间，就要说明f(x)在a 的右极限和b 的左极限存在且异号。
第22课
第3章、导数与微分
第一节 导数概念
一、两个实例
二、导数定义
第23课
三、导数的几何意义 11:48
（求曲线上某点的切线方程和法线方程）
四、函数的可导性与连续性关系 32:49
第24课
证明可导与连续性关系的逆命题不成立
五、几个基本初等函数的导数公式 14:45
1、常数
2、幂函数
3、正弦、余弦函数
4、对数函数
第25课
第二节 函数的微分法
一、函数的和、差、积、商的求导法则
（只讲到和、差、积）
第26课
续上
（函数商的求导法则）
推导出tanx,cotx,secx,cscx 的导数公式
二、反函数的导数 23:30
推导出反三角函数的导数公式
arcsinx,arccosx,
arctanx,arccotx,
第27课
求指数函数的导数
三、复合函数的导数 5:33
复合函数的求导法则
第28课
例题
四、高阶导数(7')
多做练习
第29课
第三节、隐函数、参量函数的导数
一、隐函数的导数
隐函数的求导，包括幂指函数的求导
第30课
取对数微分法 例2
二、参量函数的导数 05:10
三、*极坐标系下曲线的切线的斜率(38')
第31课
例1：求心形线...... 某一点处切线的斜率
四、相关变化率(5'50)
两个例子
第四节、函数的微分(24')
一、 微 分的概念
第32课
二、可微与可导的关系（互为充要条件） 微分的几何意义
三、微分公式
1、基本初等函数的微分公式
2、函数的和、差、积、商的微分公式
四、复合函数的微分公式
微分形式不变性
第33课
第四章、微分中值定理 导数的应用
第一节、微分中值定理
一、Rolle 定理(罗尔定理) 6
二、Lagrange 定理(拉格朗日定理) 分析
第34课
Lagrange 定理的证明
利用它做证明题。
三、Cauchy 定理(柯西定理)
四、Taylor 定理(泰勒定理)(23'30") 其证明(未证完)
第36课
Taylor 定理继续证明
f(x)的n 阶Maclaurin 公式－麦克劳林公式 Peano 型余项
第37课
第二节、罗必塔法则
一、0/0型不定式
法则I
推论I
第38课
二、8/8型(7')
法则II(不证，超出范围)
推论II
三、其它类型未定式(24'30")
0.8型、8-8型、0^0型,1^8型,8^0型 解决方法：化为0/0或8/8型
第39课
第三节、函数的增减性与极值
1、函数单调增、减的必要条件
2、函数单调增、减的充分条件
第40课
例2、3
二、函数的极值、及求法(21')
1、极值的必要条件
第41课
2、极值存在的充分条件
第一充分条件
第二充分条件(37')
第42课
例3
第四节、函数的最大、小值(11')
例（未完）
例（续）
利用函数的最值可以证明不等式
例3
第五节、函数的凹凸性、拐点
函数的凹凸性的定义
函数的凹凸性的判别
第44课
判定拐点的方法
第六节、函数图形的描绘 （42' ）
第45课
一、曲线的渐近线
二、函数图形的描绘(34')
第46课
例子：作图(续)
第七节、曲率(14'30")
一、弧的微分
光滑曲线
有向光滑曲线弧长的度量
一、弧微分
第47课
二、曲率及其计算公式(3')
直线的曲率为0
圆的曲率为1/R
第48课
例1
例2
第五章、不定积分(21')
第一节、不定积分概念 25
一、原函数与不定积分
第49课
二、不定积分的几何意义(9')
三、不定积分性质
四、不定积分的基本公式－基本积分表
第50课
几个例子
第二节、换元积分法(20')
一、第一换元法
第51课
第一换元积分法的几个例子
第52课
二、第二换元法(0')
第53课
第二换元法的例子（5' ）
第三节、分部积分法(42')
第54课
分部积分法的证明
分部积分法的几个例子
第55课
第四节、几类函数的积分法
一、有理函数的积分
第56课
部分分式(和) 的积分
第57课
二、三角函数有理式的积分
举例
三、两种无理函数的积分
第一类
第58课
第二类
第六章、定积分(16')
第一节、定积分概念
一、实例
1、曲边梯形的面积
分割
作积
求和
取极限
第59课
估计是
二、定积分的定义
上册59讲asf 音频：http://ishare.iask.sina.com.cn/f/5886928.html
第60课
三、定积分的几何意义
例1、利用定积分的几何意义来求定积分值 例2、应用定积分的定义来求定积分值
第二节、定积分性质、定积分中值定理
一、定积分性质(24')
1、
2、
3、
第61课
定积分性质
4
5
6
二、定积分中值定理（38' ）
1、定积分第一中值定理
第62课
1、定积分第一中值定理
2、定积分第二中值定理
第三节、定积分与原函数的关系(35')
一、变上限的定积分
第63课
(继)
二、牛顿－莱布尼兹公式(Newton-Leibniz)
第64课
举例
第四节、定积分计算法(32')
一、定积分的换元积分法
第65课
证明(定积分的换元积分法)
举例
第66课
例
二、定积分的分部积分法(13')
第67课
第六节、广义积分、T-函数（咖玛函数）(0')
一、无穷限的广义积分(4'40")
二、无界函数的广义积分(41')
第68课
三、T －函数(咖玛函数)(21'20")
第69课
第七节、定积分在几何上的应用(6')
一、定积分元素法
二、平面图形面积(29')
1、直角坐标情形
第70课
例子
2、极坐标的情况(15')
三、求立体的体积(34')
1、平行截面面积为已知的立体的体积
第71课
例子
2、旋转体的体积(12')
第72课
四、平面曲线的弧长
1、直角坐标的情形
2、极坐标的情形(25')
第73课
五、旋转体的侧面积
第八节、定积分在物理上的应用(30')
一、变力做功
第74课
例子
电荷做功
抽水做功
弹簧弹性力做功(19')
二、引力(35')
例
第75课
续例
三、液体的侧力(29'20)
推出公式
第76课
例子
四、函数值的平均值(22')
算术平均值
例子(37'33")
=====定积分全部结束=====•
第77课
第七章、空间解析几何 矢量代数
§1. 空间直角坐标系
一、空间点的直角坐标
第78课
二、空间中两点间的距离
例1
例2
§2. 矢量代数(24')
一、矢量概念
二、矢量运算
1. 矢量加法
第79课
2. 矢量减法(10')
3. 矢量与数的乘法
第80课
三、矢量的坐标表达法
1. 矢量在轴上的投影(6')
投影定理（32' ）
第81课
2. 矢量的坐标表达式
第82课
3. 矢量的模和方向余弦(9')
四、二阶及三阶行列式基本知识(30')
1. 二阶行列式
2. 三阶行列式
第83课
五、数量积，矢量积(19')
1. 两矢量的数量积
第84课
2. 两个矢量的矢量积(15')
第85课
例1
例2(35')
例3
第86课
§3. 平面及其方程
一、曲面方程的概念
例1
例2
例3
二、平面的点法式方程(26')
例1
例2
第87课
例3
三、平面的一般式方程
四、平面的截距式方程(44'20")
第88课
五、两平面夹角(2'30")
例1
六、平面外一点到平面的距离
§4. 空间直线及其方程
一、空间曲线及其方程
第89课
二、直线的对称式和参量式方程
例1
三、直线的一般式方程
例2
四、直线的相互关系
五、直线与平面的夹角
第90课
例3
例4
习题：7-4 1,3,4,5,6,7,8,11,13
§5. 曲面与方程
一、柱面(36')
例1
第91课
二、旋转曲面
例1
例2
习题：7-5 1,3,4,6,8
第92课
§6. 二次曲面
一、椭球面
二、抛曲面
第93课
三、双曲面(12')
1. 单叶双曲面
2. 双叶双曲面
例1
习题：7-6 1,2,3
第94课
§7. 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
例1
例2
二、空间曲线的参量方程
例3
第95课
三、空间曲线在坐标面上的投影曲线
例1
例2
例3
=====高数上册完=====＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
第96课
第8章、多元函数微积分
§1. 多元函数概念
一、平面点集的基本知识
1. 邻域
2. 区域
3. 聚点
第97课
4.n 维空间(5')
二、多元函数的概念
例1
例2
第98课
二元函数的几何意义
例1
例2
习题：8-1 1,2,4,7,8(1)(4)(6)
三、二元函数的极限
第99课
例1
二元函数极限的四则运算(15')
例2
例3
四、二元函数的连续性
第100课
在有界闭区域上连续的多元函数性质
1. 最大、最小值存在性定理
2. 介值定理
§2. 偏导数
一、偏导数概念(25')
第101课
例1
例2
例3
例4
二元函数偏导数的几何意义
二、高阶偏导数(42')
第102课
例5
例6
习题：8-2 1(1)(4)(5)(8)(9),2(4)(5)(7),9,11,12,13,15
§3. 全微分
一、全微分概念(28')
第103课
例
全微分定义
定理1 可微的必要条件（38' ） 可微->偏导存在 习题：8-3 1(1)(5)(7)(9)(10)
第104课
二、可微的充要条件
例1
定理2 可微的充分条件(26')
证明
第105课
（续证）
例1
总结
§4. 多元复合函数微分法
一、多元复合函数微分法(21')
定理
证明
第106课
复合函数结构示意图
例1
例2
例3
例4
例5
第107课
一、多元复合函数微分法（续）
二、全微分形式不变性(4'15")
三、多元复合函数的高阶偏导数（本节核心、重点内容） 例1
例2(40')
习题：8-4 17,18,19,20,22,23
第108课
例3
§5. 隐函数的微分法(21')
隐函数：（定义）
一、一个方程所确定的隐函数
隐函数存在定理1
例1
第109课
一、一个方程所确定的隐函数（续）
例2
隐函数存在定理2 (15'40")
例1(30')
例2(40')
第110课
二、方程组所确定的隐函数
隐函数存在定理3
例1(22')
例2(34'30")
习题：8-4 17,18,19,20,22,23
8-5 1,2,3,6,7,8,9,10,14,15,18,20,21
第111课
§6. 方向导数，梯度
一、方向导数
定理
证
例1
第112课
二、梯度
＜梯度定义＞
例1
例2(32')
§7. 偏导数在几何上的应用
一、空间曲线的切线和法平面(43')
第113课
（续前节）
例1
例2(22'30")
习题：8-6 2,3,4,5,7,9
8-7 2,3,4,6,8
二、曲面的切平面和法线(35')
证明
第114课
结论
＜定义＞切平面
曲面的法线
法线的方程
例1
例2
第115课
例3(1')证明：
§8. 多元函数的极值和求法(15')
一、二元函数的极值和求法
＜二元函数极值定义＞
1、＜极值存在的必要条件＞
2、＜极值存在的充分条件＞(39')
第116课
求二元函数极值的步骤
例1(8')
二、求二元函数的最大值、最小值(19')
例2(26')
习题：8-7 11,13,14,18,20,22,23
第117课
§8. 多元函数的极值和求法(续)
例
三、条件极值(22'30")----Lagrange系数法 解决条件极值的方法，有两种：
第118课
解决条件极值的方法（续）
例1(20')
习题：8-8 1(2)(4),2,4,5,9,10,15,16,18
第9章、重积分(37')
§1、二重积分的概念、性质
一、实例
1、曲顶柱体体积
第119课
§1. 二重积分的概念、性质（续）
2、平面薄板质量
二、二重积分定义(29')
第120课
三、二重积分性质(3'40")
1、
2、
3、
5、估值定理（介值定理）(14')
6、中值定理
§2. 二重积分的计算(22') -- 化为两次单积分的计算
一、在直角坐标系下
第121课
（续）
计算二重积分步骤
例1
例2
第122课
（续）
例3
例4
例5(36')
习题：9-1 2(1)(4),3(2)(3)
9-2 1(3)(4)(5),2(2)(3),3(1)(3)(4)(6)(8)(9),4(3)(4)
第123课
二、在极坐标下
1、二重积分由直角坐标变换为极坐标的变换公式
2、极坐标下的累次积分(34')
第124课
例1(4')
例2
例3(25'18")
例4(40')
习题：9-2 5(1)(2)(4),6(2)(3),7(1)(2)(3)(5)(7)
第125课
例5(2'20")
§3. 三重积分(20'30")
一、三重积分定义
二、三重积分性质(38'30")
1、
2、
3、
第126课
4、(4'30")
5、
例1
§4. 三重积分的计算(21')
一、直角坐标系下(23')
第127课
例1
例2
例3 (36')
习题9-4 1（1）(2)(4) 2(1)(2)(3)(4)
第128课
二、在柱面坐标系下
例1 (27'11")
例2
第129课
续例2
三、球面坐标系下
例1 42'
习题：9-4 3(1)(2)(3)(5)
第130课
在球面坐标系下，三重积分化为三次积分 例1 4'
例2 20'
习题： 9-4 4(1)(2)(3)(5) 5(3)(5)
第131课
第五节 重积分的应用
一、重积分在几何上的应用
1、封闭曲面所围立体的体积
例1
例2
2、曲面的面积(34'31")
第132课
例1 04'14''
例2 13'08''
二、重积分在物理上的应用(29')
1、物体的质量
2、物体的重心(35')
习题9-5 1(1)(2)(3) 2(1)(2)(5)
第133课 （2010.8.7）
1平面薄板的重心
2空间立体的重心
例1 28'26''
第134课
续例1
例2 3'20''
3物体的转动惯量 25'
第135课
例1
例2 17'
习题9-5 6,7,8,10,12,14
第十章 曲线积分与曲面积分(27') 例1
第一节 第一类曲线积分
第136课
一、第一类曲线积分的概念和性质
二、第一类曲线积分的计算(13')
1、设空间曲线L 由参量方程给出 证明
第137课
例1
例2 8'30''
例3 18'50''
习题10-1 2,3,5,7,10,11,15
第二节 第二类曲线积分 24'50''
一、矢量场的概念
矢量场、曲线方向的规定
二、第二类曲线积分概念、性质（43'30" ） 例
第138课
概念 19'56''
性质1，2，3
第139课
三、第二类曲线积分的计算 9'30''
第140课
例1
例3 28'24''
第141课
四、两类曲线积分的关系
两类曲线积分可以互相转化
第三节 格林（Green ）公式(19')
一、格林公式
证明(36')
第142课
证明 续
例1(37')
第143课
例2
例3(21')
二、平面曲线积分与路径无关的条件(44')
第144课
证明
第145课
证明 续
注意 (20')
例1 (28')
第146课
例2
例3(30')
第四节 第一类曲面积分(41')
一、第一类曲面积分的概念、性质
第147课
性质1、2、3
二、第一类曲面积分计算（本节重点问题）(20') 例1 (38')
第148课
例2
第五节 第二类曲面积分(21')
（和曲面的方向有关）
一、有向曲面的概念
二、第二类曲面积分的定义
两类曲面积分的关系(38')
第150课
三、第二类曲面积分计算法
例1 (28')
第151课
例2
第六节 高斯公式 曲面积分与曲面积分无关的条件(33')
一、高斯公式
第152课
证明
例1 (20')
例2 (29')
第153课
二、曲面积分与路径无关的条件 （不考）
定理：
证明（略）
第七节 斯托克斯公式、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式(9')
证明（略）
例1 (21')
二、空间曲线积分与路径无关的条件(40')（不考）
第154课
第11章 级数
第一节 常数项级数
一、级数基本概念
级数、级数的部分和、级数收敛
例1、讨论几何级数的敛散性 (21')
例2、(32')
例3、(35'39")
二、级数的基本性质(40')
性质1、推论
第155课
性质2、
性质3、
性质4、
性质5(一个必要条件，可用来证发散)
第156课
三、正项级数敛散性判别法
正项级数：定义、收敛的充要条件
1、比较判别法 (11')
例1 讨论P 级数的敛散性
例2 根号里有平方
第157课
例3
例4
定理：比较判别法的极限形式
例1
例2
例3
第158课
2、比值判别法
例1、
例2、
例3 很不错，是比值与比较两个判别法的综合
第159课
3、根值判别法
例1 (14')
例2 (17')
4、积分判别法(20')
例1
例2
小结 (38')
四、任意项级数敛散性的判别法 (42')
1、交错级数
第160课
萊布尼茲定理
例1 (21')
2、绝对收敛，条件收敛
第161课
例1
3、绝对收敛级数的两个性质 (23')
第二节 幂级数 (31')
函数项级数基本概念
函数项级数
收敛域，发散域
第162课
一、幂级数及其收敛域
阿贝尔定理 收敛域
第163课
收敛半径的求法
定理
例1 (22')
例2 (30')
例3 (32')
例4 (35') 缺项则用比值判别法
第164课
例题5
二、幂级数的性质 (10')
四则运算性质
分析运算性质
例1 (34')
例2 (42')
第165课
第三节 函数的幂级数展开
一、泰勒级数 泰勒展开式（幂级数展开式） 定理1 n阶导数存在是展开为幂级数的必要条件
定理2 余项极限为0是幂级数展开的充要条件 (31')
第166课
二、函数展开为幂级数
1、直接展开法
例1 (10')
例2 (23')
2、间接展开法 (35')
（1）逐项求导法
例1
（2）逐项积分法 (40')
例2
第167课
（3）变量代换法 (6')
例3
例4
（4）四则运算法
例5 (17')
（5）求和函数法
例6 (29')
第168课
例6 续
三、求幂级数的和函数 (10'34")
记住几个重要的基本和函数
例1 (17')
例2
例3
求数项级数的和
例4
第169课
四、欧拉公式
五、幂级数在近似计算上的应用
第170课
第五节 付里叶级数 (35')
一、三角函数系的正交性 (41')
第171课
二、傅立叶级数 (16')
Dirichlet 定理 (39') --- 收敛条件
例1 (43')
第172课
例1 续
例2 (28')
第173课
三、正弦级数、余弦级数
1、奇、偶函数的傅立叶级数
证明
例1 (22')
例2 (28')
2、把函数展开成正弦级数或余弦级数 (41')
第174课
例1 (6'30")
四、以2l 为周期的周期函数的傅立叶级数 (13')
第175课
第12章 微分方程
第一节 微分方程基本概念
例1 (6')
例2 (10')
第176课
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
二、齐次方程 (38’)
第177课
可化为齐次的方程 (20')
三、一阶线性方程 (33')
第178课
例1
例2
四、伯努利方程 (14')
五、全微分方程 (27')
第179课
1、用曲线积分法
2、用不定积分法
例1 (19')
六、一阶微分方程应用举例 (29')
例1 （冷却问题）
例2 （44' ）
第180课
例2 续
（1）瞬态法
（2）微量法
第181课
第三节 可降阶的高阶方程
一、y'n'=f(x)型的方程
二、y"=f(x,y')型的方程
三、y"=f(y,y')型的方程
第182课
第四节 线性微分方程解的结构
一、线性齐次方程解的结构
二、线性非齐次方程解的结构定理 (37')
第183课
定理3
第五节 常系数线性微分方程 (12')
一、常系数线性齐次方程 (16')
第184课
例题1、2、3 （三种情况一样一个）、4（多重）
二、常系数线性非齐次方程 (35')
第185课
求解两种情况
例1 (34')
第186课
例2、3、4
第二种情况 (含有sin cos的情形) (30') 例1 (36')
第187课
例2、3
小结 (34')
第188课
三、常系数线性微分方程应用举例 (21')
第189课
四、欧拉方程 (14'30")