[二次根式]知识点总结-题型分类-复习专用

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义： 形如

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，

才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A

D

2

______个

【例2】

有意义，则x的取值范围是 ． 举一反三：

1、使代数式

x3

有意义的x的取值范围是（ ） x4

B、x≥3

C、 x>4

D 、x≥3且x≠4

A、x>3 2

x的取值范围是

【例3】若y=x5+x+2009，则x+y=

举一反三：

2

1

(xy)，则x－y的值为（ ） A．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x、y都是实数，且

y=2x332x4，求xy的值

3、当a

1取值最小，并求出这个最小值。

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：a(a0)是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. a)2aa(0)．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aa)2(a0)

a(a0) 3. a2 注意：（1）字母不一定是正数． |a|

a(a0)

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

a(a0)

4. 公式a2与a)2aa(0)的区别与联系 |a|

a(a0)

（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和()2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

a2c40，abc

【例4】

若则 ．

2

举一反三：

1、若m3(n1)20，则mn的值为 。

2、已知x,y为实数，且x13y20，则xy的值为（ ）

2

A．3 B．– 3 C．1

2

D．– 1

3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x－4｜＋

y25y6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

4、若

ab

1

互为相反数，则ab

2005

_____________

。

（公式(a)2a(a0)的运用）

2

【例5】

化简：a1的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

举一反三：

1、 在实数范围内分解因式:

x

2

3；m44m2

4x49__________,x22

__________

a(a0)

（公式a2a的应用）

a(a0)

【例6】已知x2,

A、x2

B、x2

C、x2

D、2x

举一反三：

1

( )

A．-3 B．3或-3 C．3 D．9 2、已知a

2a│可化简为（ ）

A．－a B．a C．－3a D．3a

3、若2a

3

）

A. 52a B. 12a C. 2a5 D. 2a1 4、若a－3＜0，则化简

a26a94a

的结果是（ ）

(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－

2a 5

得（ ）

2

（A） 2 （B）4x4 （C）－2 （D）4x4

a22a1a2a6、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．

7、已知a



0【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－

b│ 的结果

等于（ ）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

举一反三：实数a

在数轴上的位置如图所示：化简：a1______． 【例8】

化简1x2x-5，则x的取值范围是（ ）

（A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1

举一反三：

2，则a的取值范围是（ ）

Ａ．a≥4

Ｂ．a≤2

Ｃ．2≤a≤4

Ｄ．a2或a4

【例9】如果aa22a11，那么a的取值范围是（ ）

A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1

举一反三：

1

、如果a3成立，那么实数a的取值范围是（ ）

A.a0B.a3;C.a3;D.a3

2

2、若(x3)x30，则x的取值范围是（ ）

（A）x3 （B）x3 （C）x3 （D）x3

【例10】化简二次根式a

a2

的结果是（ ） 2

a

（A）a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2 1、把二次根式a A. a

1

化简，正确的结果是（ ） a

B. a

C. 

D.

2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，

bx

x＝ ；(a1)

1

＝ 1a

知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．

【例11】在根式

）

A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。

举一反三：

1

1、45a,,2,40b2,54,(a2b2)中的最简二次根式是。

2

2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A

B

C

． D

．．

3、下列根式不是最简二次根式的是( )

4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

3ab

2x2y2xy 3ab2 (1) (2) (3) (4)ab(ab) (5)5 (6)

5、把下列各式化为最简二次根式：

(1) (2)45ab (3)

2

x2

y

x

【例12】下列根式中能与是合并的是( )

A.8 B. 27 C.2 D.

1 2

举一反三：

1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A

23；③

2

；④3

2、在二次根式：①；② 是 。

3、如果最简二次根式

27中，能与合并的二次根式

a8与2a能够合并为一个二次根式, 则a=__________.

知识点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：



a

ab与ab等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a

与a

，

，

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【例13】 把下列各式分母有理化

（1

（2

（3

（4

）【例14】把下列各式分母有理化

（1

（2

（3

） （4

）

【例15】把下列各式分母有理化：

（1

（2

（3

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①③

与

与

； ②

； ④

与

与

； ．

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还

要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

【典型例题】

【例16】化简

x0,y0)

【例17】计算（1）

（2

）

（3） （4）



成立的的x的取值范围是（ ） 【例20】A、x2 B、x0 C、0x2 D、无解

知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

1.同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

2.需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

3.注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．

【典型例题】

【例20】计算（1

） （2

）； 

（3

（4

）

知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】

1、确定运算顺序； 2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式； 4、大多数分母有理化要及时；

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【典型习题】

1、

233b2

2、12 +4ab5(ab)3

2 b2a

1

－348 ) 8

13

、

3

1

（6、(

22)376

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义： 形如

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，

才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A

D

2

______个

【例2】

有意义，则x的取值范围是 ． 举一反三：

1、使代数式

x3

有意义的x的取值范围是（ ） x4

B、x≥3

C、 x>4

D 、x≥3且x≠4

A、x>3 2

x的取值范围是

【例3】若y=x5+x+2009，则x+y=

举一反三：

2

1

(xy)，则x－y的值为（ ） A．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x、y都是实数，且

y=2x332x4，求xy的值

3、当a

1取值最小，并求出这个最小值。

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：a(a0)是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. a)2aa(0)．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aa)2(a0)

a(a0) 3. a2 注意：（1）字母不一定是正数． |a|

a(a0)

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

a(a0)

4. 公式a2与a)2aa(0)的区别与联系 |a|

a(a0)

（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和()2的运算结果都是非负的．

【典型例题】

a2c40，abc

【例4】

若则 ．

2

举一反三：

1、若m3(n1)20，则mn的值为 。

2、已知x,y为实数，且x13y20，则xy的值为（ ）

2

A．3 B．– 3 C．1

2

D．– 1

3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x－4｜＋

y25y6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

4、若

ab

1

互为相反数，则ab

2005

_____________

。

（公式(a)2a(a0)的运用）

2

【例5】

化简：a1的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

举一反三：

1、 在实数范围内分解因式:

x

2

3；m44m2

4x49__________,x22

__________

a(a0)

（公式a2a的应用）

a(a0)

【例6】已知x2,

A、x2

B、x2

C、x2

D、2x

举一反三：

1

( )

A．-3 B．3或-3 C．3 D．9 2、已知a

2a│可化简为（ ）

A．－a B．a C．－3a D．3a

3、若2a

3

）

A. 52a B. 12a C. 2a5 D. 2a1 4、若a－3＜0，则化简

a26a94a

的结果是（ ）

(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－

2a 5

得（ ）

2

（A） 2 （B）4x4 （C）－2 （D）4x4

a22a1a2a6、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．

7、已知a



0【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－

b│ 的结果

等于（ ）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

举一反三：实数a

在数轴上的位置如图所示：化简：a1______． 【例8】

化简1x2x-5，则x的取值范围是（ ）

（A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1

举一反三：

2，则a的取值范围是（ ）

Ａ．a≥4

Ｂ．a≤2

Ｃ．2≤a≤4

Ｄ．a2或a4

【例9】如果aa22a11，那么a的取值范围是（ ）

A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1

举一反三：

1

、如果a3成立，那么实数a的取值范围是（ ）

A.a0B.a3;C.a3;D.a3

2

2、若(x3)x30，则x的取值范围是（ ）

（A）x3 （B）x3 （C）x3 （D）x3

【例10】化简二次根式a

a2

的结果是（ ） 2

a

（A）a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2 1、把二次根式a A. a

1

化简，正确的结果是（ ） a

B. a

C. 

D.

2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，

bx

x＝ ；(a1)

1

＝ 1a

知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．

【例11】在根式

）

A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。

举一反三：

1

1、45a,,2,40b2,54,(a2b2)中的最简二次根式是。

2

2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A

B

C

． D

．．

3、下列根式不是最简二次根式的是( )

4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？

3ab

2x2y2xy 3ab2 (1) (2) (3) (4)ab(ab) (5)5 (6)

5、把下列各式化为最简二次根式：

(1) (2)45ab (3)

2

x2

y

x

【例12】下列根式中能与是合并的是( )

A.8 B. 27 C.2 D.

1 2

举一反三：

1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A

23；③

2

；④3

2、在二次根式：①；② 是 。

3、如果最简二次根式

27中，能与合并的二次根式

a8与2a能够合并为一个二次根式, 则a=__________.

知识点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：



a

ab与ab等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a

与a

，

，

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【例13】 把下列各式分母有理化

（1

（2

（3

（4

）【例14】把下列各式分母有理化

（1

（2

（3

） （4

）

【例15】把下列各式分母有理化：

（1

（2

（3

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①③

与

与

； ②

； ④

与

与

； ．

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还

要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

【典型例题】

【例16】化简

x0,y0)

【例17】计算（1）

（2

）

（3） （4）



成立的的x的取值范围是（ ） 【例20】A、x2 B、x0 C、0x2 D、无解

知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

1.同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

2.需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

3.注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．

【典型例题】

【例20】计算（1

） （2

）； 

（3

（4

）

知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】

1、确定运算顺序； 2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式； 4、大多数分母有理化要及时；

5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【典型习题】

1、

233b2

2、12 +4ab5(ab)3

2 b2a

1

－348 ) 8

13

、

3

1

（6、(

22)376