第一章有理数典型例题
一、相关概念
1. 下面说法正确的有
①有理数就是正数和负数的统称
②分数和小数都是有理数
③互为相反数的任何两数的倒数亦互为相反数
④非负数就是指大于零的数
⑤规定了正方向、原点和单位长度的射线就是数轴
⑥自然数就是指非负整数
⑦正数就是大于零的数，同理负数就是小于零的数
⑧底数是-1, 指数是2015的幂写做（-1）2015，结果是1
反归纳:（一）题型：这是一类有理数基本概念的题
（二）解题思路：理清相关概念
（三）易错点：零的特殊性，分数和小数的区别，数轴是直线，
2、分数和小数的区别和联系：
1. 以下说法正确的是
A ．所有的小数都可以化成分数，同样所有的分数也都可以化成小数
B ．有理数包括所有的小数和分数
C ．分数包括有限小数和无限循环小数
D ．无限不循环小数也可以化成分数
2. 下列说法中：
①一个有理数如果不是正数，那么它一定是负数；
②-1是负分数； 21③自然数一定是正数；
④非负整数是指不是负整数的数，如-0.27是非负整数；
⑤5.6不是正数；
⑥负分数一定是负有理数。其中正确的是
反归纳:（一）题型：这是一类有理数基本概念的题
（二）解题思路：理清相关概念
（三）易错点：零的特殊性，分数和小数的区别，数轴是直线，理解“非负”
的意义
二、数轴：比较字母大小
1. 已知a 、b 、c 三个数在数轴上对应的位置如图所示，下列几个判断中，错误的是
a −2 −1 c 0 b 1
A. a＜c ＜b B . −a ＜b C.a+b＞0 D.c −a ＜0
反归纳：（一）题型：这是一类已知字母在数轴上的位置比较字母大小的题
（二）解题思路：（1）右大于左
（2）原点右边的大于零，原点左边的小于零。
（3）依据相反数的几何意义。
（三）易错点：（1）相反数的几何意义
（2）字母相加减，符号的确定
三、0的特殊性
1. 下列有关0的说法正确的是（ ）
A ．0是正数和负数的分界点
B.0只表示“什么也没有”
C ．0可以表示特定的意义，如0摄氏度等
D ．0是正数
E ．0是自然数
F ．0是非负数
G ．0是整数
四、去绝对值及其应用
1. 下列说法正确的是（ ）
A、—|a|一定是负数
B 、只有两个数相等时它们的绝对值才相等
C 、若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数
D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数
2. a ，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
(1)｜a+b｜=｜a ｜+｜b ｜；
(2)｜ab ｜=｜a ｜｜b ｜；
(3)｜a −b ｜=｜b −a ｜；
(4)若｜a ｜=b，则a=b；
探索：
(5)若｜a ｜＜｜b ｜，则a ＜b ；b (6)若b a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜
3. 设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简｜b-a ｜+｜a+c｜+
｜c −b ｜．看到想到，分连反追。
4. 已知＜0, 求x －y 的值
5. 若∣x ∣=5，∣y ∣=3，则∣x+y∣等于（ ）
A.8 B.±8 C.8或2 D.±8或±2
6. 已知|a|=10，|b|=3且|a+b|=− (a+b)，试求a+b的值，比较a 、b 大小并在数轴上示意a 、b 的位置
7. 若mn ≠0，则m +∣n ∣ ）
∣m ∣n
A.0 B.1 C.2 D.-2
反归纳：
（一） 题型：这是一类去绝对值的题。
（二） 解题思路：1. 根据去绝对值法则。2. 若|x|=a则x=±a 。
（三） 易错点：1. 去负数的绝对值问题。2. 若|x|=a则x=±a ，注意是±a。
五、绝对值的非负性
1.已知|a-2|与|b +3|互为相反数．求a +b 的值
2.已知：|4b+ab|+|b−3|=0，求（a+b）2015
3. 已知（a+b）2+|b+3|=0，求56×（|a|+|b|）2−1
3100-x -y 4.若|x－1|与(y+1)是互为相反数, 求:①xy 的值 ，②的值 2
5.已知(a—1) +b +2=0,则(a+b)22003的值是_____
反归纳：
（一） 题型：这是一类利用绝对值和偶次幂的非负性求代数式的值的题。
（二） 解题思路：1. 根据绝对值和偶次幂的非负性分别求出未知数的值。2. 代入求值。
（三） 易错点：不清楚绝对值和偶次幂的非负性。
六、相反数、倒数
1. 下列说法：
①若a 、b 互为相反数，则a+b=0；
②若a+b=0，则a 、b 互为相反数；
③若a 、b 互为相反数，则
其中正确的结论是
2. 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，求代数式2(-a-b)-4(cd)+（ b −2）的值
3. 已知a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值等于2，试求
x2-(a+b+cd)x+(a+b) 2016的值
反归纳：
（一） 题型：这是一类根据定义求代数式的值的题。
（二） 解题思路：1. 看到相反数想到相加为0。2. 看到倒数想到乘积为1。
（三） 易错点：1.0的相反数是0。2.0没有倒数。3. 定义不清楚。
七、科学计数法
1.天文学里常用“光年”作为距离单位，规定“1光年”为光在一年内走过的距离，光的速度为300000千米/秒，那么1光年=__________________千米（用科学计数法表示）
2. 据河北电视台报道，截止2015年5月1日，河北慈善总会已接受支援尼泊尔地震灾区的捐款15510000元。将15510000元用科学计数法表示为
分归纳：
（一） 题型：这是一类科学计数法的题。
（二） 解题思路：根据1≤|a|＜10 n是小数点移动的位数且n 是正整数。 52；④若，则a 、b 互为相反数。 a
（三） 易错点：1.a 的符号问题。2.n 的表示意义。
八、混合运算
1. −16−23+45−53+16−3.8
2. 已知：a=−2,b=3,c=1,求代数式（a+b+c）−（a −b −c ）−（a −b+c）的值。
3. 0.25⨯(-2)3-⎡4÷⎛-2⎫+1⎤ ⎢⎥ ⎪⎢⎣⎝3⎭⎥⎦2124114. 4+2⨯(-12) ÷6-(-3) 2+24+(-3) 2⨯(-5)
53
5. −2+（−2）− [64− (−（−）]÷(−63) − (3 552224241分归纳：
（一） 题型：这是一类混合运算的类型题。
（二） 解题思路：1. 根据去括号法则。2. 根据运算律。3. 符号的确定。
（三） 易错点：1. 去括号法则运用不熟练。2. 运算律不熟悉。3. 符号的确定容易出错误。
24．用简便方法计算：
2（1）500﹣499×501 （2）2.39×91+156×2.39﹣2.39×47．
（1）（﹣1
（3）8×（﹣）﹣（﹣4）×（﹣）+（﹣8）× （4）（﹣24）×（+﹣）． ）﹣（+6）﹣2.25+ （2）﹣9×（﹣11）﹣3÷（﹣3）
26．（2016春•文昌校级月考）计算
（1）（﹣2.48）+（+4.33）+（﹣7.52）+（﹣4.33）
（2）（+3
（3））+（﹣5）+（﹣2）+
2）+（﹣32 ） ﹣（+4）﹣（+（4）﹣1﹣×[2﹣（﹣3）]．
234201327．（2015•芜湖三模）阅读材料：求1+2+2+2+2+…2的值．
[1**********]解：设S=1+2+2+2+2+…+2+2，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+2+2+2+2+…+2+2，将下式减去上式得：
[**************]2S ﹣S=2﹣1，即S=2﹣1，即1+2+2+2+2+…2=﹣1
2342014请你仿照此法计算1+3+3+3+3…+3的值．
九、探索
1.
规定图形
=_______ 表示运算a-b+c,
图形表示运算x+z—y —w.
则
+[1**********]4
2. (2011重庆綦江)
如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任
意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2015个格子中的数为（
A. 3 B. 2 C. 0 D. －1
）
第一章有理数典型例题
一、相关概念
1. 下面说法正确的有
①有理数就是正数和负数的统称
②分数和小数都是有理数
③互为相反数的任何两数的倒数亦互为相反数
④非负数就是指大于零的数
⑤规定了正方向、原点和单位长度的射线就是数轴
⑥自然数就是指非负整数
⑦正数就是大于零的数，同理负数就是小于零的数
⑧底数是-1, 指数是2015的幂写做（-1）2015，结果是1
反归纳:（一）题型：这是一类有理数基本概念的题
（二）解题思路：理清相关概念
（三）易错点：零的特殊性，分数和小数的区别，数轴是直线，
2、分数和小数的区别和联系：
1. 以下说法正确的是
A ．所有的小数都可以化成分数，同样所有的分数也都可以化成小数
B ．有理数包括所有的小数和分数
C ．分数包括有限小数和无限循环小数
D ．无限不循环小数也可以化成分数
2. 下列说法中：
①一个有理数如果不是正数，那么它一定是负数；
②-1是负分数； 21③自然数一定是正数；
④非负整数是指不是负整数的数，如-0.27是非负整数；
⑤5.6不是正数；
⑥负分数一定是负有理数。其中正确的是
反归纳:（一）题型：这是一类有理数基本概念的题
（二）解题思路：理清相关概念
（三）易错点：零的特殊性，分数和小数的区别，数轴是直线，理解“非负”
的意义
二、数轴：比较字母大小
1. 已知a 、b 、c 三个数在数轴上对应的位置如图所示，下列几个判断中，错误的是
a −2 −1 c 0 b 1
A. a＜c ＜b B . −a ＜b C.a+b＞0 D.c −a ＜0
反归纳：（一）题型：这是一类已知字母在数轴上的位置比较字母大小的题
（二）解题思路：（1）右大于左
（2）原点右边的大于零，原点左边的小于零。
（3）依据相反数的几何意义。
（三）易错点：（1）相反数的几何意义
（2）字母相加减，符号的确定
三、0的特殊性
1. 下列有关0的说法正确的是（ ）
A ．0是正数和负数的分界点
B.0只表示“什么也没有”
C ．0可以表示特定的意义，如0摄氏度等
D ．0是正数
E ．0是自然数
F ．0是非负数
G ．0是整数
四、去绝对值及其应用
1. 下列说法正确的是（ ）
A、—|a|一定是负数
B 、只有两个数相等时它们的绝对值才相等
C 、若|a|=|b|，则a 与b 互为相反数
D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数
2. a ，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
(1)｜a+b｜=｜a ｜+｜b ｜；
(2)｜ab ｜=｜a ｜｜b ｜；
(3)｜a −b ｜=｜b −a ｜；
(4)若｜a ｜=b，则a=b；
探索：
(5)若｜a ｜＜｜b ｜，则a ＜b ；b (6)若b a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜
3. 设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简｜b-a ｜+｜a+c｜+
｜c −b ｜．看到想到，分连反追。
4. 已知＜0, 求x －y 的值
5. 若∣x ∣=5，∣y ∣=3，则∣x+y∣等于（ ）
A.8 B.±8 C.8或2 D.±8或±2
6. 已知|a|=10，|b|=3且|a+b|=− (a+b)，试求a+b的值，比较a 、b 大小并在数轴上示意a 、b 的位置
7. 若mn ≠0，则m +∣n ∣ ）
∣m ∣n
A.0 B.1 C.2 D.-2
反归纳：
（一） 题型：这是一类去绝对值的题。
（二） 解题思路：1. 根据去绝对值法则。2. 若|x|=a则x=±a 。
（三） 易错点：1. 去负数的绝对值问题。2. 若|x|=a则x=±a ，注意是±a。
五、绝对值的非负性
1.已知|a-2|与|b +3|互为相反数．求a +b 的值
2.已知：|4b+ab|+|b−3|=0，求（a+b）2015
3. 已知（a+b）2+|b+3|=0，求56×（|a|+|b|）2−1
3100-x -y 4.若|x－1|与(y+1)是互为相反数, 求:①xy 的值 ，②的值 2
5.已知(a—1) +b +2=0,则(a+b)22003的值是_____
反归纳：
（一） 题型：这是一类利用绝对值和偶次幂的非负性求代数式的值的题。
（二） 解题思路：1. 根据绝对值和偶次幂的非负性分别求出未知数的值。2. 代入求值。
（三） 易错点：不清楚绝对值和偶次幂的非负性。
六、相反数、倒数
1. 下列说法：
①若a 、b 互为相反数，则a+b=0；
②若a+b=0，则a 、b 互为相反数；
③若a 、b 互为相反数，则
其中正确的结论是
2. 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，求代数式2(-a-b)-4(cd)+（ b −2）的值
3. 已知a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，x 的绝对值等于2，试求
x2-(a+b+cd)x+(a+b) 2016的值
反归纳：
（一） 题型：这是一类根据定义求代数式的值的题。
（二） 解题思路：1. 看到相反数想到相加为0。2. 看到倒数想到乘积为1。
（三） 易错点：1.0的相反数是0。2.0没有倒数。3. 定义不清楚。
七、科学计数法
1.天文学里常用“光年”作为距离单位，规定“1光年”为光在一年内走过的距离，光的速度为300000千米/秒，那么1光年=__________________千米（用科学计数法表示）
2. 据河北电视台报道，截止2015年5月1日，河北慈善总会已接受支援尼泊尔地震灾区的捐款15510000元。将15510000元用科学计数法表示为
分归纳：
（一） 题型：这是一类科学计数法的题。
（二） 解题思路：根据1≤|a|＜10 n是小数点移动的位数且n 是正整数。 52；④若，则a 、b 互为相反数。 a
（三） 易错点：1.a 的符号问题。2.n 的表示意义。
八、混合运算
1. −16−23+45−53+16−3.8
2. 已知：a=−2,b=3,c=1,求代数式（a+b+c）−（a −b −c ）−（a −b+c）的值。
3. 0.25⨯(-2)3-⎡4÷⎛-2⎫+1⎤ ⎢⎥ ⎪⎢⎣⎝3⎭⎥⎦2124114. 4+2⨯(-12) ÷6-(-3) 2+24+(-3) 2⨯(-5)
53
5. −2+（−2）− [64− (−（−）]÷(−63) − (3 552224241分归纳：
（一） 题型：这是一类混合运算的类型题。
（二） 解题思路：1. 根据去括号法则。2. 根据运算律。3. 符号的确定。
（三） 易错点：1. 去括号法则运用不熟练。2. 运算律不熟悉。3. 符号的确定容易出错误。
24．用简便方法计算：
2（1）500﹣499×501 （2）2.39×91+156×2.39﹣2.39×47．
（1）（﹣1
（3）8×（﹣）﹣（﹣4）×（﹣）+（﹣8）× （4）（﹣24）×（+﹣）． ）﹣（+6）﹣2.25+ （2）﹣9×（﹣11）﹣3÷（﹣3）
26．（2016春•文昌校级月考）计算
（1）（﹣2.48）+（+4.33）+（﹣7.52）+（﹣4.33）
（2）（+3
（3））+（﹣5）+（﹣2）+
2）+（﹣32 ） ﹣（+4）﹣（+（4）﹣1﹣×[2﹣（﹣3）]．
234201327．（2015•芜湖三模）阅读材料：求1+2+2+2+2+…2的值．
[1**********]解：设S=1+2+2+2+2+…+2+2，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+2+2+2+2+…+2+2，将下式减去上式得：
[**************]2S ﹣S=2﹣1，即S=2﹣1，即1+2+2+2+2+…2=﹣1
2342014请你仿照此法计算1+3+3+3+3…+3的值．
九、探索
1.
规定图形
=_______ 表示运算a-b+c,
图形表示运算x+z—y —w.
则
+[1**********]4
2. (2011重庆綦江)
如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任
意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2015个格子中的数为（
A. 3 B. 2 C. 0 D. －1
）