【考向预测】
从近几年的高考试题命题情况来看, 三角函数与平面向量在高考中基本上是两个小题一个大题或四个小题. 小题以中、低档难度试题为主, 主要考查三角函数的求值、化简, 三角函数的图象及简单性质, 向量的运算等基础知识, 试题大多来源于教材, 是例题、习题的变形或创新. 解答题常以平面向量或三角恒等变换为工具, 综合考查三角函数的图象和性质; 或以正、余弦定理为工具, 考查解三角形及其应用; 或考查平面向量在解析几何中的综合应用. 预测2014年高考对三角函数与平面向量内容的考查, 将侧重平面向量知识在主观题中的渗透, 解答题仍将以三角恒等变换或解三角形为主.
【问题引领】
1. (2013福建卷) 将函数f (x ) =sin(2x+θ)(-0) 个单位长度后得到函数g (x ) 的图象, 若f (x ), g (x ) 的图象都经过点P (0,), 则φ的值可以是( ) .
A. B. C. D.
2. (2013四川卷) 设sin 2α=-sin α, α∈(, π), 则tan 2α的值是 .
3. (2013新课标全国Ⅰ卷) 已知两个单位向量a , b 的夹角为60°, c=ta+(1-t ) b , 若b ·c=0, 则t= . 4. (2013陕西卷) 已知向量a=(cos x , -), b=((1)求f (x ) 的最小正周期;
(2)求f (x ) 在[0,]上的最大值和最小值.
sin x ,cos 2x ), x ∈R, 设函数f (x ) =a·b.
5. (2013四川卷) 在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且cos(A-B )cos B-sin(A-B )sin(A+C) =-. (1)求sin A 的值; (2)若a=4
, b=5, 求向量
在
方向上的投影.
【知识整合】
一、三角函数的图象与性质 1. 任意角的三角函数
设α是一个任意角, 它的终边上除原点外的任意一点为P (x , y ), r=, 那么sin α=,cos α=,tan α=.
3. 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象
(1)“五点法”作图:设z=ωx+φ, 令z=0, , π, , 2π, 求出x 的值与相应的y 的值, 描点、连线可得. (2)图象变换:
①y=sin x y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ
)
y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) .
②y=sin x y=sin ωx
y=sin(ωx+φ
)
y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) .
二、三角恒等变换与解三角形 1. 和、差角公式:
(1)cos(α±β) =cos αcos β∓sin αsin β. (2)sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β. (3)tan(α±β) =2. 倍角公式:
(1)sin 2α=2sin αcos α;1±sin α=(sin±cos ) 2. (2)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;cos 2α=(3)tan 2α=
,sin 2α=
.
.
.
sin(α+φ) . )
3. 辅助角公式:a sin α+bcos α=(其中cos φ=
,sin φ=
4. 正、余弦定理及三角形面积公式: (1)正弦定理:
===2R (2R 为△ABC 外接圆的直径) .
(2)余弦定理:a 2=b2+c2-2bc cos A ; b 2=a2+c2-2ac cos B ; c 2=a2+b2-2ab cos C. (3)三角形面积公式:S △ABC
=bc sin A=ac sin B=ab sin C. 5. 三角形中的常用结论:
(1)三角形内角和定理:A+B+C=π. (2)A>B>C⇔a>b>c⇔sin A>sin B>sin C. (3)a=bcos C+ccos B.
(4)已知两边及其一边的对角, 判断三角形解的情况:以已知a , b , A 为例, (i)当A 为直角或钝角时, 若a>b, 则有一解; 若a ≤b , 则无解. (ii)当A 为锐角时, 如下表:
三、平面向量 1. 向量的概念
(1)零向量模的大小为0, 方向是任意的, 它与任意非零向量都共线, 记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量, a 的单位向量为. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量) .
(4)向量的投影:|b|cos 叫作向量b 在向量a 方向上的投影. 2. 平面向量的运算:
(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础, 应熟练掌握其运算规律.
(2)平面向量数量积的结果是实数, 而不是向量. 要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异, 平面向量的数量积不满足结合律与消去律.a ·b 的运算结果不仅与a , b 的长度有关, 而且还与a , b 的夹角有关, 即a ·b=|a||b|·cos .
3. 两非零向量平行、垂直的充要条件:若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), 则 (1)a ∥b ⇔a =λb (λ≠0) ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
(2)a ⊥b ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y1y 2=0. (注意a 、b 为非零向量) 4. 利用向量的数量积求线段的长度问题 (1)若a=(x , y ), 则|a|=
=
|=
.
=
.
(2)若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则|
5. 求向量的夹角问题:设θ为a 与b 的夹角, 则 (1)cos θ=
.
.
(2)若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), 则cos θ=(3)夹角大小的判定方法:
若a ·b>0⇔a 与b 的夹角θ为锐角或零角; 若a ·b
【考点聚焦】
热点一:三角函数图象与性质
从近年高考试题命题情况来看, 对三角函数图象与性质的考查是高考命题的热点和重点. 试题主要以选择题的形式考查三角函数图象的对称轴、对称中心、单调性、最值等问题, 题目难度较小; 或以解答题的形式综合考查三角恒等变换、平面向量等知识, 综合性较强. 此类问题把解析式化为形如y=Asin(ωx+φ) 的一般式是解题的关键.
(2013山东卷) 设函数f (x ) =-离为.
(1)求ω的值;
(2)求f (x ) 在区间[π, ]上的最大值和最小值.
sin 2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0), 且y=f(x ) 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距
【分析】本题是综合考查两角和与差的正弦公式, 二倍角的正、余弦公式及辅助角公式, 三角函数的周期、单调性等知识. 需先把函数式化为y=Asin(ωx+φ) 的形式, 然后依照有关知识进行解答.
【解析】(1)f (x ) =-sin 2ωx-sin ωxcos ωx
=-·-sin 2ωx
=cos 2ωx-sin 2ωx =-sin(2ωx-) .
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为, 又ω>0, 所以因此ω=1.
(2)由(1)知f (x ) =-sin(2x-) . 当π≤x ≤时, ≤2x-≤. 所以-≤sin(2x-) ≤1. 因此-1≤f (x ) ≤.
故f (x ) 在区间[π, ]上的最大值和最小值分别为, -1.
【归纳拓展】求三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称中心、最值及判断三角函数的奇偶性时, 往往是在定义域内, 先化简三角函数式, 尽量化为y=Asin(ωx+φ) +B或y=Acos(ωx+φ) +B的形式, 然后再求解. 在解决三角函数的有关问题时, 若把三角函数的性质融于函数的图象之中, 将数(量) 与图形结合起来进行分析、研究, 可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来, 这也体现了解决三角函数问题时数形结合思想的应用.
变式训练1 对于函数f (x ) =sin x , g (x ) =cos x , h (x ) =x+, 有如下四个命题:
=4×.
①f(x ) -g (x ) 的最大值为;
②f[h (x )]在区间[-,0]上是增函数; ③g[f (x )]是最小正周期为2π的周期函数;
④将f (x ) 的图象向右平移个单位长度可得g (x ) 的图象.
其中真命题的序号是 . 热点二:三角函数图象的变换
通过近年各地高考试题可以看出, 三角函数图象的变换一直是这些年高考考查的热点, 且试题常考常新. 高考对三角函数图象变换的考查, 常结合三角恒等变换、平面向量等知识进行综合考查.
(2013湖北卷) 将函数y=
则m 的最小值是( ) .
A. B. C. D.
cos x+sin x (x ∈R) 的图象向左平移m (m>0) 个单位长度后, 所得到的图象关于y 轴对称,
【分析】函数图象经平移后关于y 轴对称, 即平移后的函数为偶函数, 可表示为y=Acos ωx的形式, 故将函数y=cos x+sin
x (x ∈R) 化为y=Acos(ωx+φ) 的形式较好.
【解析】将函数y=cos x+sin x=2cos(x-) 的图象向左平移m 个单位后, 得到函数y=2cos(x-+m) 的图象, 故m
的最小值是
.
【答案】B
【归纳拓展】任何形如y=Asin(ωx+φ) 的函数的图象, 经过平移变换之后, 都可以变成一个奇函数或偶函数的图象, 即可以变换为y=±Asin ωx或y=±Acos ωx的图象. 在进行图象变换时, 必须注意ω对平移单位的影响, 即由y=Asin ωx变化到y=Asin(ωx+φ) 时, 平移量应是||; 但对y=Asin(ωx+φ) 进行伸缩变换时, 要注意φ是不变的. 函数图象的变换一定要注意区别变换前后的函数及其形式.
变式训练2 如图所示, 为了得到g (x ) =sin 2x 的图象, 只需将f (x ) 的图象( ) . A . 向右平移个长度单位 B . 向右平移个长度单位 C . 向左平移个长度单位 D . 向左平移个长度单位 热点三:三角函数求值
从近年高考试题的命题情况来看, 高考对三角函数求值的考查题型有三类:①“给角求值”, 即在不查表的前提下, 通过三角恒等变换求三角函数式的值; ②“给值求值”, 即给出一些三角函数(或三角函数式) 的值, 求与之有关的其他三角函数式的值; ③“给值求角”, 即给出三角函数值, 求出符合条件的角.
(2013广东卷) 已知函数f (x ) =
(1)求f () 的值;
(2)若cos θ=, θ∈(, 2π), 求f (θ-) .
cos(x-), x ∈R .
【分析】本题主要考查三角函数的概念与计算, 考查两角和与差公式的应用. 【解析】(1)f () =(2)f (θ-) =
cos(-) =
cos =
×=1.
(cos θcos +sin θsin ) =cos θ+sin θ.
cos(θ--) =cos(θ-) =
∵cos θ=, θ∈(, 2π), ∴sin θ=-=-,
∴f(θ-) =-=-.
【归纳拓展】对于条件求值问题, 即由给出的某些角的三角函数值, 求另外一些角的三角函数值, 关键在于“变角” , 使“目标角”变换成“已知角”, 若角所在的象限没有确定, 则需分情况讨论, 应注意公式的正用、逆用、变形用, 掌握其结构特征, 还要注意拆角、拼角等技巧的运用.
变式训练3 (1)若sin α+2cos α=0, 则A. - B.
C. D. -
(2)已知α∈(π
, ),cos α=-, 则tan 2α等于( ) . A .
B .- C .-2 D . 2
的值为( ) .
热点四:平面向量的运算
高考对平面向量的运算的考查常考常新, 与平面向量数量积有关的问题(如向量共线、垂直及夹角等问题) 是高考考查的重点. 此类问题多以选择题、填空题的形式出现, 有时也渗透在解答题中与其他知识交汇命题, 综合考查学生分析问题、解决问题的能力.
(2013广东卷) 设a 是已知的平面向量且a ≠0. 关于向量a 的分解, 有如下四个命题:
①给定向量b , 总存在向量c , 使a=b+c.
②给定向量b 和c , 总存在实数λ和μ, 使a =λb +μc.
③给定单位向量b 和正数μ, 总存在单位向量c 和实数λ, 使a =λb +μc. ④给定正数λ和μ, 总存在单位向量b 和单位向量c , 使a =λb +μc.
上述命题中的向量b , c 和a 在同一平面内且两两不共线, 则真命题的个数是( ) . A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
【分析】本题主要考查平面向量的有关概念与性质.
【解析】命题①正确, 因为对于非零向量a , 任意给定向量b , 均存在a-b , 即存在向量c ; 由平面向量基本定理可知命题②正确; 命题③不正确, 若|a|=2, 给定的单位向量b 满足a ·b=0, μ=1时, 对任意的λ, c 恒有|a-λb|=
≥2, |μc|=1, 即a-λb =μc 不可能成立;
命题④不正确, 若|a|=3, λ=μ=1, 则不存在单位向量b , c 满足a =λb +μc , 因为|λb +μc|≤λ+μ=2, 所以a ≠λb +μc.
【答案】B
【归纳拓展】平面向量主要考查:(1)平行、垂直的充要条件;(2)数量积及向量夹角;(3)向量的模. 解决此类问题的办法主要有:(1)利用平面向量基本定理及定义;(2)通过建立坐标系进行坐标运算.
变式训练4 (1)已知向量a=(1,2),a ·b=5, |a-b|=2A .
B .
2
C . 5 D . 25
, 则|b|等于( ) .
(2)在边长为1的正三角形ABC 中, 设=2, =3, 则·= .
热点五:解三角形
“解三角形”不仅反映了三角形边、角间的联系, 体现了数与形的结合, 而且问题易与三角函数的图象和性质、简单三角恒等变换、平面向量等知识点联系, 符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求. 故解三角形问题也一直是历年高考的热点.
(2013湖北卷) 在△ABC 中, 角A , B , C 对应的边分别是a , b , c , 已知cos 2A-3cos(B+C) =1.
(1)求角A 的大小;
(2)若△ABC 的面积S=5, b=5, 求sin B sin C 的值.
【分析】本题主要考查三角恒等变换及正、余弦定理的应用. 第(1)问可先由题设条件求出cos A 值, 再求出角A 的大小; 第(2)问可先由面积求出c 的值, 再由余弦定理求出a 的值, 最后由正弦定理求得sin B sin C 的值.
【解析】(1)由cos 2A-3cos(B+C) =1, 得2cos 2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2) =0, 解得cos A=或cos A=-2(舍去) . 因为0
(2)由S=bc sin A=bc ·
=bc=5
, 得bc=20. 又由b=5, 知c=4.
由余弦定理得a 2=b2+c2-2bc cos A=25+16-20=21, 故a=. 又由正弦定理得sin B sin C=sin A ·sin A=sin 2A=×=.
【归纳拓展】解三角形问题, 常常是对三角形边、角的求解, 此类问题我们要清楚其实质是对三角形有关边、角方程的求解, 故正确利用正、余弦定理建立边、角间的等式关系是此类问题解答的关键.
解三角形问题可用“三二一”三个字来概述. “三”即解三角形问题所用的三个基本定理:正、余弦定理及内角和定理; “二”即解三角形所用的两条思路:根据结论所求或题设条件, 要么是把题设条件化为边的形式, 要么是化为角的形式; “一”即在解三角形的过程中, 一定要注意角的范围或一定要画图, 借助图形更易找出边角关系及解题思路.
变式训练5 已知锐角三角形ABC 中, 内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 向量m=(sin B , (1)求角B 的大小;
(2)若b=3, 求AC 边上的高的最大值.
热点六:解三角形的实际应用
利用正、余弦定理解决与测量或几何计算有关的实际问题, 也是对正、余弦定理的应用的考查, 在近几年的新课标高考中也多有体现, 主要是考查分析问题、解决实际问题的能力及计算能力.
ac ), n=(b 2-a 2-c 2,cos B ), 且m ⊥n.
(2013江苏卷) 如图, 游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径. 一种是从A 沿直线步行到C , 另一种
是先从A 沿索道乘缆车到B , 然后从B 沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A 处下山, 甲沿AC 匀速步行, 速度为50 m/min . 在甲出发2 min后, 乙从A 乘缆车到B , 在B 处停留1 min后, 再从B 匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min, 山路AC 长为1260 m,经测量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB 的长;
(2)问乙出发多少分钟后, 乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?
【分析】根据题设条件建立数学模型, 也即根据题意把实际问题抽象为解三角形问题, 结合图形, 利用解三角形的知识进行解答, 解答过程要注意实际背景.
【解析】(1)在△ABC 中, 因为cos A=,cos C=, 所以sin A=,sin C=. 从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin A cos C+cos A sin C=×+×=.
由正弦定理
=, 得AB=×sin C=×=1040(m).
所以索道AB 的长为1040 m.
(2)假设乙出发t 分钟后, 甲、乙两游客距离为d , 此时, 甲行走了(100+50t )m, 乙距离A 处130t m,所以由余弦定理得
d 2=(100+50t ) 2+(130t ) 2-2×130t×(100+50t ) ×=200(37t 2-70t+50),
因0≤t ≤
, 即0≤t ≤8, 故当t=(min)时, 甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理
=, 得BC=×sin A=×=500(m).
乙从B 出发时, 甲已走了50×(2+8+1) =550(m),还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤乙步行的速度应控制在[
,
-≤3, 解得≤v ≤, 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,
](单位:m/min)范围内.
【归纳拓展】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步:(1)分析题意, 准确理解题意, 分清已知与所求, 尤其要理解题中的有关名词、术语, 如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等;(2)根据题意画出示意图, 并将已知条件在图形中标出;(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中, 通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解;(4)检验解出的结果是否具有实际意义, 对结果进行取舍, 得出正确答案.
解三角形的应用时要注意:(1)检验求解出的结果是否符合实际意义是不可缺少的一个环节;(2)要尽可能地考虑解直角三角形或利用平面几何知识, 这样可使得计算较为简单;(3)为了避免误差的积累, 解题过程中应尽可能地使用已知(原始) 数据, 少用间接量;(4)题中求解有精确要求的, 要合理选择近似值.
变式训练6 如图, 某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处, 由城A 出发的一条公路, 走向是南偏东40°, 在C 处测得公路距C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去, 走了20千米后到达D 处, 此时CD 间的距离为21千米, 问此人还要走多少千米可到达城A
?
热点七:平面向量与三角函数的综合
平面向量与三角函数的综合是高考命题的又一热点, 此类问题是把平面向量的运算, 尤其是平面向量的数量积运算作为三角函数问题的知识载体, 综合考查应用知识分析问题、解决问题的能力, 多以解答题的形式出现. 故平面向量的数量积公式, 特别是向量数量积的坐标公式要能够熟练应用.
(2013辽宁卷) 设向量a=(
(1)若|a|=|b|, 求x 的值;
(2)设函数f (x ) =a·b , 求f (x ) 的最大值.
sin x ,sin x ), b=(cos x ,sin x ), x ∈[0,].
【分析】本题是考查向量的模及向量数量积的运算. 第(1)问把向量坐标代入向量模的公式, 由|a|=|b|即可求得x 的值; 第(2)问把向量坐标代入向量数量积公式, 化解析式为y=Asin(ωx+φ) 的形式, 再由三角函数的知识求其最值, 一定要注意x ∈[0,].
【解析】(1)由|a|2=
(
sin x ) 2+(sin x ) 2=4sin 2x ,
|b|2=(cos x ) 2+(sin x ) 2=1, 及|a|=|b|, 得4sin 2x=1.
又x ∈[0,],从而sin x=, 所以x=. (2)f (x ) =a·b=
sin x ·cos x+sin 2x
=sin 2x-cos 2x+ =sin(2x-) +,
当x=∈[0,]时,sin(2x-) 取最大值1. 所以f (x ) 的最大值为.
【归纳拓展】平面向量与三角函数的综合, 实质上是借助向量的工具性. 解这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算. 常用到向量的数乘、向量的代数运算, 以及数形结合的思想.
变式训练7 已知f (x ) =a·b , 其中a=(2cos x , -(1)求f (x ) 的周期和单调递减区间;
(2)在△ABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , f (A ) =-1, a=
,
·
sin 2x ), b=(cos x ,1)(x ∈R) .
=3, 求边长b 和c 的值(b>c) .
限时训练卷(一)
一、选择题
1. 已知sin θ0, 那么θ是( ) .
A . 第一象限角 B . 第二象限角 C . 第三象限角
D . 第四象限角
2. 已知函数f (x ) =sin(x-)(x ∈R), 下面结论错误的是( ) .
A . 函数f (x ) 的最小正周期为2π
B . 函数f (x ) 在区间[0,]上是增函数
C . 函数f (x ) 的图象关于直线x=0对称
D . 函数f (x ) 是奇函数
3. 若cos(2π-α) =且α∈(-,0), 则sin(π-α) 等于( ) .
A .- B .- C .- D .±
4. 若圆的半径增加到原来的2倍, 弧长也增加到原来的2倍, 则( ) .
A . 扇形面积不变
B . 扇形的圆心角不变
C . 扇形的面积增大到原来的2倍
D . 扇形的圆心角增大到原来的2倍
5. 要得到函数y=sin 2x 的图象, 只需将函数y=sin(2x-) 的图象( ) .
A . 向右平移个单位长度
B . 向左平移个单位长度
C . 向右平移个单位长度
D . 向左平移个单位长度
6. 已知倾斜角为α的直线l 与直线x-2y+2=0平行, 则tan 2α的值为( ) .
A . B . C . D .
7. 下列关系式中正确的是( ) .
A . sin 11°
B . sin 168°
C . sin 11°
D . sin 168°
8. 在直角坐标平面内, 已知函数f (x ) =log a (x+2) +3(a>0且a ≠1) 的图象恒过定点P , 若角θ的终边过点P , 则cos 2θ+sin 2θ的值等于
( ) .
A .- B . C
. D .-
9. 下图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) 图象的一部分, 则其函数解析式是( ) .
A .y=sin(x+) B .y=sin(x-)
C .y=sin(2x+) D .y=sin(2x-)
二、填空题
10. sin(-600°) = .
11. 已知sin(x+) =-, 则sin 2x= .
12. 函数y=sin(1-x ) 的递增区间为 .
三、解答题
13. 已知函数f (x ) =2sin x cos x+cos 2x (x ∈R) .
(1)当x 取什么值时, 函数f (x ) 取得最大值, 并求其最大值;
(2)若θ为锐角, 且f (θ+)
=, 求tan θ的值.
限时训练卷(二)
一、选择题
1. 已知a ·b=-12, |a|=4, a 和b 的夹角为135°, 则|b|为( ) .
A . 12 B . 3 C . 6 D . 3
2. 已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2),B (-1, -2), C (3,1),且=2, 则顶点D 的坐标为( ) .
A . (2,) B . (2,-)
C . (3,2) D . (1,3)
3. 在△ABC 中, =a, =b, 若a ·b>0, 则△ABC 的形状为( ) .
A . 直角三角形 B . 钝角三角形
C . 锐角三角形 D . 不能判断
4. 若函数f (x ) =sin ωx(ω>0) 在区间[0,]上单调递增, 在区间[, ]上单调递减, 则ω等于( ) .
A.3 B.2 C. D.
5. 在△ABC 中, 角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c , 若角A , B , C 依次成等差数列, 且a=1, b=, 则S △ABC 等于( ) .
A . B. C. D.2
6. 满足A=45°, c=, a=2的△ABC 的个数记为m , 则a m 的值为( ) .
A . 4 B . 2 C . 1 D . 不确定
7. 已知A , B , C 是锐角△ABC 的三个内角, 向量p=(sin A ,1), q=(1,-cos B ), 则p 与q 的夹角是( ) .
A . 锐角 B . 钝角 C . 直角 D . 不确定
8. 在△ABC 中, a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边, 设向量m=(b-c , c-a ), n=(b , c+a), 若向量m ⊥n , 则角A 的大小为() .
A . B . C . D .
9. 在△ABC 中, A=60°, b=1, △ABC 的面积为
A .
2 B . C . D . 3 , 则边a 的值为( ) .
二、填空题
10. 在△ABC 中, a=5, b=8, ∠C=60°, 则·的值为 .
11. 已知向量a , b 满足|b|=2, a=(6,-8), a 在b 方向上的投影是-5, 则a 与b 的夹角为 .
12. 4cos 70°+tan 20°= .
三、解答题
13. 在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c. 已知m=(cos,sin ), n=(cos,sin ), 且满足|m+n|=
(1)求角A 的大小;
(2)若|
. |+||=
||, 试判断△ABC 的形状.
一、选择题
1. 已知角α的终边经过点P (m , -3), 且cos α=-, 则m 等于( ) .
A .- B . C .-4 D . 4
2. 在△ABC 中, C=120°,tan A+tan B=
A . B . C . D . , 则tan A tan B 的值为( ) .
3. 已知函数f (x ) =sin(ωx+)(ω>0) 的最小正周期为π, 则该函数的图象( ) .
A . 关于点(,0) 对称
C . 关于点(,0) 对称 B . 关于直线x=对称 D . 关于直线x=对称
4. 若角α的终边落在直线x+y=0上, 则A . 2 B .-2 C .-2或2 D . 0 +的值等于( ) .
5. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 又a 、b 、c 成等比数列, 且c=2a , 则cos B 等于( ) .
A . B . C . D .
6. 已知△ABC 的三内角为A 、B 、C , 设p=(sin C-sin A ,sin B ), q=(sin B ,sin C+sin A ), 若p ∥q , 则角C 的大小为( ) .
A . B . C . D .
7. 函数f (x ) =Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) 的部分图象如图所示, 则f (1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于( ) .
A . 2 B . 2+
C . 2+2 D .-2-2
8. 若△ABC 的三个内角A , B , C 成等差数列, 且(A . 等腰直角三角形
C . 钝角三角形
9. 定义行列式运算
则n 的最小值为( ) .
A . B . C . D .
10. 已知α, β∈(0,
),
+) ·=0, 则△ABC 一定是( ) . B . 非等腰直角三角形 D . 等边三角形 =a1a 4-a 2a 3. 将函数f (x ) =的图象向左平移n (n>0) 个单位长度, 所得图象对应的函数为偶函数, =, 且2sin β=sin(α+β), 则β的值为( ) .
A . B . C . D .
11. 在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 若(a 2+c2-b 2)tan B=
A . B .
C . 或 D . 或 ac , 则角B 的值为( ) .
12. 已知a , b , c 分别为△ABC 的三个内角A , B , C 的对边, 向量m=(2cos C-1, -2), n=(cos C ,cos C+1), 若m ⊥n , 且a+b=10, 则△ABC 周长的最小值为( ) .
A . 10-5
C . 10-2
二、填空题
13. 的值为 . B . 10+5 D . 10+2
14. 已知|a|=10, |b|=8, a 与b 的夹角为120°, 则向量b 在向量a 方向上的投影等于 .
15. 函数y=sin ωx(ω>0) 的图象向左平移个单位后如图所示, 则ω的值是 . 16. 在△ABC 中, BC=1, ∠B=, 当△ABC 的面积等于
三、解答题
17. 已知α∈(, π), 且sin +cos =.
(1)求cos α的值;
(2)若sin(α-β) =-, β∈(, π), 求cos β的值.
18. 已知O 为坐标原点, 时,tan C= . =(2sin2x ,1), =(1,-2sin x cos x+1), f (x ) =·+m.
(1)求y=f(x ) 的单调递增区间;
(2)若f (x ) 的定义域为[, π],值域为[2,5],求m 的值.
19. 在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且a=1, c=
(1)求sin(A+B) 的值;
(2)求sin A 的值;
(3)求
·的值.
cos A ) 共线, 其中A 是△ABC 的内角. ,cos C=. 20. 已知向量m=(sin A , ) 与n=(3,sin A+
(1)求角A 的大小;
(2)若BC=2, 求△ABC 的面积S 的最大值, 并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 21. 已知角A , B , C 是△ABC 的三个内角, 若向量m=(1-cos(A+B),cos
(1)求tan A tan B 的值;
(2)求的最大值. ), n=(,cos ), 且m ·n=.
22. 已知a=(1-cos x ,2sin ), b=(1+cos x ,2cos ) .
(1)若f (x ) =2+sin x-|a-b|2, 求f (x ) 的表达式;
(2)若函数f (x ) 和函数g (x ) 的图象关于原点对称, 求函数g (x ) 的解析式;
(3)若h (x ) =g(x ) -λf(x ) +1在[-
, ]上是增函数, 求实数λ的取值范围.
专题3 三角函数与平面向量
问题引领
1. B 2. 3. 2
4. (1)最小正周期为π
(2)最大值是1, 最小值是-
5. (1) (2)
考点聚焦
变式训练1 ①②
变式训练2 A
变式训练3 (1)A (2)B
变式训练4 (1)C (2)-
变式训练5 (1) (2)
变式训练6 15千米
变式训练7 (1)[k π-, k π+](k ∈Z)
(2)b=3, c=2
对点集训
限时训练卷(一)
1. C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.B 7.C 8.A 9.A 10. 11. 12. [1++2k π,1++2k π](k ∈Z)
13. (1)x=kπ+(k ∈Z) 时, 函数f (x ) 取得最大值, 其值为
(2)
限时训练卷(二)
1. C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.A 8.B 9.C 10. 20 11. 120° 12.
13. (1)A= (2)直角三角形
冲刺高考
1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C
10.A 11.D 12.B
13. 14.-4 15. 2 16.-2
17. (1)- (2)-
18. (1)[k π+, k π+](k ∈Z)
(2)m=1
19. (1) (2) (3)
20. (1) (2)等边三角形
21. (1) (2)
-
22. (1)f (x ) =sin 2x+2sin x
(2)g (x ) =-sin 2x+2sin x (3)λ≤0
【考向预测】
从近几年的高考试题命题情况来看, 三角函数与平面向量在高考中基本上是两个小题一个大题或四个小题. 小题以中、低档难度试题为主, 主要考查三角函数的求值、化简, 三角函数的图象及简单性质, 向量的运算等基础知识, 试题大多来源于教材, 是例题、习题的变形或创新. 解答题常以平面向量或三角恒等变换为工具, 综合考查三角函数的图象和性质; 或以正、余弦定理为工具, 考查解三角形及其应用; 或考查平面向量在解析几何中的综合应用. 预测2014年高考对三角函数与平面向量内容的考查, 将侧重平面向量知识在主观题中的渗透, 解答题仍将以三角恒等变换或解三角形为主.
【问题引领】
1. (2013福建卷) 将函数f (x ) =sin(2x+θ)(-0) 个单位长度后得到函数g (x ) 的图象, 若f (x ), g (x ) 的图象都经过点P (0,), 则φ的值可以是( ) .
A. B. C. D.
2. (2013四川卷) 设sin 2α=-sin α, α∈(, π), 则tan 2α的值是 .
3. (2013新课标全国Ⅰ卷) 已知两个单位向量a , b 的夹角为60°, c=ta+(1-t ) b , 若b ·c=0, 则t= . 4. (2013陕西卷) 已知向量a=(cos x , -), b=((1)求f (x ) 的最小正周期;
(2)求f (x ) 在[0,]上的最大值和最小值.
sin x ,cos 2x ), x ∈R, 设函数f (x ) =a·b.
5. (2013四川卷) 在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且cos(A-B )cos B-sin(A-B )sin(A+C) =-. (1)求sin A 的值; (2)若a=4
, b=5, 求向量
在
方向上的投影.
【知识整合】
一、三角函数的图象与性质 1. 任意角的三角函数
设α是一个任意角, 它的终边上除原点外的任意一点为P (x , y ), r=, 那么sin α=,cos α=,tan α=.
3. 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象
(1)“五点法”作图:设z=ωx+φ, 令z=0, , π, , 2π, 求出x 的值与相应的y 的值, 描点、连线可得. (2)图象变换:
①y=sin x y=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ
)
y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) .
②y=sin x y=sin ωx
y=sin(ωx+φ
)
y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) .
二、三角恒等变换与解三角形 1. 和、差角公式:
(1)cos(α±β) =cos αcos β∓sin αsin β. (2)sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β. (3)tan(α±β) =2. 倍角公式:
(1)sin 2α=2sin αcos α;1±sin α=(sin±cos ) 2. (2)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;cos 2α=(3)tan 2α=
,sin 2α=
.
.
.
sin(α+φ) . )
3. 辅助角公式:a sin α+bcos α=(其中cos φ=
,sin φ=
4. 正、余弦定理及三角形面积公式: (1)正弦定理:
===2R (2R 为△ABC 外接圆的直径) .
(2)余弦定理:a 2=b2+c2-2bc cos A ; b 2=a2+c2-2ac cos B ; c 2=a2+b2-2ab cos C. (3)三角形面积公式:S △ABC
=bc sin A=ac sin B=ab sin C. 5. 三角形中的常用结论:
(1)三角形内角和定理:A+B+C=π. (2)A>B>C⇔a>b>c⇔sin A>sin B>sin C. (3)a=bcos C+ccos B.
(4)已知两边及其一边的对角, 判断三角形解的情况:以已知a , b , A 为例, (i)当A 为直角或钝角时, 若a>b, 则有一解; 若a ≤b , 则无解. (ii)当A 为锐角时, 如下表:
三、平面向量 1. 向量的概念
(1)零向量模的大小为0, 方向是任意的, 它与任意非零向量都共线, 记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量, a 的单位向量为. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量) .
(4)向量的投影:|b|cos 叫作向量b 在向量a 方向上的投影. 2. 平面向量的运算:
(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础, 应熟练掌握其运算规律.
(2)平面向量数量积的结果是实数, 而不是向量. 要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的差异, 平面向量的数量积不满足结合律与消去律.a ·b 的运算结果不仅与a , b 的长度有关, 而且还与a , b 的夹角有关, 即a ·b=|a||b|·cos .
3. 两非零向量平行、垂直的充要条件:若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), 则 (1)a ∥b ⇔a =λb (λ≠0) ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
(2)a ⊥b ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y1y 2=0. (注意a 、b 为非零向量) 4. 利用向量的数量积求线段的长度问题 (1)若a=(x , y ), 则|a|=
=
|=
.
=
.
(2)若A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则|
5. 求向量的夹角问题:设θ为a 与b 的夹角, 则 (1)cos θ=
.
.
(2)若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), 则cos θ=(3)夹角大小的判定方法:
若a ·b>0⇔a 与b 的夹角θ为锐角或零角; 若a ·b
【考点聚焦】
热点一:三角函数图象与性质
从近年高考试题命题情况来看, 对三角函数图象与性质的考查是高考命题的热点和重点. 试题主要以选择题的形式考查三角函数图象的对称轴、对称中心、单调性、最值等问题, 题目难度较小; 或以解答题的形式综合考查三角恒等变换、平面向量等知识, 综合性较强. 此类问题把解析式化为形如y=Asin(ωx+φ) 的一般式是解题的关键.
(2013山东卷) 设函数f (x ) =-离为.
(1)求ω的值;
(2)求f (x ) 在区间[π, ]上的最大值和最小值.
sin 2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0), 且y=f(x ) 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距
【分析】本题是综合考查两角和与差的正弦公式, 二倍角的正、余弦公式及辅助角公式, 三角函数的周期、单调性等知识. 需先把函数式化为y=Asin(ωx+φ) 的形式, 然后依照有关知识进行解答.
【解析】(1)f (x ) =-sin 2ωx-sin ωxcos ωx
=-·-sin 2ωx
=cos 2ωx-sin 2ωx =-sin(2ωx-) .
因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为, 又ω>0, 所以因此ω=1.
(2)由(1)知f (x ) =-sin(2x-) . 当π≤x ≤时, ≤2x-≤. 所以-≤sin(2x-) ≤1. 因此-1≤f (x ) ≤.
故f (x ) 在区间[π, ]上的最大值和最小值分别为, -1.
【归纳拓展】求三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称中心、最值及判断三角函数的奇偶性时, 往往是在定义域内, 先化简三角函数式, 尽量化为y=Asin(ωx+φ) +B或y=Acos(ωx+φ) +B的形式, 然后再求解. 在解决三角函数的有关问题时, 若把三角函数的性质融于函数的图象之中, 将数(量) 与图形结合起来进行分析、研究, 可使抽象复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来, 这也体现了解决三角函数问题时数形结合思想的应用.
变式训练1 对于函数f (x ) =sin x , g (x ) =cos x , h (x ) =x+, 有如下四个命题:
=4×.
①f(x ) -g (x ) 的最大值为;
②f[h (x )]在区间[-,0]上是增函数; ③g[f (x )]是最小正周期为2π的周期函数;
④将f (x ) 的图象向右平移个单位长度可得g (x ) 的图象.
其中真命题的序号是 . 热点二:三角函数图象的变换
通过近年各地高考试题可以看出, 三角函数图象的变换一直是这些年高考考查的热点, 且试题常考常新. 高考对三角函数图象变换的考查, 常结合三角恒等变换、平面向量等知识进行综合考查.
(2013湖北卷) 将函数y=
则m 的最小值是( ) .
A. B. C. D.
cos x+sin x (x ∈R) 的图象向左平移m (m>0) 个单位长度后, 所得到的图象关于y 轴对称,
【分析】函数图象经平移后关于y 轴对称, 即平移后的函数为偶函数, 可表示为y=Acos ωx的形式, 故将函数y=cos x+sin
x (x ∈R) 化为y=Acos(ωx+φ) 的形式较好.
【解析】将函数y=cos x+sin x=2cos(x-) 的图象向左平移m 个单位后, 得到函数y=2cos(x-+m) 的图象, 故m
的最小值是
.
【答案】B
【归纳拓展】任何形如y=Asin(ωx+φ) 的函数的图象, 经过平移变换之后, 都可以变成一个奇函数或偶函数的图象, 即可以变换为y=±Asin ωx或y=±Acos ωx的图象. 在进行图象变换时, 必须注意ω对平移单位的影响, 即由y=Asin ωx变化到y=Asin(ωx+φ) 时, 平移量应是||; 但对y=Asin(ωx+φ) 进行伸缩变换时, 要注意φ是不变的. 函数图象的变换一定要注意区别变换前后的函数及其形式.
变式训练2 如图所示, 为了得到g (x ) =sin 2x 的图象, 只需将f (x ) 的图象( ) . A . 向右平移个长度单位 B . 向右平移个长度单位 C . 向左平移个长度单位 D . 向左平移个长度单位 热点三:三角函数求值
从近年高考试题的命题情况来看, 高考对三角函数求值的考查题型有三类:①“给角求值”, 即在不查表的前提下, 通过三角恒等变换求三角函数式的值; ②“给值求值”, 即给出一些三角函数(或三角函数式) 的值, 求与之有关的其他三角函数式的值; ③“给值求角”, 即给出三角函数值, 求出符合条件的角.
(2013广东卷) 已知函数f (x ) =
(1)求f () 的值;
(2)若cos θ=, θ∈(, 2π), 求f (θ-) .
cos(x-), x ∈R .
【分析】本题主要考查三角函数的概念与计算, 考查两角和与差公式的应用. 【解析】(1)f () =(2)f (θ-) =
cos(-) =
cos =
×=1.
(cos θcos +sin θsin ) =cos θ+sin θ.
cos(θ--) =cos(θ-) =
∵cos θ=, θ∈(, 2π), ∴sin θ=-=-,
∴f(θ-) =-=-.
【归纳拓展】对于条件求值问题, 即由给出的某些角的三角函数值, 求另外一些角的三角函数值, 关键在于“变角” , 使“目标角”变换成“已知角”, 若角所在的象限没有确定, 则需分情况讨论, 应注意公式的正用、逆用、变形用, 掌握其结构特征, 还要注意拆角、拼角等技巧的运用.
变式训练3 (1)若sin α+2cos α=0, 则A. - B.
C. D. -
(2)已知α∈(π
, ),cos α=-, 则tan 2α等于( ) . A .
B .- C .-2 D . 2
的值为( ) .
热点四:平面向量的运算
高考对平面向量的运算的考查常考常新, 与平面向量数量积有关的问题(如向量共线、垂直及夹角等问题) 是高考考查的重点. 此类问题多以选择题、填空题的形式出现, 有时也渗透在解答题中与其他知识交汇命题, 综合考查学生分析问题、解决问题的能力.
(2013广东卷) 设a 是已知的平面向量且a ≠0. 关于向量a 的分解, 有如下四个命题:
①给定向量b , 总存在向量c , 使a=b+c.
②给定向量b 和c , 总存在实数λ和μ, 使a =λb +μc.
③给定单位向量b 和正数μ, 总存在单位向量c 和实数λ, 使a =λb +μc. ④给定正数λ和μ, 总存在单位向量b 和单位向量c , 使a =λb +μc.
上述命题中的向量b , c 和a 在同一平面内且两两不共线, 则真命题的个数是( ) . A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
【分析】本题主要考查平面向量的有关概念与性质.
【解析】命题①正确, 因为对于非零向量a , 任意给定向量b , 均存在a-b , 即存在向量c ; 由平面向量基本定理可知命题②正确; 命题③不正确, 若|a|=2, 给定的单位向量b 满足a ·b=0, μ=1时, 对任意的λ, c 恒有|a-λb|=
≥2, |μc|=1, 即a-λb =μc 不可能成立;
命题④不正确, 若|a|=3, λ=μ=1, 则不存在单位向量b , c 满足a =λb +μc , 因为|λb +μc|≤λ+μ=2, 所以a ≠λb +μc.
【答案】B
【归纳拓展】平面向量主要考查:(1)平行、垂直的充要条件;(2)数量积及向量夹角;(3)向量的模. 解决此类问题的办法主要有:(1)利用平面向量基本定理及定义;(2)通过建立坐标系进行坐标运算.
变式训练4 (1)已知向量a=(1,2),a ·b=5, |a-b|=2A .
B .
2
C . 5 D . 25
, 则|b|等于( ) .
(2)在边长为1的正三角形ABC 中, 设=2, =3, 则·= .
热点五:解三角形
“解三角形”不仅反映了三角形边、角间的联系, 体现了数与形的结合, 而且问题易与三角函数的图象和性质、简单三角恒等变换、平面向量等知识点联系, 符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求. 故解三角形问题也一直是历年高考的热点.
(2013湖北卷) 在△ABC 中, 角A , B , C 对应的边分别是a , b , c , 已知cos 2A-3cos(B+C) =1.
(1)求角A 的大小;
(2)若△ABC 的面积S=5, b=5, 求sin B sin C 的值.
【分析】本题主要考查三角恒等变换及正、余弦定理的应用. 第(1)问可先由题设条件求出cos A 值, 再求出角A 的大小; 第(2)问可先由面积求出c 的值, 再由余弦定理求出a 的值, 最后由正弦定理求得sin B sin C 的值.
【解析】(1)由cos 2A-3cos(B+C) =1, 得2cos 2A+3cos A-2=0, 即(2cos A-1)(cos A+2) =0, 解得cos A=或cos A=-2(舍去) . 因为0
(2)由S=bc sin A=bc ·
=bc=5
, 得bc=20. 又由b=5, 知c=4.
由余弦定理得a 2=b2+c2-2bc cos A=25+16-20=21, 故a=. 又由正弦定理得sin B sin C=sin A ·sin A=sin 2A=×=.
【归纳拓展】解三角形问题, 常常是对三角形边、角的求解, 此类问题我们要清楚其实质是对三角形有关边、角方程的求解, 故正确利用正、余弦定理建立边、角间的等式关系是此类问题解答的关键.
解三角形问题可用“三二一”三个字来概述. “三”即解三角形问题所用的三个基本定理:正、余弦定理及内角和定理; “二”即解三角形所用的两条思路:根据结论所求或题设条件, 要么是把题设条件化为边的形式, 要么是化为角的形式; “一”即在解三角形的过程中, 一定要注意角的范围或一定要画图, 借助图形更易找出边角关系及解题思路.
变式训练5 已知锐角三角形ABC 中, 内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 向量m=(sin B , (1)求角B 的大小;
(2)若b=3, 求AC 边上的高的最大值.
热点六:解三角形的实际应用
利用正、余弦定理解决与测量或几何计算有关的实际问题, 也是对正、余弦定理的应用的考查, 在近几年的新课标高考中也多有体现, 主要是考查分析问题、解决实际问题的能力及计算能力.
ac ), n=(b 2-a 2-c 2,cos B ), 且m ⊥n.
(2013江苏卷) 如图, 游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径. 一种是从A 沿直线步行到C , 另一种
是先从A 沿索道乘缆车到B , 然后从B 沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A 处下山, 甲沿AC 匀速步行, 速度为50 m/min . 在甲出发2 min后, 乙从A 乘缆车到B , 在B 处停留1 min后, 再从B 匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min, 山路AC 长为1260 m,经测量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB 的长;
(2)问乙出发多少分钟后, 乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内?
【分析】根据题设条件建立数学模型, 也即根据题意把实际问题抽象为解三角形问题, 结合图形, 利用解三角形的知识进行解答, 解答过程要注意实际背景.
【解析】(1)在△ABC 中, 因为cos A=,cos C=, 所以sin A=,sin C=. 从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin A cos C+cos A sin C=×+×=.
由正弦定理
=, 得AB=×sin C=×=1040(m).
所以索道AB 的长为1040 m.
(2)假设乙出发t 分钟后, 甲、乙两游客距离为d , 此时, 甲行走了(100+50t )m, 乙距离A 处130t m,所以由余弦定理得
d 2=(100+50t ) 2+(130t ) 2-2×130t×(100+50t ) ×=200(37t 2-70t+50),
因0≤t ≤
, 即0≤t ≤8, 故当t=(min)时, 甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理
=, 得BC=×sin A=×=500(m).
乙从B 出发时, 甲已走了50×(2+8+1) =550(m),还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤乙步行的速度应控制在[
,
-≤3, 解得≤v ≤, 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,
](单位:m/min)范围内.
【归纳拓展】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步:(1)分析题意, 准确理解题意, 分清已知与所求, 尤其要理解题中的有关名词、术语, 如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等;(2)根据题意画出示意图, 并将已知条件在图形中标出;(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中, 通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解;(4)检验解出的结果是否具有实际意义, 对结果进行取舍, 得出正确答案.
解三角形的应用时要注意:(1)检验求解出的结果是否符合实际意义是不可缺少的一个环节;(2)要尽可能地考虑解直角三角形或利用平面几何知识, 这样可使得计算较为简单;(3)为了避免误差的积累, 解题过程中应尽可能地使用已知(原始) 数据, 少用间接量;(4)题中求解有精确要求的, 要合理选择近似值.
变式训练6 如图, 某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处, 由城A 出发的一条公路, 走向是南偏东40°, 在C 处测得公路距C 31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去, 走了20千米后到达D 处, 此时CD 间的距离为21千米, 问此人还要走多少千米可到达城A
?
热点七:平面向量与三角函数的综合
平面向量与三角函数的综合是高考命题的又一热点, 此类问题是把平面向量的运算, 尤其是平面向量的数量积运算作为三角函数问题的知识载体, 综合考查应用知识分析问题、解决问题的能力, 多以解答题的形式出现. 故平面向量的数量积公式, 特别是向量数量积的坐标公式要能够熟练应用.
(2013辽宁卷) 设向量a=(
(1)若|a|=|b|, 求x 的值;
(2)设函数f (x ) =a·b , 求f (x ) 的最大值.
sin x ,sin x ), b=(cos x ,sin x ), x ∈[0,].
【分析】本题是考查向量的模及向量数量积的运算. 第(1)问把向量坐标代入向量模的公式, 由|a|=|b|即可求得x 的值; 第(2)问把向量坐标代入向量数量积公式, 化解析式为y=Asin(ωx+φ) 的形式, 再由三角函数的知识求其最值, 一定要注意x ∈[0,].
【解析】(1)由|a|2=
(
sin x ) 2+(sin x ) 2=4sin 2x ,
|b|2=(cos x ) 2+(sin x ) 2=1, 及|a|=|b|, 得4sin 2x=1.
又x ∈[0,],从而sin x=, 所以x=. (2)f (x ) =a·b=
sin x ·cos x+sin 2x
=sin 2x-cos 2x+ =sin(2x-) +,
当x=∈[0,]时,sin(2x-) 取最大值1. 所以f (x ) 的最大值为.
【归纳拓展】平面向量与三角函数的综合, 实质上是借助向量的工具性. 解这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算. 常用到向量的数乘、向量的代数运算, 以及数形结合的思想.
变式训练7 已知f (x ) =a·b , 其中a=(2cos x , -(1)求f (x ) 的周期和单调递减区间;
(2)在△ABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , f (A ) =-1, a=
,
·
sin 2x ), b=(cos x ,1)(x ∈R) .
=3, 求边长b 和c 的值(b>c) .
限时训练卷(一)
一、选择题
1. 已知sin θ0, 那么θ是( ) .
A . 第一象限角 B . 第二象限角 C . 第三象限角
D . 第四象限角
2. 已知函数f (x ) =sin(x-)(x ∈R), 下面结论错误的是( ) .
A . 函数f (x ) 的最小正周期为2π
B . 函数f (x ) 在区间[0,]上是增函数
C . 函数f (x ) 的图象关于直线x=0对称
D . 函数f (x ) 是奇函数
3. 若cos(2π-α) =且α∈(-,0), 则sin(π-α) 等于( ) .
A .- B .- C .- D .±
4. 若圆的半径增加到原来的2倍, 弧长也增加到原来的2倍, 则( ) .
A . 扇形面积不变
B . 扇形的圆心角不变
C . 扇形的面积增大到原来的2倍
D . 扇形的圆心角增大到原来的2倍
5. 要得到函数y=sin 2x 的图象, 只需将函数y=sin(2x-) 的图象( ) .
A . 向右平移个单位长度
B . 向左平移个单位长度
C . 向右平移个单位长度
D . 向左平移个单位长度
6. 已知倾斜角为α的直线l 与直线x-2y+2=0平行, 则tan 2α的值为( ) .
A . B . C . D .
7. 下列关系式中正确的是( ) .
A . sin 11°
B . sin 168°
C . sin 11°
D . sin 168°
8. 在直角坐标平面内, 已知函数f (x ) =log a (x+2) +3(a>0且a ≠1) 的图象恒过定点P , 若角θ的终边过点P , 则cos 2θ+sin 2θ的值等于
( ) .
A .- B . C
. D .-
9. 下图所示的是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) 图象的一部分, 则其函数解析式是( ) .
A .y=sin(x+) B .y=sin(x-)
C .y=sin(2x+) D .y=sin(2x-)
二、填空题
10. sin(-600°) = .
11. 已知sin(x+) =-, 则sin 2x= .
12. 函数y=sin(1-x ) 的递增区间为 .
三、解答题
13. 已知函数f (x ) =2sin x cos x+cos 2x (x ∈R) .
(1)当x 取什么值时, 函数f (x ) 取得最大值, 并求其最大值;
(2)若θ为锐角, 且f (θ+)
=, 求tan θ的值.
限时训练卷(二)
一、选择题
1. 已知a ·b=-12, |a|=4, a 和b 的夹角为135°, 则|b|为( ) .
A . 12 B . 3 C . 6 D . 3
2. 已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2),B (-1, -2), C (3,1),且=2, 则顶点D 的坐标为( ) .
A . (2,) B . (2,-)
C . (3,2) D . (1,3)
3. 在△ABC 中, =a, =b, 若a ·b>0, 则△ABC 的形状为( ) .
A . 直角三角形 B . 钝角三角形
C . 锐角三角形 D . 不能判断
4. 若函数f (x ) =sin ωx(ω>0) 在区间[0,]上单调递增, 在区间[, ]上单调递减, 则ω等于( ) .
A.3 B.2 C. D.
5. 在△ABC 中, 角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c , 若角A , B , C 依次成等差数列, 且a=1, b=, 则S △ABC 等于( ) .
A . B. C. D.2
6. 满足A=45°, c=, a=2的△ABC 的个数记为m , 则a m 的值为( ) .
A . 4 B . 2 C . 1 D . 不确定
7. 已知A , B , C 是锐角△ABC 的三个内角, 向量p=(sin A ,1), q=(1,-cos B ), 则p 与q 的夹角是( ) .
A . 锐角 B . 钝角 C . 直角 D . 不确定
8. 在△ABC 中, a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 所对的边, 设向量m=(b-c , c-a ), n=(b , c+a), 若向量m ⊥n , 则角A 的大小为() .
A . B . C . D .
9. 在△ABC 中, A=60°, b=1, △ABC 的面积为
A .
2 B . C . D . 3 , 则边a 的值为( ) .
二、填空题
10. 在△ABC 中, a=5, b=8, ∠C=60°, 则·的值为 .
11. 已知向量a , b 满足|b|=2, a=(6,-8), a 在b 方向上的投影是-5, 则a 与b 的夹角为 .
12. 4cos 70°+tan 20°= .
三、解答题
13. 在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c. 已知m=(cos,sin ), n=(cos,sin ), 且满足|m+n|=
(1)求角A 的大小;
(2)若|
. |+||=
||, 试判断△ABC 的形状.
一、选择题
1. 已知角α的终边经过点P (m , -3), 且cos α=-, 则m 等于( ) .
A .- B . C .-4 D . 4
2. 在△ABC 中, C=120°,tan A+tan B=
A . B . C . D . , 则tan A tan B 的值为( ) .
3. 已知函数f (x ) =sin(ωx+)(ω>0) 的最小正周期为π, 则该函数的图象( ) .
A . 关于点(,0) 对称
C . 关于点(,0) 对称 B . 关于直线x=对称 D . 关于直线x=对称
4. 若角α的终边落在直线x+y=0上, 则A . 2 B .-2 C .-2或2 D . 0 +的值等于( ) .
5. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 又a 、b 、c 成等比数列, 且c=2a , 则cos B 等于( ) .
A . B . C . D .
6. 已知△ABC 的三内角为A 、B 、C , 设p=(sin C-sin A ,sin B ), q=(sin B ,sin C+sin A ), 若p ∥q , 则角C 的大小为( ) .
A . B . C . D .
7. 函数f (x ) =Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0) 的部分图象如图所示, 则f (1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于( ) .
A . 2 B . 2+
C . 2+2 D .-2-2
8. 若△ABC 的三个内角A , B , C 成等差数列, 且(A . 等腰直角三角形
C . 钝角三角形
9. 定义行列式运算
则n 的最小值为( ) .
A . B . C . D .
10. 已知α, β∈(0,
),
+) ·=0, 则△ABC 一定是( ) . B . 非等腰直角三角形 D . 等边三角形 =a1a 4-a 2a 3. 将函数f (x ) =的图象向左平移n (n>0) 个单位长度, 所得图象对应的函数为偶函数, =, 且2sin β=sin(α+β), 则β的值为( ) .
A . B . C . D .
11. 在△ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 若(a 2+c2-b 2)tan B=
A . B .
C . 或 D . 或 ac , 则角B 的值为( ) .
12. 已知a , b , c 分别为△ABC 的三个内角A , B , C 的对边, 向量m=(2cos C-1, -2), n=(cos C ,cos C+1), 若m ⊥n , 且a+b=10, 则△ABC 周长的最小值为( ) .
A . 10-5
C . 10-2
二、填空题
13. 的值为 . B . 10+5 D . 10+2
14. 已知|a|=10, |b|=8, a 与b 的夹角为120°, 则向量b 在向量a 方向上的投影等于 .
15. 函数y=sin ωx(ω>0) 的图象向左平移个单位后如图所示, 则ω的值是 . 16. 在△ABC 中, BC=1, ∠B=, 当△ABC 的面积等于
三、解答题
17. 已知α∈(, π), 且sin +cos =.
(1)求cos α的值;
(2)若sin(α-β) =-, β∈(, π), 求cos β的值.
18. 已知O 为坐标原点, 时,tan C= . =(2sin2x ,1), =(1,-2sin x cos x+1), f (x ) =·+m.
(1)求y=f(x ) 的单调递增区间;
(2)若f (x ) 的定义域为[, π],值域为[2,5],求m 的值.
19. 在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且a=1, c=
(1)求sin(A+B) 的值;
(2)求sin A 的值;
(3)求
·的值.
cos A ) 共线, 其中A 是△ABC 的内角. ,cos C=. 20. 已知向量m=(sin A , ) 与n=(3,sin A+
(1)求角A 的大小;
(2)若BC=2, 求△ABC 的面积S 的最大值, 并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 21. 已知角A , B , C 是△ABC 的三个内角, 若向量m=(1-cos(A+B),cos
(1)求tan A tan B 的值;
(2)求的最大值. ), n=(,cos ), 且m ·n=.
22. 已知a=(1-cos x ,2sin ), b=(1+cos x ,2cos ) .
(1)若f (x ) =2+sin x-|a-b|2, 求f (x ) 的表达式;
(2)若函数f (x ) 和函数g (x ) 的图象关于原点对称, 求函数g (x ) 的解析式;
(3)若h (x ) =g(x ) -λf(x ) +1在[-
, ]上是增函数, 求实数λ的取值范围.
专题3 三角函数与平面向量
问题引领
1. B 2. 3. 2
4. (1)最小正周期为π
(2)最大值是1, 最小值是-
5. (1) (2)
考点聚焦
变式训练1 ①②
变式训练2 A
变式训练3 (1)A (2)B
变式训练4 (1)C (2)-
变式训练5 (1) (2)
变式训练6 15千米
变式训练7 (1)[k π-, k π+](k ∈Z)
(2)b=3, c=2
对点集训
限时训练卷(一)
1. C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.B 7.C 8.A 9.A 10. 11. 12. [1++2k π,1++2k π](k ∈Z)
13. (1)x=kπ+(k ∈Z) 时, 函数f (x ) 取得最大值, 其值为
(2)
限时训练卷(二)
1. C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.A 8.B 9.C 10. 20 11. 120° 12.
13. (1)A= (2)直角三角形
冲刺高考
1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C
10.A 11.D 12.B
13. 14.-4 15. 2 16.-2
17. (1)- (2)-
18. (1)[k π+, k π+](k ∈Z)
(2)m=1
19. (1) (2) (3)
20. (1) (2)等边三角形
21. (1) (2)
-
22. (1)f (x ) =sin 2x+2sin x
(2)g (x ) =-sin 2x+2sin x (3)λ≤0