４８
数学通报２０１５年第５４卷第１期
圆锥曲线中对偶的“点与线”的
本质含义及其研究
赵临龙
（安康学院数学与应用数学研究所
７２５０００）
近来，有关圆锥曲线中对偶的“点与线”问题，（双曲线）而言，若将“顶点弦Ａ，Ａ。”改为一般情形不断出现在中学数学期刊中，产生一系列的“新”“过定点Ｄ的弦ＡＢ”，则结论仍成立．进一步得到结论．我们说，这些结论只不过是射影几何中早就了圆锥曲线中与定点弦有关的一组对偶元素的３成熟的结论。现借本刊提出来，以引起广大的中学个命题．
数学研究人员的高度重视，在未来的初等数学研２０１４年，文［３］利用帕斯卡定理和笛沙格定究中，真正给出具有创新性的新成果．
理，将点Ｄ从坐标轴上推广到一般情况，给出３１
圆锥曲线中对偶的“点与线”的提出
个定理和４个结论．
２０１０年，文［１］给出圆锥曲线中对偶的“点与
我们说，这些结论是射影几何的二次曲线“极线”的概念．
点与极线”的问题，现作以下讨论．定义［１１
在抛物线中，点Ｄ在抛物线的对称
２极点与极线的理论
轴上且与焦点同侧，直线ｚ与对称轴垂直且与焦定义【４３
如图１．给定二次曲线ｒ，如果两点
点异侧，若点Ｄ与直线ｚ到抛物线的顶点等距离，Ｐ、Ｑ（Ｐ不在ｒ上）的连线交１１于Ａ、Ｂ两点，若点则称点Ｄ与直线ｚ为“对偶元素”；在椭圆（双曲列Ｐ、Ｑ；Ａ、Ｂ满足：
线）中，点Ｄ在长轴（实轴）所在的对称轴上，直线ｚ与该对称轴垂直且与曲线无交点，若点Ｄ与直嚣一一嚣（式中线段为有向线段）
（１）
线ｚ在椭圆（双曲线）中心的同侧，且它们到椭圆则点Ｑ轨迹为直线Ｚ，并且（双曲线）中心的距离的乘积为长半轴（实半轴）长称直线ｚ为点Ｐ关于ｒ的的平方，则称点Ｄ与直线ｚ为“对偶元素”．
极线，点Ｐ为直线Ｚ关于ｒＰ
文［１］用解析几何知识，给出２个定理．的极点．
定理１在圆锥曲线Ｃ中，Ａ。，Ａ。是它的两在射影几何中，还有个顶点（抛物线的另一个顶点在开口无限远的地以下结论．
图１
方），已知定点Ｐ和直线ｚ是“对偶元素”，过定点定理３［４］
如图１．对于二次曲线１１：
Ｄ作直线ｚ。交圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，则直线Ａ，口ｚ２＋２６ｚ了＋ｃ扩＋２ｄｚ＋２已ｙ＋厂一ｏ（２）
Ｍ，ＡｚＮ的交点Ｐ在直线Ｚ上．
若设极点Ｐ坐标为Ｐ（ｚ。，蛳），则点Ｑ（ｚ，ｙ）轨迹
定理２
（定理１的逆命题）
在圆锥曲线Ｃ
为直线ｚ：
中，Ａ。，Ａ。是它的两个顶点（抛物线的另一个顶点口ｚｏｚ＋６（３，ｏｚ＋ｚｏｙ）＋ｃ３，ｏ了＋ｄ（ｚｏ＋ｚ）＋在开口无限远的地方），已知定点Ｐ和直线ｚ是Ｐ（帅＋ｙ）＋，＝Ｏ
（３）
“对偶元素”，圆锥曲线上两点Ｍ，Ｎ，若直线Ａ，推论ｌ［４］
如图２．若点Ｐ关于二次曲线１１
Ｍ，Ａ。Ｎ的交点Ｐ在直线ｚ上，则过Ｍ，Ｎ两点的极线为ｚ，则Ｚ上一点Ｑ关于二次曲线ｒ的极线
的直线Ｚ。过定点Ｄ．
Ｚ７必过点Ｐ．
２０１１年，文［２］借助几何画板发现，对于椭圆
万方数据
２０１５年第５４卷第１期
＿——————————————————————————————————————————————————————一
数学通报
４９
图２
推论２［４３如图２．若点Ｐ关于二次曲线ｒ
的极线ｚ上的点Ｑ在ｚ上移动，则点Ｑ关于二次曲线１１的极线ｚ７绕点Ｐ转动．
推论３嘲
如图２．两极点Ｐ、Ｑ对应极线分
别是ｚ和ｚ７，则ｚ和ｚ７的交点Ｒ关于二次曲线ｒ的极线为直线ＰＱ．
若规定二次曲线ｒ上的点Ｑ的极线为过切点Ｑ与ｒ相切的直线，则极线方程仍然为（３）．
推论４
过二次曲线ｒ外一点Ｐ（ｚ。，蛳）引１１
的两切线ＰＡ、ＰＢ（Ａ、Ｂ分别为切点），则极点Ｐ关于二次曲线１１的极线为切点弦ＡＢ，其极线方程形式为（３）．
由于两极点Ａ、Ｂ对应极线分别是切线ＰＡ和ＰＢ，则ＰＡ和ＰＢ的交点Ｐ关于１１的极线为直线ＡＢ．
３极点与极线理论的应用
３．１二次曲线对偶的点和直线的几何含义
１。对于非中心曲线的抛物线１１：ｙ２—２ｐｚ，若取极点Ｄ（ｚ。，弘），则极线方程是ｚ：ｙｏｙ—ｐ（ｚ＋ｚ。）．此时，若令弘一Ｏ，则极线方程是ｚ：ｚ一一ｚｏ，
即ｌ
ｚ
ｌ—Ｉｚ。１．
即表明，点Ｄ在抛物线的对称轴上且与焦点同侧，直线ｚ与对称轴垂直且与焦点异侧，而且点Ｄ与直线ｚ到抛物线的顶点等距离，这正好是文［１］的“对偶元素”概念．
．．２
２。对于中心曲线１１：事±旁一１，若取极点
一２
Ｄ（工。，了。），则极线方程是ｚ：等±铲一１．此时，
若令蛳一ｏ，则极线方程是ｚ：ｚ一｝，即
一２
ｚ
ｚ。Ｉ一口２．
即表明，点Ｄ在椭圆长轴（双曲线实轴）所在
的对称瓶Ｅ，直线ｚ与该对称轴垂直且与曲线无
交点，若点Ｄ与直线Ｚ在椭圆（双曲线）中心的同
万方数据
侧，且它们到椭圆（双曲线）中心的距离的乘积为长半轴（实半轴）长的平方，这正好是文［１］的“对偶元素”概念．
３。对于二次曲线１１的极线ｚ：Ａｚ＋Ｂｙ＋Ｃ—Ｏ（ＡＣ≠０），则极点Ｄ（ｚ。，了。）为：
（１）椭圆１１：事＋葶一１（ｎ＞６＞ｏ），
Ｄ（一等，一警）；
（２）双曲线ｒ：争一旁２１（ａ＞ｏ，６＞ｏ），
Ｄ（一等，警）；
（３）抛物线脚ｚ嘞加（一等，警）．
对于椭圆ｒ：事＋芳一１（ｎ＞６＞ｏ），由极线方
程ｚ：等＋铲。１和ｒ的极线ｚ：Ａｚ＋Ｂｙ＋ｃ—ｏ
（Ａｃ≠ｏ），得：寿２盏一一丢，则极点坐标为
Ｄ（一会｝，一警）．当椭圆ｒ为圆ｃ：ｚ２＋ｙ２一Ｒ２
时，极点坐标为Ｄ（一争２，一争２）．这正是文
［３］的结论１—２，同理，可求得双曲线和抛物线的
极点坐标，即有文［３］的结论３—４．３．２二次曲线对偶的点和直线的理论结果
现给出二次曲线极点与极线的几何图形．‘４３如图３．过二次曲线１１内一定点Ｓ，作两弦ＡＢ、ＣＤ，连接ＡＣ与ＢＤ交于点Ｐ，连接ＡＤ与ＢＣ交于点Ｑ，则直线ＰＱ是极点Ｓ关于１１的极线．
７
Ｃ
疹
、？Ｎ
７挝，
卜
‘＼
２｜．。？。．．．一・・・ｌ。。。。。。。。一
图３
（下转第５１页）
２０１５年第５４卷第１期数学通报
５１
组和第六组观测数据的ｙ值相等，而ｚ值不同，ｚ的解释作用是不同的；
这更加直接地说明了回归直线与观测数据之间存第二，文［１］误认为两种回归应得到同一条直在偏差．
线，很可能是将用回归直线对观测数据进行拟合文［１］中有如下一段：“就正常推理来说，ｙ—和以观测数据为节点进行函数插值两个概念混ｎ＋６ｚ与ｚ一口７＋６７了两个式子中的ｚ，ｙ应该完
淆，后者不带有偏差项．
全一样，即由ｚ—ｎ７＋６７ｙ得ｙ。一争＋旁ｚ，与
文［１］作者似乎早已发现其中有不妥，紧接下
来文［１］利用柯西不等式对６６７的值进行了探究，ｆ专一６
发现只有在特殊情况下才能得出拍７＝１的结论．ｙ一口＋６ｚ完全相同，从而有｛。
，
对于这一点，笔者对文［１］作者的探索精神十分赞
ｌ一争。口
赏．其实文［１］已推出结论：６６７＝，．２，这里ｒ就是变
ｆ６６７一】
量ｚ与变量ｙ的相关系数，其绝对值恒不大于１．
即｛，，５一ｎ，，上面的问题显然不符合．”结合前
Ｉ口Ｄ
至于文［１］后半部分的论述，文［１］认为可以述的分析和推导，这一段的叙述就是明显错误的利用“最小绝对值”求解回归曲线并认为“具体问了，错误的原因正是忽视了用最小二乘法求得的回题具体分析更好”．事实上，最小二乘法具有解决归直线方程与已知观测数据间存在偏差项，并非是求线性回归方程问题的一般性，在实践中被广泛恰好拟合．关于这一错误，笔者认为需要强调两点：
应用，这一点是其他方法无法替代的．
第一，正是因为有偏差项的存在，导致了在同一坐标系中，用ｚ对ｙ做回归与用ｙ对ｚ做回归参考文献
１王连福．用“最小二乘法”求线性回归方程的质疑［Ｊ］．数学通
所得的回归直线不是同一条直线，这也说明了在报，２０１３，１０：３９—４１
文［１］开头的“问题”中，ｚ对ｙ的解释作用同ｙ对（上接第４９页）
Ｍ、Ｎ在ｒ上，其极点Ｍ、Ｎ关于ｒ的极线为ｒ的１。如图３．对于圆锥曲线１１内的极点Ｓ（对于有心切线，而两极线（切线）的交点Ｐ为极点的极线必圆锥曲线，不包含其中心），则极线ｚ必过点Ｐ、Ｑ，过两极点Ｍ、Ｎ，则极点Ｐ的极线是切点弦ＭＮ．即对于圆锥曲线ｒ任意两条弦ＡＣ、ＢＤ相交于点于是，点Ｐ在极线ＰＱ上的充要条件是极线ＭＮＰ，则直线ＡＤ与ＢＣ的交点Ｑ必落在极线ｚ上．过极点ｓ．这正是文［３］的定理３的结论．
这正是文［３］的定理１的结论．
从这里可见，完全可利用二次曲线的极点与如图３．若对于中心曲线１１内的极点Ｓ在其极线作出它的切线．如图３．若点Ｐ为圆锥曲线１１中心Ｓ，则由ＳＡ—ＳＢ，ＳＣ＝ＳＤ，得平行四边形外一点，过点Ｐ作直线ＰＡＣ和ＰＢＤ交ｒ分别于ＡＤＢＣ，则ＡＣ与ＢＤ交于无穷远点Ｐ。，ＡＤ与Ａ、Ｃ和Ｂ、Ｄ，连接ＡＤ，ＢＣ交于Ｑ，连接ＡＢ，ＣＤＢＣ交于无穷远点Ｑ。。（就像平行的太阳光一样交交于Ｓ，连接ＱＳ交ｒ于Ｍ、Ｎ，连接ＰＭ，ＰＮ，则
于无穷远处的太阳），即极线Ｐ。。（ｋ为无穷远线ｚ。。．
ＰＭ、ＰＮ即为ｒ的切线．
推论５
对于中心曲线ｒ内的极点Ｓ在其中
心，则其极线为无穷远线Ｚ。。．
参考文献
２。如图３．对于圆锥曲线ｒ外的极点Ｐ，作两１
张朝阳．圆锥曲线中与顶点有关的一组对偶元素性质口］．数
直线ＰＡＣ、ＰＢＤ，连接ＡＢ与ＣＤ交于点Ｓ，连接学通报，２０１０，３
２曹军．圆锥曲线中与定点弦有关一组对偶元素性质［Ｊ］．数学
ＡＤ与ＢＣ交于点Ｑ，则直线ＳＱ是极点Ｐ关于１１通报，２０１１，９
的极线．即圆锥曲线ｒ的两弦ＡＢ、ＣＤ必交予极３孙四周．圆锥曲线中任意点和它的对偶直线［Ｊ］．数学通报，
线ＱＳ上的点Ｓ．这正是文［３］的定理２的结论．
Ｚ０１４。２
３。如图３．对于圆锥曲线ｊ１的切线情况．若极４周振荣、赵临龙．高等几何［Ｍ］．武汉：华中师范大学出版
社，２０１３
点Ｐ关于ｒ的极线ＱＳ交ｒ于两点Ｍ、Ｎ，则点
万方数据
４８
数学通报２０１５年第５４卷第１期
圆锥曲线中对偶的“点与线”的
本质含义及其研究
赵临龙
（安康学院数学与应用数学研究所
７２５０００）
近来，有关圆锥曲线中对偶的“点与线”问题，（双曲线）而言，若将“顶点弦Ａ，Ａ。”改为一般情形不断出现在中学数学期刊中，产生一系列的“新”“过定点Ｄ的弦ＡＢ”，则结论仍成立．进一步得到结论．我们说，这些结论只不过是射影几何中早就了圆锥曲线中与定点弦有关的一组对偶元素的３成熟的结论。现借本刊提出来，以引起广大的中学个命题．
数学研究人员的高度重视，在未来的初等数学研２０１４年，文［３］利用帕斯卡定理和笛沙格定究中，真正给出具有创新性的新成果．
理，将点Ｄ从坐标轴上推广到一般情况，给出３１
圆锥曲线中对偶的“点与线”的提出
个定理和４个结论．
２０１０年，文［１］给出圆锥曲线中对偶的“点与
我们说，这些结论是射影几何的二次曲线“极线”的概念．
点与极线”的问题，现作以下讨论．定义［１１
在抛物线中，点Ｄ在抛物线的对称
２极点与极线的理论
轴上且与焦点同侧，直线ｚ与对称轴垂直且与焦定义【４３
如图１．给定二次曲线ｒ，如果两点
点异侧，若点Ｄ与直线ｚ到抛物线的顶点等距离，Ｐ、Ｑ（Ｐ不在ｒ上）的连线交１１于Ａ、Ｂ两点，若点则称点Ｄ与直线ｚ为“对偶元素”；在椭圆（双曲列Ｐ、Ｑ；Ａ、Ｂ满足：
线）中，点Ｄ在长轴（实轴）所在的对称轴上，直线ｚ与该对称轴垂直且与曲线无交点，若点Ｄ与直嚣一一嚣（式中线段为有向线段）
（１）
线ｚ在椭圆（双曲线）中心的同侧，且它们到椭圆则点Ｑ轨迹为直线Ｚ，并且（双曲线）中心的距离的乘积为长半轴（实半轴）长称直线ｚ为点Ｐ关于ｒ的的平方，则称点Ｄ与直线ｚ为“对偶元素”．
极线，点Ｐ为直线Ｚ关于ｒＰ
文［１］用解析几何知识，给出２个定理．的极点．
定理１在圆锥曲线Ｃ中，Ａ。，Ａ。是它的两在射影几何中，还有个顶点（抛物线的另一个顶点在开口无限远的地以下结论．
图１
方），已知定点Ｐ和直线ｚ是“对偶元素”，过定点定理３［４］
如图１．对于二次曲线１１：
Ｄ作直线ｚ。交圆锥曲线于Ｍ，Ｎ两点，则直线Ａ，口ｚ２＋２６ｚ了＋ｃ扩＋２ｄｚ＋２已ｙ＋厂一ｏ（２）
Ｍ，ＡｚＮ的交点Ｐ在直线Ｚ上．
若设极点Ｐ坐标为Ｐ（ｚ。，蛳），则点Ｑ（ｚ，ｙ）轨迹
定理２
（定理１的逆命题）
在圆锥曲线Ｃ
为直线ｚ：
中，Ａ。，Ａ。是它的两个顶点（抛物线的另一个顶点口ｚｏｚ＋６（３，ｏｚ＋ｚｏｙ）＋ｃ３，ｏ了＋ｄ（ｚｏ＋ｚ）＋在开口无限远的地方），已知定点Ｐ和直线ｚ是Ｐ（帅＋ｙ）＋，＝Ｏ
（３）
“对偶元素”，圆锥曲线上两点Ｍ，Ｎ，若直线Ａ，推论ｌ［４］
如图２．若点Ｐ关于二次曲线１１
Ｍ，Ａ。Ｎ的交点Ｐ在直线ｚ上，则过Ｍ，Ｎ两点的极线为ｚ，则Ｚ上一点Ｑ关于二次曲线ｒ的极线
的直线Ｚ。过定点Ｄ．
Ｚ７必过点Ｐ．
２０１１年，文［２］借助几何画板发现，对于椭圆
万方数据
２０１５年第５４卷第１期
＿——————————————————————————————————————————————————————一
数学通报
４９
图２
推论２［４３如图２．若点Ｐ关于二次曲线ｒ
的极线ｚ上的点Ｑ在ｚ上移动，则点Ｑ关于二次曲线１１的极线ｚ７绕点Ｐ转动．
推论３嘲
如图２．两极点Ｐ、Ｑ对应极线分
别是ｚ和ｚ７，则ｚ和ｚ７的交点Ｒ关于二次曲线ｒ的极线为直线ＰＱ．
若规定二次曲线ｒ上的点Ｑ的极线为过切点Ｑ与ｒ相切的直线，则极线方程仍然为（３）．
推论４
过二次曲线ｒ外一点Ｐ（ｚ。，蛳）引１１
的两切线ＰＡ、ＰＢ（Ａ、Ｂ分别为切点），则极点Ｐ关于二次曲线１１的极线为切点弦ＡＢ，其极线方程形式为（３）．
由于两极点Ａ、Ｂ对应极线分别是切线ＰＡ和ＰＢ，则ＰＡ和ＰＢ的交点Ｐ关于１１的极线为直线ＡＢ．
３极点与极线理论的应用
３．１二次曲线对偶的点和直线的几何含义
１。对于非中心曲线的抛物线１１：ｙ２—２ｐｚ，若取极点Ｄ（ｚ。，弘），则极线方程是ｚ：ｙｏｙ—ｐ（ｚ＋ｚ。）．此时，若令弘一Ｏ，则极线方程是ｚ：ｚ一一ｚｏ，
即ｌ
ｚ
ｌ—Ｉｚ。１．
即表明，点Ｄ在抛物线的对称轴上且与焦点同侧，直线ｚ与对称轴垂直且与焦点异侧，而且点Ｄ与直线ｚ到抛物线的顶点等距离，这正好是文［１］的“对偶元素”概念．
．．２
２。对于中心曲线１１：事±旁一１，若取极点
一２
Ｄ（工。，了。），则极线方程是ｚ：等±铲一１．此时，
若令蛳一ｏ，则极线方程是ｚ：ｚ一｝，即
一２
ｚ
ｚ。Ｉ一口２．
即表明，点Ｄ在椭圆长轴（双曲线实轴）所在
的对称瓶Ｅ，直线ｚ与该对称轴垂直且与曲线无
交点，若点Ｄ与直线Ｚ在椭圆（双曲线）中心的同
万方数据
侧，且它们到椭圆（双曲线）中心的距离的乘积为长半轴（实半轴）长的平方，这正好是文［１］的“对偶元素”概念．
３。对于二次曲线１１的极线ｚ：Ａｚ＋Ｂｙ＋Ｃ—Ｏ（ＡＣ≠０），则极点Ｄ（ｚ。，了。）为：
（１）椭圆１１：事＋葶一１（ｎ＞６＞ｏ），
Ｄ（一等，一警）；
（２）双曲线ｒ：争一旁２１（ａ＞ｏ，６＞ｏ），
Ｄ（一等，警）；
（３）抛物线脚ｚ嘞加（一等，警）．
对于椭圆ｒ：事＋芳一１（ｎ＞６＞ｏ），由极线方
程ｚ：等＋铲。１和ｒ的极线ｚ：Ａｚ＋Ｂｙ＋ｃ—ｏ
（Ａｃ≠ｏ），得：寿２盏一一丢，则极点坐标为
Ｄ（一会｝，一警）．当椭圆ｒ为圆ｃ：ｚ２＋ｙ２一Ｒ２
时，极点坐标为Ｄ（一争２，一争２）．这正是文
［３］的结论１—２，同理，可求得双曲线和抛物线的
极点坐标，即有文［３］的结论３—４．３．２二次曲线对偶的点和直线的理论结果
现给出二次曲线极点与极线的几何图形．‘４３如图３．过二次曲线１１内一定点Ｓ，作两弦ＡＢ、ＣＤ，连接ＡＣ与ＢＤ交于点Ｐ，连接ＡＤ与ＢＣ交于点Ｑ，则直线ＰＱ是极点Ｓ关于１１的极线．
７
Ｃ
疹
、？Ｎ
７挝，
卜
‘＼
２｜．。？。．．．一・・・ｌ。。。。。。。。一
图３
（下转第５１页）
２０１５年第５４卷第１期数学通报
５１
组和第六组观测数据的ｙ值相等，而ｚ值不同，ｚ的解释作用是不同的；
这更加直接地说明了回归直线与观测数据之间存第二，文［１］误认为两种回归应得到同一条直在偏差．
线，很可能是将用回归直线对观测数据进行拟合文［１］中有如下一段：“就正常推理来说，ｙ—和以观测数据为节点进行函数插值两个概念混ｎ＋６ｚ与ｚ一口７＋６７了两个式子中的ｚ，ｙ应该完
淆，后者不带有偏差项．
全一样，即由ｚ—ｎ７＋６７ｙ得ｙ。一争＋旁ｚ，与
文［１］作者似乎早已发现其中有不妥，紧接下
来文［１］利用柯西不等式对６６７的值进行了探究，ｆ专一６
发现只有在特殊情况下才能得出拍７＝１的结论．ｙ一口＋６ｚ完全相同，从而有｛。
，
对于这一点，笔者对文［１］作者的探索精神十分赞
ｌ一争。口
赏．其实文［１］已推出结论：６６７＝，．２，这里ｒ就是变
ｆ６６７一】
量ｚ与变量ｙ的相关系数，其绝对值恒不大于１．
即｛，，５一ｎ，，上面的问题显然不符合．”结合前
Ｉ口Ｄ
至于文［１］后半部分的论述，文［１］认为可以述的分析和推导，这一段的叙述就是明显错误的利用“最小绝对值”求解回归曲线并认为“具体问了，错误的原因正是忽视了用最小二乘法求得的回题具体分析更好”．事实上，最小二乘法具有解决归直线方程与已知观测数据间存在偏差项，并非是求线性回归方程问题的一般性，在实践中被广泛恰好拟合．关于这一错误，笔者认为需要强调两点：
应用，这一点是其他方法无法替代的．
第一，正是因为有偏差项的存在，导致了在同一坐标系中，用ｚ对ｙ做回归与用ｙ对ｚ做回归参考文献
１王连福．用“最小二乘法”求线性回归方程的质疑［Ｊ］．数学通
所得的回归直线不是同一条直线，这也说明了在报，２０１３，１０：３９—４１
文［１］开头的“问题”中，ｚ对ｙ的解释作用同ｙ对（上接第４９页）
Ｍ、Ｎ在ｒ上，其极点Ｍ、Ｎ关于ｒ的极线为ｒ的１。如图３．对于圆锥曲线１１内的极点Ｓ（对于有心切线，而两极线（切线）的交点Ｐ为极点的极线必圆锥曲线，不包含其中心），则极线ｚ必过点Ｐ、Ｑ，过两极点Ｍ、Ｎ，则极点Ｐ的极线是切点弦ＭＮ．即对于圆锥曲线ｒ任意两条弦ＡＣ、ＢＤ相交于点于是，点Ｐ在极线ＰＱ上的充要条件是极线ＭＮＰ，则直线ＡＤ与ＢＣ的交点Ｑ必落在极线ｚ上．过极点ｓ．这正是文［３］的定理３的结论．
这正是文［３］的定理１的结论．
从这里可见，完全可利用二次曲线的极点与如图３．若对于中心曲线１１内的极点Ｓ在其极线作出它的切线．如图３．若点Ｐ为圆锥曲线１１中心Ｓ，则由ＳＡ—ＳＢ，ＳＣ＝ＳＤ，得平行四边形外一点，过点Ｐ作直线ＰＡＣ和ＰＢＤ交ｒ分别于ＡＤＢＣ，则ＡＣ与ＢＤ交于无穷远点Ｐ。，ＡＤ与Ａ、Ｃ和Ｂ、Ｄ，连接ＡＤ，ＢＣ交于Ｑ，连接ＡＢ，ＣＤＢＣ交于无穷远点Ｑ。。（就像平行的太阳光一样交交于Ｓ，连接ＱＳ交ｒ于Ｍ、Ｎ，连接ＰＭ，ＰＮ，则
于无穷远处的太阳），即极线Ｐ。。（ｋ为无穷远线ｚ。。．
ＰＭ、ＰＮ即为ｒ的切线．
推论５
对于中心曲线ｒ内的极点Ｓ在其中
心，则其极线为无穷远线Ｚ。。．
参考文献
２。如图３．对于圆锥曲线ｒ外的极点Ｐ，作两１
张朝阳．圆锥曲线中与顶点有关的一组对偶元素性质口］．数
直线ＰＡＣ、ＰＢＤ，连接ＡＢ与ＣＤ交于点Ｓ，连接学通报，２０１０，３
２曹军．圆锥曲线中与定点弦有关一组对偶元素性质［Ｊ］．数学
ＡＤ与ＢＣ交于点Ｑ，则直线ＳＱ是极点Ｐ关于１１通报，２０１１，９
的极线．即圆锥曲线ｒ的两弦ＡＢ、ＣＤ必交予极３孙四周．圆锥曲线中任意点和它的对偶直线［Ｊ］．数学通报，
线ＱＳ上的点Ｓ．这正是文［３］的定理２的结论．
Ｚ０１４。２
３。如图３．对于圆锥曲线ｊ１的切线情况．若极４周振荣、赵临龙．高等几何［Ｍ］．武汉：华中师范大学出版
社，２０１３
点Ｐ关于ｒ的极线ＱＳ交ｒ于两点Ｍ、Ｎ，则点
万方数据