一． 函数
1. 抽象函数的周期
（1）f （a ±x)=f(b±x) T=|b-a| （2）f （a ±x)=-f(b±x) T=2|b-a| （3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a （4）f(x-a)=f(x+a) T=2a （5）f(x+a)=-f(x) T=2a 2．奇偶函数概念的推广及其周期： （1）对于函数f （x ），若存在常数a ，使得f （a-x ）=f（a+x），则称f （x ）为广义（Ⅰ）型偶函数，且当有两个相异实数a ，b 同时满足时，f （x ）为周期函数T=2|b-a|
（2）若f （a-x ）=-f（a+x），则f （x ）是广义（Ⅰ）型奇函数，当有两个相异实数a ，b 同时满足时，f （x ）为周期函数T=2|b-a| 3. 抽象函数的对称性
（1）若f （x) 满足f （a+x）+f（b-x ）=c
则函数关于（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）成中心对称（充要）
（2）若f （x ）满足f （a+x）=f（b-x ）
则函数关于直线x=错误！未找到引用源。成轴对称（充要） 4. 洛必达法则，设连续可导函数f(x)和
g(x)
二、三角
1. 三角形恒等式
（1）在△中，错误！未找到引用源。
（2） 正切定理&余切定理：
在非Rt △中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 错误！未找到引用源。 （3） 错误！未找到引用源。
（4）错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 （5）
2．任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）： 在△ABC 中
a ＝bcosC ＋ccosB ；b ＝ccosA ＋acosC ；c=acosB＋bcosA 3. 任意三角形内切圆半径r=错误！未找到引用源。（S 为面积），
外接圆半径错误！未找到引用源。 欧拉不等式：R>2r
4．梅涅劳斯定理
如下图，E.D.F 三点共线的充要条件是 错误！未找到引用源。
5．塞瓦定理
如下图，AD 、BE 、CF 三线共点的充要条件是
错误！未找到引用源。
6. 斯特瓦尔特定理：
如下图，设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有
AB ²错误！未找到引用源。DC+AC²错误！未找到引用源。BD-AD ²错误！未找到引用源。BC ＝BC 错误！未找到引用源。DC 错误！未找到引用源。BD
7、和差化积公式（只记忆第一条）
sin α+sinβ=2sin错误！未找到引用源。cos 错误！未找到引用源。 sin α-sin β=2cos错误！未找到引用源。sin
错误！未找到引用源。
cos α+cosβ=2cos错误！未找到引用源。cos 错误！未找到引用源。 cos α-cos β=-2sin错误！未找到引用源。sin 错误！未找到引用源。 8、积化和差公式
sin αsin β=-错误！未找到引用源。 cosαcos β=错误！未找到引用源。 sin αcos β=错误！未找到引用源。 cosαsin β=错误！未找到引用源。 9、万能公式
10．三角混合不等式：若x ∈（0，错误！未找到引用
源。
),sinx ＜x ＜tanx
当x →0时sinx 错误！未找到引用源。x 错误！未找到引用源。tanx
11. 海伦公式变式 如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c ，大三角形面积为
12. 双曲函数
定义双曲正弦函数sinhx=错误！未找到引用源。，双曲余弦函数coshx=错误！未找到引用源。
易知（1）奇偶性：sinhx 为奇函数，coshx 为偶函数
（2）导函数：（sinhx ）’=coshx，（coshx ）’=sinhx （3）两角和：sinh （x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy （4）复数域：sinh （ix ）=isin（x ） cosh（ix ）=icos（x ）
（5）定义域：x ∈R
（6）值域：sinhx ∈R ，coshx ∈[1，+∞）
13. 三角形三边a.b.c 成等差数列，则错误！未找到引用源。 14. 三角形不等式 （1）在锐角△中，
（2）在△中，错误！未找到引用源。
（3）在△中，sinA>sinB错误！未找到引用源。cos2A>cos2B 15．ASA 的面积公式：
三、复数
1．欧拉公式（泰勒级数推出） cosθ+isinθ=e
n
i θ
2．棣莫弗定理（欧拉公式推出）（cos θ+isinθ）=cos(nθ)+isin(nθ) 3. 复数模不等式（三角不等式）|z1+z2+∧+zn |≢|z1|+|z2|+∧+|zn | 当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立 4．
5. 复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)
四．数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）
错误！未找到引用源。
1.A n+1=kAn +f(n)两边同除以k n+1，构造数列｛错误！未找到引用源。｝，通过累加法得出通项公式
2. An+1=kAn +C 设一常数x ，A n+1+x=k（A n +x） An+1 =kAn +（k-1）x 则（k-1）x=C，求出x=错误！未找到引用源。，得到等比数列｛错误！未找到引用源。｝, 公比为k 3．不动点法：
形如A n+1=错误！未找到引用源。（d ≠0，当d=0时，则是第二种情况）， 设函数f(x)=错误！未找到引用源。，x=错误！未找到引用源。的根称为f(x)的不动点，
（1）若函数f （x ）有2个不动点α，β 则数列{错误！未找到引用源。}是一个等比数列，A ’n =错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，A n =错误！未找到引用源。
（2）若函数f （x ）只有一个不动点α 则数列{错误！未找到引用源。}数一个
等差数列，A ’n =错误！未找到引用源。
（3）若函数f （x ）没有不动点，则数列{An }是周期数列，周期自己找 4．特征方程法：
形如A n+2=pAn+1+qAn 称为二阶递推数列，
我们可以用它的特征方程x ²-px-q=0的根来求它的通项公式
（1）若方程有两根x1，x2，则A n =错误！未找到引用源。x 1n-1+错误！未找到引用源。x 2n-1 (错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。可根据题目确定)
（2）若只有一个根x 0A n =(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。n)x 0n-1 (错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。可根据题目确定) 5．变系数一阶递推数列
四、不等式
1. 权方和不等式（赫德尔不等式推出）
当且仅当错误！未找到引用源。 2. 黎曼和-定积分不等式 级数与定积分之间的关系 设可积函数f(x)
当f(x)为减时，错误！未找到引用源。 当f(x)为增时，错误！未找到引用源。 3．琴生不等式
函数的平均数与平均数的函数之间的关系 当f(x)为凹函数，即f ’’（x ）>0时
当f(x)为凸函数，即f （x ）
’’
当且仅当x 1=x2=∧=xn 时，等号成立 4. 卡尔松不等式
5．排序不等式 当
且
时，
其中错误！未找到引用源。
以上可概括为 顺序和≣乱序和≣倒序和
5．切比雪夫总和不等式（排序不等式推出） 当a n 与b n 逆序时
当a n 与b n 顺序时不等式反向 6．舒尔不等式（Schur 不等式） x t （x-y ）（x-z ）+yt （y-x ）（y-z ）+zt （z-x ）(z-y)≣0 当x=y=z时，等号成立
配Schur 法（Schur 分拆法）
三元齐三次对称轮换式f(x,y,z)≣0的充要条件是
因为
f(x,y,z)=a
错误！未找到引用源。
+b错误！未找到引用源。+cxyz
三元齐四次对称轮换式f(x,y,z)≣0的充要条件是
因为
f(x,y,z)=错误！未找到引用源。
三元齐五次对称轮换式f(x,y,z)≣0的充要条件是
因为
f(x,y,z)=错误！未找到引用源。 7．常用对数不等式 当x 〉-1时，
当且仅当x=0时等号成立 8. 伯努利不等式
当x ≣-1，n ≣0时或n 为正偶数，x ∈R 时 （1+x）n ≣1+nx
当n=0或1，或x=0时等号成立
9．uvw 法和pqr 法（解决三元对称轮换式）
uvw 法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式 pqr 法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式 当a.b.c 为非负实数时，用uvw 法； 当a,b,c ∈R 时，用pqr 法
10.SOS 法（配方法） 不解释
11．拉格朗日乘数法（解决条件极值问题） 已知f(x,y,z)=0，求F （x,y,z ）的极值
构造拉格朗日函数L=F（x,y,z ）+λf(x,y,z)
对F （x,y,z ）分别关于x,y,z ，λ求偏导，得到四元方程组，其中对F （x,y,z ）关于λ求偏导所得方程即f(x,y,z)=0
解四元方程组所得解，即F （x,y,z ）的极值点，从而算出极值。 由拉格朗日乘数法可知，所有对称轮换式的极值在x=y=z时取到 12．拉格朗日乘数法推论（拉格朗日乘数法得到）
已知x ，y ，z ∈[a,b]，对称轮换式F （x,y,z ）的极值在错误！未找到引用源。和x=y=z时取到
13．已知a.b.c 为正实数，且a+b+c=k，求证错误！未找到引用源。 证明：
k=a+b+c=a+错误！未找到引用源。 整理即得所求不等式 14．幂平均不等式
当且仅当a 1=错误！未找到引用源。=an 时等号成立 15．错误！未找到引用源。 16．错误！未找到引用源。 17. 双绝对值函数图像
18．a.b 为正数
当mn>0时，错误！未找到引用源。 当mn
五、排列组合
1．隔板法I
把n 个元素放到m 个集合中，所得集合均非空，则有错误！未找到引用源。种 x 1+x2+∧+xm =n的正整数解个数为错误！未找到引用源。 2. 隔板法II
把n 个元素放到m 个集合中，所得集合可为空，则有错误！未找到引用源。种 x 1+x2+∧+xm =n的非负整数解个数为错误！未找到引用源。 （a 1x 1+a2x 2+∧+am x m ）n 展开式的项数为错误！未找到引用源。 3. 圆排列
从n 个元素中抽取m 个元素，按照一定的顺序排列成一圈，叫做一个圆排列，圆排列的个数错误！未找到引用源。 4. 重复组合
从n 个元素中抽取m 个元素，元素可以重复选取，不管顺序，组成一组，叫重复组合，重复组合个数错误！未找到引用源。 5．组合恒等式（只例举了最简洁的四个）
6. 从互不相同的n 个非零数字中任取m 个，所得m 位数之和为S ，S=错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。为n 个非零数字的算术平均数 7．（ax+by）n 展开式中，第k 项系数绝对值最大，则
其中[ ]表示高斯函数，即取整函数
六、解析几何
1．圆锥曲线统一极坐标方程错误！未找到引用源。 2．圆锥曲线统一焦点弦长公式错误！未找到引用源。 3．A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），错误！未找到引用源。 当且仅当错误！未找到引用源。时，三点共线 4. A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）四点共圆的充要条件
5.A 1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0三线共点的充要条件错误！未找到引用源。=0
6．过（x 0，y 0）引圆锥曲线F （x,y ）的弦，弦中点的轨迹方程为y-y 0=F’（x,y ）（x-x 0），
当（x 0，y 0）为弦中点时，弦中点轨迹方程为y-y 0=F’（x 0,y 0）（x-x 0） 7. 定比分点公式： A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），AB 的λ+1等分点坐标为（错误！未找到引用源。） 8. 若抛物线y 2=2px，AB 是抛物线上的动弦，k OA k OB =λ，则AB 恒过定点（错误！未找到引用源。）
9. 抛物线焦点弦性质：
抛物线焦点弦两端点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），焦点弦斜率为k ，焦点弦长度为L
2
（1）y 1y 2=-px 1x 2=错误！未找到引用源。 x1+x2=p+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 y1+y2=错误！未找到引用源。
（2）L=x1+x2+p=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
（3）k=错误！未找到引用源。 （4）错误！未找到引用源。 （5）错误！未找到引用源。
10．圆锥曲线焦点弦性质（通性）： 焦点弦长为L ，
（1）已知x 1+x2时， 椭圆：L=2a-e（x 1+x2）
双曲线：L=e错误！未找到引用源。-2a 抛物线：L=错误！未找到引用源。+p
（2）已知焦点弦倾斜角错误！未找到引用源。时，L=错误！未找到引用源。 （3）椭圆、抛物线、双曲线（焦点弦端点在同支）焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
双曲线（焦点弦端点在异支）焦点弦的两个焦半径倒数之差为常数
（4）圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数
（5）圆锥曲线焦点弦AB 的中垂线于对称轴（标准方程中为x 轴）于D ，错误！未找到引用源。
（6）圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径
11. 圆锥曲线的焦半径（通性）
（1）极点为焦点，极轴为x 轴的圆锥曲线极坐标方程
式中的错误！未找到引用源。为极径，即焦半径，错误！未找到引用源。为极角
（2）已知焦半径端点的横坐标x 时
12．双焦点三角形面积： F 1.F 2为有心圆锥曲线两焦点
P 为椭圆上一个点，错误！未找到引用源。 P 为双曲线上一个点，错误！未找到引用源。 13. 圆锥曲线幂定理：
圆锥曲线F （x,y ）≡Ax 2+By2+Dx+Ey+F=0与一条过M （x 0，y 0），且倾斜角为错误！未找到引用源。的直线L 交于P 1.P 2两点，则
错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
14. 点P （x 0，y 0）对圆锥曲线C 引两条切线，连结切点所得线为切点弦（极线），或点P （x 0，y 0）为切点，则极线方程或切线方程为 （1）若C 为椭圆，错误！未找到引用源。 （2）若C 为双曲线，错误！未找到引用源。 （3）若C 为抛物线，错误！未找到引用源。 15. 已知有心圆锥曲线F （x,y ），直线l ：f(x,y)，p 是l 上一点，射线OP 交圆锥曲线于点R ，又点Q 在OB 上，且满足错误！未找到引用源。，当P 在l 上移动时，Q 的轨迹方程即为F （x,y ）=f(x,y) 16．曲线族F （x,y,t ）的包络为
F （x,y,t ）=错误！未找到引用源。=0 17. A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），以AB 为直径的圆的方程为（x-x 1）（x-x 2）+（y-y 1）（y-y 2）=0
18. 关于双曲线渐近线：
（1）共轭双曲线：实轴与虚轴对换，有相同渐近线，四焦点共圆，
离心率的倒数平方和为1：错误！未找到引用源。
（2）焦点到渐近线距离为虚半轴长b
（3）若两渐近线夹角为错误！未找到引用源。，则双曲线离心率e=错误！未找到引用源。
（4）双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数错误！未找到引用源。 （5）过双曲线上任意一点M 作平行于实轴的直线交两渐近线于P.Q ，则错误！未找到引用源。
19．过有心圆锥曲线上一定点P （x 0，y 0）作倾斜角互补的两直线与有心圆锥曲线的另两交点A.B 的连线的斜率为定值
过无心圆锥曲线上上一定点P （x 0，y 0）作倾斜角互补的两直线与无心圆锥曲线的另两交点A.B 的连线的斜率为定值
以上情况中，∠APB 的角平分线x=x0平行于y 轴，ΔAPB 的内切圆圆心恒过直线x=x0.
20. 圆锥曲线光学性质：
椭圆：由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点
双曲线：由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线必过另一焦点 抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴
21. 有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为b 2
22. 椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率错误！未找到引用源。切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率错误！未找到引用源。弦中点与中心连线的斜率=错误！未找到引用源。
双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜率错误！未找到引用源。切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率错误！未找到引用源。弦中点与中心连线的斜率=错误！未找到引用源。
23. 抛物线y 2=2px内接Rt △OAB （以O 为直角顶点），A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）
22
（1）x 1x 2=4p，y 1y 2=-4p （2）AB 恒过顶点（2p,0）
（3）AB 中点轨迹方程y 2=p（x-2p ）
（4）AB 边上高的垂足轨迹方程（x-p ）2+y2=p2 （5）（S △OAB ）min =（错误！未找到引用源。）min =4p2 24. 对于极坐标方程错误！未找到引用源。，从θ1到θ2，曲线所围成的面积S=错误！未找到引用源。
对于极坐标方程错误！未找到引用源。，从θ1到θ2，曲线所积出的长度L=错误！未找到引用源。
25．圆锥曲线上一弦AB ，其中点M （x 0，y 0），AB 的斜率为 （1）对于椭圆，错误！未找到引用源。 （2）对于双曲线，错误！未找到引用源。 （3）对于抛物线，错误！未找到引用源。
26. 圆锥曲线上定点：圆锥曲线上有一定点P （x 0，y 0），另有一直线L 于圆锥曲线交于与P 相异两点A.B.
第一组：当k PA k PB =λ（λ≠错误！未找到引用源。）时
1）
点错误！未找到引用源。
2）
定点错误！未找到引用源。
3）
定点错误！未找到引用源。
第二组：当k PA +kPB =λ（λ≠0）时
1）
点错误！未找到引用源。
2）
定点错误！未找到引用源。
3）
定点错误！未找到引用源。
七、立体几何
对于抛物线，L 恒过对于双曲线，L 恒过对于椭圆，L 恒过定对于抛物线，L 恒过对于双曲线，L 恒过对于椭圆，L 恒过定
1．万能求积公式：
2. 设平面内三点A.B.C ，错误！未找到引用源。（x 1，y 1，z 1），错误！未找到引用源。（x 2，y 2，z 2），则该平面的法向量为
错误！
未找到引用源。 3. 空间余弦定理：相交平面内分别有两条垂直于相交棱的线段，长度分别为m.n ，垂足距离为d ，另一端点之间距离为L ，则平面所成二面角θ，满足
4. 二面角射影定理：如果平面α内的一个多边形面积为S ，它在平面β内的射影面积为S 射，α与β所成二面角为θ，则
5. 三射线定理：从O 点引出三条不共面射线OA.OB.OC ，∠AOC=θ1，∠BOC=θ2，∠AOB=θ，二面角A —OC —B=α，则
6. 四面体ABCD 相对棱AC 与BD （异面线段）所成角为α，则
7. 四面体体积公式，若四面体两条相对棱长为a.b ，它们的距离为d ，所成角为
θ，则四面体体积为
8. 台体两底面面积为S.S ’，则中截面S 0满足
9. 内切球半径公式：V 为n 面体体积，S 为n 面体表面积，则
10. 旋转体体积公式：S 为凸多边形面积，d 为凸多边形重心到轴的距离，凸多边形绕轴一周所形成的几何体体积为V ，则
11. 四面体体积公式之行列式形式：AB.AC.AD 为四面体ABCD 的三条共点棱，错误！未找到引用源。, V
四面体ABCD
=错误！未找到引用源。
一． 函数
1. 抽象函数的周期
（1）f （a ±x)=f(b±x) T=|b-a| （2）f （a ±x)=-f(b±x) T=2|b-a| （3）f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a （4）f(x-a)=f(x+a) T=2a （5）f(x+a)=-f(x) T=2a 2．奇偶函数概念的推广及其周期： （1）对于函数f （x ），若存在常数a ，使得f （a-x ）=f（a+x），则称f （x ）为广义（Ⅰ）型偶函数，且当有两个相异实数a ，b 同时满足时，f （x ）为周期函数T=2|b-a|
（2）若f （a-x ）=-f（a+x），则f （x ）是广义（Ⅰ）型奇函数，当有两个相异实数a ，b 同时满足时，f （x ）为周期函数T=2|b-a| 3. 抽象函数的对称性
（1）若f （x) 满足f （a+x）+f（b-x ）=c
则函数关于（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）成中心对称（充要）
（2）若f （x ）满足f （a+x）=f（b-x ）
则函数关于直线x=错误！未找到引用源。成轴对称（充要） 4. 洛必达法则，设连续可导函数f(x)和
g(x)
二、三角
1. 三角形恒等式
（1）在△中，错误！未找到引用源。
（2） 正切定理&余切定理：
在非Rt △中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 错误！未找到引用源。 （3） 错误！未找到引用源。
（4）错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 （5）
2．任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）： 在△ABC 中
a ＝bcosC ＋ccosB ；b ＝ccosA ＋acosC ；c=acosB＋bcosA 3. 任意三角形内切圆半径r=错误！未找到引用源。（S 为面积），
外接圆半径错误！未找到引用源。 欧拉不等式：R>2r
4．梅涅劳斯定理
如下图，E.D.F 三点共线的充要条件是 错误！未找到引用源。
5．塞瓦定理
如下图，AD 、BE 、CF 三线共点的充要条件是
错误！未找到引用源。
6. 斯特瓦尔特定理：
如下图，设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有
AB ²错误！未找到引用源。DC+AC²错误！未找到引用源。BD-AD ²错误！未找到引用源。BC ＝BC 错误！未找到引用源。DC 错误！未找到引用源。BD
7、和差化积公式（只记忆第一条）
sin α+sinβ=2sin错误！未找到引用源。cos 错误！未找到引用源。 sin α-sin β=2cos错误！未找到引用源。sin
错误！未找到引用源。
cos α+cosβ=2cos错误！未找到引用源。cos 错误！未找到引用源。 cos α-cos β=-2sin错误！未找到引用源。sin 错误！未找到引用源。 8、积化和差公式
sin αsin β=-错误！未找到引用源。 cosαcos β=错误！未找到引用源。 sin αcos β=错误！未找到引用源。 cosαsin β=错误！未找到引用源。 9、万能公式
10．三角混合不等式：若x ∈（0，错误！未找到引用
源。
),sinx ＜x ＜tanx
当x →0时sinx 错误！未找到引用源。x 错误！未找到引用源。tanx
11. 海伦公式变式 如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c ，大三角形面积为
12. 双曲函数
定义双曲正弦函数sinhx=错误！未找到引用源。，双曲余弦函数coshx=错误！未找到引用源。
易知（1）奇偶性：sinhx 为奇函数，coshx 为偶函数
（2）导函数：（sinhx ）’=coshx，（coshx ）’=sinhx （3）两角和：sinh （x+y）=sinhxcoshy+coshxsinhy cosh（x+y）=coshxcoshy+sinhxsinhy （4）复数域：sinh （ix ）=isin（x ） cosh（ix ）=icos（x ）
（5）定义域：x ∈R
（6）值域：sinhx ∈R ，coshx ∈[1，+∞）
13. 三角形三边a.b.c 成等差数列，则错误！未找到引用源。 14. 三角形不等式 （1）在锐角△中，
（2）在△中，错误！未找到引用源。
（3）在△中，sinA>sinB错误！未找到引用源。cos2A>cos2B 15．ASA 的面积公式：
三、复数
1．欧拉公式（泰勒级数推出） cosθ+isinθ=e
n
i θ
2．棣莫弗定理（欧拉公式推出）（cos θ+isinθ）=cos(nθ)+isin(nθ) 3. 复数模不等式（三角不等式）|z1+z2+∧+zn |≢|z1|+|z2|+∧+|zn | 当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立 4．
5. 复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)
四．数列（所有通过递推关系得出通项后都要检验首项）
错误！未找到引用源。
1.A n+1=kAn +f(n)两边同除以k n+1，构造数列｛错误！未找到引用源。｝，通过累加法得出通项公式
2. An+1=kAn +C 设一常数x ，A n+1+x=k（A n +x） An+1 =kAn +（k-1）x 则（k-1）x=C，求出x=错误！未找到引用源。，得到等比数列｛错误！未找到引用源。｝, 公比为k 3．不动点法：
形如A n+1=错误！未找到引用源。（d ≠0，当d=0时，则是第二种情况）， 设函数f(x)=错误！未找到引用源。，x=错误！未找到引用源。的根称为f(x)的不动点，
（1）若函数f （x ）有2个不动点α，β 则数列{错误！未找到引用源。}是一个等比数列，A ’n =错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，A n =错误！未找到引用源。
（2）若函数f （x ）只有一个不动点α 则数列{错误！未找到引用源。}数一个
等差数列，A ’n =错误！未找到引用源。
（3）若函数f （x ）没有不动点，则数列{An }是周期数列，周期自己找 4．特征方程法：
形如A n+2=pAn+1+qAn 称为二阶递推数列，
我们可以用它的特征方程x ²-px-q=0的根来求它的通项公式
（1）若方程有两根x1，x2，则A n =错误！未找到引用源。x 1n-1+错误！未找到引用源。x 2n-1 (错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。可根据题目确定)
（2）若只有一个根x 0A n =(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。n)x 0n-1 (错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。可根据题目确定) 5．变系数一阶递推数列
四、不等式
1. 权方和不等式（赫德尔不等式推出）
当且仅当错误！未找到引用源。 2. 黎曼和-定积分不等式 级数与定积分之间的关系 设可积函数f(x)
当f(x)为减时，错误！未找到引用源。 当f(x)为增时，错误！未找到引用源。 3．琴生不等式
函数的平均数与平均数的函数之间的关系 当f(x)为凹函数，即f ’’（x ）>0时
当f(x)为凸函数，即f （x ）
’’
当且仅当x 1=x2=∧=xn 时，等号成立 4. 卡尔松不等式
5．排序不等式 当
且
时，
其中错误！未找到引用源。
以上可概括为 顺序和≣乱序和≣倒序和
5．切比雪夫总和不等式（排序不等式推出） 当a n 与b n 逆序时
当a n 与b n 顺序时不等式反向 6．舒尔不等式（Schur 不等式） x t （x-y ）（x-z ）+yt （y-x ）（y-z ）+zt （z-x ）(z-y)≣0 当x=y=z时，等号成立
配Schur 法（Schur 分拆法）
三元齐三次对称轮换式f(x,y,z)≣0的充要条件是
因为
f(x,y,z)=a
错误！未找到引用源。
+b错误！未找到引用源。+cxyz
三元齐四次对称轮换式f(x,y,z)≣0的充要条件是
因为
f(x,y,z)=错误！未找到引用源。
三元齐五次对称轮换式f(x,y,z)≣0的充要条件是
因为
f(x,y,z)=错误！未找到引用源。 7．常用对数不等式 当x 〉-1时，
当且仅当x=0时等号成立 8. 伯努利不等式
当x ≣-1，n ≣0时或n 为正偶数，x ∈R 时 （1+x）n ≣1+nx
当n=0或1，或x=0时等号成立
9．uvw 法和pqr 法（解决三元对称轮换式）
uvw 法：令a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v2,abc=w3，得到新不等式 pqr 法：令a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r，得到新不等式 当a.b.c 为非负实数时，用uvw 法； 当a,b,c ∈R 时，用pqr 法
10.SOS 法（配方法） 不解释
11．拉格朗日乘数法（解决条件极值问题） 已知f(x,y,z)=0，求F （x,y,z ）的极值
构造拉格朗日函数L=F（x,y,z ）+λf(x,y,z)
对F （x,y,z ）分别关于x,y,z ，λ求偏导，得到四元方程组，其中对F （x,y,z ）关于λ求偏导所得方程即f(x,y,z)=0
解四元方程组所得解，即F （x,y,z ）的极值点，从而算出极值。 由拉格朗日乘数法可知，所有对称轮换式的极值在x=y=z时取到 12．拉格朗日乘数法推论（拉格朗日乘数法得到）
已知x ，y ，z ∈[a,b]，对称轮换式F （x,y,z ）的极值在错误！未找到引用源。和x=y=z时取到
13．已知a.b.c 为正实数，且a+b+c=k，求证错误！未找到引用源。 证明：
k=a+b+c=a+错误！未找到引用源。 整理即得所求不等式 14．幂平均不等式
当且仅当a 1=错误！未找到引用源。=an 时等号成立 15．错误！未找到引用源。 16．错误！未找到引用源。 17. 双绝对值函数图像
18．a.b 为正数
当mn>0时，错误！未找到引用源。 当mn
五、排列组合
1．隔板法I
把n 个元素放到m 个集合中，所得集合均非空，则有错误！未找到引用源。种 x 1+x2+∧+xm =n的正整数解个数为错误！未找到引用源。 2. 隔板法II
把n 个元素放到m 个集合中，所得集合可为空，则有错误！未找到引用源。种 x 1+x2+∧+xm =n的非负整数解个数为错误！未找到引用源。 （a 1x 1+a2x 2+∧+am x m ）n 展开式的项数为错误！未找到引用源。 3. 圆排列
从n 个元素中抽取m 个元素，按照一定的顺序排列成一圈，叫做一个圆排列，圆排列的个数错误！未找到引用源。 4. 重复组合
从n 个元素中抽取m 个元素，元素可以重复选取，不管顺序，组成一组，叫重复组合，重复组合个数错误！未找到引用源。 5．组合恒等式（只例举了最简洁的四个）
6. 从互不相同的n 个非零数字中任取m 个，所得m 位数之和为S ，S=错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。为n 个非零数字的算术平均数 7．（ax+by）n 展开式中，第k 项系数绝对值最大，则
其中[ ]表示高斯函数，即取整函数
六、解析几何
1．圆锥曲线统一极坐标方程错误！未找到引用源。 2．圆锥曲线统一焦点弦长公式错误！未找到引用源。 3．A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），错误！未找到引用源。 当且仅当错误！未找到引用源。时，三点共线 4. A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）四点共圆的充要条件
5.A 1x+B1y+C1z=0 A2x+B2y+C2z=0 A3x+B3y+C3z=0三线共点的充要条件错误！未找到引用源。=0
6．过（x 0，y 0）引圆锥曲线F （x,y ）的弦，弦中点的轨迹方程为y-y 0=F’（x,y ）（x-x 0），
当（x 0，y 0）为弦中点时，弦中点轨迹方程为y-y 0=F’（x 0,y 0）（x-x 0） 7. 定比分点公式： A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），AB 的λ+1等分点坐标为（错误！未找到引用源。） 8. 若抛物线y 2=2px，AB 是抛物线上的动弦，k OA k OB =λ，则AB 恒过定点（错误！未找到引用源。）
9. 抛物线焦点弦性质：
抛物线焦点弦两端点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），焦点弦斜率为k ，焦点弦长度为L
2
（1）y 1y 2=-px 1x 2=错误！未找到引用源。 x1+x2=p+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 y1+y2=错误！未找到引用源。
（2）L=x1+x2+p=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
（3）k=错误！未找到引用源。 （4）错误！未找到引用源。 （5）错误！未找到引用源。
10．圆锥曲线焦点弦性质（通性）： 焦点弦长为L ，
（1）已知x 1+x2时， 椭圆：L=2a-e（x 1+x2）
双曲线：L=e错误！未找到引用源。-2a 抛物线：L=错误！未找到引用源。+p
（2）已知焦点弦倾斜角错误！未找到引用源。时，L=错误！未找到引用源。 （3）椭圆、抛物线、双曲线（焦点弦端点在同支）焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数
双曲线（焦点弦端点在异支）焦点弦的两个焦半径倒数之差为常数
（4）圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数
（5）圆锥曲线焦点弦AB 的中垂线于对称轴（标准方程中为x 轴）于D ，错误！未找到引用源。
（6）圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径
11. 圆锥曲线的焦半径（通性）
（1）极点为焦点，极轴为x 轴的圆锥曲线极坐标方程
式中的错误！未找到引用源。为极径，即焦半径，错误！未找到引用源。为极角
（2）已知焦半径端点的横坐标x 时
12．双焦点三角形面积： F 1.F 2为有心圆锥曲线两焦点
P 为椭圆上一个点，错误！未找到引用源。 P 为双曲线上一个点，错误！未找到引用源。 13. 圆锥曲线幂定理：
圆锥曲线F （x,y ）≡Ax 2+By2+Dx+Ey+F=0与一条过M （x 0，y 0），且倾斜角为错误！未找到引用源。的直线L 交于P 1.P 2两点，则
错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
14. 点P （x 0，y 0）对圆锥曲线C 引两条切线，连结切点所得线为切点弦（极线），或点P （x 0，y 0）为切点，则极线方程或切线方程为 （1）若C 为椭圆，错误！未找到引用源。 （2）若C 为双曲线，错误！未找到引用源。 （3）若C 为抛物线，错误！未找到引用源。 15. 已知有心圆锥曲线F （x,y ），直线l ：f(x,y)，p 是l 上一点，射线OP 交圆锥曲线于点R ，又点Q 在OB 上，且满足错误！未找到引用源。，当P 在l 上移动时，Q 的轨迹方程即为F （x,y ）=f(x,y) 16．曲线族F （x,y,t ）的包络为
F （x,y,t ）=错误！未找到引用源。=0 17. A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），以AB 为直径的圆的方程为（x-x 1）（x-x 2）+（y-y 1）（y-y 2）=0
18. 关于双曲线渐近线：
（1）共轭双曲线：实轴与虚轴对换，有相同渐近线，四焦点共圆，
离心率的倒数平方和为1：错误！未找到引用源。
（2）焦点到渐近线距离为虚半轴长b
（3）若两渐近线夹角为错误！未找到引用源。，则双曲线离心率e=错误！未找到引用源。
（4）双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数错误！未找到引用源。 （5）过双曲线上任意一点M 作平行于实轴的直线交两渐近线于P.Q ，则错误！未找到引用源。
19．过有心圆锥曲线上一定点P （x 0，y 0）作倾斜角互补的两直线与有心圆锥曲线的另两交点A.B 的连线的斜率为定值
过无心圆锥曲线上上一定点P （x 0，y 0）作倾斜角互补的两直线与无心圆锥曲线的另两交点A.B 的连线的斜率为定值
以上情况中，∠APB 的角平分线x=x0平行于y 轴，ΔAPB 的内切圆圆心恒过直线x=x0.
20. 圆锥曲线光学性质：
椭圆：由一焦点出发的光线经椭圆反射后必过另一焦点
双曲线：由一焦点出发的光线经双曲线反射后的反向延长线必过另一焦点 抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴
21. 有心圆锥曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且定值为b 2
22. 椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率错误！未找到引用源。切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率错误！未找到引用源。弦中点与中心连线的斜率=错误！未找到引用源。
双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜率错误！未找到引用源。切点与中心连线的斜率=双曲线弦斜率错误！未找到引用源。弦中点与中心连线的斜率=错误！未找到引用源。
23. 抛物线y 2=2px内接Rt △OAB （以O 为直角顶点），A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）
22
（1）x 1x 2=4p，y 1y 2=-4p （2）AB 恒过顶点（2p,0）
（3）AB 中点轨迹方程y 2=p（x-2p ）
（4）AB 边上高的垂足轨迹方程（x-p ）2+y2=p2 （5）（S △OAB ）min =（错误！未找到引用源。）min =4p2 24. 对于极坐标方程错误！未找到引用源。，从θ1到θ2，曲线所围成的面积S=错误！未找到引用源。
对于极坐标方程错误！未找到引用源。，从θ1到θ2，曲线所积出的长度L=错误！未找到引用源。
25．圆锥曲线上一弦AB ，其中点M （x 0，y 0），AB 的斜率为 （1）对于椭圆，错误！未找到引用源。 （2）对于双曲线，错误！未找到引用源。 （3）对于抛物线，错误！未找到引用源。
26. 圆锥曲线上定点：圆锥曲线上有一定点P （x 0，y 0），另有一直线L 于圆锥曲线交于与P 相异两点A.B.
第一组：当k PA k PB =λ（λ≠错误！未找到引用源。）时
1）
点错误！未找到引用源。
2）
定点错误！未找到引用源。
3）
定点错误！未找到引用源。
第二组：当k PA +kPB =λ（λ≠0）时
1）
点错误！未找到引用源。
2）
定点错误！未找到引用源。
3）
定点错误！未找到引用源。
七、立体几何
对于抛物线，L 恒过对于双曲线，L 恒过对于椭圆，L 恒过定对于抛物线，L 恒过对于双曲线，L 恒过对于椭圆，L 恒过定
1．万能求积公式：
2. 设平面内三点A.B.C ，错误！未找到引用源。（x 1，y 1，z 1），错误！未找到引用源。（x 2，y 2，z 2），则该平面的法向量为
错误！
未找到引用源。 3. 空间余弦定理：相交平面内分别有两条垂直于相交棱的线段，长度分别为m.n ，垂足距离为d ，另一端点之间距离为L ，则平面所成二面角θ，满足
4. 二面角射影定理：如果平面α内的一个多边形面积为S ，它在平面β内的射影面积为S 射，α与β所成二面角为θ，则
5. 三射线定理：从O 点引出三条不共面射线OA.OB.OC ，∠AOC=θ1，∠BOC=θ2，∠AOB=θ，二面角A —OC —B=α，则
6. 四面体ABCD 相对棱AC 与BD （异面线段）所成角为α，则
7. 四面体体积公式，若四面体两条相对棱长为a.b ，它们的距离为d ，所成角为
θ，则四面体体积为
8. 台体两底面面积为S.S ’，则中截面S 0满足
9. 内切球半径公式：V 为n 面体体积，S 为n 面体表面积，则
10. 旋转体体积公式：S 为凸多边形面积，d 为凸多边形重心到轴的距离，凸多边形绕轴一周所形成的几何体体积为V ，则
11. 四面体体积公式之行列式形式：AB.AC.AD 为四面体ABCD 的三条共点棱，错误！未找到引用源。, V
四面体ABCD
=错误！未找到引用源。