2017年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x |（x ﹣2）（x +6）＞0}，B={x |﹣3＜x ＜4}，则A ∩B 等于（ ）
A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣3，2） C ．（2，4） 2．复数z=
的虚部为（ ）
D ．（﹣2，4）
A ．﹣ B．﹣1 C ． D ．
3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（ ）
A ．第3组 B ．第4组 C ．第5组 D ．第6组 4．已知函数f （x ）=cos（ωx﹣的图象（ ）
A ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向左平移B ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向右平移C ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向左平移D ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向右平移5．已知数列{a n }满足：
个单位而得 个单位而得 个单位而得 个单位而得
）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f （x ）
=，且a 2=2，则a 4等于（ ）
A ．﹣ B．23 C ．12 D ．11 6．已知角θ的终边过点（2sin 2数a 等于（ ） A ．﹣
B ．﹣
C ．±
D ．±
﹣1，a ），若sinθ=2sin cos ，则实
7．执行如图的程序框图，若输入k 的值为3，则输出S 的值为（ ）
A ．10 B ．15 C ．18 D ．21
8．已知抛物线C ：y 2=2px（p ＞0）的焦点为F ，点M （x 0，2一点，圆M 与y 轴相切且与线段MF 相交于点A ，若A ．1
B ．2
C ．2
D．4
）是抛物线C 上
=2，则p 等于（ ）
9．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则
等于（ ）
A ． B ． C ． D ．2
10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．12 B ．15 C ．18 D ．21 11．已知双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），M 、N
在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为A ．
cb ，则双曲线C 的离心率为（ ）
C ．2
D．2
B ．2
12．=﹣x 2﹣6x ﹣3，q }表示p ，q 二者中较大的一个．已知函数f （x ）设max {p ，函数g （x ）=max{（）x ﹣2，log 2（x +3）}．若m ＜﹣2，且∀x 1∈[m ，﹣2），∃x 2∈（0，+∞），使得f （x 1）=g（x 2）成立，则m 的最小值为（ ） A ．﹣5 B ．﹣4 C ．﹣2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．如果实数x ，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为．
D ．﹣3
14．在区间[﹣1，5]上任取一个实数b ，则曲线f （x ）=x3﹣2x 2+bx 在点（1，f （1））处切线的倾斜角为钝角的概率为 ．
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i （i=1，2，…，10），且a 1＜a 2＜…＜a 10，若48a i =5M，则i=
16．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，点E 在棱AB 上，点F 在棱C 1D 1上，
且平面B 1CF ∥平面A 1DE ，若AE=1，则三棱锥B 1﹣CC 1F 外接球的表面积为
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，（12分）在△ABC 中，角A ，且accosB ﹣bccosA=3b2．
（1）求的值； （2）若角C 为锐角，c=
，sinC=
，求△ABC 的面积．
18．（12分）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老
师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：
（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率． 下面的临界值表供参考：
，其中n=a+b +c +d ）
（参考公式：K 2=
19．（12分）如图，在四棱锥A ﹣BCED 中，AD ⊥底面BCED ，BD ⊥DE ，∠DBC=∠BCE ═60°，BD=2CE．
（1）若F 是AD 的中点，求证：EF ∥平面ABC ；
（2）M 、N 是棱BC 的两个三等分点，求证：EM ⊥平面ADN ．
20．（12分）已知F 1（﹣c ，0）、F 2（c 、0）分别是椭圆G ：＜a ＜3）的左、右焦点，点P （2，（1）求椭圆G 的方程；
（2）设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点，若
⊥
+=1（0＜b
）是椭圆G 上一点，且|PF 1|﹣|PF 2|=a．
，其中O 为坐标原点，判
断O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 21．（12分）已知函数f （x ）=x﹣（1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）若m=﹣1，求证：函数F （x ）=x﹣
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为
（t 为参数）．
，m ∈R ，且m ≠0．
有且只有一个零点．
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积． [选修4-5：不等式选讲] 23．设实数x ，y 满足x +=1．
（1）若|7﹣y |＜2x +3，求x 的取值范围； （2）若x ＞0，y ＞0，求证：
≥xy ．
2017年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x |（x ﹣2）（x +6）＞0}，B={x |﹣3＜x ＜4}，则A ∩B 等于（ ）
A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣3，2） C ．（2，4） 【考点】交集及其运算．
D ．（﹣2，4）
【分析】求出关于A 的解集，从而求出A 与B 的交集．
【解答】解：∵A={x |（x ﹣2）（x +6）＞0}={x |x ＜﹣6或x ＞2}，B={x |﹣3＜x ＜4}，
∴A ∩B={x |2＜x ＜4}， 故选：C ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．复数z=
的虚部为（ ）
A ．﹣ B．﹣1 C ． D ． 【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z=∴复数z=故选：A ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
=
．
，
的虚部为
3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（ ）
A ．第3组 B ．第4组 C ．第5组 D ．第6组 【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图求出前4组的频数为22，且第四组的频数8，即可得到答案．
【解答】解：由图可得，前第四组的频率为（0.0375+0.0625+0.075+0.1）×2=0.55，
则其频数为40×0.55=22，且第四组的频数为40×0.1×2=8， 故中位数落在第4组， 故选：B
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，以及中位数的定义，属于基础题．
4．已知函数f （x ）=cos（ωx﹣的图象（ ）
A ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向左平移B ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向右平移C ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向左平移D ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向右平移【考点】余弦函数的图象．
【分析】根据函数f （x ）的最小正周期为π，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可．
【解答】解：函数f （x ）=cos（ωx﹣
）（ω＞0）的最小正周期为π，
个单位而得 个单位而得 个单位而得 个单位而得
）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f （x ）
即T=∴ω=2，
，
则f （x ）=cos（2x ﹣位而得． 故选：D ．
）的图象可有函数g （x ）=cos2x的图象向右平移个单
【点评】本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用．属于基础题．
5．已知数列{a n }满足：A ．﹣ B．23 C ．12 D ．11 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】数列{a n }满足：通项公式即可得出．
【解答】解：∵数列{a n }满足：是等比数列，公比为2．
则a 4+1=22（a 2+1）=12，解得a 4=11． 故选：D ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．已知角θ的终边过点（2sin 2数a 等于（ ） A ．﹣
B ．﹣
C ．±
D ．±
=，且a 2=2，则a 4等于（ ）
=，可得a n +1+1=2（a n +1），利用等比数列的
=，∴a n +1+1=2（a n +1），即数列{a n +1}
﹣1，a ），若sinθ=2sin cos ，则实
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】
利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结
论．
【解答】解：2sin 2
﹣1=﹣cos
=﹣
，2
sin sin
cos cos
=﹣，
，
∵角θ的终边过点（2sin 2∴∴a=﹣故选B ．
=﹣，
，
﹣1，a ），sinθ=2
【点评】本题考查正弦函数的定义，考查二倍角公式，属于中档题．
7．执行如图的程序框图，若输入k 的值为3，则输出S 的值为（ ）
A ．10 B ．15 C ．18 D ．21 【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，S 的值，当n=5，S=15时，不满足条件S ＜kn=15，退出循环，输出S 的值为15，即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 k=3，n=1，S=1
满足条件S ＜kn ，执行循环体，n=2，S=3 满足条件S ＜kn ，执行循环体，n=3，S=6 满足条件S ＜kn ，执行循环体，n=4，S=10 满足条件S ＜kn ，执行循环体，n=5，S=15
此时，不满足条件S ＜kn=15，退出循环，输出S 的值为15． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．
8．已知抛物线C ：y 2=2px（p ＞0）的焦点为F ，点M （x 0，2一点，圆M 与y 轴相切且与线段MF 相交于点A ，若A ．1
B ．2
C ．2
D．4
）是抛物线C 上
=2，则p 等于（ ）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设M 到准线的距离为|MB |，则|MB |=|MF |，利用即可得出结论．
【解答】解：设M 到准线的距离为|MB |，则|MB |=|MF |， ∵
=2，∴x 0=p，
=2，得x 0=p，
∴2p 2=8， ∵p ＞0， ∴p=2． 故选B ．
【点评】本题考查抛物线定义的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
9．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则
等于（ ）
A ． B ． C ． D ．2 【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量的平方即为模的平方．可得•=﹣cos ＜，＞=
，化简即可得到所求值．
2
，再由向量的夹角公式：
【解答】解：非零向量、满足|﹣|=|+2|，
即有（﹣）2=（+2）2，
即为2+2﹣2•=2+4•+42，
化为•=﹣2，
由与的夹角的余弦值为﹣，
可得cos ＜，＞=﹣==，
化简可得
故选：D ． =2．
【点评】本题考查向量的数量积的夹角公式，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．12 B ．15 C ．18 D ．21
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，
切去一半得到的，其直观图如下所示：
其体积为：×4×3×3=18，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
11．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），M 、N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为
A ．cb ，则双曲线C 的离心率为（ ） C ．2 D．2 B ．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设M （x 0，y 0），y 0＞0，由四边形OFMN 为平行四边形，四边形OFMN 的面积为cb ，由x 0=﹣，丨y 0丨=b ，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C 的离心率．
【解答】解：双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）焦点在x 轴上，
设M （x 0，y 0），y 0＞0，由四边形OFMN 为平行四边形，
∴x 0=﹣，
四边形OFMN 的面积为
∴丨y 0丨c=
∴M （﹣，cb ， b ， cb ，即丨y 0丨= b ），
﹣代入双曲线可得：
由e=，
=1，整理得：，
∴e 2=12，由e ＞1，解得：e=2
故选D ． ，
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题．
12．=﹣x 2﹣6x ﹣3，q }表示p ，q 二者中较大的一个．已知函数f （x ）设max {p ，函数g （x ）=max{（）x ﹣2，log 2（x +3）}．若m ＜﹣2，且∀x 1∈[m ，﹣2），∃x 2∈（0，+∞），使得f （x 1）=g（x 2）成立，则m 的最小值为（ ） A ．﹣5 B ．﹣4 C ．﹣2
【考点】函数的图象．
【分析】求出g （x ），作函数y=f（x ）的图象，如图所示，f （x ）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，即可得出结论． D ．﹣3
【解答】解：由题意，g （x ）=
（x ）=﹣（x ﹣3）2+6≤6， ，∴g （x ）min =g（1）=2，f
作函数y=f（x ）的图象，如图所示，f （x ）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，则m 的最小值为﹣5．
故选A ．
【点评】本题主要考查了函数的等价转化思想，数形结合的数学思想，以及函数求值域的方法，属中等题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．如果实数x ，y 满足约束条件
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图， ，则z=3x+2y 的最大值为．
联立，解得A （1，2），
，由图可知，当直线y=过A 时，直线在化目标函数z=3x+2y 为y=
y 轴上的截距最大，z 有最大值为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．在区间[﹣1，5]上任取一个实数b ，则曲线f （x ）=x3﹣2x 2+bx 在点（1，f （1））处切线的倾斜角为钝角的概率为
【考点】几何概型．
【分析】利用曲线f （x ）=x3﹣2x 2+bx 在点（1，f （1））处切线的倾斜角为钝角，求出b 的范围，以长度为测度，即可求出所求概率．
．
【解答】解：∵f （x ）=x3﹣2x 2+bx ，
∴f′（x ）=3x2﹣4x +b ，
∴f′（1）=b﹣1＜0，∴b ＜1．
由几何概型，可得所求概率为
故答案为．
【点评】本题考查概率的计算，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i （i=1，2，…，10），且a 1＜a 2＜…＜a 10，若48a i =5M，则i=
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }且设公差为d ，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a 1和d 值，由等差数列的前n 项和公式求出该金杖的总重量M ，代入已知的式子化简求出i 的值．
【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，
记为{a n }，设公差为d ，
则，解得a 1=，d=，
=15，
+（i ﹣1）×]=25， =． 所以该金杖的总重量M=因为48a i =5M，所以48[
即39+6i=75，解得i=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的实际应用，以及方程思想，考查化简、计算能力．
16．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，点E 在棱AB 上，点F 在棱C 1D 1上，
且平面B 1CF ∥平面A 1DE ，若AE=1，则三棱锥B 1﹣CC 1F 外接球的表面积为．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据平面B 1CF ∥平面A 1DE ，得到C 1F=AE=1，再求出三棱锥B 1﹣CC 1F 外接球直径，问题得以解决．
【解答】解：当C 1F=AE=1时，可得CF ∥A 1E ，
又A 1D 1∥B 1C ，且CF ∩B 1C=C，
∴平面B 1CF ∥平面A 1DE ，
∴三棱锥B 1﹣CC 1F 外接球的直径为
其表面积为（
故答案为：19π ）2π=19π， =，
【点评】本题主要考查了正方体和三棱锥的几何体的性质以及球的表面积公式，属于基础题．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2017•南宁一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且accosB ﹣bccosA=3b2．
（1）求的值；
（2）若角C 为锐角，c=，sinC=，求△ABC 的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由accosB ﹣bccosA=3b2，利用余弦定理可得
=3b2，化简即可得出．
﹣
sinC=（2）由角C 为锐角，，可得cosC=．利用余弦定理可得
=a2+b 2﹣2ab ×，与a=2b联立解得b ，a ，即可得出．
【解答】解：（1）∵accosB ﹣bccosA=3b2，
∴﹣=3b2，化为：a=2b，因此=2．
，∴cosC==． （2）∵角C 为锐角，sinC=
∴=a2+b 2﹣2ab ×，化为：3a 2+3b 2﹣2ab=33，又a=2b，
sinC===2． 联立解得b 2=3，∴S △ABC =
【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2017•南宁一模）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：
（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率．
下面的临界值表供参考：
（参考公式：K 2=，其中n=a+b +c +d ）
【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由2×2列联表，计算K 2，对照临界值表得出结论；
（2）根据分层抽样比例求出所抽取的5个成绩，
利用列举法计算基本事件数、计算对应的概率值．
【解答】解：（1）由2×2列联表，计算K 2的观测值为
k==＞7.879，
对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，
认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）根据分层抽样原理，
从第一次月考数学优良成绩中抽取
从第二次月考数学优良成绩中抽取×5=3个，记为A 、B 、C ； ×5=2个，记为d 、e ；
则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是
AB 、AC 、Ad 、Ae 、BC 、Bd 、Be 、Cd 、Ce 、de 共10个，
其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有
AB 、AC 、BC 、de 共4个，
故所求的概率为P==．
【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
19．（12分）（2017•南宁一模）如图，在四棱锥A ﹣BCED 中，AD ⊥底面BCED ，BD ⊥DE ，∠DBC=∠BCE ═60°，BD=2CE．
（1）若F 是AD 的中点，求证：EF ∥平面ABC ；
（2）M 、N 是棱BC 的两个三等分点，求证：EM ⊥平面ADN ．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取BD 的中点G ，连接EG ，FG ，证明平面EFG ∥平面ABC ，即可证明：EF ∥平面ABC ；
（2）M 、N 是棱BC 的两个三等分点，证明EM ⊥ND ，AD ⊥EM ，即可证明：EM ⊥平面ADN ．
【解答】证明：（1）取BD 的中点G ，连接EG ，FG ，
∵F 是AD 的中点，
∴FG ∥AB ，
∵BD=2CE，∴BG=CE，
∵∠DBC=∠BCE ，
∴E ，G 到直线BC 的距离相等，则EG ∥CB ，
∵EG ∩FG=G，
∴平面EFG ∥平面ABC ，
∵EF ⊂平面EFG ，
∴EF ∥平面ABC ；
（2）∵BD ⊥DE ，∠DBC=∠BCE ═60°，BD=2CE，
∴BC=3CE，
∵M 、N 是棱BC 的两个三等分点，
∴MN=CE，BD=BN，
∵∠DBC=60°，
∴△BDN 是正三角形，即∠BND=60°，
∵∠BCE=60°，∴CE ∥ND ，
△CEM 中，CM=2CE，∠BCE=60°，
∴∠CEM=90°，
∴EM ⊥CE ，EM ⊥ND ，
∵AD ⊥平面BCED ，
∴AD ⊥EM ，
∵AD ∩ND=D，
∴EM ⊥平面ADN ．
【点评】本题考查面面平行、线面平行的判定，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12分）（2017•南宁一模）已知F 1（﹣c ，0）、F 2（c 、0）分别是椭圆G ： +=1（0＜b ＜a ＜3）的左、右焦点，点P （2，）是椭圆G 上一点，且|PF 1|﹣|PF 2|=a．
（1）求椭圆G 的方程；
（2）设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点，若⊥，其中O 为坐标原点，判断O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF 1丨=a=3|PF 2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c 的值，则求得a 的值，b 2=a2﹣c 2=4，即可求得椭圆方程； （2）当直线l ⊥x 轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A 和B 点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m 的值，求得O 到直线l 的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O 到直线l 的距离为定值．
【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a．由|PF 1|﹣|PF 2|=a． ∴丨PF 1丨=a=3|PF 2|，
则
由c ＜a ＜3，
∴c=2，
则丨PF 1丨=3
b 2=a2﹣c 2=4，
=a ，则a=2， =3，化简得：c 2﹣5c +6=0，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）由题意可知，直线l 不过原点，设A （x 1，x 2），B （x 2，y 2），
①当直线l ⊥x 轴，直线l 的方程x=m，（m ≠0），且﹣2
则x 1=m，y 1=
由⊥，
）=0， ，x 2=m，y 2=﹣， ＜m ＜2， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，即m 2﹣（4﹣
解得：m=±，
， 故直线l 的方程为x=±
∴原点O 到直线l 的距离d=，
②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+n ，
，消去y 整理得：（1+2k 2）x 2+4knx +2n 2﹣8=0， 则
x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，
则y 1y 2=（kx 1+n ）（kx 2+n ）=k2x 1x 2+kn （x 1+x 2）+n 2=
由⊥，
+=0， ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，故
整理得：3n 2﹣8k 2﹣8=0，即3n 2=8k2+8，①
则原点O 到直线l 的距离d=，
∴d 2=（）2==，②
将①代入②，则d2==，
∴d=，
． 综上可知：点O 到直线l 的距离为定值
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2017•南宁一模）已知函数f （x ）=x﹣
（1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）若m=﹣1，求证：函数F （x ）=x﹣有且只有一个零点． ，m ∈R ，且m ≠0．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【分析】（1）求出原函数的导函数，然后分m ＜0和m ＞0两种情况讨论原函数的单调性；
（2）把m=﹣1代入函数解析式，求出导函数F′（x ）=，设h （x ）=x2﹣1+lnx ，利用导数可得h （x ）=x2﹣1+lnx 在（0，+∞）上为增函数，结合h （1）=0，可得F′（1）=0且F′（x ）有唯一的零点1．从而得到0＜x ＜1时，F′（x ）＜0，x ＞1时，F′（x ）＞0．可得F （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，结合F （x ）的最小值为F （1）=0可知函数F （x ）=x﹣
一个零点．
【解答】（1）解：f′（x ）=1﹣=，x ＞0， 有且只有
当m ＜0时，f′（x ）＞0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增；
当m ＞0时，由f′（x ）＞0，解得x ＞，由f′（x ）＜0，得0＜x ＜． ∴f （x ）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；
（2）证明：由已知，F （x ）=x﹣，则F′（x ）=，
设h （x ）=x2﹣1+lnx ，则h′（x ）=2x+＞0（x ＞0），
故h （x ）=x2﹣1+lnx 在（0，+∞）上为增函数，
又由于h （1）=0，因此F′（1）=0且F′（x ）有唯一的零点1．
当0＜x ＜1时，F′（x ）＜0，当x ＞1时，F′（x ）＞0．
∴F （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
∴F （x ）的最小值为F （1）=0．
∴函数F （x ）=x﹣有且只有一个零点．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数零点存在性定理的用法，考查逻辑思维能力与运算能力，是压轴题．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017•南宁一模）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为
（t 为参数）．
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）对于曲线C ：由ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，坐标化即可，对于l ，消去t 整理可得；（2）由（1）可知圆和半径，可得弦心距，进而可得弦长，可得面积．
【解答】解：（1）对于曲线C ：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x 2+y 2=4x． 对于l ：由（t 为参数），消去t 可得，
化为一般式可得；
（2）由（1）可知C 为圆，且圆心为（2，0），半径为2，
∴弦心距
∴弦长， ，
∴以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积
【点评】本题考查参数方程和极坐标方程，属基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•南宁一模）设实数x ，y 满足x +=1．
（1）若|7﹣y |＜2x +3，求x 的取值范围；
（2）若x ＞0，y ＞0，求证：≥xy ．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）根据题意，由x +=1，则y=4﹣4x ，则|7﹣y |＜2x +3，可得|4x +3|＜2x +3，解可得x 的范围，即可得答案；
（2）根据题意，由基本不等式可得1=x+≥2
分析可得
证明．
【解答】解：（1）根据题意，若x +=1，则4x +y=4，即y=4﹣4x ，
则由|7﹣y |＜2x +3，可得|4x +3|＜2x +3，
即﹣（2x +3）＜4x +3＜2x +3，
解可得﹣1＜x ＜0；
（2）证明：x ＞0，y ＞0，1=x+≥2
﹣xy=
又由0＜
即（1﹣≤1，则）， ﹣xy=（1﹣）≥0， =，即≤1， ﹣xy=（1﹣），结合=，即≤1，用作差法﹣xy ≥0，即可得的范围，可得≥xy ．
【点评】本题考查基本不等式、绝对值不等式的应用，关键是利用x +=1分析变量x 、y 之间的关系．
2017年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x |（x ﹣2）（x +6）＞0}，B={x |﹣3＜x ＜4}，则A ∩B 等于（ ）
A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣3，2） C ．（2，4） 2．复数z=
的虚部为（ ）
D ．（﹣2，4）
A ．﹣ B．﹣1 C ． D ．
3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（ ）
A ．第3组 B ．第4组 C ．第5组 D ．第6组 4．已知函数f （x ）=cos（ωx﹣的图象（ ）
A ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向左平移B ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向右平移C ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向左平移D ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向右平移5．已知数列{a n }满足：
个单位而得 个单位而得 个单位而得 个单位而得
）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f （x ）
=，且a 2=2，则a 4等于（ ）
A ．﹣ B．23 C ．12 D ．11 6．已知角θ的终边过点（2sin 2数a 等于（ ） A ．﹣
B ．﹣
C ．±
D ．±
﹣1，a ），若sinθ=2sin cos ，则实
7．执行如图的程序框图，若输入k 的值为3，则输出S 的值为（ ）
A ．10 B ．15 C ．18 D ．21
8．已知抛物线C ：y 2=2px（p ＞0）的焦点为F ，点M （x 0，2一点，圆M 与y 轴相切且与线段MF 相交于点A ，若A ．1
B ．2
C ．2
D．4
）是抛物线C 上
=2，则p 等于（ ）
9．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则
等于（ ）
A ． B ． C ． D ．2
10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．12 B ．15 C ．18 D ．21 11．已知双曲线C ：
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），M 、N
在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为A ．
cb ，则双曲线C 的离心率为（ ）
C ．2
D．2
B ．2
12．=﹣x 2﹣6x ﹣3，q }表示p ，q 二者中较大的一个．已知函数f （x ）设max {p ，函数g （x ）=max{（）x ﹣2，log 2（x +3）}．若m ＜﹣2，且∀x 1∈[m ，﹣2），∃x 2∈（0，+∞），使得f （x 1）=g（x 2）成立，则m 的最小值为（ ） A ．﹣5 B ．﹣4 C ．﹣2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．如果实数x ，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为．
D ．﹣3
14．在区间[﹣1，5]上任取一个实数b ，则曲线f （x ）=x3﹣2x 2+bx 在点（1，f （1））处切线的倾斜角为钝角的概率为 ．
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i （i=1，2，…，10），且a 1＜a 2＜…＜a 10，若48a i =5M，则i=
16．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，点E 在棱AB 上，点F 在棱C 1D 1上，
且平面B 1CF ∥平面A 1DE ，若AE=1，则三棱锥B 1﹣CC 1F 外接球的表面积为
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，（12分）在△ABC 中，角A ，且accosB ﹣bccosA=3b2．
（1）求的值； （2）若角C 为锐角，c=
，sinC=
，求△ABC 的面积．
18．（12分）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老
师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：
（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率． 下面的临界值表供参考：
，其中n=a+b +c +d ）
（参考公式：K 2=
19．（12分）如图，在四棱锥A ﹣BCED 中，AD ⊥底面BCED ，BD ⊥DE ，∠DBC=∠BCE ═60°，BD=2CE．
（1）若F 是AD 的中点，求证：EF ∥平面ABC ；
（2）M 、N 是棱BC 的两个三等分点，求证：EM ⊥平面ADN ．
20．（12分）已知F 1（﹣c ，0）、F 2（c 、0）分别是椭圆G ：＜a ＜3）的左、右焦点，点P （2，（1）求椭圆G 的方程；
（2）设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点，若
⊥
+=1（0＜b
）是椭圆G 上一点，且|PF 1|﹣|PF 2|=a．
，其中O 为坐标原点，判
断O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 21．（12分）已知函数f （x ）=x﹣（1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）若m=﹣1，求证：函数F （x ）=x﹣
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为
（t 为参数）．
，m ∈R ，且m ≠0．
有且只有一个零点．
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积． [选修4-5：不等式选讲] 23．设实数x ，y 满足x +=1．
（1）若|7﹣y |＜2x +3，求x 的取值范围； （2）若x ＞0，y ＞0，求证：
≥xy ．
2017年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x |（x ﹣2）（x +6）＞0}，B={x |﹣3＜x ＜4}，则A ∩B 等于（ ）
A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣3，2） C ．（2，4） 【考点】交集及其运算．
D ．（﹣2，4）
【分析】求出关于A 的解集，从而求出A 与B 的交集．
【解答】解：∵A={x |（x ﹣2）（x +6）＞0}={x |x ＜﹣6或x ＞2}，B={x |﹣3＜x ＜4}，
∴A ∩B={x |2＜x ＜4}， 故选：C ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．复数z=
的虚部为（ ）
A ．﹣ B．﹣1 C ． D ． 【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z=∴复数z=故选：A ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
=
．
，
的虚部为
3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（ ）
A ．第3组 B ．第4组 C ．第5组 D ．第6组 【考点】频率分布直方图．
【分析】根据频率分布直方图求出前4组的频数为22，且第四组的频数8，即可得到答案．
【解答】解：由图可得，前第四组的频率为（0.0375+0.0625+0.075+0.1）×2=0.55，
则其频数为40×0.55=22，且第四组的频数为40×0.1×2=8， 故中位数落在第4组， 故选：B
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，以及中位数的定义，属于基础题．
4．已知函数f （x ）=cos（ωx﹣的图象（ ）
A ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向左平移B ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向右平移C ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向左平移D ．可由函数g （x ）=cos2x的图象向右平移【考点】余弦函数的图象．
【分析】根据函数f （x ）的最小正周期为π，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可．
【解答】解：函数f （x ）=cos（ωx﹣
）（ω＞0）的最小正周期为π，
个单位而得 个单位而得 个单位而得 个单位而得
）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f （x ）
即T=∴ω=2，
，
则f （x ）=cos（2x ﹣位而得． 故选：D ．
）的图象可有函数g （x ）=cos2x的图象向右平移个单
【点评】本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用．属于基础题．
5．已知数列{a n }满足：A ．﹣ B．23 C ．12 D ．11 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】数列{a n }满足：通项公式即可得出．
【解答】解：∵数列{a n }满足：是等比数列，公比为2．
则a 4+1=22（a 2+1）=12，解得a 4=11． 故选：D ．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．已知角θ的终边过点（2sin 2数a 等于（ ） A ．﹣
B ．﹣
C ．±
D ．±
=，且a 2=2，则a 4等于（ ）
=，可得a n +1+1=2（a n +1），利用等比数列的
=，∴a n +1+1=2（a n +1），即数列{a n +1}
﹣1，a ），若sinθ=2sin cos ，则实
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】
利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结
论．
【解答】解：2sin 2
﹣1=﹣cos
=﹣
，2
sin sin
cos cos
=﹣，
，
∵角θ的终边过点（2sin 2∴∴a=﹣故选B ．
=﹣，
，
﹣1，a ），sinθ=2
【点评】本题考查正弦函数的定义，考查二倍角公式，属于中档题．
7．执行如图的程序框图，若输入k 的值为3，则输出S 的值为（ ）
A ．10 B ．15 C ．18 D ．21 【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，S 的值，当n=5，S=15时，不满足条件S ＜kn=15，退出循环，输出S 的值为15，即可得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 k=3，n=1，S=1
满足条件S ＜kn ，执行循环体，n=2，S=3 满足条件S ＜kn ，执行循环体，n=3，S=6 满足条件S ＜kn ，执行循环体，n=4，S=10 满足条件S ＜kn ，执行循环体，n=5，S=15
此时，不满足条件S ＜kn=15，退出循环，输出S 的值为15． 故选：B ．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．
8．已知抛物线C ：y 2=2px（p ＞0）的焦点为F ，点M （x 0，2一点，圆M 与y 轴相切且与线段MF 相交于点A ，若A ．1
B ．2
C ．2
D．4
）是抛物线C 上
=2，则p 等于（ ）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设M 到准线的距离为|MB |，则|MB |=|MF |，利用即可得出结论．
【解答】解：设M 到准线的距离为|MB |，则|MB |=|MF |， ∵
=2，∴x 0=p，
=2，得x 0=p，
∴2p 2=8， ∵p ＞0， ∴p=2． 故选B ．
【点评】本题考查抛物线定义的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
9．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则
等于（ ）
A ． B ． C ． D ．2 【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量的平方即为模的平方．可得•=﹣cos ＜，＞=
，化简即可得到所求值．
2
，再由向量的夹角公式：
【解答】解：非零向量、满足|﹣|=|+2|，
即有（﹣）2=（+2）2，
即为2+2﹣2•=2+4•+42，
化为•=﹣2，
由与的夹角的余弦值为﹣，
可得cos ＜，＞=﹣==，
化简可得
故选：D ． =2．
【点评】本题考查向量的数量积的夹角公式，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．12 B ．15 C ．18 D ．21
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，
切去一半得到的，其直观图如下所示：
其体积为：×4×3×3=18，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
11．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F （﹣c ，0），M 、N 在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为
A ．cb ，则双曲线C 的离心率为（ ） C ．2 D．2 B ．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设M （x 0，y 0），y 0＞0，由四边形OFMN 为平行四边形，四边形OFMN 的面积为cb ，由x 0=﹣，丨y 0丨=b ，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C 的离心率．
【解答】解：双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）焦点在x 轴上，
设M （x 0，y 0），y 0＞0，由四边形OFMN 为平行四边形，
∴x 0=﹣，
四边形OFMN 的面积为
∴丨y 0丨c=
∴M （﹣，cb ， b ， cb ，即丨y 0丨= b ），
﹣代入双曲线可得：
由e=，
=1，整理得：，
∴e 2=12，由e ＞1，解得：e=2
故选D ． ，
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题．
12．=﹣x 2﹣6x ﹣3，q }表示p ，q 二者中较大的一个．已知函数f （x ）设max {p ，函数g （x ）=max{（）x ﹣2，log 2（x +3）}．若m ＜﹣2，且∀x 1∈[m ，﹣2），∃x 2∈（0，+∞），使得f （x 1）=g（x 2）成立，则m 的最小值为（ ） A ．﹣5 B ．﹣4 C ．﹣2
【考点】函数的图象．
【分析】求出g （x ），作函数y=f（x ）的图象，如图所示，f （x ）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，即可得出结论． D ．﹣3
【解答】解：由题意，g （x ）=
（x ）=﹣（x ﹣3）2+6≤6， ，∴g （x ）min =g（1）=2，f
作函数y=f（x ）的图象，如图所示，f （x ）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，则m 的最小值为﹣5．
故选A ．
【点评】本题主要考查了函数的等价转化思想，数形结合的数学思想，以及函数求值域的方法，属中等题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．如果实数x ，y 满足约束条件
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图， ，则z=3x+2y 的最大值为．
联立，解得A （1，2），
，由图可知，当直线y=过A 时，直线在化目标函数z=3x+2y 为y=
y 轴上的截距最大，z 有最大值为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．在区间[﹣1，5]上任取一个实数b ，则曲线f （x ）=x3﹣2x 2+bx 在点（1，f （1））处切线的倾斜角为钝角的概率为
【考点】几何概型．
【分析】利用曲线f （x ）=x3﹣2x 2+bx 在点（1，f （1））处切线的倾斜角为钝角，求出b 的范围，以长度为测度，即可求出所求概率．
．
【解答】解：∵f （x ）=x3﹣2x 2+bx ，
∴f′（x ）=3x2﹣4x +b ，
∴f′（1）=b﹣1＜0，∴b ＜1．
由几何概型，可得所求概率为
故答案为．
【点评】本题考查概率的计算，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i （i=1，2，…，10），且a 1＜a 2＜…＜a 10，若48a i =5M，则i=
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }且设公差为d ，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a 1和d 值，由等差数列的前n 项和公式求出该金杖的总重量M ，代入已知的式子化简求出i 的值．
【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，
记为{a n }，设公差为d ，
则，解得a 1=，d=，
=15，
+（i ﹣1）×]=25， =． 所以该金杖的总重量M=因为48a i =5M，所以48[
即39+6i=75，解得i=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的实际应用，以及方程思想，考查化简、计算能力．
16．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，点E 在棱AB 上，点F 在棱C 1D 1上，
且平面B 1CF ∥平面A 1DE ，若AE=1，则三棱锥B 1﹣CC 1F 外接球的表面积为．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据平面B 1CF ∥平面A 1DE ，得到C 1F=AE=1，再求出三棱锥B 1﹣CC 1F 外接球直径，问题得以解决．
【解答】解：当C 1F=AE=1时，可得CF ∥A 1E ，
又A 1D 1∥B 1C ，且CF ∩B 1C=C，
∴平面B 1CF ∥平面A 1DE ，
∴三棱锥B 1﹣CC 1F 外接球的直径为
其表面积为（
故答案为：19π ）2π=19π， =，
【点评】本题主要考查了正方体和三棱锥的几何体的性质以及球的表面积公式，属于基础题．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2017•南宁一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且accosB ﹣bccosA=3b2．
（1）求的值；
（2）若角C 为锐角，c=，sinC=，求△ABC 的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由accosB ﹣bccosA=3b2，利用余弦定理可得
=3b2，化简即可得出．
﹣
sinC=（2）由角C 为锐角，，可得cosC=．利用余弦定理可得
=a2+b 2﹣2ab ×，与a=2b联立解得b ，a ，即可得出．
【解答】解：（1）∵accosB ﹣bccosA=3b2，
∴﹣=3b2，化为：a=2b，因此=2．
，∴cosC==． （2）∵角C 为锐角，sinC=
∴=a2+b 2﹣2ab ×，化为：3a 2+3b 2﹣2ab=33，又a=2b，
sinC===2． 联立解得b 2=3，∴S △ABC =
【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2017•南宁一模）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：
（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率．
下面的临界值表供参考：
（参考公式：K 2=，其中n=a+b +c +d ）
【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由2×2列联表，计算K 2，对照临界值表得出结论；
（2）根据分层抽样比例求出所抽取的5个成绩，
利用列举法计算基本事件数、计算对应的概率值．
【解答】解：（1）由2×2列联表，计算K 2的观测值为
k==＞7.879，
对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，
认为设立自习室对提高学生成绩有效；
（2）根据分层抽样原理，
从第一次月考数学优良成绩中抽取
从第二次月考数学优良成绩中抽取×5=3个，记为A 、B 、C ； ×5=2个，记为d 、e ；
则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是
AB 、AC 、Ad 、Ae 、BC 、Bd 、Be 、Cd 、Ce 、de 共10个，
其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有
AB 、AC 、BC 、de 共4个，
故所求的概率为P==．
【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．
19．（12分）（2017•南宁一模）如图，在四棱锥A ﹣BCED 中，AD ⊥底面BCED ，BD ⊥DE ，∠DBC=∠BCE ═60°，BD=2CE．
（1）若F 是AD 的中点，求证：EF ∥平面ABC ；
（2）M 、N 是棱BC 的两个三等分点，求证：EM ⊥平面ADN ．
【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取BD 的中点G ，连接EG ，FG ，证明平面EFG ∥平面ABC ，即可证明：EF ∥平面ABC ；
（2）M 、N 是棱BC 的两个三等分点，证明EM ⊥ND ，AD ⊥EM ，即可证明：EM ⊥平面ADN ．
【解答】证明：（1）取BD 的中点G ，连接EG ，FG ，
∵F 是AD 的中点，
∴FG ∥AB ，
∵BD=2CE，∴BG=CE，
∵∠DBC=∠BCE ，
∴E ，G 到直线BC 的距离相等，则EG ∥CB ，
∵EG ∩FG=G，
∴平面EFG ∥平面ABC ，
∵EF ⊂平面EFG ，
∴EF ∥平面ABC ；
（2）∵BD ⊥DE ，∠DBC=∠BCE ═60°，BD=2CE，
∴BC=3CE，
∵M 、N 是棱BC 的两个三等分点，
∴MN=CE，BD=BN，
∵∠DBC=60°，
∴△BDN 是正三角形，即∠BND=60°，
∵∠BCE=60°，∴CE ∥ND ，
△CEM 中，CM=2CE，∠BCE=60°，
∴∠CEM=90°，
∴EM ⊥CE ，EM ⊥ND ，
∵AD ⊥平面BCED ，
∴AD ⊥EM ，
∵AD ∩ND=D，
∴EM ⊥平面ADN ．
【点评】本题考查面面平行、线面平行的判定，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12分）（2017•南宁一模）已知F 1（﹣c ，0）、F 2（c 、0）分别是椭圆G ： +=1（0＜b ＜a ＜3）的左、右焦点，点P （2，）是椭圆G 上一点，且|PF 1|﹣|PF 2|=a．
（1）求椭圆G 的方程；
（2）设直线l 与椭圆G 相交于A 、B 两点，若⊥，其中O 为坐标原点，判断O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF 1丨=a=3|PF 2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c 的值，则求得a 的值，b 2=a2﹣c 2=4，即可求得椭圆方程； （2）当直线l ⊥x 轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A 和B 点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m 的值，求得O 到直线l 的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O 到直线l 的距离为定值．
【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a．由|PF 1|﹣|PF 2|=a． ∴丨PF 1丨=a=3|PF 2|，
则
由c ＜a ＜3，
∴c=2，
则丨PF 1丨=3
b 2=a2﹣c 2=4，
=a ，则a=2， =3，化简得：c 2﹣5c +6=0，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）由题意可知，直线l 不过原点，设A （x 1，x 2），B （x 2，y 2），
①当直线l ⊥x 轴，直线l 的方程x=m，（m ≠0），且﹣2
则x 1=m，y 1=
由⊥，
）=0， ，x 2=m，y 2=﹣， ＜m ＜2， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，即m 2﹣（4﹣
解得：m=±，
， 故直线l 的方程为x=±
∴原点O 到直线l 的距离d=，
②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+n ，
，消去y 整理得：（1+2k 2）x 2+4knx +2n 2﹣8=0， 则
x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，
则y 1y 2=（kx 1+n ）（kx 2+n ）=k2x 1x 2+kn （x 1+x 2）+n 2=
由⊥，
+=0， ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0，故
整理得：3n 2﹣8k 2﹣8=0，即3n 2=8k2+8，①
则原点O 到直线l 的距离d=，
∴d 2=（）2==，②
将①代入②，则d2==，
∴d=，
． 综上可知：点O 到直线l 的距离为定值
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．
21．（12分）（2017•南宁一模）已知函数f （x ）=x﹣
（1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）若m=﹣1，求证：函数F （x ）=x﹣有且只有一个零点． ，m ∈R ，且m ≠0．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【分析】（1）求出原函数的导函数，然后分m ＜0和m ＞0两种情况讨论原函数的单调性；
（2）把m=﹣1代入函数解析式，求出导函数F′（x ）=，设h （x ）=x2﹣1+lnx ，利用导数可得h （x ）=x2﹣1+lnx 在（0，+∞）上为增函数，结合h （1）=0，可得F′（1）=0且F′（x ）有唯一的零点1．从而得到0＜x ＜1时，F′（x ）＜0，x ＞1时，F′（x ）＞0．可得F （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，结合F （x ）的最小值为F （1）=0可知函数F （x ）=x﹣
一个零点．
【解答】（1）解：f′（x ）=1﹣=，x ＞0， 有且只有
当m ＜0时，f′（x ）＞0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递增；
当m ＞0时，由f′（x ）＞0，解得x ＞，由f′（x ）＜0，得0＜x ＜． ∴f （x ）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；
（2）证明：由已知，F （x ）=x﹣，则F′（x ）=，
设h （x ）=x2﹣1+lnx ，则h′（x ）=2x+＞0（x ＞0），
故h （x ）=x2﹣1+lnx 在（0，+∞）上为增函数，
又由于h （1）=0，因此F′（1）=0且F′（x ）有唯一的零点1．
当0＜x ＜1时，F′（x ）＜0，当x ＞1时，F′（x ）＞0．
∴F （x ）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
∴F （x ）的最小值为F （1）=0．
∴函数F （x ）=x﹣有且只有一个零点．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数零点存在性定理的用法，考查逻辑思维能力与运算能力，是压轴题．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017•南宁一模）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为
（t 为参数）．
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）设曲线C 与直线l 相交于P ，Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）对于曲线C ：由ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，坐标化即可，对于l ，消去t 整理可得；（2）由（1）可知圆和半径，可得弦心距，进而可得弦长，可得面积．
【解答】解：（1）对于曲线C ：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x 2+y 2=4x． 对于l ：由（t 为参数），消去t 可得，
化为一般式可得；
（2）由（1）可知C 为圆，且圆心为（2，0），半径为2，
∴弦心距
∴弦长， ，
∴以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积
【点评】本题考查参数方程和极坐标方程，属基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2017•南宁一模）设实数x ，y 满足x +=1．
（1）若|7﹣y |＜2x +3，求x 的取值范围；
（2）若x ＞0，y ＞0，求证：≥xy ．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）根据题意，由x +=1，则y=4﹣4x ，则|7﹣y |＜2x +3，可得|4x +3|＜2x +3，解可得x 的范围，即可得答案；
（2）根据题意，由基本不等式可得1=x+≥2
分析可得
证明．
【解答】解：（1）根据题意，若x +=1，则4x +y=4，即y=4﹣4x ，
则由|7﹣y |＜2x +3，可得|4x +3|＜2x +3，
即﹣（2x +3）＜4x +3＜2x +3，
解可得﹣1＜x ＜0；
（2）证明：x ＞0，y ＞0，1=x+≥2
﹣xy=
又由0＜
即（1﹣≤1，则）， ﹣xy=（1﹣）≥0， =，即≤1， ﹣xy=（1﹣），结合=，即≤1，用作差法﹣xy ≥0，即可得的范围，可得≥xy ．
【点评】本题考查基本不等式、绝对值不等式的应用，关键是利用x +=1分析变量x 、y 之间的关系．