向量和三角形的五心

向量和三角形的五心

台北市立成功高中游经祥、刘国莉

壹、前言：

在本校自然资优班的一次数学课堂中，笔者讲到以下的性质：

1

在ABC中，若点G为ABC的重心，则OGOAOBOC，其中点O为任一点。

3



下课后，有位许同学便到办公室提出以下的问题：

1

（1）在ABC中，点G为ABC的重心，可得到OG那么反过来， 若OAOBOC的结果；

3



1

有一点G，满足OGOAOBOC，是否保证点G为ABC的重心呢？

3



（2）在ABC中，另外的四心，即内心、垂心、外心、傍心，是否也有类似充要条件的性质呢？ 当时笔者告诉许同学，重心、内心、傍心有类似性质，其中重心的性质是充要条件没错；至于内心、傍心的性质是否为充要，还须再证明看看；而垂心、外心的向量充要性质老师还没看过，容老师再思考一些时间。

接到许同学的问题后，笔者便与刘国莉老师一起讨论，经过仔细探讨之后，我们得到以下的结果： 1. 重心向量性质的充要条件与证明。 2. 内心向量性质的充要条件与证明。 3. 傍心向量性质的充要条件与证明。 4. 外心向量性质的充要条件与证明。 5. 垂心向量性质的充要条件与证明。

贰、重心的向量性质：

ABC中，则点G为ABC的重心的充要条件

111

为OGOAOBOC（其中点O为任一点）

333

C

证明：设点G为ABC的重心，延长AG交BC于点D，则

AG:GD2:1，BD:DC1:1。因此，

221111AGADABACABAC。

332233

1111

OBOAOCOA 设点O为任一点，OGOAAGOAABAC OA

3333



111

OAOBOC。 333

111

另一方面，已知OGOAOBOC，其中点O为任一点，令OA代入得

333

111tt

1

AGABAC。延长AG交BC于点D，设ADtAGtABACABAC，

333333

31111

B,D,C共线，1，得t。因此，ADABACABAC，故AD为BC

33223322

t

t

3

边上的中线。同理可证：延长BG交AC于点E，则BE为AC边上的中线，故点G为ABC的重心。

参、内心的向量性质：

我们先证明三角形的内分比性质的充要条件，再进一步证明三角形内心

如图（二），在ABC中，点D为BC上的一点，则AD为A的角平分线的充要条件为AB:ACBD:CD 证明：

C

证明省略。

如图（三），设ABC中，，AC

b，ABc，因AB:AC

BD:CD设BDkc，CDkb，k为正数。作BE//AC交AD的延长线于点E，则

ADCEDB

CDAC



BDBE



kbb



kcBE

BEc。可知

ABBEBADBED，又BEDCAD，得BADCADAD为A的角平分线。

圖（三）

如图（四），在ABC中，点O为任一点，则点I为ABC的



内心的充要条件为OI

aabc

OA

babc

OB

cabc

OC

证明：已知点I为ABC的内心，延长AI交BC于点D，则BD:DCc:b，AI:IDAC:BD c:

此，AI

bcabc

AD 

cbc

C

abc:a。因

D

圖（四） a

bccb

ABAC。 ABAC 

abcabcabcbcbc

bc

设点O为任一点，

OIOAAI OA

OA

babc

babc

ABc

cabc

AC



OBOA



abc

babc



OCOA



aabc

OA

babc

OB

cabc

OC。



已知OI得AI

b

aabcAB

OAc

OB

cabc

OC，其中点O为任一点，可取点O等于点A代入，

abcabc



AC。

bc

延长AI交BC于点D，设ADtAI tABAC，因B,D,C共线

abcabc

bc

abcbc

。ADABACBD:CDc:bAB:AC

t1t

bcbcbcabc

AD为A的角平分线。同理，可证BI为B的角平分线，因此点I为ABC的内心。

肆、傍心的向量性质：

我们先证明三角形的外分比性质的充要条件，再进一步证明三角形傍心与向量性质的充要条件，分别

如图（五），在ABC中，则BK为B的外角平分线（点K在AC的延长线上）的充要条件为BA:BCAK:CK。

证明：

已知BK为B的外角平分线，作CQ平行BK交AB于

点Q12；又CQ平行BK13，即得34

BK24，可得AB:BCAB

:QBAK:CK。

已知BA:BC

AK:CK，作CQ//BK交AB于点Q，AB:BQAK:CKBA:

BC

BQBC34。CQ//BK13，24。因此12BK为B的外角平

分线。

ABC中，点O为任一点，则 （1）点Ia为A所对之傍心的充要条件为

OIa

abca

OA

bbca

OB

cbca

OC。

（2）点Ib为A所对之傍心的充要条件为

OIb

aacb

OA

bacb

OB

cacb

OC

（3）点Ic为A所对之傍心的充要条件为

OIc

aabc

OA

babc

OB

cabc

OC

圖（六）

证明：只证明（1），而（2）与（3）同理，故省略。如图（六），点Ia为ABC，A所对之傍心。过点Ia作BC平行BC分别交AB、AC的延长线于B、CBIact，CIabt，

又BIaBB且CIaCC，由

以AIa

bt

AB

ct

ACAC



BCBC

b



bbbt

c



abtct



11t



a

bct

t

abca

。所

cbbtcctABAC 

btctbtctbcbcbccbcb

bcbbccbc

ABAC1tAB1tACbcbcbcbcabcbca

b



AC ABAC





bbca

AB

cbca

AC。

bc

设O为任一点，OIaOAAIaOAABAC

bcabca

OA

bbca



OBOA



cbca

b



OCOA



abca

OA

bbca

OB

cbca



OC。



已知OIaAIa

bbca

abcaAB

OAc

bcaAC。

OB

cbca



OC，令点O为点A代入，得

bca

bc

设AIa交BC于点D，可设ADtAIatABAC，因B,D,C共线

bcabcabcabc

t 。t1

bcbcabca

AD

bbc

AB

cbc



ACBD:CDc:b

AB:ACAIa为A的内角平分线。

abca

BA

cbca



BC，BD:CDc:b，



另一方面，令点O为点B代入，得BIa

BIabcbca

abcaBD

BAa

abcbc

BABDBD

bcabcabcac

c

bca



BABIaBD

bcaBABIa

bcbca

cbc

BC；

AD:DIabca:aAIa:DIabc:a。又AIa为A的内角平分线BD

因此，AB:BDc:a

cbc

bc:a。AIa:DIa

AB:BDBIa为B的外角

平分线。同理可证：CIa为C的外角平分线。故Ia为ABC中A

所对之傍心。

伍、外心的向量性质：

ABC中，点P为任一

B

a

点，则点O为ABC的外心的充要条件为aPO

2

圖（七）

2

b

2

ca

2

22



16

PA

b

2

c

2

ab

2

2



16

PB

PB

c

2

a

2

bc

2

22



PC

16



cosA2sinBsinC

PA

cosB2sinAsinC

cosC2sinAsinB



PC，（其中表ABC的面积）

证明：如图（七），已知点O为ABC的外心，ABc，BCa，ACb。设ODAB于点D，



OEAC于点E，则ABAOAB1ACAOAC

2

2



1AOcosOABABADAB

2



2



12

c。同理，

2



12

b。

2

AOABxAB2yACAB



设AOxAByAC 2

AOACxABACyAC122

ccxbccosAy2222cx2bccosAyc



22

1b2bccosAxb2y2bccosAx2byb2

2c2xb2c2a2yc2



-------（＊），2

2222

bcax2byb





由方程组（＊）可得



2c

2

2bccosA2b

2

2bccosA

2

2

4bc

22

1cosA

cosA1

4bc

22



2

222bca222

1cosA4bc1

2bc



2bcbca

2



2



2

abcabcabcbca。由海龙公式

12

sabc，可知

abcabcabcbca162。

cb

22

由方程组（＊）可得x

bca

2b

2

222

2bcb

222

b

2

ca

22

bc

2

2

ab

22

，

y

2c

2

2

2

2

cb

22

bca

c

2

ab

2

bc

22





。所以AOxAByAC



b

2

c

2

ab

2

22



16

AB

c

22

ac

2

22



16

AC。



设平面上任一点P，POPAAOPAxAByAC PAxPBPAyPCPA





1xyPAxPByPC

22222222

bcabcbac122

1616





PA

b

2

c

2

2

ab

2

22



16

2

PB

c

2

b

2

ac

2

22



PC

16



a

2

b

2

ca

2

22



16

PA

b

2

c

2

ab

2

22



b

2

16

2

2

PB

c

b

ac

2

22

。

PC

16

2

2

a

已得到PO

12

2

b

1

2

ca

2



12

2

16

PA

c

ab

2

2



2

16

PB

c

2

a

2

bc

2

22



16

2

2

PC，利用面积公式



2

absinC

2

2

2

bcsinAcasinB，及余弦定理bca2bccosA、

2

2

abc2abcosC、acb2accosB代入上式，即可得cosAcosBcosCPOPAPBPC。

2sinBsinC2sinAsinC2sinAsinB

C

已知

aPO

2

b

2

ca

2

22



16

PA

b

2

c

2

ab

2

22



16

PB

c

2

a

2

2

bc

2

22



2

16

PC，

圖（八）

b

点P为平面上任一点，令点P为点A代入，得AO

11

（八），设点D为BC中点，ADABAC，

22

2222

1bcabODADAO2

216

c

2

ab

2

2



16

AB

c

2

a

2

bc

2

22



16

AC。如图





1c2a2b2c2

AB2216

2







AC。因此

2222

1bcabBCOD2

216





1cABBC2

2

2

a

2

bc

2

22

16

2

2





ACBC



8b

22

a

2

cb

2

22

b



2

2

16

132

2

22

ac8cabc

2

216



2

a





2

22bc



2





16

2



bc

22



b



acb

222



2

c

2



abc

222



2



0。



所以，直线OD为BC的中垂线。同理可证OE为AC的中垂线。故点O为ABC的外心。

陆、垂心的向量性质：

ABC中，点P为任一点，则点H为ABC的垂心的充要条件为abcacbPH2

16

2

2

2

2

2

2

b

PA

2

ca

22

b

2

2

ac

22

b

PB

2

ca

22

c

2

2

ab

22



PC

1616



cotBcotCPAcotAcotCPBcotAcotBPC（其中表ABC

的面积）

证明：如图（九），ABC中，ABc，ACb，BCa。CDAB于点D，BEAC于点E，点H为ABC的垂心。则ABACABACcosA ABAD ACAE，

ABAHABAHcosHABABAD，

a

圖（九） 

ACAHACAHcosHACABAE；因此，ABACABAHACAH

1b2

2



ca

22

。

2

cxbccosAybccosA

------2bccosAxbybccosA



AHABxAB2yACAB



设AHxAByAC 2 

AHACxABACyAC

（＊＊）。由方程组（＊＊）可得



c

2

bccosAb

2

2

bccosA

2

2

bc

22

1cosA

cosA1

bc

22



2

222bca222

1cosAbc1

2bc





2bc

bca

4



2



2



abcabcabcbca

4

2



164

2

4。

2

x

bccosAbccosA

bccosAb

2

2

bccosA

ccosAb

2

bccosAbccosA

2

bc

2

bca

2bc

2

22

222

bcabcabcabc

2bc4

2

2

2

2

2



，

y

cbccosAbccosA

bccosA

bccosA

2

cbcosA

11



b

2

ca

22

c

4

2

ba

22



。

设平面上任一点P，PHPAAHPAxAByAC 

PAxPBPAyPCPA1xyPAxPByPC





[1**********]2

bcaabcbcacab122

1616



bPA

2

ca

22

a

2

2

bc

22



PB

16



ba

2

ca

22

c

2

2

ab

22



PC

16

2



bc

22

a

2

2

cb

22

b

PA

2

ca

22

a

2

2

bc

22

b

PB

2

ca

22

c

2

2

ab

22



PC

2

161616

接者，将面积公式

2

2

2

12

absinC

2

2

2

12

bcsinA

12

casinB，及余弦定理bca2bccosA、

22

abc2abcosC、acb2accosB代入abcacbbcabacPHPA22

1616



即可得PHcotBcotCPAcotAcotCPBcotAcotBPC。

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b

PB

2

ca

22

c

2

2

ab

22

，

PC

16

 如图（九），已知

abcacbPH2

16

2

2

2

2

2

2

b

PA

2

ca

22

b

2

2

ac

22

b

PB

2

ca

22

c

2

2

ab

22



PC

1616

，点P为任一点。令点P为点A代入，得

bcabacAH2

16

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b

AB

2

2

ca

22

c

2

2

ab

2

22



2

16

2

AC。

2

bcabacBCAH2

16

2

b

2

bcacabBCAB2

16

2

2

2



2

BCAC

2

bcabacBCAH2

16

2

2

2

2

2

2

ac2

22

b

1

2

2

ca

22

c

22

2

ab

a

2

2

bc2

22



2

16

2



132

2

b

2

ca

22

b

2

ac

22

a

cb

22

32b

ca

2

c

2

ab

2

a

2

cb

2

0。



因此，直线AH垂直BC。同理可证，直线BH垂直AC，故点H为ABC的垂心。

柒、结论：

我们在本文的探讨研究中，发现学生有时会提出看似平凡而却容易被遗漏的问题，而这些问题在被提出后，往往是令人觉得深思的问题。平常在教学过程中，看到三角形的重心，便自然想到向量的性质

1OGOAOBOC的口诀，甚至很少特别提出这是三角形重心的充要条件；内心、傍心亦复如是。

3



匆匆岁月，经过学生提问，才激励我们将三角形五心与向量性质的充要条件，作进一步的整理，并完成五心与向量性质充要条件的证明，实在是感恩学生的提问与智慧。

从探讨中我们深深感到教学相长的真实，学生的提问有时会激发老师另ㄧ层的深入思考，难怪古人说：

「有天才学生，没有天才老师。」因此，在此提出，千万不可忽视学生的任何一个问题，好好去思考，一方面可为学生解决问题；另ㄧ方面，可以深入自己的思考视野。虽然内心、傍心、外心、垂心的向量性质的充要条件很烦杂；但可以不必背，而可以纯欣赏即可。可见数学是千变万化，实在美不可言喻。

向量和三角形的五心

台北市立成功高中游经祥、刘国莉

壹、前言：

在本校自然资优班的一次数学课堂中，笔者讲到以下的性质：

1

在ABC中，若点G为ABC的重心，则OGOAOBOC，其中点O为任一点。

3



下课后，有位许同学便到办公室提出以下的问题：

1

（1）在ABC中，点G为ABC的重心，可得到OG那么反过来， 若OAOBOC的结果；

3



1

有一点G，满足OGOAOBOC，是否保证点G为ABC的重心呢？

3



（2）在ABC中，另外的四心，即内心、垂心、外心、傍心，是否也有类似充要条件的性质呢？ 当时笔者告诉许同学，重心、内心、傍心有类似性质，其中重心的性质是充要条件没错；至于内心、傍心的性质是否为充要，还须再证明看看；而垂心、外心的向量充要性质老师还没看过，容老师再思考一些时间。

接到许同学的问题后，笔者便与刘国莉老师一起讨论，经过仔细探讨之后，我们得到以下的结果： 1. 重心向量性质的充要条件与证明。 2. 内心向量性质的充要条件与证明。 3. 傍心向量性质的充要条件与证明。 4. 外心向量性质的充要条件与证明。 5. 垂心向量性质的充要条件与证明。

贰、重心的向量性质：

ABC中，则点G为ABC的重心的充要条件

111

为OGOAOBOC（其中点O为任一点）

333

C

证明：设点G为ABC的重心，延长AG交BC于点D，则

AG:GD2:1，BD:DC1:1。因此，

221111AGADABACABAC。

332233

1111

OBOAOCOA 设点O为任一点，OGOAAGOAABAC OA

3333



111

OAOBOC。 333

111

另一方面，已知OGOAOBOC，其中点O为任一点，令OA代入得

333

111tt

1

AGABAC。延长AG交BC于点D，设ADtAGtABACABAC，

333333

31111

B,D,C共线，1，得t。因此，ADABACABAC，故AD为BC

33223322

t

t

3

边上的中线。同理可证：延长BG交AC于点E，则BE为AC边上的中线，故点G为ABC的重心。

参、内心的向量性质：

我们先证明三角形的内分比性质的充要条件，再进一步证明三角形内心

如图（二），在ABC中，点D为BC上的一点，则AD为A的角平分线的充要条件为AB:ACBD:CD 证明：

C

证明省略。

如图（三），设ABC中，，AC

b，ABc，因AB:AC

BD:CD设BDkc，CDkb，k为正数。作BE//AC交AD的延长线于点E，则

ADCEDB

CDAC



BDBE



kbb



kcBE

BEc。可知

ABBEBADBED，又BEDCAD，得BADCADAD为A的角平分线。

圖（三）

如图（四），在ABC中，点O为任一点，则点I为ABC的



内心的充要条件为OI

aabc

OA

babc

OB

cabc

OC

证明：已知点I为ABC的内心，延长AI交BC于点D，则BD:DCc:b，AI:IDAC:BD c:

此，AI

bcabc

AD 

cbc

C

abc:a。因

D

圖（四） a

bccb

ABAC。 ABAC 

abcabcabcbcbc

bc

设点O为任一点，

OIOAAI OA

OA

babc

babc

ABc

cabc

AC



OBOA



abc

babc



OCOA



aabc

OA

babc

OB

cabc

OC。



已知OI得AI

b

aabcAB

OAc

OB

cabc

OC，其中点O为任一点，可取点O等于点A代入，

abcabc



AC。

bc

延长AI交BC于点D，设ADtAI tABAC，因B,D,C共线

abcabc

bc

abcbc

。ADABACBD:CDc:bAB:AC

t1t

bcbcbcabc

AD为A的角平分线。同理，可证BI为B的角平分线，因此点I为ABC的内心。

肆、傍心的向量性质：

我们先证明三角形的外分比性质的充要条件，再进一步证明三角形傍心与向量性质的充要条件，分别

如图（五），在ABC中，则BK为B的外角平分线（点K在AC的延长线上）的充要条件为BA:BCAK:CK。

证明：

已知BK为B的外角平分线，作CQ平行BK交AB于

点Q12；又CQ平行BK13，即得34

BK24，可得AB:BCAB

:QBAK:CK。

已知BA:BC

AK:CK，作CQ//BK交AB于点Q，AB:BQAK:CKBA:

BC

BQBC34。CQ//BK13，24。因此12BK为B的外角平

分线。

ABC中，点O为任一点，则 （1）点Ia为A所对之傍心的充要条件为

OIa

abca

OA

bbca

OB

cbca

OC。

（2）点Ib为A所对之傍心的充要条件为

OIb

aacb

OA

bacb

OB

cacb

OC

（3）点Ic为A所对之傍心的充要条件为

OIc

aabc

OA

babc

OB

cabc

OC

圖（六）

证明：只证明（1），而（2）与（3）同理，故省略。如图（六），点Ia为ABC，A所对之傍心。过点Ia作BC平行BC分别交AB、AC的延长线于B、CBIact，CIabt，

又BIaBB且CIaCC，由

以AIa

bt

AB

ct

ACAC



BCBC

b



bbbt

c



abtct



11t



a

bct

t

abca

。所

cbbtcctABAC 

btctbtctbcbcbccbcb

bcbbccbc

ABAC1tAB1tACbcbcbcbcabcbca

b



AC ABAC





bbca

AB

cbca

AC。

bc

设O为任一点，OIaOAAIaOAABAC

bcabca

OA

bbca



OBOA



cbca

b



OCOA



abca

OA

bbca

OB

cbca



OC。



已知OIaAIa

bbca

abcaAB

OAc

bcaAC。

OB

cbca



OC，令点O为点A代入，得

bca

bc

设AIa交BC于点D，可设ADtAIatABAC，因B,D,C共线

bcabcabcabc

t 。t1

bcbcabca

AD

bbc

AB

cbc



ACBD:CDc:b

AB:ACAIa为A的内角平分线。

abca

BA

cbca



BC，BD:CDc:b，



另一方面，令点O为点B代入，得BIa

BIabcbca

abcaBD

BAa

abcbc

BABDBD

bcabcabcac

c

bca



BABIaBD

bcaBABIa

bcbca

cbc

BC；

AD:DIabca:aAIa:DIabc:a。又AIa为A的内角平分线BD

因此，AB:BDc:a

cbc

bc:a。AIa:DIa

AB:BDBIa为B的外角

平分线。同理可证：CIa为C的外角平分线。故Ia为ABC中A

所对之傍心。

伍、外心的向量性质：

ABC中，点P为任一

B

a

点，则点O为ABC的外心的充要条件为aPO

2

圖（七）

2

b

2

ca

2

22



16

PA

b

2

c

2

ab

2

2



16

PB

PB

c

2

a

2

bc

2

22



PC

16



cosA2sinBsinC

PA

cosB2sinAsinC

cosC2sinAsinB



PC，（其中表ABC的面积）

证明：如图（七），已知点O为ABC的外心，ABc，BCa，ACb。设ODAB于点D，



OEAC于点E，则ABAOAB1ACAOAC

2

2



1AOcosOABABADAB

2



2



12

c。同理，

2



12

b。

2

AOABxAB2yACAB



设AOxAByAC 2

AOACxABACyAC122

ccxbccosAy2222cx2bccosAyc



22

1b2bccosAxb2y2bccosAx2byb2

2c2xb2c2a2yc2



-------（＊），2

2222

bcax2byb





由方程组（＊）可得



2c

2

2bccosA2b

2

2bccosA

2

2

4bc

22

1cosA

cosA1

4bc

22



2

222bca222

1cosA4bc1

2bc



2bcbca

2



2



2

abcabcabcbca。由海龙公式

12

sabc，可知

abcabcabcbca162。

cb

22

由方程组（＊）可得x

bca

2b

2

222

2bcb

222

b

2

ca

22

bc

2

2

ab

22

，

y

2c

2

2

2

2

cb

22

bca

c

2

ab

2

bc

22





。所以AOxAByAC



b

2

c

2

ab

2

22



16

AB

c

22

ac

2

22



16

AC。



设平面上任一点P，POPAAOPAxAByAC PAxPBPAyPCPA





1xyPAxPByPC

22222222

bcabcbac122

1616





PA

b

2

c

2

2

ab

2

22



16

2

PB

c

2

b

2

ac

2

22



PC

16



a

2

b

2

ca

2

22



16

PA

b

2

c

2

ab

2

22



b

2

16

2

2

PB

c

b

ac

2

22

。

PC

16

2

2

a

已得到PO

12

2

b

1

2

ca

2



12

2

16

PA

c

ab

2

2



2

16

PB

c

2

a

2

bc

2

22



16

2

2

PC，利用面积公式



2

absinC

2

2

2

bcsinAcasinB，及余弦定理bca2bccosA、

2

2

abc2abcosC、acb2accosB代入上式，即可得cosAcosBcosCPOPAPBPC。

2sinBsinC2sinAsinC2sinAsinB

C

已知

aPO

2

b

2

ca

2

22



16

PA

b

2

c

2

ab

2

22



16

PB

c

2

a

2

2

bc

2

22



2

16

PC，

圖（八）

b

点P为平面上任一点，令点P为点A代入，得AO

11

（八），设点D为BC中点，ADABAC，

22

2222

1bcabODADAO2

216

c

2

ab

2

2



16

AB

c

2

a

2

bc

2

22



16

AC。如图





1c2a2b2c2

AB2216

2







AC。因此

2222

1bcabBCOD2

216





1cABBC2

2

2

a

2

bc

2

22

16

2

2





ACBC



8b

22

a

2

cb

2

22

b



2

2

16

132

2

22

ac8cabc

2

216



2

a





2

22bc



2





16

2



bc

22



b



acb

222



2

c

2



abc

222



2



0。



所以，直线OD为BC的中垂线。同理可证OE为AC的中垂线。故点O为ABC的外心。

陆、垂心的向量性质：

ABC中，点P为任一点，则点H为ABC的垂心的充要条件为abcacbPH2

16

2

2

2

2

2

2

b

PA

2

ca

22

b

2

2

ac

22

b

PB

2

ca

22

c

2

2

ab

22



PC

1616



cotBcotCPAcotAcotCPBcotAcotBPC（其中表ABC

的面积）

证明：如图（九），ABC中，ABc，ACb，BCa。CDAB于点D，BEAC于点E，点H为ABC的垂心。则ABACABACcosA ABAD ACAE，

ABAHABAHcosHABABAD，

a

圖（九） 

ACAHACAHcosHACABAE；因此，ABACABAHACAH

1b2

2



ca

22

。

2

cxbccosAybccosA

------2bccosAxbybccosA



AHABxAB2yACAB



设AHxAByAC 2 

AHACxABACyAC

（＊＊）。由方程组（＊＊）可得



c

2

bccosAb

2

2

bccosA

2

2

bc

22

1cosA

cosA1

bc

22



2

222bca222

1cosAbc1

2bc





2bc

bca

4



2



2



abcabcabcbca

4

2



164

2

4。

2

x

bccosAbccosA

bccosAb

2

2

bccosA

ccosAb

2

bccosAbccosA

2

bc

2

bca

2bc

2

22

222

bcabcabcabc

2bc4

2

2

2

2

2



，

y

cbccosAbccosA

bccosA

bccosA

2

cbcosA

11



b

2

ca

22

c

4

2

ba

22



。

设平面上任一点P，PHPAAHPAxAByAC 

PAxPBPAyPCPA1xyPAxPByPC





[1**********]2

bcaabcbcacab122

1616



bPA

2

ca

22

a

2

2

bc

22



PB

16



ba

2

ca

22

c

2

2

ab

22



PC

16

2



bc

22

a

2

2

cb

22

b

PA

2

ca

22

a

2

2

bc

22

b

PB

2

ca

22

c

2

2

ab

22



PC

2

161616

接者，将面积公式

2

2

2

12

absinC

2

2

2

12

bcsinA

12

casinB，及余弦定理bca2bccosA、

22

abc2abcosC、acb2accosB代入abcacbbcabacPHPA22

1616



即可得PHcotBcotCPAcotAcotCPBcotAcotBPC。

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b

PB

2

ca

22

c

2

2

ab

22

，

PC

16

 如图（九），已知

abcacbPH2

16

2

2

2

2

2

2

b

PA

2

ca

22

b

2

2

ac

22

b

PB

2

ca

22

c

2

2

ab

22



PC

1616

，点P为任一点。令点P为点A代入，得

bcabacAH2

16

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b

AB

2

2

ca

22

c

2

2

ab

2

22



2

16

2

AC。

2

bcabacBCAH2

16

2

b

2

bcacabBCAB2

16

2

2

2



2

BCAC

2

bcabacBCAH2

16

2

2

2

2

2

2

ac2

22

b

1

2

2

ca

22

c

22

2

ab

a

2

2

bc2

22



2

16

2



132

2

b

2

ca

22

b

2

ac

22

a

cb

22

32b

ca

2

c

2

ab

2

a

2

cb

2

0。



因此，直线AH垂直BC。同理可证，直线BH垂直AC，故点H为ABC的垂心。

柒、结论：

我们在本文的探讨研究中，发现学生有时会提出看似平凡而却容易被遗漏的问题，而这些问题在被提出后，往往是令人觉得深思的问题。平常在教学过程中，看到三角形的重心，便自然想到向量的性质

1OGOAOBOC的口诀，甚至很少特别提出这是三角形重心的充要条件；内心、傍心亦复如是。

3



匆匆岁月，经过学生提问，才激励我们将三角形五心与向量性质的充要条件，作进一步的整理，并完成五心与向量性质充要条件的证明，实在是感恩学生的提问与智慧。

从探讨中我们深深感到教学相长的真实，学生的提问有时会激发老师另ㄧ层的深入思考，难怪古人说：

「有天才学生，没有天才老师。」因此，在此提出，千万不可忽视学生的任何一个问题，好好去思考，一方面可为学生解决问题；另ㄧ方面，可以深入自己的思考视野。虽然内心、傍心、外心、垂心的向量性质的充要条件很烦杂；但可以不必背，而可以纯欣赏即可。可见数学是千变万化，实在美不可言喻。