第37卷 第3期西 南 交 通 大 学 学 报Vol . 37 No . 3 2002年6月Jun . 2002JOUR NAL OF SOUTHWE ST JI AOTONG UNI VERSITY
文章编号:0258-2724(2002) 03-0241-05
变形体的虚功原理及其在
求解接触问题中的应用
毛坚强1, 丁桂彪2
(1. 西南交通大学土木工程学院, 四川成都610031; 2. 新长铁路有限责任公司, 江苏南京210029)
摘 要:研究了变形体虚功原理的理论和建立方法, 并将其用于建立接触问题有限元法计算公式。其基本原理
是将构成变形体的微单元体视为质点, 变形体成为质点系。应用分析力学中质点系的虚位移原理, 即可得到变
形体的虚功原理。应用该法建立了固体力学小变形、大变形问题的虚功原理, 并推广用于变形体的接触问题, 建
立了相应的虚功原理。在对接触问题的分析中, 还研究了变形体-刚体的接触问题及带有外接触边界的固体力
学问题, 建立了相应的虚功原理, 由此可为某些特殊问题的计算带来较大的方便。
关键词:虚功原理; 接触问题; 有限元
中图分类号:O343. 3 文献标识码:A
The Principle of Virtual Work for Deformable Bodies and Its
Application to Contact Pro blems
MA O Jian -qiang 1, DING G ui -biao 2,
(1. School of Civil Eng . , Southwest Jiaotong University , Chen gdu 610031, China ; 2. Xinchang Railway Co . Ltd , Nanjing
210029, China )
A bstract :The theory of virtual work principles of defor mable bodies and the technique to derive their
expressions are studied and applied to contact problems to build FE M formulas . An infinitesimal element
that constitutes a defor mable body is taken as a particle , which is constrained elastically by the other
particles around it but loses no degree of freedom . Accordingly , the whole deformable body becomes a
particle syste m . The principles of virtual work for deformable bodies can be obtained with facility by taking
advantage of the well -kno wn principle of virtual displacement in analytical mechanics . The principles of
virtual work is applied to solve contact problems . Especially , the study focuses on the contact between a
body with small stiffness and another with very large stiffness , which leads to two special instances :(1) that
between a deformable and a rigid bodies ; and (2) that containing so -called external contact boundar y
between a deformable and a fixed rigid bodies . It would be c onvenient to solve some special contact
pr oblems in engineering with the method presented in this paper .
Key words :principle of virtual work ; contact problems ; finite elements
有限元法是目前科学和工程领域中应用最为广泛的一种数值计算方法。初期有限元法计算公式的建立方法比较直观, 之后变分原理的应用和发展为有限元法奠定了理论基础, 并成为有限元法建立计算公式的主要途径。变分原理法的关键在于泛函表达式的建立, 但对某些问题, 泛函表达式的寻求非常困难甚至是不可能的。另一类方法则无需寻求泛函, 如传统的伽辽金法、虚位移法以及20世纪80年代兴起的加权残值法等。其实, 对一般的有限元法, 即使利用变分原理建立其计算公式, 最终所需的也不是其泛函, 而是经过变分运算所得到的表达式。
收稿日期:2001-10-21作者简介:(1964) , , 副教授, .
242西 南 交 通 大 学 学 报第37卷 相比之下, 在不依赖泛函的方法中, 以虚位移法的应用最为广泛。虽然如此, 从目前实际的应用情况状况看, 虚位移法并未发挥其应有的重要作用, 这主要是由于虚位移法起源和成熟于以质点系为主要研究对象的分析力学, 而用于固体力学中的变形体时, 其中的一些理论问题并未完全解决, 妨碍了它的应用。为此, 在本文中, 将首先解决有关变形体虚功原理的一些理论问题, 之后建立固体力学经典问题及接触问题的虚功原理。
1 变形体的虚功原理
1. 1 基本原理
虚位移原理是一个应用非常广泛的普遍定理, 其应用对象为由质点组成的质点系。将虚功原理推广用于变形体, 至今最常见的方法是沿用变形体能量原理中的概念, 相应引入虚内力功、虚外力功、虚应变能等概念, 在文献[1]中对这一问题有比较全面的分析和论述。但作者认为:
(1) 从根本上讲, 虚功原理是物体处于平衡状态的条件, 因此, 单从运动学的角度看, 研究一个由自由质点组成的质点系、一个刚体以及一个变形体, 其方法并无本质的不同。
(2) 力是产生运动的原因, 为建立其平衡(或运动) 方程, 从物体中取出一块微单元体, 分析其受力情况(如同固体力学中建立单元体平衡方程的做法一样) , 从运动学的角度看, 这一微单元体可视作分析力学中的质点, 而整个变形体则成为由无数个质点组成的质点系。这样, 就可将适用于分析力学中质点系的虚位移原理直接推广用于变形体。
(3) 变形体中的质点不同于自由质点, 因为质点间存在着约束; 但它又不同于刚体中的质点, 这是因为“刚性约束”不但在质点间产生了相互作用力, 而且完全限制了质点间的相对运动。而对变形体而言, “约束”的作用仅表现在质点间产生了相互作用力, 犹如用弹簧将质点联系起来, 而并未限制住质点发生运动, 相当于一种“弹性约束”。因此单从运动学的角度看, 质点仍是“自由的”, 整个系统的自由度并未因这种约束而减少。
上述3点即为下面建立变形体各类虚功原理的基本依据
。
1. 2 小变形时的虚功原理
对如图1所示的经典问题, 为建立其虚功原理的
计算公式, 分别从域Ψ及应力边界Γσ取出微单元体进
行受力分析, 则由连续介质力学理论知, 作用在内部单
元体上的合力为(σF d Ψ(F , 作用i j , j +i ) i 为体力密度)
在边界单元体上的合力为(p i -p i ) d Γ, 其中p i =σij n j 。
如前所述, 当研究平衡(运动) 问题时, 可将微单元
体视作质点, 因此直接应用质点系的虚功原理, 有
(σ∫Ψij , j +F δu i d Ψ+i ) (p -p ) δu d Γ=0(1) ∫Γσi i i 图1 物体内部及应力边界微单元体示意图
式(1) 就是变形体虚功原理的表达式, 即变形体处于平衡状态时应力应满足的条件。这里, Ψ内及Γσ上各点的虚位移δu i 相互独立, 而且与变形体实际发生的u i , σij 和p i 无关。此外, u i 在位移边界Γu 上应满足u i = u u , 由于研究的是变形体处于平衡时的状态, 而此时Γu i 已经完成, 因此Γu i 在位移边界u 上的 u 上的δ
Γu i =0, 将u 上应满足δ
Ψij , j i u +u j , i ) 代入式(1) , 并利用Green 定理σD i jkl εεij =k l i j 2i , j σδu d Ψ=∫∫Γ+Γσu σu i d Γ-ij n j δσδu ∫Ψij i , j d Ψ=0
及D ij k l 的对称性, 很容易得到D εij kl εk l δij d Ψ=F δu d Ψ+p δ u d Γ=F δu d Ψ+(p δ u Ψi i Γi i
i i n n + p s δu s + p t δu t ) d Γ(2)
第3期毛坚强等:变形体的虚功原理及其在求解接触问题中的应用243这与最小位能原理的结果完全一样。式中:nst 为应力边界Γσ上的局部坐标系, n 为法向, s 和t 为切向。此外, 对弹性分析, 式中的D i jkl 代表弹性矩阵分量; 对弹塑性分析, 则D i jkl 代表弹塑性矩阵分量, 只要将应力、位移等写为增量形式, 则上式显然也同样成立, 说明这一原理可同样用于弹性分析及弹塑性分析。
当存在位移、应力混合边界时, 例如在边界Γu σ上
u n = u n p s = p s p t = p t
其相应的虚功原理为
D ∫Ψεij k l εkl δi j d Ψ=F δu d Ψ+(p δ u ∫∫Ψi i Γn
σn + p s δu s + p t δu t ) d Γ+p δ u ∫(Γs
u σs + p t δu t ) d Γ(3)
1. 3 大变形时的虚功原理
如前所述, 虚功原理所研究的是变形体变形已完成而处于平衡时的状态, 因此虚位移应是基于这一状态所发生的微小位移, 与变形体实际发生的位移无关, 故大变形时虚功原理表达式的建立方法与小变形时相同。所不同的是, 当物体的变形很大时, 在计算作用在内部及边界微单元体上的合力时, 单元体自身变形的影响已不能忽略。因此, 若采用Lagrange 描述, 则有[2]作用在内部单元体上的合力为
{[(δσi k +u i , k ) kj ]
作用在边界单元体上的合力为
[ p i -(δik +u i , k ) σkj ]d Γ
式中的δker 符号, σ-Kirchhoff 应力张量分量。由此可i k 为Kronec ij 为Lagrange 应力张量分量或称第一类Piola
得
{[(δ+u ∫Ψik , j +F d Ψi }σi , k ) kj ], j +F δu i d Ψ+i }{p -( δ+u ∫Γi ik
σσδu i d Γ=0i , k ) kj }
上式经整理后, 所得到的表达式与式(2) 相同, 不过, 其中
ε(u +u j , i +u k , i u k , j ) ij =2i , j
为Green 应变张量分量。
2 接触问题的虚功原理
接触问题普遍存在于土木、机械等工程领域, 采用有限元法或其它数值计算方法求解的关键或主要困难是计算中对接触边界的处理。目前, 接触问题的有限元解法有直接迭代法、数学规划法、Lagrange 乘子法、罚函数法等[3～9], 之所以要额外地引入这些计算技巧, 就是为了处理接触边界。以下可看到, 由虚功原理建立接触问题的计算公式更为直接和方便
。
图2 接触边界上的初始间距及作用力
2. 1 接触边界上的变形与受力条件, Ψ, Γ′u , Γu
244西 南 交 通 大 学 学 报第37卷接触边界Γn ′) 代表法向, 为便于判断接触状态, 将最大切向力的方向定c 。在接触边界Γc 上, 以下标n (
为s (s ′) , 它们和另一个与其垂直的切向方向t (t ′) 构成局部坐标系nst (n ′s ′t ′) 。相应地, 在各自的局部坐标系中, 其作用力的分量为p n (p ′, p s (p ′和p t (p ′, 位移的分量为u n (u ′, u s (u ′和u t (u ′。n ) s ) t ) n ) s ) t )
物体发生接触时, 接触边界上的位移在边界Γc 上应满足
0u n +u ′n -δn =0
00(4) 式中δ0。它们之间的相互作用力在边界n 为接触点对之间的初始间距, 若一开始就密贴在一起, 则δn =
Γc 应满足
p n =p ′p ′p t =p ′n s =p s t =0
接触边界Γc 上的某一点可能处于粘结、滑动两种状态(若相离, 则为非接触状态) 。即
当
p s
时(式中p n 和p ′) , 不发生相对滑动, 在边界Γn 均为压力c 上应有
d u n =-d u ′d u s =-d u ′n s
当
p s =p n 或p ′s =p ′n (8)
(9) 时, 则发生相对滑动, 此时在边界Γc 上应有
d u n =-d u ′d u s ≠-d u ′n s
立与这两种状态相对应的虚功原理。
2. 2 接触问题的虚功原理
将接触边界Γc 分为Γc 1及Γc 2, 即Γc =Γc 1∪Γc 2, 其中Γc 1对应于未产生相对滑动的部分, Γc 2对应于产生相对滑动的部分。由图2知:
在接触边界Γp ′p i ) d Γ, 作用在Ψ′的单元体上的合力为(p i -c 1上, 作用在Ψ的单元体上的合力为(i -
p ′d Γ, 由于无相对滑动, 应有i )
δu n =-δu ′δu s =-δu ′n s
在Ψ′的单元体上的合力为(-p n -p ′d Γ和[sign (p s ) p n -p ′。由于产生相对滑动, 应有n ) s ]d Γ
δu n =-δu ′δu s ≠-δu ′n s
将物体Ψ及Ψ′看作一个质点系, 应用虚功原理, 可得
(σ+F ) δu d Ψ+(σ′+F ′) δu ′d Ψ+(p -p ) δu d Γ+p ′-p ′) δu ′d Γ+∫∫∫∫(
p ′-p ) δu +(p -p ′) δu ′]d Γ+(-p ′-p ) δu +(-p -p ′) δu ′+∫[(∫{Ψi j , j i i Ψij , j i i Γσi i i Γ′σi i i Γc i i i i i i 1(5) (6) (7) 接触问题为非线性问题且与加载过程有关, 故式(7) 和式(9) 中的位移以增量形式表示。以下分别建(10) 在接触边界Γ的单元体上的合力为(-p ′p n ) d Γ和[sign (p ′p ′n -p s ]d Γ, 作用c 2上, 作用在Ψn -s ) (11) Γc n n n n n n 2
u s +[sign (p s ) p n -p ′u ′d Γ=0[sign (p ′p ′n -p s ]δs ]δs }s )
利用Green 公式及式(10) 和式(11) , 经整理后可得到
σδεd Ψ+σ′δε′d Ψ=F δu d Ψ+F ′δu ′d Ψ+p δu d Γ+∫∫∫∫∫
p ′δu ′d Γ+δu +(p -p ′) δu ]d Γ+∫ ∫[(p -p ′) Ψi j ij Ψ′i j i j Ψi i Ψ′i i Γ′σi i Γ′σi i Γc n n n s s s 1(12)
p ∫[(Γc 2n -p ′n ) δu n +sign (p ′s ) p ′n δu s +sign (p s ) p n δu ′s ]d Γ=0(13)
2. 3 一种特殊情况———变形体与刚体的接触问题,
第3期毛坚强等:变形体的虚功原理及其在求解接触问题中的应用245度较小物体的受力和变形, 如土木工程中的刚性基础-地基、刚性挡墙-背后土体之间的相互作用即属此类问题。显然, 通过这一简化, 不但使有限元计算时的自由度总数减少, 更重要的是可使计算结果简单明了。例如, 以位移、转角来描述刚性挡墙的位移情况比用挡墙的结点位移显然要简明得多。
图2中, 设Ψ为变形体, Ψ′为刚体, 以v ′′i =1, 2, 3) 表示刚体的位移和转角, 则有i 和θi (
δu ′i =δv ′i +e ijk x ′j δθ′k =δv ′i +R ′i j δθ′j
式中R ′e ikj x ′′为刚体时, 它在接触边界上产生的作用力ij =k , e i kj 为置换符号。当Ψ
p ′n =p n p ′s =p s
因此, 将上式及式(14) 分别代入式(13) , 得到相应的虚功原理
σδεd Ψ=F δu d Ψ+p δ u d Γ+p ) p ∫∫∫∫sign (Ψi j ij Ψi i Γσi i Γc s 2(14) n δu s d Γ+[F ′d Ψ+p ′d Γ+∫∫ Ψ′i Γ′σi
s n ∫sign (p ) p Γc s 2n T s ′i d Γ]δV ′i +[R ′F ′d Ψ+p ′d Γ+p ) p ∫∫R ′ ∫sign (Ψ′ij i Γ′σi j i Γc 2R ′i j T s ′i d Γ]δθ′j (15)
其中T s ′i 反映接触边界Γc 上沿s ′方向的δu ′s 与δu ′i (i =1, 2, 3) 间的关系, 即
δu ′u ′s =T s ′i δi
利用式(15) 建立有限元计算公式, Ψ′的自由度由结点位移变为刚体的位移和转角。对于三维问题, 有6个自由度。
若刚体固定不动, 则
δv ′i =0 δθ′i =0 i =1, 2, 3
式(15) 变为
σδεd Ψ=F δu d Ψ+p δ u d Γ+∫∫∫∫sign (p ) p Ψij i j Ψi i Γσi i Γc s 2n δu s d Γ(16)
此时的接触边界Γc 实际已退化为变形体Ψ的外边界。
3 结 语
用虚功原理建立有限元法的计算公式直观而简捷, 且具有严格的理论基础。按目前常用的做法, 在接触边界上采用了Coulomb 准则, 但不难看出, 若采用其它摩擦准则, 利用本文中的方法, 相应的计算公式也很容易建立。
作者已成功地研制了相应的计算程序, 并获得了满意的结果, 将另文介绍。
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[9] 钟万勰, 张洪武, 吴承伟. 参变量变分原理及其在工程中的应用[M ]. 北京:科学出版社, 1997:194-198.
第37卷 第3期西 南 交 通 大 学 学 报Vol . 37 No . 3 2002年6月Jun . 2002JOUR NAL OF SOUTHWE ST JI AOTONG UNI VERSITY
文章编号:0258-2724(2002) 03-0241-05
变形体的虚功原理及其在
求解接触问题中的应用
毛坚强1, 丁桂彪2
(1. 西南交通大学土木工程学院, 四川成都610031; 2. 新长铁路有限责任公司, 江苏南京210029)
摘 要:研究了变形体虚功原理的理论和建立方法, 并将其用于建立接触问题有限元法计算公式。其基本原理
是将构成变形体的微单元体视为质点, 变形体成为质点系。应用分析力学中质点系的虚位移原理, 即可得到变
形体的虚功原理。应用该法建立了固体力学小变形、大变形问题的虚功原理, 并推广用于变形体的接触问题, 建
立了相应的虚功原理。在对接触问题的分析中, 还研究了变形体-刚体的接触问题及带有外接触边界的固体力
学问题, 建立了相应的虚功原理, 由此可为某些特殊问题的计算带来较大的方便。
关键词:虚功原理; 接触问题; 有限元
中图分类号:O343. 3 文献标识码:A
The Principle of Virtual Work for Deformable Bodies and Its
Application to Contact Pro blems
MA O Jian -qiang 1, DING G ui -biao 2,
(1. School of Civil Eng . , Southwest Jiaotong University , Chen gdu 610031, China ; 2. Xinchang Railway Co . Ltd , Nanjing
210029, China )
A bstract :The theory of virtual work principles of defor mable bodies and the technique to derive their
expressions are studied and applied to contact problems to build FE M formulas . An infinitesimal element
that constitutes a defor mable body is taken as a particle , which is constrained elastically by the other
particles around it but loses no degree of freedom . Accordingly , the whole deformable body becomes a
particle syste m . The principles of virtual work for deformable bodies can be obtained with facility by taking
advantage of the well -kno wn principle of virtual displacement in analytical mechanics . The principles of
virtual work is applied to solve contact problems . Especially , the study focuses on the contact between a
body with small stiffness and another with very large stiffness , which leads to two special instances :(1) that
between a deformable and a rigid bodies ; and (2) that containing so -called external contact boundar y
between a deformable and a fixed rigid bodies . It would be c onvenient to solve some special contact
pr oblems in engineering with the method presented in this paper .
Key words :principle of virtual work ; contact problems ; finite elements
有限元法是目前科学和工程领域中应用最为广泛的一种数值计算方法。初期有限元法计算公式的建立方法比较直观, 之后变分原理的应用和发展为有限元法奠定了理论基础, 并成为有限元法建立计算公式的主要途径。变分原理法的关键在于泛函表达式的建立, 但对某些问题, 泛函表达式的寻求非常困难甚至是不可能的。另一类方法则无需寻求泛函, 如传统的伽辽金法、虚位移法以及20世纪80年代兴起的加权残值法等。其实, 对一般的有限元法, 即使利用变分原理建立其计算公式, 最终所需的也不是其泛函, 而是经过变分运算所得到的表达式。
收稿日期:2001-10-21作者简介:(1964) , , 副教授, .
242西 南 交 通 大 学 学 报第37卷 相比之下, 在不依赖泛函的方法中, 以虚位移法的应用最为广泛。虽然如此, 从目前实际的应用情况状况看, 虚位移法并未发挥其应有的重要作用, 这主要是由于虚位移法起源和成熟于以质点系为主要研究对象的分析力学, 而用于固体力学中的变形体时, 其中的一些理论问题并未完全解决, 妨碍了它的应用。为此, 在本文中, 将首先解决有关变形体虚功原理的一些理论问题, 之后建立固体力学经典问题及接触问题的虚功原理。
1 变形体的虚功原理
1. 1 基本原理
虚位移原理是一个应用非常广泛的普遍定理, 其应用对象为由质点组成的质点系。将虚功原理推广用于变形体, 至今最常见的方法是沿用变形体能量原理中的概念, 相应引入虚内力功、虚外力功、虚应变能等概念, 在文献[1]中对这一问题有比较全面的分析和论述。但作者认为:
(1) 从根本上讲, 虚功原理是物体处于平衡状态的条件, 因此, 单从运动学的角度看, 研究一个由自由质点组成的质点系、一个刚体以及一个变形体, 其方法并无本质的不同。
(2) 力是产生运动的原因, 为建立其平衡(或运动) 方程, 从物体中取出一块微单元体, 分析其受力情况(如同固体力学中建立单元体平衡方程的做法一样) , 从运动学的角度看, 这一微单元体可视作分析力学中的质点, 而整个变形体则成为由无数个质点组成的质点系。这样, 就可将适用于分析力学中质点系的虚位移原理直接推广用于变形体。
(3) 变形体中的质点不同于自由质点, 因为质点间存在着约束; 但它又不同于刚体中的质点, 这是因为“刚性约束”不但在质点间产生了相互作用力, 而且完全限制了质点间的相对运动。而对变形体而言, “约束”的作用仅表现在质点间产生了相互作用力, 犹如用弹簧将质点联系起来, 而并未限制住质点发生运动, 相当于一种“弹性约束”。因此单从运动学的角度看, 质点仍是“自由的”, 整个系统的自由度并未因这种约束而减少。
上述3点即为下面建立变形体各类虚功原理的基本依据
。
1. 2 小变形时的虚功原理
对如图1所示的经典问题, 为建立其虚功原理的
计算公式, 分别从域Ψ及应力边界Γσ取出微单元体进
行受力分析, 则由连续介质力学理论知, 作用在内部单
元体上的合力为(σF d Ψ(F , 作用i j , j +i ) i 为体力密度)
在边界单元体上的合力为(p i -p i ) d Γ, 其中p i =σij n j 。
如前所述, 当研究平衡(运动) 问题时, 可将微单元
体视作质点, 因此直接应用质点系的虚功原理, 有
(σ∫Ψij , j +F δu i d Ψ+i ) (p -p ) δu d Γ=0(1) ∫Γσi i i 图1 物体内部及应力边界微单元体示意图
式(1) 就是变形体虚功原理的表达式, 即变形体处于平衡状态时应力应满足的条件。这里, Ψ内及Γσ上各点的虚位移δu i 相互独立, 而且与变形体实际发生的u i , σij 和p i 无关。此外, u i 在位移边界Γu 上应满足u i = u u , 由于研究的是变形体处于平衡时的状态, 而此时Γu i 已经完成, 因此Γu i 在位移边界u 上的 u 上的δ
Γu i =0, 将u 上应满足δ
Ψij , j i u +u j , i ) 代入式(1) , 并利用Green 定理σD i jkl εεij =k l i j 2i , j σδu d Ψ=∫∫Γ+Γσu σu i d Γ-ij n j δσδu ∫Ψij i , j d Ψ=0
及D ij k l 的对称性, 很容易得到D εij kl εk l δij d Ψ=F δu d Ψ+p δ u d Γ=F δu d Ψ+(p δ u Ψi i Γi i
i i n n + p s δu s + p t δu t ) d Γ(2)
第3期毛坚强等:变形体的虚功原理及其在求解接触问题中的应用243这与最小位能原理的结果完全一样。式中:nst 为应力边界Γσ上的局部坐标系, n 为法向, s 和t 为切向。此外, 对弹性分析, 式中的D i jkl 代表弹性矩阵分量; 对弹塑性分析, 则D i jkl 代表弹塑性矩阵分量, 只要将应力、位移等写为增量形式, 则上式显然也同样成立, 说明这一原理可同样用于弹性分析及弹塑性分析。
当存在位移、应力混合边界时, 例如在边界Γu σ上
u n = u n p s = p s p t = p t
其相应的虚功原理为
D ∫Ψεij k l εkl δi j d Ψ=F δu d Ψ+(p δ u ∫∫Ψi i Γn
σn + p s δu s + p t δu t ) d Γ+p δ u ∫(Γs
u σs + p t δu t ) d Γ(3)
1. 3 大变形时的虚功原理
如前所述, 虚功原理所研究的是变形体变形已完成而处于平衡时的状态, 因此虚位移应是基于这一状态所发生的微小位移, 与变形体实际发生的位移无关, 故大变形时虚功原理表达式的建立方法与小变形时相同。所不同的是, 当物体的变形很大时, 在计算作用在内部及边界微单元体上的合力时, 单元体自身变形的影响已不能忽略。因此, 若采用Lagrange 描述, 则有[2]作用在内部单元体上的合力为
{[(δσi k +u i , k ) kj ]
作用在边界单元体上的合力为
[ p i -(δik +u i , k ) σkj ]d Γ
式中的δker 符号, σ-Kirchhoff 应力张量分量。由此可i k 为Kronec ij 为Lagrange 应力张量分量或称第一类Piola
得
{[(δ+u ∫Ψik , j +F d Ψi }σi , k ) kj ], j +F δu i d Ψ+i }{p -( δ+u ∫Γi ik
σσδu i d Γ=0i , k ) kj }
上式经整理后, 所得到的表达式与式(2) 相同, 不过, 其中
ε(u +u j , i +u k , i u k , j ) ij =2i , j
为Green 应变张量分量。
2 接触问题的虚功原理
接触问题普遍存在于土木、机械等工程领域, 采用有限元法或其它数值计算方法求解的关键或主要困难是计算中对接触边界的处理。目前, 接触问题的有限元解法有直接迭代法、数学规划法、Lagrange 乘子法、罚函数法等[3～9], 之所以要额外地引入这些计算技巧, 就是为了处理接触边界。以下可看到, 由虚功原理建立接触问题的计算公式更为直接和方便
。
图2 接触边界上的初始间距及作用力
2. 1 接触边界上的变形与受力条件, Ψ, Γ′u , Γu
244西 南 交 通 大 学 学 报第37卷接触边界Γn ′) 代表法向, 为便于判断接触状态, 将最大切向力的方向定c 。在接触边界Γc 上, 以下标n (
为s (s ′) , 它们和另一个与其垂直的切向方向t (t ′) 构成局部坐标系nst (n ′s ′t ′) 。相应地, 在各自的局部坐标系中, 其作用力的分量为p n (p ′, p s (p ′和p t (p ′, 位移的分量为u n (u ′, u s (u ′和u t (u ′。n ) s ) t ) n ) s ) t )
物体发生接触时, 接触边界上的位移在边界Γc 上应满足
0u n +u ′n -δn =0
00(4) 式中δ0。它们之间的相互作用力在边界n 为接触点对之间的初始间距, 若一开始就密贴在一起, 则δn =
Γc 应满足
p n =p ′p ′p t =p ′n s =p s t =0
接触边界Γc 上的某一点可能处于粘结、滑动两种状态(若相离, 则为非接触状态) 。即
当
p s
时(式中p n 和p ′) , 不发生相对滑动, 在边界Γn 均为压力c 上应有
d u n =-d u ′d u s =-d u ′n s
当
p s =p n 或p ′s =p ′n (8)
(9) 时, 则发生相对滑动, 此时在边界Γc 上应有
d u n =-d u ′d u s ≠-d u ′n s
立与这两种状态相对应的虚功原理。
2. 2 接触问题的虚功原理
将接触边界Γc 分为Γc 1及Γc 2, 即Γc =Γc 1∪Γc 2, 其中Γc 1对应于未产生相对滑动的部分, Γc 2对应于产生相对滑动的部分。由图2知:
在接触边界Γp ′p i ) d Γ, 作用在Ψ′的单元体上的合力为(p i -c 1上, 作用在Ψ的单元体上的合力为(i -
p ′d Γ, 由于无相对滑动, 应有i )
δu n =-δu ′δu s =-δu ′n s
在Ψ′的单元体上的合力为(-p n -p ′d Γ和[sign (p s ) p n -p ′。由于产生相对滑动, 应有n ) s ]d Γ
δu n =-δu ′δu s ≠-δu ′n s
将物体Ψ及Ψ′看作一个质点系, 应用虚功原理, 可得
(σ+F ) δu d Ψ+(σ′+F ′) δu ′d Ψ+(p -p ) δu d Γ+p ′-p ′) δu ′d Γ+∫∫∫∫(
p ′-p ) δu +(p -p ′) δu ′]d Γ+(-p ′-p ) δu +(-p -p ′) δu ′+∫[(∫{Ψi j , j i i Ψij , j i i Γσi i i Γ′σi i i Γc i i i i i i 1(5) (6) (7) 接触问题为非线性问题且与加载过程有关, 故式(7) 和式(9) 中的位移以增量形式表示。以下分别建(10) 在接触边界Γ的单元体上的合力为(-p ′p n ) d Γ和[sign (p ′p ′n -p s ]d Γ, 作用c 2上, 作用在Ψn -s ) (11) Γc n n n n n n 2
u s +[sign (p s ) p n -p ′u ′d Γ=0[sign (p ′p ′n -p s ]δs ]δs }s )
利用Green 公式及式(10) 和式(11) , 经整理后可得到
σδεd Ψ+σ′δε′d Ψ=F δu d Ψ+F ′δu ′d Ψ+p δu d Γ+∫∫∫∫∫
p ′δu ′d Γ+δu +(p -p ′) δu ]d Γ+∫ ∫[(p -p ′) Ψi j ij Ψ′i j i j Ψi i Ψ′i i Γ′σi i Γ′σi i Γc n n n s s s 1(12)
p ∫[(Γc 2n -p ′n ) δu n +sign (p ′s ) p ′n δu s +sign (p s ) p n δu ′s ]d Γ=0(13)
2. 3 一种特殊情况———变形体与刚体的接触问题,
第3期毛坚强等:变形体的虚功原理及其在求解接触问题中的应用245度较小物体的受力和变形, 如土木工程中的刚性基础-地基、刚性挡墙-背后土体之间的相互作用即属此类问题。显然, 通过这一简化, 不但使有限元计算时的自由度总数减少, 更重要的是可使计算结果简单明了。例如, 以位移、转角来描述刚性挡墙的位移情况比用挡墙的结点位移显然要简明得多。
图2中, 设Ψ为变形体, Ψ′为刚体, 以v ′′i =1, 2, 3) 表示刚体的位移和转角, 则有i 和θi (
δu ′i =δv ′i +e ijk x ′j δθ′k =δv ′i +R ′i j δθ′j
式中R ′e ikj x ′′为刚体时, 它在接触边界上产生的作用力ij =k , e i kj 为置换符号。当Ψ
p ′n =p n p ′s =p s
因此, 将上式及式(14) 分别代入式(13) , 得到相应的虚功原理
σδεd Ψ=F δu d Ψ+p δ u d Γ+p ) p ∫∫∫∫sign (Ψi j ij Ψi i Γσi i Γc s 2(14) n δu s d Γ+[F ′d Ψ+p ′d Γ+∫∫ Ψ′i Γ′σi
s n ∫sign (p ) p Γc s 2n T s ′i d Γ]δV ′i +[R ′F ′d Ψ+p ′d Γ+p ) p ∫∫R ′ ∫sign (Ψ′ij i Γ′σi j i Γc 2R ′i j T s ′i d Γ]δθ′j (15)
其中T s ′i 反映接触边界Γc 上沿s ′方向的δu ′s 与δu ′i (i =1, 2, 3) 间的关系, 即
δu ′u ′s =T s ′i δi
利用式(15) 建立有限元计算公式, Ψ′的自由度由结点位移变为刚体的位移和转角。对于三维问题, 有6个自由度。
若刚体固定不动, 则
δv ′i =0 δθ′i =0 i =1, 2, 3
式(15) 变为
σδεd Ψ=F δu d Ψ+p δ u d Γ+∫∫∫∫sign (p ) p Ψij i j Ψi i Γσi i Γc s 2n δu s d Γ(16)
此时的接触边界Γc 实际已退化为变形体Ψ的外边界。
3 结 语
用虚功原理建立有限元法的计算公式直观而简捷, 且具有严格的理论基础。按目前常用的做法, 在接触边界上采用了Coulomb 准则, 但不难看出, 若采用其它摩擦准则, 利用本文中的方法, 相应的计算公式也很容易建立。
作者已成功地研制了相应的计算程序, 并获得了满意的结果, 将另文介绍。
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