有心二次曲线的一组性质
福建漳浦四中 邱永伟
本文给出有心二次曲线圆、椭圆及双曲线的一组定值性质, 并由此给出它的统一性质.
性质1 给定圆x 2+y 2=a 2, 过对称轴x 轴(或y 轴) 上的点N (n ,0) (或N (0,n ) ) 的两条对称割线交圆于A 、B 、C 、D 四点, 直线BC 或AD 交x 轴(或y 轴) 于M (m ,0) (或M (0,m ) ), 则mn =a 2.
证明 如右图, 设
A (x A , y A ) , B (x B , y B ) ,
由N 、A 、B 三点
共线, 得:
y B −y A y B x =x B −x A B −
n n =x A y B −x B y A y −
y .
B A
又直线CD 与直线AB 关于x 轴对称, 圆也是关于x 轴的对称图形, 故A 、C 关于x 轴对称,
可得:C (x A , −y A ) , 直线BC 的方程为:
y B +y A y B −x x =y
.
B −A x B −x 令y =0, 得:
m =x A y B +x B y A
y ,
B +y A
从而mn =x 22A y B −x 2B y 2
A y 2−y 2.
B A 又A 、B 在圆x 2+y 2=a 2上, 故 x 2A =a 2−y 22A , x 2B =a −y 2B .
(a 2−y 2A ) y 22mn =B −(a 2−y B ) y 2
因此A y 2−y 2
=a 2. B A
给定椭圆x 2y 2
性质2a 2+b
2=1(a >b >0) ,
过x 轴(或y 轴) 上点N (n ,0) (或N (0,n ) ) 的两
条对称割线交椭圆于A 、B 、C 、D 四点, 直线BC 或AD 交x 轴(或y 轴) 于M (m ,0) (或M (0,m ) ), 则mn =a 2(或mn =b 2).
证明 如下右图, 仿上证明, 可得:
x 222
mn =A y B −x 2B y A y 2−y 2
,
B A 又x 2a 22A =b 2(b −y A x 2=a 222B b
2(b −y B ) 故mn =a 2.
如下右图, 设A (x A , y A ) , B (x B , y B ) , 则C (−x A , y A ) , 由N 、A y B −y A y B −n
x x =, B −A x B
n =x y B A −x A y B
x x .
B −A
直线BC 的方程为y −y A x +x y =A
x .
B −y A B +x A
令x =0, 得:m =x B y A +x A y B
x ,
B +x A 从而 mn =x 2B y 2A −x 2A y 2
B x 22
. B −x A
2
b 22又 y 222
b 2A =a 2(a −x A ) , y B =a
2(a −x 2B ) ,
故mn =b 2.
性质3 给定双曲
y
x 2y 2
线B a 2−b 2=1(a >0, b A x
>0) , 过x 轴(或y 轴) 上 N
M O >0) 点N (n ,0) (或N (0,
C
n ) ) 的两条对称割线交
D
双曲线于A 、B 、C 、D 四点, 直线BC 或AD 交x 轴(或y 轴) 于M (m , 0) (或M (0,m ) ), 则mn =a 2(或mn =−b 2).
证明 如上右图, 仿上可得:
x 2222
mn =A y B −x B y A y 2−y 2
,
B A
又x 2
=a 2(b 2+y 2A ) 2
a 2(b 2+y 2B ) A b 2, x B =b 2
,
故mn =a 2.
如右图, 仿上可得:
x 2B y 22
mn =A −x 2A y B x 2x 2.
B −A 又y 2
b 2A =a 2(x 2A −a 2) ,
y 2
=b 222B a
2(x B −a ) . 从而
mn
综合上述性质,
我们可以得到如下统一性质.
性质 过圆锥曲线C :x 2y 2
m +n
=1(
m >0,
n >0或mn
于A 、B 、C 、D 四点, 直线BC 或AD 交x 轴(或y 轴) 于M (t ,0) (或M (0,t ) ), 则st =m (或st =n ).
证明方法与上述类似, 这里从略.
浅谈“以形助数”解题
福建龙岩二中 苏元东
我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好, 隔裂分家万事非. ”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来, 通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合, 可以使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而起到优化解题途径的目的. 数形结合是高考重点考察的数学思想之一. 纵观多年来的高考试题, 巧妙运用数形结合的思想
方法解决一些抽象的数学问题, 可起到事半功倍的效果.
1 方程、函数中的数形结合问题
例1抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为A 、B , 点Q (2,k ) 在抛物线上且AQ ⊥ BQ , 则ak = ( )
A 、－1 B、1 C、2 D、3
分析 常规解法很难找到突破口. 但不论函数图象开口向下还是向上, a , k 总是异号, 故选(A)
例2 方程lg x =sin x 的实数根的个数有( )
1 π 2π 3π
A 、1 B 、2 C、3 D 、4
分析 判断方程的根的个数就是判断图象f (x ) =lg x 与g (x ) =sin x 的交点个数, 画出两个函数图象, 易知两图象只有三个交点, 故
方程有3个实根, 选例3 若关于x 的 方程x 2+2kx +3k =0
的两根都在−1和3 之间, 求k 的取值范围分析 令f (x ) =x 2x 轴交点的横坐标就是方程f (x ) =0的解, 由y =f (x ) 的图象可知, 要使两根都在−1,3之
间, 只需f (−1) >0, f (3)>0, f (−b
2a
=f (−k )
0, −1
2 最值中的数形结合问题
有心二次曲线的一组性质
福建漳浦四中 邱永伟
本文给出有心二次曲线圆、椭圆及双曲线的一组定值性质, 并由此给出它的统一性质.
性质1 给定圆x 2+y 2=a 2, 过对称轴x 轴(或y 轴) 上的点N (n ,0) (或N (0,n ) ) 的两条对称割线交圆于A 、B 、C 、D 四点, 直线BC 或AD 交x 轴(或y 轴) 于M (m ,0) (或M (0,m ) ), 则mn =a 2.
证明 如右图, 设
A (x A , y A ) , B (x B , y B ) ,
由N 、A 、B 三点
共线, 得:
y B −y A y B x =x B −x A B −
n n =x A y B −x B y A y −
y .
B A
又直线CD 与直线AB 关于x 轴对称, 圆也是关于x 轴的对称图形, 故A 、C 关于x 轴对称,
可得:C (x A , −y A ) , 直线BC 的方程为:
y B +y A y B −x x =y
.
B −A x B −x 令y =0, 得:
m =x A y B +x B y A
y ,
B +y A
从而mn =x 22A y B −x 2B y 2
A y 2−y 2.
B A 又A 、B 在圆x 2+y 2=a 2上, 故 x 2A =a 2−y 22A , x 2B =a −y 2B .
(a 2−y 2A ) y 22mn =B −(a 2−y B ) y 2
因此A y 2−y 2
=a 2. B A
给定椭圆x 2y 2
性质2a 2+b
2=1(a >b >0) ,
过x 轴(或y 轴) 上点N (n ,0) (或N (0,n ) ) 的两
条对称割线交椭圆于A 、B 、C 、D 四点, 直线BC 或AD 交x 轴(或y 轴) 于M (m ,0) (或M (0,m ) ), 则mn =a 2(或mn =b 2).
证明 如下右图, 仿上证明, 可得:
x 222
mn =A y B −x 2B y A y 2−y 2
,
B A 又x 2a 22A =b 2(b −y A x 2=a 222B b
2(b −y B ) 故mn =a 2.
如下右图, 设A (x A , y A ) , B (x B , y B ) , 则C (−x A , y A ) , 由N 、A y B −y A y B −n
x x =, B −A x B
n =x y B A −x A y B
x x .
B −A
直线BC 的方程为y −y A x +x y =A
x .
B −y A B +x A
令x =0, 得:m =x B y A +x A y B
x ,
B +x A 从而 mn =x 2B y 2A −x 2A y 2
B x 22
. B −x A
2
b 22又 y 222
b 2A =a 2(a −x A ) , y B =a
2(a −x 2B ) ,
故mn =b 2.
性质3 给定双曲
y
x 2y 2
线B a 2−b 2=1(a >0, b A x
>0) , 过x 轴(或y 轴) 上 N
M O >0) 点N (n ,0) (或N (0,
C
n ) ) 的两条对称割线交
D
双曲线于A 、B 、C 、D 四点, 直线BC 或AD 交x 轴(或y 轴) 于M (m , 0) (或M (0,m ) ), 则mn =a 2(或mn =−b 2).
证明 如上右图, 仿上可得:
x 2222
mn =A y B −x B y A y 2−y 2
,
B A
又x 2
=a 2(b 2+y 2A ) 2
a 2(b 2+y 2B ) A b 2, x B =b 2
,
故mn =a 2.
如右图, 仿上可得:
x 2B y 22
mn =A −x 2A y B x 2x 2.
B −A 又y 2
b 2A =a 2(x 2A −a 2) ,
y 2
=b 222B a
2(x B −a ) . 从而
mn
综合上述性质,
我们可以得到如下统一性质.
性质 过圆锥曲线C :x 2y 2
m +n
=1(
m >0,
n >0或mn
于A 、B 、C 、D 四点, 直线BC 或AD 交x 轴(或y 轴) 于M (t ,0) (或M (0,t ) ), 则st =m (或st =n ).
证明方法与上述类似, 这里从略.
浅谈“以形助数”解题
福建龙岩二中 苏元东
我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好, 隔裂分家万事非. ”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来, 通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合, 可以使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而起到优化解题途径的目的. 数形结合是高考重点考察的数学思想之一. 纵观多年来的高考试题, 巧妙运用数形结合的思想
方法解决一些抽象的数学问题, 可起到事半功倍的效果.
1 方程、函数中的数形结合问题
例1抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为A 、B , 点Q (2,k ) 在抛物线上且AQ ⊥ BQ , 则ak = ( )
A 、－1 B、1 C、2 D、3
分析 常规解法很难找到突破口. 但不论函数图象开口向下还是向上, a , k 总是异号, 故选(A)
例2 方程lg x =sin x 的实数根的个数有( )
1 π 2π 3π
A 、1 B 、2 C、3 D 、4
分析 判断方程的根的个数就是判断图象f (x ) =lg x 与g (x ) =sin x 的交点个数, 画出两个函数图象, 易知两图象只有三个交点, 故
方程有3个实根, 选例3 若关于x 的 方程x 2+2kx +3k =0
的两根都在−1和3 之间, 求k 的取值范围分析 令f (x ) =x 2x 轴交点的横坐标就是方程f (x ) =0的解, 由y =f (x ) 的图象可知, 要使两根都在−1,3之
间, 只需f (−1) >0, f (3)>0, f (−b
2a
=f (−k )
0, −1
2 最值中的数形结合问题