血药浓度问题
摘要
药物进入机体随备注输送到各器官中，不断被吸收、分布、代谢、最终排出，药物在血液中的浓度，称为血药浓度。
针对问题一，在只有中心室的条件下，运用微分的数学思想，建立了一次给药时血药浓度关于时间的微分方程模型。按照快速静脉注射、恒速静脉滴注和口服或肌肉注射3种给药方式，不同的初值对应微分方程不同的解，分别得到3种给药方式下血药浓度随时间变化的表达式，如式③，式④，式⑤根据某种药物血药浓度随时间变化的数据，利用最小二乘法进行曲线拟合，解出此药物动力学参数。利用matlab编程分别画出3种情况下的血药浓度曲线图，如图2、图3、图5所示，反映了血药浓度随时间递减或波动递减的趋势。
针对问题二，在快速静脉注射、恒速静脉滴注和口服或肌肉注射3种多次重复给药方式下，采用问题一中一次给药方式下的血药浓度与时间的表达式，的方法计算出多次给药方式下血药浓度表达式，一样利用matlab画出血药浓度曲线的图形。通过控制变量法，依据相关资料分别赋予时间间隔和给药剂量不同的值，画出多组血药浓度随时间变化的曲线图进行分析、比较。联系具体实际情况，即可对给药时间间隔与给药剂量的确定提供指导。
通过分析不同的给药方式下的中心室内血药浓度随时间变化的规律，得到药
效与给药方式、给药剂量以及给药时间间隔之间的关系，一室模型可推广到多室模型，更准确的描述血药浓度的变化规律。
关键词：药物分布；快速静脉注射；恒速静脉点滴；口服药或肌注；血药浓度
一、问题重述
1.1问题分析
药物动力学（pharmacokinetics）亦称药动学，系应用动力学原理与数学模式，定量地描述与概括药物通过各种途径（如静脉注射，静脉滴注，口服给药等）进入体内的吸收、分布、代谢和消除，即吸收、分布、代谢、消除过程的“量-时”变化或“血药浓度-时”变化的动态规律的一门科学。药物动力学研究各种体液、组织和排泄物中药物的代谢产物水平与时间关系的过程，并研究为提出解释这些数据的模型所需要的数学关系式。
房室模型药动学通常用房室模拟人体，只要体内某些部位接或消除药物的速率相似，即可归入一个房室，房室模型仅是进行药动学分析的一种抽象概念，并不一定代表某一特定解剖部位
把机体划分为一个或多个独立单元，可对药物在体内吸收、分布、消除的特性作出模式图，以建立数学模型，揭示其动态变化规律。
假设机体给药后，药物立即在全身各部位达支动态平衡，这时把整个机体视为一个房室，称为一室模型或单室模型
注：一房室模型虽然准确性稍差，却比较简单，便于理解、推广、应用，且有些药物用单室模型处理已能满足要求，所以其重要性并不亚于二室模型。
1.2提出问题
问题一，模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室）,在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度,并画出血药浓度曲线的图形.
问题二，利用上题建立的一室模型，讨论按固定时间间隔T，每次给予固定剂量D的多次重复给药方式．为了维持药品的疗效和保证机体的安全，要求血药浓度c控制在(c1，c2)范围内．设已知中心室容积为V．
（1）多次重复给药方式下，写出血药浓度表达式并作图，讨论怎样确定T和D使血药浓度的变化满足上述要求。
（2）在恒速静脉滴注和口服（或肌肉注射）的多次重复给药方式下，给出血药浓度变化的简图，并在这两种方式选择一种来讨论确定T和D的问题。
（3）根据所建立的模型和所得结论，给出数值仿真。
二、模型假设
假设中心室容积不变；
假设药物从体外进入中心室，又从中心室排出体外； 假设药物向体外排出的速率与该室的血药浓度成正比； 假设血药在中心室中分布均匀；
三、符号说明
f0 表示进药速率 c(t) 表示浓度 Cmax表示最大浓度 Cmin表示最大浓度 x(t)表示药量 v 表示容积 D 注射时刻药量 D1 注射过后药量 k 表示排出速率系数 k(0) 表示进药速率 T 表示进药时间间隔 s表示恒速静脉注射持续时间
四、模型的建立和求解
4.1问题一的模型建立和求解
按照快速静脉注射、恒速静脉滴注和口服或肌肉注射3种给药方式，不同的初值对应微分方程不同的解，分别得到3种给药方式下血药浓度随时间变化的表达式，运用matlab求解画出三种方式血药浓度随时间变化的曲线图。
4.1.1模型建立
考虑中心室内药物含量随时间变化的关系，建立两者之间关系的微分方程。快速静脉注射、恒速静脉滴注、口服或肌肉注射这三种不同的给药方式是微分方程在不同初值条件下的特解，其中药物含量的变化由该时刻注入的药量和中心室排除的药量组成，变化过程如图1所示：
图1
4.1.2模型解决
中心室内药物含量随时间变化的微分方程为：
血药浓度问题
摘要
药物进入机体随备注输送到各器官中，不断被吸收、分布、代谢、最终排出，药物在血液中的浓度，称为血药浓度。
针对问题一，在只有中心室的条件下，运用微分的数学思想，建立了一次给药时血药浓度关于时间的微分方程模型。按照快速静脉注射、恒速静脉滴注和口服或肌肉注射3种给药方式，不同的初值对应微分方程不同的解，分别得到3种给药方式下血药浓度随时间变化的表达式，如式③，式④，式⑤根据某种药物血药浓度随时间变化的数据，利用最小二乘法进行曲线拟合，解出此药物动力学参数。利用matlab编程分别画出3种情况下的血药浓度曲线图，如图2、图3、图5所示，反映了血药浓度随时间递减或波动递减的趋势。
针对问题二，在快速静脉注射、恒速静脉滴注和口服或肌肉注射3种多次重复给药方式下，采用问题一中一次给药方式下的血药浓度与时间的表达式，的方法计算出多次给药方式下血药浓度表达式，一样利用matlab画出血药浓度曲线的图形。通过控制变量法，依据相关资料分别赋予时间间隔和给药剂量不同的值，画出多组血药浓度随时间变化的曲线图进行分析、比较。联系具体实际情况，即可对给药时间间隔与给药剂量的确定提供指导。
通过分析不同的给药方式下的中心室内血药浓度随时间变化的规律，得到药
效与给药方式、给药剂量以及给药时间间隔之间的关系，一室模型可推广到多室模型，更准确的描述血药浓度的变化规律。
关键词：药物分布；快速静脉注射；恒速静脉点滴；口服药或肌注；血药浓度
一、问题重述
1.1问题分析
药物动力学（pharmacokinetics）亦称药动学，系应用动力学原理与数学模式，定量地描述与概括药物通过各种途径（如静脉注射，静脉滴注，口服给药等）进入体内的吸收、分布、代谢和消除，即吸收、分布、代谢、消除过程的“量-时”变化或“血药浓度-时”变化的动态规律的一门科学。药物动力学研究各种体液、组织和排泄物中药物的代谢产物水平与时间关系的过程，并研究为提出解释这些数据的模型所需要的数学关系式。
房室模型药动学通常用房室模拟人体，只要体内某些部位接或消除药物的速率相似，即可归入一个房室，房室模型仅是进行药动学分析的一种抽象概念，并不一定代表某一特定解剖部位
把机体划分为一个或多个独立单元，可对药物在体内吸收、分布、消除的特性作出模式图，以建立数学模型，揭示其动态变化规律。
假设机体给药后，药物立即在全身各部位达支动态平衡，这时把整个机体视为一个房室，称为一室模型或单室模型
注：一房室模型虽然准确性稍差，却比较简单，便于理解、推广、应用，且有些药物用单室模型处理已能满足要求，所以其重要性并不亚于二室模型。
1.2提出问题
问题一，模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室）,在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度,并画出血药浓度曲线的图形.
问题二，利用上题建立的一室模型，讨论按固定时间间隔T，每次给予固定剂量D的多次重复给药方式．为了维持药品的疗效和保证机体的安全，要求血药浓度c控制在(c1，c2)范围内．设已知中心室容积为V．
（1）多次重复给药方式下，写出血药浓度表达式并作图，讨论怎样确定T和D使血药浓度的变化满足上述要求。
（2）在恒速静脉滴注和口服（或肌肉注射）的多次重复给药方式下，给出血药浓度变化的简图，并在这两种方式选择一种来讨论确定T和D的问题。
（3）根据所建立的模型和所得结论，给出数值仿真。
二、模型假设
假设中心室容积不变；
假设药物从体外进入中心室，又从中心室排出体外； 假设药物向体外排出的速率与该室的血药浓度成正比； 假设血药在中心室中分布均匀；
三、符号说明
f0 表示进药速率 c(t) 表示浓度 Cmax表示最大浓度 Cmin表示最大浓度 x(t)表示药量 v 表示容积 D 注射时刻药量 D1 注射过后药量 k 表示排出速率系数 k(0) 表示进药速率 T 表示进药时间间隔 s表示恒速静脉注射持续时间
四、模型的建立和求解
4.1问题一的模型建立和求解
按照快速静脉注射、恒速静脉滴注和口服或肌肉注射3种给药方式，不同的初值对应微分方程不同的解，分别得到3种给药方式下血药浓度随时间变化的表达式，运用matlab求解画出三种方式血药浓度随时间变化的曲线图。
4.1.1模型建立
考虑中心室内药物含量随时间变化的关系，建立两者之间关系的微分方程。快速静脉注射、恒速静脉滴注、口服或肌肉注射这三种不同的给药方式是微分方程在不同初值条件下的特解，其中药物含量的变化由该时刻注入的药量和中心室排除的药量组成，变化过程如图1所示：
图1
4.1.2模型解决
中心室内药物含量随时间变化的微分方程为：