６０
数学通报２０１４年第５３卷第８期
三角形内切椭圆的一个性质
徐文春
（江苏省常州高级中学２１３００３）
Ｐ、Ｑ，则黼＋黼＋黼＝１．
为了便于叙述，该定理的证明分为三部分．
引理１［１３
已知Ｐ是椭圆Ｇ的一焦点，过椭
圆外一点Ｍ引椭圆两切线，切点为Ｅ、Ｆ，则ＭＰ
在／ＸＡＢＣ中，有恒等式ｔａｎ可Ａｔａｎ可Ｂ＋ｔａｎ导．
平分么ＥＰＦ．
证明
如图３，记椭
ｔａｎ导＋ｔａｎ导ｔａｎ今＝１（其中Ａ、Ｂ、ｃ：Ｙ《Ｊ／ＸＡＢＣ
圆另一焦点为Ｑ，连接。ＱＦ、ＱＥ，并分别延长至Ｐ１、Ｐ２，使得ＦＰｌ一ＦＰ、∥、
ＰＥ—ＥＰ：，最后连接
鹰ｊ夕印２
ｋ
图３
ＭＰｌ、ＭＰ２、ＭＱ．
直线ＭＦ是椭圆在Ｆ处的切线，由椭圆的光
志ＤＡ学性质知切线ＭＦ为么ＰＦＱ的外角平分线，从而
么ＭＦＰｌ＝么ＭＦＰ，又ＦＰｌ一ＦＰ，ＦＭ—ＦＭ，故
●
ＤＢ＋志ＥＢ●
ＥＣ＋志ＦＣ
●
ＦＡ一１．
ｌ●
△ＭＦＰ丝△ＭＦＰｌ，从而有么ＦＰ。Ｍ一么ＦＰＭ、
ＭＰ—ＭＰ。，同理可得么ＥＰ２Ｍ一么ＥＰＭ、ＭＰ—ＯＦ，则在ＲｔＡＡＤＯ中，器＝矗＝ｔａｎ虿Ａ，同理ＭＰ：，所以ＭＰ。＝ＭＰ。，又ＱＰ，＝ＱＦ４－ＦＰ＝ＰＥ＋ＱＥ—ＱＰ２，ＱＭ—ＱＭ，故△Ｑ』ⅥＰｌ丝△ＱＭＰ２，从而有么ＭＰ。Ｑ＝么ＭＰ。Ｑ，所以么ＥＰＭ＝
ｔａｎ导，南一ｔａｎ虿Ａ，故
么ＦＰＭ，即ＭＰ平分么ＥＰＦ．
引理２［２］
已知Ｐ、Ｑ是椭圆Ｇ的两焦点，
ｒ‘
ｒ。
ｒ‘
ＡＢ是椭圆的任一条直径，过椭圆上一点Ｍ（不与
ＤＡ・ＤＢ’ＥＢ－ＥＣ。ＦＣ・ＦＡ
Ａ、Ｂ重合）的切线与过Ａ、Ｂ的切线分别交于点
‘ａｎ虿‘ａｎ虿十‘ａｎ虿２ａｎ虿十‘ａｎ虿‘ａｎ虿２ｔａｎ虿Ａｔａｎ虿Ｂ＋ｔａｎ鲁ｔａｎ导＋ｔａｎ虿Ｃｔａｎ虿Ａ＝１．
１・
Ｄ、Ｃ，则ＭＰ・ＭＱ＝ＭＤ・ＭＣ．
证明
如图４，连接ＰＡ、ＰＢ、ＰＤ、ＱＡ、ＱＢ及
爿。；！至淞曰彳。￡：：：：！继Ｂ
ＱＣ．由椭圆的光学性质可设么ＤＭＰ一么ＣＭＱ一口，么ＱＡＤ＝７ｃ一么ＰＡＤ—ｐ，么ＱＢＣ一７ｃ一么ＰＢＣ—ｙ，又ＡＢ为椭圆直径，得四边形ＰＢＱＡ为平行四边形，从而ｐ—ｙ；由引理１可设么ＡＰＤ＝图ｌ
图２
么ＭＰＤ＝伊，么ＭＱＣ一么ＢＱＣ＝ｐ．在四边形ＰＭ—定理２如图２，ＡＡＢＣ的内切椭圆Ｇ与三ＤＡ中，么ＭＤＡ＝么ＭＤＰ４－么ＰＤＡ一７ｃ４－卢一２口边的切点分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ，椭圆Ｇ的两焦点记为
一口，在四边形ＢＣＭＱ中，么ＭＣＢ一么ＭＣＱ＋么ＢＣＱ一２７ｒ一口一ｙ一２∞，又切线ＡＤ／／ＢＣ，
万方数据
２０１４年第５３卷第８期数学通报
６１
ＬＭＤＡ＋么ＭＣＢ＝７ｃ＇故≯一７（＋孚一咿一口‘掣
７【～０一口一么ＭＤＰ，即么ＭＱＣ＝么ＭＤＰ，另外么ＤＭＰ＝么ＣＭＱ，从而ＡＰＤＭｃ／）ＡＣＱＭ，所以ＭＰ・ＭＱ＝ＭＤ・ＭＣ．
Ｖ
Ｃ
习“
Ｃ
＜巡．竺彩ＱＮ
ｘ
Ｄ
手３
Ｒ
图４
图５
定理２的证明
建立如图５所示的直角坐标
系，设椭圆方程为薯＋芳一１（口＞６＞ｏ），作椭圆Ｇ
的切线Ａ７Ｃ７，分别交ＡＢ、ＢＣ于Ａ７、Ｃ７，且Ａ７Ｃ７／／
ＡＣ（如图５）．
由引理２知
ＥＢ・ＥＣ
瓦Ｆ巧虿一面’
ＥＣ・ＥＣ７一ＥＣ７
下面求ｉＥＣ百＇的值．
议Ｄ（ａｃｏｓ口＇ｂｓｉｎ口）、Ｅ（ａＣＯＳ声，ｂｓｉｎ声）、
Ｆ（ａｃｏｓｙ，ｂｓｉｎ
ｙ）（其中口、』９、ｙ∈［ｏ，２ｎ），由题知
三点处的切线构成三角形，故口、卢、ｙ任意两角之
差不为０和丌），则直线ＡＢ方程为塑旦‰＋骂坐了
。
ａＤ
一１，直线ＢＣ；Ｙ程为鼍争＋书一１，由椭圆
的对称性可得直线Ａ７Ｃ
程解触曲＿ｎ帮ｓｉｎ７方程为一号≯ｚ一半ｙ
一１，分别联立直线ＡＢ与ＢＣ、直线ＢＣ与Ａ
埘广ｎ７Ｃ７方
．
Ｌ∥一口Ｊ
帮ｓｌｎ
Ｌｙ—ｆ，Ｊ
１）当边ＢＣ斜率存在时，即ｓｉｎ』９≠０，又Ｅ、Ｃ７、Ｂ三点共线，故
髓如一Ｅ蔫一ＣＯＳｓｉｎ（
Ｃ，
ＸＣ＂－－ＸＥＥｓｏｃ＿卢
Ｐ
’一一ｓｌｎ（ｙ一丝
ｓｉｓｎｌｎ）（，＋ｙ—ｓｉ矽ｎＢ口一ａ）
卢
，
一！ｉ翌Ｚ±！ｉ翌星二！旦！垒ｉ翌！Ｚ二色．ｓｉｎ（Ｂ－－ａ）．
ｓｉｎ
ｐ—ｓｉｎ口一ＣＯＳＢｓｉｎ（Ｂ－－ａ）
ｓｉｎ（ｙ－－Ｂ）
＝：ｓｉｎ／？＋ｃｏｓ（ｙ－－ｆ１）ｓｉｎｆ１．ｓｉｎ（ｉｆ－－ａ）．
ｓｉｎ卢一ｃｏｓ（Ｂ－－ａ）ｓｉｎ卢ｓｉｎ（ｙ－－Ｂ）
ｃ。ｓ
Ｌ≠ｃｏｓ纽２
，
ｓｉｎ学ｓｉｎ譬ｔａｎ宁ｔａｎ学
万方数据
２）当边ＢＣ斜率不存在时，即ｓｉｎ卢一Ｏ，
ＥＣ７一ｙｃ－－ｙＥ～１
ＥＢＹＢ—ＹＥ
ｔａｎ宁ｔａｎ譬’
因此
ＥＰ・ＥＱ—ＥＣ７—
１
ＥＢ・ＥＣ
ＥＢ
ｔａｎ孕ｔａｎ争’
同理
ＤＰ・ＤＱ一
１
ＤＡ・ＤＢ
’
ｎａｔｙ－ｔａｎ
－ａＦＰ・ＦＱ一
１
粥・似ｔａｎ孚ｔａｎ宁’
——一二。—＿所以
ＤＰ・ＤＱ
ＥＰ・ＥＱ．ＦＰ・ＦＱ
ＤＡ・ＤＢ。ＥＢ・ＥＣ。ＦＣ・ＦＡ
上
ｌ
＋
ｔａｎ譬ｔａｎ孚。ｔａｎ学ｔａｎ宁
ｔａｎ孚ｔａｎ学’
令等’，孚邓，学邓，
则
Ｐｌ＋伫＋弘一ｏ，ＤＰ・ＤＱ
ＤＡ－ＤＢ
１
ｔａｎ
Ｐｌｔａｎ
一！兰翌翌！±！璺里翌！±！璺里翌！
ｔａｎ
Ｐ１。ｔａｎ他。ｔａｎ私
一！璺呈！翌！±翌！！：！！二！兰呈翌！！垒翌翌！！±！璺旦翌！
ｔａｎ妒１’ｔａｎ即。ｔａｎ伽
一二！璺璺盐：！！二！璺里翌！塑翌墼！±！璺翌经
ｔａｎ即‘ｔａｎ伫。ｔａｎ弘
＝１．证毕．
结语在解析几何中，由于受到研究方法的限制，许多问题的处理都比较繁难，本文充分利用
椭圆的几何性质和三角变换简化了证明过程，避免了繁杂的运算，读者诸君在处理类似问题时不
妨一试．
参考文献
１邹生书．圆锥曲线切线的一个优美性质［Ｊ］．数学通讯，２００９，１
（下半月）
２耿恒考．读“有心圆锥曲线切线的性质”后的思考［刀．数学通
报，２０１０，１２
６０
数学通报２０１４年第５３卷第８期
三角形内切椭圆的一个性质
徐文春
（江苏省常州高级中学２１３００３）
Ｐ、Ｑ，则黼＋黼＋黼＝１．
为了便于叙述，该定理的证明分为三部分．
引理１［１３
已知Ｐ是椭圆Ｇ的一焦点，过椭
圆外一点Ｍ引椭圆两切线，切点为Ｅ、Ｆ，则ＭＰ
在／ＸＡＢＣ中，有恒等式ｔａｎ可Ａｔａｎ可Ｂ＋ｔａｎ导．
平分么ＥＰＦ．
证明
如图３，记椭
ｔａｎ导＋ｔａｎ导ｔａｎ今＝１（其中Ａ、Ｂ、ｃ：Ｙ《Ｊ／ＸＡＢＣ
圆另一焦点为Ｑ，连接。ＱＦ、ＱＥ，并分别延长至Ｐ１、Ｐ２，使得ＦＰｌ一ＦＰ、∥、
ＰＥ—ＥＰ：，最后连接
鹰ｊ夕印２
ｋ
图３
ＭＰｌ、ＭＰ２、ＭＱ．
直线ＭＦ是椭圆在Ｆ处的切线，由椭圆的光
志ＤＡ学性质知切线ＭＦ为么ＰＦＱ的外角平分线，从而
么ＭＦＰｌ＝么ＭＦＰ，又ＦＰｌ一ＦＰ，ＦＭ—ＦＭ，故
●
ＤＢ＋志ＥＢ●
ＥＣ＋志ＦＣ
●
ＦＡ一１．
ｌ●
△ＭＦＰ丝△ＭＦＰｌ，从而有么ＦＰ。Ｍ一么ＦＰＭ、
ＭＰ—ＭＰ。，同理可得么ＥＰ２Ｍ一么ＥＰＭ、ＭＰ—ＯＦ，则在ＲｔＡＡＤＯ中，器＝矗＝ｔａｎ虿Ａ，同理ＭＰ：，所以ＭＰ。＝ＭＰ。，又ＱＰ，＝ＱＦ４－ＦＰ＝ＰＥ＋ＱＥ—ＱＰ２，ＱＭ—ＱＭ，故△Ｑ』ⅥＰｌ丝△ＱＭＰ２，从而有么ＭＰ。Ｑ＝么ＭＰ。Ｑ，所以么ＥＰＭ＝
ｔａｎ导，南一ｔａｎ虿Ａ，故
么ＦＰＭ，即ＭＰ平分么ＥＰＦ．
引理２［２］
已知Ｐ、Ｑ是椭圆Ｇ的两焦点，
ｒ‘
ｒ。
ｒ‘
ＡＢ是椭圆的任一条直径，过椭圆上一点Ｍ（不与
ＤＡ・ＤＢ’ＥＢ－ＥＣ。ＦＣ・ＦＡ
Ａ、Ｂ重合）的切线与过Ａ、Ｂ的切线分别交于点
‘ａｎ虿‘ａｎ虿十‘ａｎ虿２ａｎ虿十‘ａｎ虿‘ａｎ虿２ｔａｎ虿Ａｔａｎ虿Ｂ＋ｔａｎ鲁ｔａｎ导＋ｔａｎ虿Ｃｔａｎ虿Ａ＝１．
１・
Ｄ、Ｃ，则ＭＰ・ＭＱ＝ＭＤ・ＭＣ．
证明
如图４，连接ＰＡ、ＰＢ、ＰＤ、ＱＡ、ＱＢ及
爿。；！至淞曰彳。￡：：：：！继Ｂ
ＱＣ．由椭圆的光学性质可设么ＤＭＰ一么ＣＭＱ一口，么ＱＡＤ＝７ｃ一么ＰＡＤ—ｐ，么ＱＢＣ一７ｃ一么ＰＢＣ—ｙ，又ＡＢ为椭圆直径，得四边形ＰＢＱＡ为平行四边形，从而ｐ—ｙ；由引理１可设么ＡＰＤ＝图ｌ
图２
么ＭＰＤ＝伊，么ＭＱＣ一么ＢＱＣ＝ｐ．在四边形ＰＭ—定理２如图２，ＡＡＢＣ的内切椭圆Ｇ与三ＤＡ中，么ＭＤＡ＝么ＭＤＰ４－么ＰＤＡ一７ｃ４－卢一２口边的切点分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ，椭圆Ｇ的两焦点记为
一口，在四边形ＢＣＭＱ中，么ＭＣＢ一么ＭＣＱ＋么ＢＣＱ一２７ｒ一口一ｙ一２∞，又切线ＡＤ／／ＢＣ，
万方数据
２０１４年第５３卷第８期数学通报
６１
ＬＭＤＡ＋么ＭＣＢ＝７ｃ＇故≯一７（＋孚一咿一口‘掣
７【～０一口一么ＭＤＰ，即么ＭＱＣ＝么ＭＤＰ，另外么ＤＭＰ＝么ＣＭＱ，从而ＡＰＤＭｃ／）ＡＣＱＭ，所以ＭＰ・ＭＱ＝ＭＤ・ＭＣ．
Ｖ
Ｃ
习“
Ｃ
＜巡．竺彩ＱＮ
ｘ
Ｄ
手３
Ｒ
图４
图５
定理２的证明
建立如图５所示的直角坐标
系，设椭圆方程为薯＋芳一１（口＞６＞ｏ），作椭圆Ｇ
的切线Ａ７Ｃ７，分别交ＡＢ、ＢＣ于Ａ７、Ｃ７，且Ａ７Ｃ７／／
ＡＣ（如图５）．
由引理２知
ＥＢ・ＥＣ
瓦Ｆ巧虿一面’
ＥＣ・ＥＣ７一ＥＣ７
下面求ｉＥＣ百＇的值．
议Ｄ（ａｃｏｓ口＇ｂｓｉｎ口）、Ｅ（ａＣＯＳ声，ｂｓｉｎ声）、
Ｆ（ａｃｏｓｙ，ｂｓｉｎ
ｙ）（其中口、』９、ｙ∈［ｏ，２ｎ），由题知
三点处的切线构成三角形，故口、卢、ｙ任意两角之
差不为０和丌），则直线ＡＢ方程为塑旦‰＋骂坐了
。
ａＤ
一１，直线ＢＣ；Ｙ程为鼍争＋书一１，由椭圆
的对称性可得直线Ａ７Ｃ
程解触曲＿ｎ帮ｓｉｎ７方程为一号≯ｚ一半ｙ
一１，分别联立直线ＡＢ与ＢＣ、直线ＢＣ与Ａ
埘广ｎ７Ｃ７方
．
Ｌ∥一口Ｊ
帮ｓｌｎ
Ｌｙ—ｆ，Ｊ
１）当边ＢＣ斜率存在时，即ｓｉｎ』９≠０，又Ｅ、Ｃ７、Ｂ三点共线，故
髓如一Ｅ蔫一ＣＯＳｓｉｎ（
Ｃ，
ＸＣ＂－－ＸＥＥｓｏｃ＿卢
Ｐ
’一一ｓｌｎ（ｙ一丝
ｓｉｓｎｌｎ）（，＋ｙ—ｓｉ矽ｎＢ口一ａ）
卢
，
一！ｉ翌Ｚ±！ｉ翌星二！旦！垒ｉ翌！Ｚ二色．ｓｉｎ（Ｂ－－ａ）．
ｓｉｎ
ｐ—ｓｉｎ口一ＣＯＳＢｓｉｎ（Ｂ－－ａ）
ｓｉｎ（ｙ－－Ｂ）
＝：ｓｉｎ／？＋ｃｏｓ（ｙ－－ｆ１）ｓｉｎｆ１．ｓｉｎ（ｉｆ－－ａ）．
ｓｉｎ卢一ｃｏｓ（Ｂ－－ａ）ｓｉｎ卢ｓｉｎ（ｙ－－Ｂ）
ｃ。ｓ
Ｌ≠ｃｏｓ纽２
，
ｓｉｎ学ｓｉｎ譬ｔａｎ宁ｔａｎ学
万方数据
２）当边ＢＣ斜率不存在时，即ｓｉｎ卢一Ｏ，
ＥＣ７一ｙｃ－－ｙＥ～１
ＥＢＹＢ—ＹＥ
ｔａｎ宁ｔａｎ譬’
因此
ＥＰ・ＥＱ—ＥＣ７—
１
ＥＢ・ＥＣ
ＥＢ
ｔａｎ孕ｔａｎ争’
同理
ＤＰ・ＤＱ一
１
ＤＡ・ＤＢ
’
ｎａｔｙ－ｔａｎ
－ａＦＰ・ＦＱ一
１
粥・似ｔａｎ孚ｔａｎ宁’
——一二。—＿所以
ＤＰ・ＤＱ
ＥＰ・ＥＱ．ＦＰ・ＦＱ
ＤＡ・ＤＢ。ＥＢ・ＥＣ。ＦＣ・ＦＡ
上
ｌ
＋
ｔａｎ譬ｔａｎ孚。ｔａｎ学ｔａｎ宁
ｔａｎ孚ｔａｎ学’
令等’，孚邓，学邓，
则
Ｐｌ＋伫＋弘一ｏ，ＤＰ・ＤＱ
ＤＡ－ＤＢ
１
ｔａｎ
Ｐｌｔａｎ
一！兰翌翌！±！璺里翌！±！璺里翌！
ｔａｎ
Ｐ１。ｔａｎ他。ｔａｎ私
一！璺呈！翌！±翌！！：！！二！兰呈翌！！垒翌翌！！±！璺旦翌！
ｔａｎ妒１’ｔａｎ即。ｔａｎ伽
一二！璺璺盐：！！二！璺里翌！塑翌墼！±！璺翌经
ｔａｎ即‘ｔａｎ伫。ｔａｎ弘
＝１．证毕．
结语在解析几何中，由于受到研究方法的限制，许多问题的处理都比较繁难，本文充分利用
椭圆的几何性质和三角变换简化了证明过程，避免了繁杂的运算，读者诸君在处理类似问题时不
妨一试．
参考文献
１邹生书．圆锥曲线切线的一个优美性质［Ｊ］．数学通讯，２００９，１
（下半月）
２耿恒考．读“有心圆锥曲线切线的性质”后的思考［刀．数学通
报，２０１０，１２