第27卷第2期
2006年6月渤海大学学报(自然科学版) Journal o f Bohai U niversity (Natural Science Edition ) Vol . 27No . 2J un. 2006
虚功原理在静电学中的应用
刘景世
(宝鸡文理学院物理系, 陕西宝鸡721006)
摘 要:虚功原理是分析力学中一个重要的原理。举例讨论了应用虚功原理求解静电学有
关问题的具体做法, 说明在求解电场强度、电场力、力矩等矢量时, 应用该原理确实简捷、方便。
关键词:虚功原理; 虚位移; 电场力
中图分类号:O411 文献标识码:A 文章编号:1673-0569(2006) 02-0153-03
0 引言
1717年伯努利首先发现了虚功原理, 它是分析力学中一个重要的原理。它可叙述为[1]:受理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学体系的诸主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零, 即D w =n
i =1__n ∑F õD r =
s 0或在直角坐标系中写作D w =
A A ∑(F i =1ix D x i +F iy D y i +F iz D z i ) =0对自由度为s 的力学体系, D w =∑Q D q A =1=0, 式中q A 为广义坐标, Q A 为广义力, 由于虚位移D q A 独立, 于是得到受理想完整约
束的力学体系在广义坐标系中的平衡方程:Q A =0(A =1, 2, …, s ) 。在这里, 广义坐标的选取应该是任意的。
在静电学中经常会遇到一些求解电场强度、电场力、力矩的问题, 例如求带电体系产生的电场强度, 带电体系在外场中受力、力矩问题等等。对于这些问题的解决, 通常应用库仑定律、高斯定理及叠加原理求解, 由于电场强度、电场力、力矩的矢量性, 解题过程中既要考虑相关物理量的大小, 又要考虑到方向, 一般须进行繁琐的矢量运算, 难度大而且容易出错。本文给出了分析力学中的虚功原理在静电学中的几个应用实例。
1 解题思路
设一物理系统, 在其本身各力的作用下变更它的组态, 则各力作了功, 倘若没有提供能量的外源, 就只能消耗系统本身的相互作用能。按照这一观点, 利用虚功原理求解静电学问题的基本思路是:首先求出带电系统的能量, 然后根据能量守恒定律, 外力对系统作功等于系统能量的增量, 或系统对外界作功等于系统能量增量的负值, 而系统内力所做虚功为D ! =-D W , 因为D! =Q D q (式中Q 为广义力, q 为广义坐标, 求解静电学问题时我们可选s =1, 而且统一约定A 表示功, W 表示能量) , 则Q =-
求的广义力。
收稿日期:2005-05-18. :() , . 就是所
渤海大学学报154(自然科学版) 第27卷2 应用举例
例1 在真空中A 、B 两平行板组成一平行板电容器, 板间距离为d , 面积为S , 两板带电量分别为+q 、-q , 求两板间的作用力。
由于两极板的电荷符号相反, 相互作用力为吸引力。设B 板固定不动, 当A 极板离开B 极板发生虚位移D x 时, 外力克服静电力F 所做的功为-F D x 。根据能量定恒定律, 此机械功转换成电容器储在的静电能W , 电容器的静电能增加量为D X 。根据电容器的能量公式和平行板电容器电容公式可得W =, 于是D W =, -F D x =则F =-, 其中“-”表示此处电场力为吸引力。2E 0S 2E 0s 2E 0S 2E 0S
在计算真空中平行板电容器极板间的作用力时, 有的学生把带负电极板表面附近的电场强度E =2
乘以板上的电荷-q , 求得F =-, 此结果比实际的力大了一倍, 这是不正确的。00例2 电量q (q >0) 均匀分布在半径为R 的球面上(真空中) , 求带电球面上的电场强度大小。
(r >R ) 4P E 0r 一般教材在演示高斯定理的应用时给出了如下的结果:则对于r =R 时的电
E =0(r
场强度未给出确定值。首先要明确, 无限大均匀带电球面上的电场强度不能采用高斯定理直接求解。因E =为高斯面是一个几何面, 当把高斯面取在球面上时, 带电球面的带电模型已经失效, 无法确定高斯面所包围的电量。文献[2]运用积分通过繁琐的计算得出r =R 时E R =
亦得出这一结论。下面我们采用虚功原理来解决这个问题。
设带电球面在球面上的电场强度为E R , 由对称性分析, 其方向沿矢径指向球外。带电球面电场的总
能量为W =。现在设想在静电排斥力作用下使带电球面从半径为R 缓慢地膨胀到半径为R +0R 8P E
2D () 0D R , 则电场力做功D A =F D R ; 总电场能减少D W , D W =-F D R , 所以F =-=-=2, 而E R =, 因此E R =。8P E 0R 2q 8P E 0R
例3 一电偶极子处在均匀外电场中, 设其电矩为p =ql , 所在处的电场强度为E , 求其在外场中所受力矩(如图1) 。
电偶极子的正负电荷的电势能分别为:
W =qu +, W -=-qu -
所以电偶极子的电势能W =W ++W -
=q (u +-u -)
=-qtE cos H =-p E co s H
式中u +、u -分别为+q 、-q 所在处的电势。设想在
电场作用下电偶极子有一微小的角位移D H , 则D A =
L H D H , L H 是力矩L 在转轴方向的投影, 因为D! =L H D H =
-D W , 则L H =-==-p E sin H , 其中“-”表示L H 的作用使H 趋于减小。可见利用虚功原理解静电学中的力学问题确实简捷、方便, 具有独到之处。需要指出的是在一般情图1 外电场中的电偶极子+22222; 文献[3]通过广义高斯定理0R 8P E 况下, 我们可以任意选择变量(包括直角坐标) 来表示带电体系的位置, 但只有那些可以唯一确定带电体系位置的独立变量, 才能称其为广义坐标。因此选择广义坐标时一定要严格按照广义坐标的定义去操作, [4],
第2期 刘景世:虚功原理在静电学中的应用155参考文献:
[1]周衍柏. 理论力学教程[M]. 北京:高等教育出版社, 1985.
[2]陈正武. 关于均匀带电球面上电场强度的定量计算[J]. 甘肃高等师范专科学校学报, 2002, 7(2) :28-29.
[3]薛庆忠. 广义高斯定理在静电学中的应用[J]. 山东师范大学学报, 1998, 13(2) :199-200.
[4]王爱琴, 冯振宇. 也谈虚位移原理中广义坐标的选择[J ]. 大学物理, 2003, 22(8) :13-14.
Application of virtual w ork principle in Electrostatics
L IU Jing -shi
(Departm ent of Physics , Baoji College of Liberal Arts and Science , Baoji 721006, Chin a )
Abstract :Vir tual wo rk principle is an im potant principle in analy tic mechanics. T alk abo ut how to use the v ir tual w ork principle to so lve the relative problems o f electrostatics, show it's sim ple, direct and convenient to use v ir tual w o rk principle in w orking out electric field intensity , electric field for ce , mom ent o f fo rce.
Key words :virtual w ork principle; virtual displacement; electric field fo rce
第27卷第2期
2006年6月渤海大学学报(自然科学版) Journal o f Bohai U niversity (Natural Science Edition ) Vol . 27No . 2J un. 2006
虚功原理在静电学中的应用
刘景世
(宝鸡文理学院物理系, 陕西宝鸡721006)
摘 要:虚功原理是分析力学中一个重要的原理。举例讨论了应用虚功原理求解静电学有
关问题的具体做法, 说明在求解电场强度、电场力、力矩等矢量时, 应用该原理确实简捷、方便。
关键词:虚功原理; 虚位移; 电场力
中图分类号:O411 文献标识码:A 文章编号:1673-0569(2006) 02-0153-03
0 引言
1717年伯努利首先发现了虚功原理, 它是分析力学中一个重要的原理。它可叙述为[1]:受理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学体系的诸主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零, 即D w =n
i =1__n ∑F õD r =
s 0或在直角坐标系中写作D w =
A A ∑(F i =1ix D x i +F iy D y i +F iz D z i ) =0对自由度为s 的力学体系, D w =∑Q D q A =1=0, 式中q A 为广义坐标, Q A 为广义力, 由于虚位移D q A 独立, 于是得到受理想完整约
束的力学体系在广义坐标系中的平衡方程:Q A =0(A =1, 2, …, s ) 。在这里, 广义坐标的选取应该是任意的。
在静电学中经常会遇到一些求解电场强度、电场力、力矩的问题, 例如求带电体系产生的电场强度, 带电体系在外场中受力、力矩问题等等。对于这些问题的解决, 通常应用库仑定律、高斯定理及叠加原理求解, 由于电场强度、电场力、力矩的矢量性, 解题过程中既要考虑相关物理量的大小, 又要考虑到方向, 一般须进行繁琐的矢量运算, 难度大而且容易出错。本文给出了分析力学中的虚功原理在静电学中的几个应用实例。
1 解题思路
设一物理系统, 在其本身各力的作用下变更它的组态, 则各力作了功, 倘若没有提供能量的外源, 就只能消耗系统本身的相互作用能。按照这一观点, 利用虚功原理求解静电学问题的基本思路是:首先求出带电系统的能量, 然后根据能量守恒定律, 外力对系统作功等于系统能量的增量, 或系统对外界作功等于系统能量增量的负值, 而系统内力所做虚功为D ! =-D W , 因为D! =Q D q (式中Q 为广义力, q 为广义坐标, 求解静电学问题时我们可选s =1, 而且统一约定A 表示功, W 表示能量) , 则Q =-
求的广义力。
收稿日期:2005-05-18. :() , . 就是所
渤海大学学报154(自然科学版) 第27卷2 应用举例
例1 在真空中A 、B 两平行板组成一平行板电容器, 板间距离为d , 面积为S , 两板带电量分别为+q 、-q , 求两板间的作用力。
由于两极板的电荷符号相反, 相互作用力为吸引力。设B 板固定不动, 当A 极板离开B 极板发生虚位移D x 时, 外力克服静电力F 所做的功为-F D x 。根据能量定恒定律, 此机械功转换成电容器储在的静电能W , 电容器的静电能增加量为D X 。根据电容器的能量公式和平行板电容器电容公式可得W =, 于是D W =, -F D x =则F =-, 其中“-”表示此处电场力为吸引力。2E 0S 2E 0s 2E 0S 2E 0S
在计算真空中平行板电容器极板间的作用力时, 有的学生把带负电极板表面附近的电场强度E =2
乘以板上的电荷-q , 求得F =-, 此结果比实际的力大了一倍, 这是不正确的。00例2 电量q (q >0) 均匀分布在半径为R 的球面上(真空中) , 求带电球面上的电场强度大小。
(r >R ) 4P E 0r 一般教材在演示高斯定理的应用时给出了如下的结果:则对于r =R 时的电
E =0(r
场强度未给出确定值。首先要明确, 无限大均匀带电球面上的电场强度不能采用高斯定理直接求解。因E =为高斯面是一个几何面, 当把高斯面取在球面上时, 带电球面的带电模型已经失效, 无法确定高斯面所包围的电量。文献[2]运用积分通过繁琐的计算得出r =R 时E R =
亦得出这一结论。下面我们采用虚功原理来解决这个问题。
设带电球面在球面上的电场强度为E R , 由对称性分析, 其方向沿矢径指向球外。带电球面电场的总
能量为W =。现在设想在静电排斥力作用下使带电球面从半径为R 缓慢地膨胀到半径为R +0R 8P E
2D () 0D R , 则电场力做功D A =F D R ; 总电场能减少D W , D W =-F D R , 所以F =-=-=2, 而E R =, 因此E R =。8P E 0R 2q 8P E 0R
例3 一电偶极子处在均匀外电场中, 设其电矩为p =ql , 所在处的电场强度为E , 求其在外场中所受力矩(如图1) 。
电偶极子的正负电荷的电势能分别为:
W =qu +, W -=-qu -
所以电偶极子的电势能W =W ++W -
=q (u +-u -)
=-qtE cos H =-p E co s H
式中u +、u -分别为+q 、-q 所在处的电势。设想在
电场作用下电偶极子有一微小的角位移D H , 则D A =
L H D H , L H 是力矩L 在转轴方向的投影, 因为D! =L H D H =
-D W , 则L H =-==-p E sin H , 其中“-”表示L H 的作用使H 趋于减小。可见利用虚功原理解静电学中的力学问题确实简捷、方便, 具有独到之处。需要指出的是在一般情图1 外电场中的电偶极子+22222; 文献[3]通过广义高斯定理0R 8P E 况下, 我们可以任意选择变量(包括直角坐标) 来表示带电体系的位置, 但只有那些可以唯一确定带电体系位置的独立变量, 才能称其为广义坐标。因此选择广义坐标时一定要严格按照广义坐标的定义去操作, [4],
第2期 刘景世:虚功原理在静电学中的应用155参考文献:
[1]周衍柏. 理论力学教程[M]. 北京:高等教育出版社, 1985.
[2]陈正武. 关于均匀带电球面上电场强度的定量计算[J]. 甘肃高等师范专科学校学报, 2002, 7(2) :28-29.
[3]薛庆忠. 广义高斯定理在静电学中的应用[J]. 山东师范大学学报, 1998, 13(2) :199-200.
[4]王爱琴, 冯振宇. 也谈虚位移原理中广义坐标的选择[J ]. 大学物理, 2003, 22(8) :13-14.
Application of virtual w ork principle in Electrostatics
L IU Jing -shi
(Departm ent of Physics , Baoji College of Liberal Arts and Science , Baoji 721006, Chin a )
Abstract :Vir tual wo rk principle is an im potant principle in analy tic mechanics. T alk abo ut how to use the v ir tual w ork principle to so lve the relative problems o f electrostatics, show it's sim ple, direct and convenient to use v ir tual w o rk principle in w orking out electric field intensity , electric field for ce , mom ent o f fo rce.
Key words :virtual w ork principle; virtual displacement; electric field fo rce