第一章 二次根式 知识点及典型例题
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义： 形如
的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义．
【典型例题】
【例1】下列各式1
其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A
D
2
______个
【例2】
有意义，则x的取值范围是 ． 举一反三：
1、使代数式
x-3
有意义的x的取值范围是（ ） x-4
B、x≥3
C、 x>4
D 、x≥3且x≠4
A、x>3 2
x的取值范围是3、如果代数式-m+
1mn
有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
【例3】若y=x-5+-x+2009，则x+y=
举一反三：
1
=(x+y)2，则x－y的值为（ ） A．－1 B．1 C．2 D．3
2、若x、y都是实数，且y=2x-3+3-2x+4，求xy的值
3、当a
1取值最小，并求出这个最小值。
已知a
b是
a+
若的整数部分是a，小数部分是b，则a-b= 。 若的整数部分为x，小数部分为y，求
1
的值。 b+2
x2+
1
y的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：a(a≥0)是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. a)2=aa(≥0)．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a=a)2(a≥0)
a(a≥0)⎧ 3. a2= 注意：（1）字母不一定是正数． |a|=⎨
-a(a
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
a(a≥0)⎧
4. 公式a2=与a)2=aa(≥0)的区别与联系 |a|=⎨
-a(a
（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）()2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和()2的运算结果都是非负的．
【典型例题】
a-2(c-4)=0，a-b+c=
【例4】
若则 ．
2
举一反三：
1、若m-3+(n+1)2=0，则m+n的值为。
2、已知x,y为实数，且x-1+3(y-2)=0，则x-y的值为（ ）
2
A．3 B．– 3 C．1
2
D．– 1
3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x－4｜＋4、若
y2-5y+6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
2005
a-b+
1
(a-b)互为相反数，则
=_____________
。
（公式(a)2=a(a≥0)的运用）
2
【例5】
化简：a-1+的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
举一反三：
1、 在实数范围内分解因式:
x
2
-3；m4-4m2+
4x4-9=__________,x2-+2=__________
2、
1
3、
⎧a(a≥0)
（公式a2=a=⎨的应用）
-a(a
【例6】已知x
A、x-2
B、x+2
C、-x-2
D、2-x
举一反三：
1
( )
A．-3 B．3或-3 C．3 D．9 2、已知a
2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
3、若2a
3
）
A. 5-2a B. 1-2a C. 2a-5 D. 2a-1 4、若a－3＜0，则化简
a2-6a+9+4-a
的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－
2a 5
得（ ）
2
（A） 2 （B）-4x+4 （C）－2 （D）4x-4
a2-2a+1a2-a6、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．
7、已知a
【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－
b│ 的结果
等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：
a-1=______．
【例8】
化简1-x2x-5，则x的取值范围是（ ）
（A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
举一反三：
2，则a的取值范围是（ ）
Ａ．a≥4
Ｂ．a≤2
Ｃ．2≤a≤4
Ｄ．a=2或a=4
【例9】如果a+a2-2a+1=1，那么a的取值范围是（ ）
A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1
举一反三：
1、如果a=3成立，那么实数a的取值范围是（ ）
A.a≤0B.a≤3;C.a≥-3;D.a≥3
2
2、若(x-3)+x-3=0，则x的取值范围是（ ）
（A）x>3 （B）x
【例10】化简二次根式a-
a+2
的结果是 2
a
（A）-a-2 (B)--a-2 (C)a-2 (D)-a-2 1、把二次根式a- A. -a
1
化简，正确的结果是（ ） a
B. --a
C. -
D.
2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，
bx
x＝ ；(a-1)
1
＝ 1-a
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例11】在根式
） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。
举一反三：
1
1、45a,,2,40b2,54,(a2+b2)中的最简二次根式是。
2
2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） ．．A
B
C
．
D
3、下列根式不是最简二次根式的是( )
4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
3ab
2x2+y2xy 3ab2 (1) (2) (3) (4)a-b(a>b) (5) (6)
5、把下列各式化为最简二次根式：
245ab (3) (1) (2)
x2
y
x
【例12】下列根式中能与是合并的是( )
A.8 B. 27 C.2 D.
1 2
举一反三：
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A
23；③
2
；④3
2、在二次根式：①；② 是 。
3、如果最简二次根式
27中，能与3合并的二次根式
a-8与-2a能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
知识点四：二次根式计算——分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
=
a
a-b与a-b等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a
与a
，
，
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
【例13】 把下列各式分母有理化
（1
（2
（3
（4
）【例14】把下列各式分母有理化
（1
（2
（3
） （4
）
【例15】把下列各式分母有理化：
（1
（2
（3
举一反三：
1
、已知x=
2、把下列各式分母有理化：
x+y22
y=，求下列各式的值：（1）（2）x-3xy+y
x-y
（1
（3
a≠b) （2
小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①③
与
与
； ②
； ④
与与
；
．
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除
【知识要点】
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还
要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
【典型例题】
【例16】
化简
⋅2(x≥0,y≥0⨯23
【例17】计算（1）
（2） （3） （4）
（5）
（6
） （7） （8）
【例18】化简：
(a>0,b≥0)(x
≥0,y>0) (x≥0
,y>0)
【例19】计算：
（4
=
【例20】
成立的的x的取值范围是（ ）
A、x>2 B、x≥0 C、0≤x≤2 D、无解
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
【知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【典型例题】
⎛【例20】计算（1
） （2
） -； ⎝
（3
（4
）+
【例21】 （1
）（2
（3
（5
5
+-- a3（4
）⎝（6
知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
【知识要点】
1、确定运算顺序； 2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式； 4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
【典型习题】
1、
2233b
2、12 +4ab5⋅(-ab)÷3
2 b2a
1
－348 ) 8
13
、
3
1
（6、(+
22+)⋅3-76
知识点八：根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法
当a>0,b>0时，①如果a>
b>a
2222
2、平方法 当a>0,b>0时，①如果a>b，则a>b；②如果a
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①a-b>0⇔a>b；②a-b
a
>1⇔a>b
a
8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①b； ②b
【典型例题】
【例22】
比较
与（用两种方法解答）
【例23】
【例24】
【例25】
的大小。
【例26】
33的大小 的大小。
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第一章 二次根式 知识点及典型例题
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义： 形如
的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义．
【典型例题】
【例1】下列各式1
其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A
D
2
______个
【例2】
有意义，则x的取值范围是 ． 举一反三：
1、使代数式
x-3
有意义的x的取值范围是（ ） x-4
B、x≥3
C、 x>4
D 、x≥3且x≠4
A、x>3 2
x的取值范围是3、如果代数式-m+
1mn
有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
【例3】若y=x-5+-x+2009，则x+y=
举一反三：
1
=(x+y)2，则x－y的值为（ ） A．－1 B．1 C．2 D．3
2、若x、y都是实数，且y=2x-3+3-2x+4，求xy的值
3、当a
1取值最小，并求出这个最小值。
已知a
b是
a+
若的整数部分是a，小数部分是b，则a-b= 。 若的整数部分为x，小数部分为y，求
1
的值。 b+2
x2+
1
y的值.
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：a(a≥0)是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. a)2=aa(≥0)．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a=a)2(a≥0)
a(a≥0)⎧ 3. a2= 注意：（1）字母不一定是正数． |a|=⎨
-a(a
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
a(a≥0)⎧
4. 公式a2=与a)2=aa(≥0)的区别与联系 |a|=⎨
-a(a
（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）()2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和()2的运算结果都是非负的．
【典型例题】
a-2(c-4)=0，a-b+c=
【例4】
若则 ．
2
举一反三：
1、若m-3+(n+1)2=0，则m+n的值为。
2、已知x,y为实数，且x-1+3(y-2)=0，则x-y的值为（ ）
2
A．3 B．– 3 C．1
2
D．– 1
3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x－4｜＋4、若
y2-5y+6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
2005
a-b+
1
(a-b)互为相反数，则
=_____________
。
（公式(a)2=a(a≥0)的运用）
2
【例5】
化简：a-1+的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
举一反三：
1、 在实数范围内分解因式:
x
2
-3；m4-4m2+
4x4-9=__________,x2-+2=__________
2、
1
3、
⎧a(a≥0)
（公式a2=a=⎨的应用）
-a(a
【例6】已知x
A、x-2
B、x+2
C、-x-2
D、2-x
举一反三：
1
( )
A．-3 B．3或-3 C．3 D．9 2、已知a
2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
3、若2a
3
）
A. 5-2a B. 1-2a C. 2a-5 D. 2a-1 4、若a－3＜0，则化简
a2-6a+9+4-a
的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－
2a 5
得（ ）
2
（A） 2 （B）-4x+4 （C）－2 （D）4x-4
a2-2a+1a2-a6、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．
7、已知a
【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－
b│ 的结果
等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：
a-1=______．
【例8】
化简1-x2x-5，则x的取值范围是（ ）
（A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
举一反三：
2，则a的取值范围是（ ）
Ａ．a≥4
Ｂ．a≤2
Ｃ．2≤a≤4
Ｄ．a=2或a=4
【例9】如果a+a2-2a+1=1，那么a的取值范围是（ ）
A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1
举一反三：
1、如果a=3成立，那么实数a的取值范围是（ ）
A.a≤0B.a≤3;C.a≥-3;D.a≥3
2
2、若(x-3)+x-3=0，则x的取值范围是（ ）
（A）x>3 （B）x
【例10】化简二次根式a-
a+2
的结果是 2
a
（A）-a-2 (B)--a-2 (C)a-2 (D)-a-2 1、把二次根式a- A. -a
1
化简，正确的结果是（ ） a
B. --a
C. -
D.
2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，
bx
x＝ ；(a-1)
1
＝ 1-a
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例11】在根式
） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。
举一反三：
1
1、45a,,2,40b2,54,(a2+b2)中的最简二次根式是。
2
2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） ．．A
B
C
．
D
3、下列根式不是最简二次根式的是( )
4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
3ab
2x2+y2xy 3ab2 (1) (2) (3) (4)a-b(a>b) (5) (6)
5、把下列各式化为最简二次根式：
245ab (3) (1) (2)
x2
y
x
【例12】下列根式中能与是合并的是( )
A.8 B. 27 C.2 D.
1 2
举一反三：
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A
23；③
2
；④3
2、在二次根式：①；② 是 。
3、如果最简二次根式
27中，能与3合并的二次根式
a-8与-2a能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
知识点四：二次根式计算——分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
=
a
a-b与a-b等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a
与a
，
，
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
【例13】 把下列各式分母有理化
（1
（2
（3
（4
）【例14】把下列各式分母有理化
（1
（2
（3
） （4
）
【例15】把下列各式分母有理化：
（1
（2
（3
举一反三：
1
、已知x=
2、把下列各式分母有理化：
x+y22
y=，求下列各式的值：（1）（2）x-3xy+y
x-y
（1
（3
a≠b) （2
小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①③
与
与
； ②
； ④
与与
；
．
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除
【知识要点】
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还
要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
【典型例题】
【例16】
化简
⋅2(x≥0,y≥0⨯23
【例17】计算（1）
（2） （3） （4）
（5）
（6
） （7） （8）
【例18】化简：
(a>0,b≥0)(x
≥0,y>0) (x≥0
,y>0)
【例19】计算：
（4
=
【例20】
成立的的x的取值范围是（ ）
A、x>2 B、x≥0 C、0≤x≤2 D、无解
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
【知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【典型例题】
⎛【例20】计算（1
） （2
） -； ⎝
（3
（4
）+
【例21】 （1
）（2
（3
（5
5
+-- a3（4
）⎝（6
知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
【知识要点】
1、确定运算顺序； 2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式； 4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
【典型习题】
1、
2233b
2、12 +4ab5⋅(-ab)÷3
2 b2a
1
－348 ) 8
13
、
3
1
（6、(+
22+)⋅3-76
知识点八：根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法
当a>0,b>0时，①如果a>
b>a
2222
2、平方法 当a>0,b>0时，①如果a>b，则a>b；②如果a
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①a-b>0⇔a>b；②a-b
a
>1⇔a>b
a
8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①b； ②b
【典型例题】
【例22】
比较
与（用两种方法解答）
【例23】
【例24】
【例25】
的大小。
【例26】
33的大小 的大小。
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