英文论文翻译 1

汲水门大桥有限元模型的分析

By Q. W. Zhang, T. Y. P. Chang, and C. C. Chang

摘要：本文提出的有限元模型修正的汲水门大桥的实施，是位于香港的430米主跨双层斜拉桥。通过三维有限元预测和现场振动测试，对该桥的动力特性进行了研究，。在本文中，建立的有限元模型的更新，是基于实测的动态特性。一个全面的灵敏度研究证明各种结构参数（包括连接和边界条件）的影响是在其所关注的模式进行，根据一组的结构参数，然后选择调整。有限元模型的更新在一个迭代的方式以减少之间的预测和测量频率的差异。最后更新的有限元模型，使汲水门大桥能在良好的协议与所测量的固有频率状态，并可以进行更精确的动态响应预测。

简介：

汲水门大桥（图1），位于大屿山及香港湾岛之间，是世界上最长的斜拉桥，是公路交通和铁路交通两用桥梁。为确保其结构的完整性和操作安全性，桥梁已经配备了一个相当复杂的监测系统，包括仪器参数如加速度传感器，位移传感器，液位传感器，温度传感器，应变计，风速仪（Lau and Wong 1997）。由Chang 等人通过有限元预测和现场振动测量对该桥的动力特性进行了研究（2001）。三维有限元（FE ）模型，它是基于非线性弹性梁元件构建的塔和甲板上的桁架单元，电缆，和弹性或刚性连接的连接和边界约束[图1（d ）]。桥面，包括钢/混凝土框架结构在大跨度和梯形箱梁的中心部分的剩余部分，是使用一个单一的脊柱通过剪切中心桥面的。由于截面的非整体性，通过一个虚拟的等效单片材料来表示复合甲板。这是通过等效的整体桥面的质量和刚度性能检核的复合甲板了。由Chang 证明（1998），对截面模量的计算细节可以通过改变报告发现。电缆，另一方面，使用的是线性弹性桁架单元模拟。非线性效应由于电缆张力和下垂的电缆进行线性化，采用弹性刚度等效模量的概念考虑。有限元模型包括464个梁单元，176个桁架单元，和615个节点，总共有1536个自由度。

一般的有限元建模，给出了该桥的物理和模态特性进行详细的描述，而现场振动测试则是作为（理想化的）有限元模型评估基础信息的重要来源。有限元计算结果与现场振动试验表明在自然频率合理的相关性和桥的振型。然而，在预测

和测量的频率较高的模式质之间仍然可以看到巨大的差异。这些可能的来源，可能会造成包括以下这些差异。

有限元模型与实际桥的差异：

在有限元建模过程中，几何、弹性、和惯性参数以及从工程图纸估计汲水门大桥连接和边界条件，这些都是高度理想化的。有限元预测和桥梁的振动测量之间的差异可以通过与有限元建模连接以下因素造成的：（1）精度分析模型的离散化；（2）几何和边界条件的不确定性和变化关系；（3）桥梁的材料特性。

图1：汲水门大桥的示意图表示:(a)海拔;(b) 复合甲板的典型截面;(c) 预应力箱梁的典型截面;(d)三维有限元模型

环境振动测量的影响分析：

对大型桥梁模态参数识别是通过振动进行测量，收集桥的加速度数据。环境振动技术通常是基于以下假设：（1）线性结构的行为；（2）反应是一个遍历随机过程；（3）激励是一个频带有限的局部白噪声。这些假设对桥梁动力特性的影响是难以量化的。传递函数用来提取模态频率通常是基于假设的风荷载谱限带白噪声的随机过程，与频带覆盖目标频率的桥。

这些可能的原因中，第一个是假设和桥的有限元模型的输入相关。如果我们可以假设模态特性非常接近结构的实际行为，那么一个具有挑战性的问题是如何更新的有限元模型，预测模型性能可以匹配那些从直接测量得到的。在本文中，进一步的研究是随着有限元模型修正的汲水门大桥的线路进行，也是沿着Chang 等人的研究（2001）进行的。

模型的更新是一个迅速发展的技术，与众多的方法被提出，例如，Berman and Nagy (1983), Zimmerman and Widengren (1990), Farhat and Hemez (1993), Friswell and Mottershead (1995), Link and Qian (1995), Denoyer and Peterson (1997), Atalla and Inman (1998), and Fritzen et al. (1998)。在Mottershead and Friswell (1993) and Natke et al.(1994) 等人关于模型修正技术全面的调查中可以发现这一点。在有限元模型修正技术及其应用的文献综述，损伤检测和结构健康监测也可以在Doebling 等人的著作（1998）中发现。在简单的结构如简支梁，验证了这些技术的有效性和空间桁架结构的悬臂梁。一个大的程度的不确定性的复杂结构，如桥梁，模型更新变得困难，因为它会不可避免地涉及到许多参数的不确定性，例如，材料和几何性质，和边界条件。一般来说会有一个结构有限元模型修正方法，取决于系统矩阵和结构参数选择更新(Berman 1998)。系统矩阵更新方法寻求在刚度或质量矩阵的变化，通过求解一个矩阵方程组。然而，在质量和刚度矩阵的变化结合在一起，则是这种方法无法处理的情况。例如，该方法可用于悬索桥的合理更新的结果，因为这座桥的重量都是质量和结构刚度矩阵的关系。作为参数更新的方法，通常采用的参数灵敏度的寻找自己的变化(Farhat and Hemez 1993; Friswell and Mottershead 1995; Fritzen et al. 1998) 。基于这种敏感性参数更新方法的参数，可以对结构的动态特性直接影响到识别的优势。同时，采用本方法，可以获得更新的结果的一个直接的物理解释。所以，我们在本研究选择这些参数更新法。

在本文中，采用一种基于灵敏度的参数更新方法改进的方法进行模型修正的汲水门大桥。该方法是基于特征值灵敏度的一些选定的结构参数，被认为是有界的根据不确定性和参数的变化程度存在一些规定的区域内，和工程判断。这些参数的变化是通过求解一个二次规划问题。

带有约束的参数更新：

Zhang 等人在这项研究中的模型修正方法（2000）采用了一种基于灵敏度改进的更新算法。制定和更新程序的主要特点如下。

对于一个离散的连续系统，提取特征值和对应的特征向量（模态）网络可以

通过求解特征方程的有限元模型的N 度获得自由：

K φi =λi M i φi （1）

这里K 和M 分别代表结构刚度和质量矩阵。通常，刚度和质量矩阵的参数是一个函数的几何结构和材料特性，包括边界条件。如果一套结构参数（Pj ，a

，j=1…，np ）可以由有限元模型估计，由向量Pa 代表：

P a = { p i , a u i = 1, 2, . . . , n p }T

(2)

这里n a 表示总人数的结构参数，然后一组特征值(Λa ) 可以从模型中获得：

这里n a 为计算模式数量。下标a 在（2）公式和（3）公式中用来表示其相应的在有限元分析中的预测。

同时，结构的模态特性可以通过实验获得：

这里

(Λa ) 为矢量的测量值；和n e 为总数量的测量模式。下标e 在（4）公式中是用来表示从测量得到相应的属性。

一般来说，实验(Λe ) 和预测的模态特性(Λa ) 不一定与由于不准确在有限元建模和测量。在有限元模型连接任何不准确可能来自三个可能的来源-模型结构误差，模型误差，以及模型参数误差（Mottershead and Friswell 1993）。如果它是假定测量模态特性非常接近结构的实际行为，模型参数误差对有限元模型的不准确性的主要因素，那么模型误差可以减少或通过模型修正方法修正。

让P 代表更新后结构参数的向量：

可能认为测量模式的总数是一样的总数预测(或计算) 模式(n e =n a ) 。测量值与初始预测的本征特性可以通过对结构参数的一阶泰勒级数展开近似的函数关

系如下（Friswell and Mottershead 1995）：

δΛ=S δP (6)

这里δΛ为特征值残差向量，δP 为结构参数分别定义的扰动向量。

这里S 为灵敏度矩阵，包含对结构参数P a 的初始估计评估或特征值的一阶导数，在随后的迭代格式，目前的参数估计。在泰勒级数的高阶项被忽略的假设，成功性迭代之间的结构参数的变化是小的。

正如（6

）公式(Mottershead and Foster 1991) 中的一样，已经提出了几种方法来解决逆问题。以下目标功能(Link and Qian 1995) 是通常用来解决这个问题的：

这里W p 和W a 为正定矩阵。然而，这是很有可能的参数摄动来最小化目标函数的使用在公式（9）中可以产生非常大的变化。这些极端的价值观不仅违反的一阶泰勒级数近似的假设，但也产生一个更新的结果，可能是物理意义。为了避免这些现象，为结构参数的不等式约束的介绍如下：

这里B l 和B u 分别为结构参数P 的上下界限。随后，结构参数的扰动是有界的：

这里b l 和b u 分别为扰动的上下界。因此这些参数更新的可以减少目标函数在实现（9）公式所受到的在（11）公式中形成在约束条件。约束优化问题可以表述为以下的二次规划问题：

最小化 J (x ) =

x Wx 服从 A i x = d i (i = 1, . . . , n e )

而且：这里：

这里，A i 和d i 分别指矩阵和向量。此更新解决方案的影响W p 的加权矩阵的选择。它可能是合理的确定在这样一种方式，W p 在每一次迭代中能更可能的不会偏差太多。同时，权重矩阵W p 选择可以抑制可能影响的特征值在一个非线性的方式从这些参数在每次迭代中的急剧变化。另一方面，其他的加权矩阵，我们的选择应保证有限元分析和测量结果之间的协议。

约束优化解决方案概述在公式（12）–（16）中被纳入一个迭代过程，如图2所示的更新汲水门大桥模型所示。迭代过程开始与一组适当的参数调整与各参数的上限和下限的选择。用于初始有限元模型的参数作为迭代的起点。在每一次迭代过程中，特征值灵敏度分析都是利用参数在前面的迭代更新。特征值灵敏度可以近似的用下式表示：

这里，S ij 为相对于两参数λj 和P j 的无量纲的灵敏度特征值。∆P j 等于参数摄动P j 。∆λi 等于由于∆P j 改变的特征值λj 。同时，二次规划问题的概述在公式（12）中要解决的每次迭代得到参数摄动。

对迭代的收敛标准设置：

图2：基于灵敏度的模型永久限制更新程序

模型和参数的选择：

在配套文件（Chang 等人，2001）汲水门大桥有限元模型，称为初始模型，将更新使用先前描述的更新程序。在模型的更新之前，确定多少模式应选择匹配和现场测量之间的有限元分析，什么结构参数将包括更新，这些都是非常必要的。模型选择：

通常情况下，如果参数更新的目的是风激励下大跨度桥梁的响应估计，然后垂直水平最低的几个优势，占主导地位的夹杂物，和扭转主导甲板模式可能就足够了。一座桥的响应可以相当准确地跨越较低的模型。另一方面，地震响应预测，还应主要考虑到这些塔墩的运动。在健康监测和复杂结构的损伤检测领域，主要是为了发现局部损伤更敏感的模型(Mazurek and Dewolf1990; Agbabian et al.

1991). 当然，如果我们能尽可能在测量和有限元预测之间考虑更多的模式，将会更加理想。另一方面，它不需要逻辑包括模式（尤其是那些更高的模式），无论是从可靠的预测还是从有限元模型里得到的。

在目前的研究中，在0和2.2赫兹的频率范围被更新的有限元分析和测量结果之间的匹配关系中是决定选择最低的17种模型。这些包括五个垂直优势，三横向优势，和甲板的三扭转主导模式；三大屿山塔–主导模式，和三马湾塔–

0f FEM 主导模式。从初始有限元模型中得到的计算频率（定为）, 同时，从现场振

动测量得到的相应值（

f exp

）列于表1。从表1看出，计算和之间的差异测量的

频率范围在0%（模型L1）和17.4%（模型MWT1）之间。

参数的选择：

理想情况下，所有可能的几何参数有关，弹性，和惯性特性以及边界条件应考虑在更新程序的调整。然而，如果太多的参数，相比于测量的数量，包括调整，获得一个可靠的更新模型的可能性会增加（Hjelmstad 等人,1995）。因此，参数应选择一些谨慎。

从逻辑上讲，如果参数有针对性的振动模式很少或没有影响，那么他们可以被排除在调整名单。因此，综合特征值灵敏度的研究是第一个进行研究的一些潜在的结构参数的影响，包括桥面和塔性能，甲板/塔连接，和边界条件，在选定的频率。一些敏感性的研究相关的关键因素总结如下。

1. 为便于描述的目的，结构参数组合成的复合甲板（对主跨），箱梁截面（两个边跨），大屿山塔，马湾塔，和连接和边界条件。

2. 由于斜拉索的几何相对简单，材料的性能是均匀的，和电缆力量比较容易控制施工，电缆的性能被认为是错误的，不作为候选参数调整。

3. 它是假定的复合桥面的横截面具有均匀的特性，因此其性能不在甲板上有所不同。同样的假设是用于箱梁桥面。对于塔，每个塔腿分为三段和三支柱被用来连接在最初的两条腿有限元模型，它是假定这些脚段和杆系有自己独立的但均匀特性。然而，只有一个弹性模量用于所有各塔组件。

4. 甲板和塔连接和边界条件的参数化是对初始有限元模型和电流模型的一个特殊的挑战更新。在这项研究中，所有的甲板/塔和甲板/码头连接采用沿每个平移或旋转方向一个弹性弹簧建模。塔和地面之间的边界条件也采用弹簧以类似

的方式。这些弹簧的弹性常数是根据约束条件，再加上一些试验和错误估计的性质。

计算方面的所有上述参数的选择17模式特征的敏感性应用公式（17）。这个无量纲灵敏度表示在一个特定的频率一定参数的影响。在消除那些很小的敏感性参数，得到一组31位参数。这些参数包含七复合甲板属性包厢七梁性质，，铁塔六屿七的属性，四和万塔的特性，性质和边界条件的连接。他们归纳为表2的初始估计。图3–7说明所选择的17个特征值灵敏度的复合甲板参数，箱梁桥面，大屿山的塔，马湾塔，和连接和边界条件，分别。敏感性正常范围20.5和0.5之间。这些灵敏度曲线的趋势是很不规则的结论很难。大致上，我们可以看到，每个组件的主导模式的特征值是由该组件性能的影响。例如，的性能复合桥面箱梁桥面影响桥面优势，包括垂直优势，横向优势，扭转主导模式（图3和4），与大屿山塔性能影响大屿山塔–主导模式（图5），等等。交叉影响也观察到，从而使性能大屿山塔及马湾塔影响甲板模式（图5和6）。从所看到的最后来说，从图7看，连接和边界条件主要影响第二垂直优势和三侧的主导模式。

虽然选择的参数变化范围可能会显着影响的修正结果，他们通常很难确定。在这项研究中，变化的范围是根据桥梁的自然特征估计，初始参数的估计，和工程判断。的弹性模量和所有组件的质量密度的变化，20%是分配给每个参数。复合材料和箱梁桥的横截面面积的变化是允许的，20%。横断面的塔，但是有30% 的变异量，由于变化即使在腿的部分或一根撑。针对惯性和全部组件旋转甲板质量扭系数变化范围的瞬间，由于在相对的复杂性30%到其他组件相比。至于弹性

表 1.

模型的更新方式选择

模型

序号

自然模态

标号

频率 f exp (Hz)

频率 f FEM 0

(Hz) 0.41 0.58 0.93 1.51 1.74 0.49 1.15 2.45 0.77 1.62 2.18 0.57 1.48 1.96 1.89 1.64 (4) 2 (3)/(3)

(%)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 桥面第一纵向弯曲桥面第二纵向弯曲桥面第三纵向弯曲桥面第四纵向弯曲桥面第五纵向弯曲桥面第一侧弯桥面第二侧弯桥面第三侧弯桥面第一扭转模型桥面第二扭转模型桥面第三扭转模型大屿山塔第一摇摆大屿山塔第一扭转大屿山塔第一弯曲马湾塔第一扭转马湾塔第一摇摆 V1 V2 V3 V4 V5 L1 L2 L3 T1 T2 T3 LTS1 LTT1 LTB1 MWT1 MWS1 0.39 0.66 1.07 1.54 1.81 0.49 1.25 2.12 0.83 1.39 1.90 0.63 1.34 2.20 1.61 1.78 5.1 212.1 213.1 21.9 23.9 0.0 28.0 15.6 27.2 16.5 14.7 29.5 10.4 210.9 17.4 27.9

结构物

表2. 选择调整参数

参数

弹性模量质量密度横截面积

惯性矩（垂直）惯性矩（水平）扭转常数转动质量弹性模量质量密度横截面积

惯性矩（垂直）惯性矩（水平）扭转常数转动质量弹性模量上段横截面积中段横截面积中段惯性矩(z -z ) 下段横截面积下段惯性矩(z -z ) 弹性模量

上段横截面面积中段横截面积中段惯性矩 (z -z ) 下段横截面积下段惯性矩 (z -z ) 上杆惯性矩 (z -z )

桥面和桥墩1和6之间的纵向弹性连接桥面和桥墩2和5之间的横向弹性连接桥面和大屿山柱之间横向弹性连接标号

初步估算

结合力 (%)

kPa kg/m3

620 620 620 630 630 630 630 620 620 620 630 630 630 630 620 630 630 630 630 630 620 630 630 630 630 630 630 — — —

复合桥面

箱梁桥面

大屿山塔

马湾塔

连接和边界条件

M ms A ms I zz , ms I yy , ms J ms I mm , ms E ss M ss A ss I zz , ss I yy , ss J ss I mm , ss E LT A u , LT A i , LT I zz , i , LT A l , LT I zz , l , LT E MW A u , MW A i , MW I zz , i , MW A l , MW I zz , l , MW I zz , us B 1 B 2 B

2.00 3 108 3.88 3 103 2.39 3 10 1.91 3 102 2.53 3 103 5.47 3 102 4.95 3 105 3.00 3 107 3.63 3 103 5.19 3 10 3.63 3 102 5.56 3 103 1.00 3 103 5.18 3 105 3.50 3 107 2.28 3 10 2.25 3 10 5.10 3 10 3.53 3 10 6.37 3 10 3.50 3 107 2.28 3 10 2.25 3 10 5.10 3 10 3.53 3 10 6.37 3 10 1.39 3 102 1.00 3 106 2.00 3 106 1.00 3 106 5

m 2

m 4

kg ? m kPa kg/m3 m 2

m 4 m 4

m 4 kg ? m kPa m 2

m 2 m 2

m 4 m 4 kPa m 2

m 2

m 4 m 2 m 4

m 4

kN kN kN

常数模型和边界条件的关系，没有变化范围是假定这些弹性参数可以自由更新，因为他们一开始很不确定。表2的最后一栏总结了这31个参数进行更新的变化范围。

图5. 大屿山塔特征值参数的敏感性图6. 马湾塔特征值参数的敏感性

参数更新：

结构参数的程序如图2所示用在一个迭代的方式更新。中表2中的有限元分析模型初列出的参数初始估计的迭代作为起始点过程。在每一次迭代过程中，特征值灵敏度分析使用的参数值在前面的迭代更新。参数限制在每一次迭代的急剧变化通过选择适当的加权矩阵W P 。这一限制的目的是为了确保一阶泰勒级数展开近似的建议在公式（6）中是不矛盾的。

对于有限元模型31结构参数在每次迭代逐渐更新。因此，固有频率计算每次迭代结束时应逐渐接近实测值。收敛判据用于停止迭代设置根据当的测量和计算出的频率之间的差异小于3%的第一个垂直，横向，和扭转的主导模式，并低于所有其他模式10%。

图7. 连接和边界条件特征值参数的敏感性

表3. 计算值与实测值的比较

测量频率 f exp (Hz) 0.39 0.66 1.07 1.54 1.81 0.49 1.25 2.12 0.83 1.39 1.90 0.63 1.34 2.20 1.61 1.78

有限元分析计算

CIES,

f FEM

(Hz)

模型的更新迭代

模型 V1 V2 V3 V4 V5 L1 L2 L3 T1 T2 T3 LTS1 LTT1 LTB1 MWT1 MWS1 初始值 0.41 0.58 0.93 1.51 1.74 0.49 1.15 2.45 0.77 1.62 2.18 0.57 1.48 1.96 1.89 1.64 第一次 0.41 0.62 0.93 1.51 1.75 0.48 1.13 2.37 0.76 1.58 2.04 0.59 1.48 2.09 1.86 1.70 第二次 0.40 0.65 0.95 1.51 1.78 0.48 1.14 2.35 0.77 1.56 1.94 0.60 1.49 2.12 1.80 1.73 第三次 0.41 0.66 0.96 1.52 1.81 0.47 1.15 2.37 0.74 1.52 1.85 0.60 1.46 2.15 1.69 1.75 第四次 0.40 0.66 0.97 1.52 1.83 0.47 1.16 2.35 0.78 1.45 1.89 0.60 1.50 2.16 1.70 1.70 第五次 0.40 0.66 0.97 1.53 1.80 0.47 1.15 2.23 0.80 1.44 1.87 0.60 1.49 2.15 1.69 1.71 第六次 0.40 0.66 0.97 1.53 1.82 0.48 1.21 2.26 0.81 1.50 1.91 0.62 1.46 2.13 1.69 1.73

该模型的更新过程收敛基本上达到六次迭代后。表3总结了17个频率在六次迭代计算。可以看出，在一般情况下，计算出的频率逐渐收敛到相应的测量值对于大多数的17种模式。然而，这两个模式的频率差异，L1和MVB1，随着迭代次数的增加实际上略有增加。这可以归因于目标函数的使用[（9）] 在优化配方，使这17个自然频率拟合在最小向量范数意义。这个全局拟合频率有时可以牺牲一些个人的模式匹配。

测量和最初的和最后的更新的有限元模态的计算频率之间的差异是绘制在图8。可以看出，频率使用更新后的模型计算通常比计算的初始模型更接近于实测频率。可以看出，除了模式V3，L3，T2，和ltt1，测量和最终结果的差异均在+5%和-5%之间。表4显示了更新后的值的31个结构参数在迭代的第六结束相比，参数的初始估计。可以看出，转动惯量（I zz , ms 和I yy , ms ）和复合桥面的扭转常数（J ms ）已经有了明显的改进；这些参数的变化接近30%。同时对箱梁桥面板的转动惯量（I ZZ , SS ）保持几乎不变的更新过程中，两者的复合甲板和箱梁桥面其他参数的修改中，在10%附近的变化。对于两塔，大约一半的参数被修改在10%之内，而另一半是改性的20%和25%之间。正如预期的那样，建模的甲板/塔连接参数与边界条件都发生了显著的变化。例如，B 3的变化（横向弹性桥面和大屿山塔腿之间）和B 4（扭转弹性的桥面和大屿山塔中间支柱之间）都接近200%。

虽然最后更新的有限元模型可以产生固有频率比初始模型更接近实测值，还没有足够的证据表明，更新后的结构参数或接近实际值。在最好的情况下，更新后的模型可以被视为一个可信的候选人，由于结构参数的数量大于模式的数量。因此，多组参数，满足优化—而目标可能存在。这唯一的问题是是个重要的问题，需要在今后的研究中解决的一个重要问题。

然而，最新的结构参数的精度可以在一定程度上验证是通过计算和测量频率的方式不包括在更新程序的比较。它是决定比较14个模式，1.64和3.71 Hz，看看与其表现相比，如何更新初始模型之间的频率值。这些模式在作家的作品中报道了（Chang 等人，2001）。这个频率的比较，总结在表5中给出的测量结果，

图8. 频率比较差异使用最初的测量和计算结果和更新后的有限元模型图9. 频率测量和计算结果之间存在差异的31个节点

表4. 初更新模型参数

结构物复合桥面

箱梁桥面

参数

初始估计值 2.00 ϫ 3.88 ϫ 2.39 ϫ 1.91 ϫ 2.53 ϫ 5.47 ϫ 4.95 ϫ 3.00 ϫ 3.63 ϫ 5.19 ϫ 3.63 ϫ 5.56 ϫ 1.00 ϫ 5.18 ϫ 3.50 ϫ 2.28 ϫ 2.25 ϫ 5.10 ϫ 3.53 ϫ 6.37 ϫ 3.50 ϫ 2.28 ϫ 2.25 ϫ 5.10 ϫ 3.53 ϫ 6.37 ϫ 1.39 ϫ 1.00 ϫ 2.00 ϫ 1.00 ϫ

108 103 10 102 103 102 105 107 103 10 102 103 103 105 107 10 10 10 10 10 107 10 10 10 10 10 102 106 106 106

更新价值

2.30 ϫ 4.26 ϫ 2.52 ϫ 2.48 ϫ 1.83 ϫ 3.87 ϫ 3.75 ϫ 2.45 ϫ 3.21 ϫ 5.97 ϫ 3.61 ϫ 4.06 ϫ 0.79 ϫ 4.06 ϫ 4.22 ϫ 2.05 ϫ 2.80 ϫ 6.15 ϫ 3.72 ϫ 6.82 ϫ 3.81 ϫ 2.42 ϫ 2.79 ϫ 6.33 ϫ 3.05 ϫ 7.66 ϫ 1.76 ϫ 1.53 ϫ 2.42 ϫ 2.88 ϫ

108

103 10 102 103 102 105 107 103 10 102 103 103 105 107 10 10 10 10 10 107 10 10 10 10 10 102 106 106 106

百分比

变化

E ms (kPa) M ms (kg/m 3) A ms (m2) I zz , ms (m4) I yy , ms (m4) J ms (m4)

I mm , ms (kg m)

大屿山塔

E ss (kPa) M ss (kg/m 3) A ss (m2) I zz , ss (m4) I yy , ss (m4) J ss (m4)

I mm , ss (kg m)

Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ

15.0 9.8 5.3 29.7 27.5 29.2 11.2 18.4 11.7 15.2

0.4

Ϫ Ϫ

马湾塔

连接和边界条件

E LT (kPa) A u , LT (m2) A i , LT (m2) I zz , i , LT (m4) A l , LT (m2) I zz , l , LT (m4) E MW (kPa) A u , MW (m2) A u , MW (m2) I zz , i , MW (m4) A l , MW (m2) I zz , l , MW (m4) I zz , us (m4) B 1 (kN) B 2 (kN) B 3 (kN) B 4

(kN)

27.1 21.1 28.6 20.5

9.9

24.6 20.5 5.5 7.0 8.9 6.5 24.1 24.1 13.5 20.2 26.5 53.0 2.10

188.0 198.0

5.00 ϫ 101.49 ϫ 10

表5. 模型在更新过程中频率的比较

测量频率

有限元模型的计算频率

振型

更新模型

2.59( 2.87( 3.18( 3.34(

Ϫ 4.4) a

(Hz) 2.71 3.08

初始模型 2.81 (3.7) a 2.88(

Ϫ 6.5) a

桥面垂直弯曲

桥面的垂直弯曲桥面的水平弯曲

3.19 (3.6) a

Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ

2.0) a 0.6) a 1.5) a 3.0) a 0.4) a 0.4) a 9.4) a 4.6) a

2.93 3.20 2.56 3.39 1.64 2.25 2.66 2.93 2.44 2.56 3.20 3.71

3.06 (4.4) a 3.39 (5.9) a 2.69 (5.1) a 3.35(

Ϫ 1.2) a

桥面的水平弯曲

桥面的扭转模型桥面的扭转模型

2.77 (8.2) a 1.59( 2.65(

大屿山塔的摇摆

大屿山塔的摇摆大屿山塔的扭转大屿山塔的弯曲马湾塔的弯曲马湾塔的摇摆马湾塔的弯曲

2.03 (23.8) a 2.79 (24.0) a 2.54(

Ϫ 4.5) a

2.50 (11.1) a 3.10 (5.8) a 2.43( 2.32(

3.04 (3.8) a 2.45 (0.4) a 2.26( 2.58( 2.67(

ϪϪ

11.7)a 19.4) a

3.45 (7.8) a 3.54(

马湾塔的扭转

28.0) a

计算和测量频率之间的百分比差异

连同那些最初和最后的更新模型。可见，在一般情况下，对测量及初步结果可以之间的大的差异可以减少；例如，对大屿山的塔晃动的频率差（1.64 Hz）由23.8%（2.03赫兹）降低到23%（1.59 Hz ）和马湾塔的扭转模式（3.71hz ）由228%（2.67赫兹）降低到24.6%（3.54赫兹）。看到一些模型14有一些小的增加，不过，这并不重要。

如图9所示的最初和更新模型频率的差异，一共31种模式，分垂直，扭转横向，比较大屿山塔模型和马湾塔的模型。一般而言，更新模式，相比初始的模型，可以产生频率更接近实际值。

进一步的计算表明，附加的迭代不能进一步降低频率的差异。眼前的问题是，为什么当前的更新程序无法删除的频率完全不同？答案可归结为以下两个因素的：（1）测量数据的处理技术的错误的；（2）由于介绍和更新过程的固有的假设和限制。由于测量桥下环境的条件下进行的，与噪声污染相比，微风吹动动，振动信号是相当低的。同时，后处理技术来提取这些频率是基于一些理想的假设，如宽带激励。这些测量频率的精度是很难量化。方法，修正基于假设该结构是一种线性阻尼系统和模型的频率由一组选定的结构参数只影响。这些选定的

参数可能不负责建模不确定性消息，从关节的桥元件连接如。对桥梁断面均匀性假设也可以介绍一些建模误差，需要在今后进行量化研究。结论：

对汲水门大桥的动态建模和特征的进一步研究，本文提出的该桥有限元模型修正是基于实测频率的结果。共有17种模式，频率范围均在0.4和2.2赫兹之间，与选择的测量和计算结果相匹配。一共有31组结构参数进行基于灵敏度的研究更新。更新的方法是基于特征值灵敏度，和要更新的参数被假定是有界的。参数在一些规定的区域内有一定程度的不确定性和变异的存在，这些事基于工程的判断。

模型修正过程只使用六次迭代收敛。研究发现，在一般情况下，与最初的模型相比，更新后的模型计算频率更接近于实测值。类似的结果也在更新后的模型中可以看出。

总结本研究尝试更新的原有的有限元模型，这是从设计图纸了，基于实测信息来完成的。结果表明，更新的有限元模型是有可能使固有频率相当接近测量值的。然而，，由于在一些哲学和现实的假设引入，在之前的模型更新过程中，很难彻底消除的频率不同。这些设想的详细研究很有必要在未来的进行进一步巩固和发现。

致谢：

本文的研究报告是由香港的研究资助局和芝加哥伊利诺伊大学建立的研究基金会共同赞助！

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