2006年高考文科数学试题（福建卷）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知两条直线y =ax -2和y =(a +2) x +1互相垂直，则a 等于
（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1
（2）在等差数列{a n }中，已知a 1=2, a 2+a 3=13, 则a 4+a 5+a 6等于
（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45
（3）"tan α=1" 是" α=
π
4
" 的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不而充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（4）已知α∈(
3π
, π),sin α=, 则tan(α+) 等于 25411
（A ） （B ）7 （C ）- （D ）-7
77
π
2
（5）已知全集U =R , 且A =x |x ->2, B =x |x -6x +8
{}{}
B 等于
（A ）[-1,4) （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(-1, 4)
x
(x ≠-1) 的反函数是 x +1x x (x ≠1) 方 （B ）y =(x ≠1) （A ）y =
x +1x -1x -11-x
(x ≠0) （D ）y =(x ≠0) （C ）y =x x
32
π，那么正方体的棱长等于 （7）已知正方体外接球的体积是3
（6）函数y =
（A
） （B
）
（C
） （D
） 333
（8）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，
则选派方案共有
（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种 （9）已知向量a 与b 的夹角为120，a =3, a +b =则b 等于 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1 （10）对于平面α和共面的直线m 、n , 下列命题中真命题是
（A ）若m ⊥α, m ⊥n , 则n ∥α （B ）若m ∥α,n ∥α, 则m ∥n
（C ）若m ⊂α, n ∥α, 则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n
o
x 2y 2o
（11）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲
a b
线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,+∞) （D ）(2,+∞)
（12）已知f (x ) 是周期为2的奇函数，当0
6532
5c =f (), 则
2 （A ）a 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
4
（13）(x -) 展开式中x 的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。
2
1
x
5
（14）已知直线x -y -1=0与抛物线y =ax 2相切，则a =______.
⎧⎪y ≤1,
（15）已知实数x 、y 满足⎨则x +2y 的最大值是＿＿＿＿。
⎪⎩y ≥x -1,
（16）已知函数f (x ) =2sin ωx (ω>0) 在区间⎢-
⎡ππ⎤
, ⎥上的最小值是-2，则ω的最小值是＿＿34⎦⎣
＿＿。
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
已知函数f (x ) =sin 2x x cos x +2cos 2x , x ∈R . （I ）求函数f (x ) 的最小正周期和单调增区间；
（II ）函数f (x ) 的图象可以由函数y =sin 2x (x ∈R ) 的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分12分）
每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。
（19）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
CA =CB =CD =BD =2, AB =AD =
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。
（20）（本小题满分12分）
B
E
x 2
+y 2=1的左焦点为F ，O 为坐标原点。 已知椭圆2
（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的
中点在直线x +y =0上，求直线AB 的方程。
（21）（本小题满分12分）
已知f (x ) 是二次函数，不等式f (x )
12。
（I ）求f (x ) 的解析式；
（II ）是否存在实数m , 使得方程f (x ) +
37
=0在区间(m , m +1) 内有且只有两个不等的实数x
根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14分）
已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *). （I ）证明：数列{a n +1-a n }是等比数列；
（II ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }满足4b 1-14b 2-1...4n
b -1
=(a n +1) b n (n ∈N *), 证明{b n }是等差数列。
2006年高考(福建卷) 数学文试题答案
一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）D （2）B （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）C （11）C （12）D 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。
（13）10 （14）
13 （15）4 （16） 42
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。
解：（I
）f (x ) =
1-cos 2x 2x +(1+cos 2x ) 2=
132x +cos 2x +22
π3
=sin(2x +) +.
62
∴f (x ) 的最小正周期T =
由题意得2k π-即 k π-
2π
=π. 2
π
2
≤2x +
π
6
≤2k π+
π
2
, k ∈Z ,
π
3
≤x ≤k π+
π
6
, k ∈Z .
ππ⎤⎡
∴f (x ) 的单调增区间为⎢k π-, k π+⎥, k ∈Z .
36⎦⎣
（II ）方法一：
先把y =sin 2x 图象上所有点向左平移
ππ
个单位长度，得到y =sin(2x +) 的图象，再把所126
3π3
得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到y =sin(2x +) +的图象。
262
方法二：
把y =sin 2x 图象上所有的点按向量a =(-
π3
, ) 平移，就得到y =sin(2x +) +的图象。 12262
π3
（18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。满分12分。
解：（I ）设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则
P (A ) =
6⨯55
=. 6⨯66
56
答：抛掷2次，向上的数不同的概率为.
（II ）设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。
向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4) 、(3,3)、(4,2) 、(5,1) 5种，
∴P (B ) =
55=. 6⨯636
5. 36
答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为
（III ）设C 表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次，
10531312
∴P (C ) =P 5(3)=C 5() () ==.
223216
答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为
5
. 16
（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。 方法一： （I ）证明：连结OC
BO =DO , AB =AD , ∴AO ⊥BD . BO =DO , BC =CD , ∴CO ⊥BD .
在∆
AOC 中，由已知可得AO =1, CO 而AC =2,
M
A
∴AO 2+CO 2=AC 2,
O
B
C
∴∠AOC =90o , 即AO ⊥OC .
BD OC =O , ∴AO ⊥平面BCD
E
（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角
在∆OME 中，
EM =
11AB =OE =DC =1, 22
1
AC =1,
2
OM 是直角∆AOC 斜边AC 上的中线，∴OM =
∴cos ∠OEM =
∴异面直线AB 与CD
所成角的大小为arccos
（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为h .
4
V E -ACD =V A -CDE ,
11
∴h . S ∆ACD =. AO . S ∆CDE . 33
在∆
ACD 中，CA =CD =2, AD
1∴S ∆ACD ==
22
而AO =1, S ∆CDE =
12⨯2=
2421=
7
∴h =
AO . S ∆CDE
=
S ∆ACD
∴点E 到平面ACD
的距离为
方法二：
（I ）同方法一。
7
（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B (1,0,0),D (-1,0,0),
1C A (0,0,1),E (, BA =(-1,0,1), CD =(-1,
22∴cos =
BACD . BA CD
= 4
∴异面直线AB 与CD 所成角
的大小为arccos
4
（III ）解：设平面
ACD 的法向量为n =(x , y , z ), 则
⎧⎪n . AD =(x , y , z ).(-1,0, -1) =0,
⎨
⎪⎩n . AC =(x , y , z -1) =0,
y
⎧⎪x +z =0, ∴
-z =0. 令y =
1, 得n =(是平面ACD 的一个法向量。 又EC =(-,
1 22
∴
点E 到平面ACD 的距离 h =
EC . n n
=
=
7（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查
运算能力和综合解题能力。满分12分。
解：（I ）
a 2=2, b 2=1, ∴c =1, F (-1,0), l :x =-2.
圆过点O 、F ，
1
∴圆心M 在直线x =-上。
2
1
设M (-,
t ), 则圆半径
2
13r
=(-) -(-2) =.
22
由OM =
r , =
3, 2
解得t =
19
∴所求圆的方程为(x +) 2+(y ±2=.
24
（II ）设直线AB 的方程为y =k (x +1)(k ≠0),
x 2
+y 2=1, 整理得(1+2k 2) x 2+4k 2x +2k 2-2=0. 代入2
直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根， 记A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), AB 中点N (x 0, y
0),
4k 2
, 则x 1+x 2=-2
2k +1
12k 2k x 0=(x 1+x 2) =-2, y 0=k (x 0+1) =2,
22k +12k +1
线段AB 的中点N 在直线x +y =0上，
2k 2k
+2=0, ∴x 0+y 0=-2
2k +12k +11
∴k =0，或k =.
2
当直线AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点F 不在直线x +y =0上。
∴直线AB 的方程是y =0, 或x -2y +1=0.
（21）本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。
（I ）解：
f (x ) 是二次函数，且f (x )
∴可设f (x ) =ax (x -5)(a >0).
∴f (x ) 在区间[-1,4]上的最大值是f (-1) =6a .
由已知，得6a =12,
∴a =2,
∴f (x ) =2x (x -5) =2x -10x (x ∈R ).
（II ）方程f (x ) +
3
2
37
=0等价于方程2x 3-10x 2+37=0. x
2
设h (x ) =2x -10x +37, 则h '(x ) =6x -20x =2x (3x -10).
2
10
) 时，h '(x )
当x ∈(, +∞) 时，h '(x ) >0, h (x ) 是增函数。
3
101
h (3)=1>0, h () =-0,
327
1010
∴方程h (x ) =0在区间(3,),(, 4) 内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,+∞) 内没有实
33
当x ∈(0,
数根，
所以存在惟一的自然数m =3, 使得方程f (x ) +
37
=0在区间(m , m +1) 内有且只有两个不同x
的实数根。
（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。
（I ）证明：
a n +2=3a n +1-2a n ,
∴a n +2-a n +1=2(a n +1-a n ),
a 1=1, a 2=3, ∴
a n +2-a n +1
=2(n ∈N *).
a n +1-a n
∴{a n +1-a n }是以a 2-a 1=2为首项，2为公比的等比数列。
（II ）解：由（I ）得a n +1-a n =2n (n ∈N *),
∴a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +... +(a 2-a 1) +a 1
=2n -1+2n -2+... +2+1=2-1(n ∈N ).
n
*
（III ）证明：
4b 1-14b 2-1...4b n -1=(a n +1) b n ,
∴4(b 1+b 2+... +b n ) =2nb n ,
∴2[(b 1+b 2+... +b n ) -n ]=nb n , ① 2[(b 1+b 2+... +b n +b n +1) -(n +1)]=(n +1) b n +1. ②
②－①，得2(b n +1-1) =(n +1) b n +1-nb n , 即(n -1) b n +1-nb n +2=0. ③ nb n +2-(n +1) b n +1+2=0. ④ ④－③，得nb n +2-2nb n +1+nb n =0, 即b n +2-2b n +1+b n =0,
∴b n +2-b n +1=b n +1-b n (n ∈N *),
∴{b n }是等差数列。
2006年高考文科数学试题（福建卷）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知两条直线y =ax -2和y =(a +2) x +1互相垂直，则a 等于
（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1
（2）在等差数列{a n }中，已知a 1=2, a 2+a 3=13, 则a 4+a 5+a 6等于
（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45
（3）"tan α=1" 是" α=
π
4
" 的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不而充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（4）已知α∈(
3π
, π),sin α=, 则tan(α+) 等于 25411
（A ） （B ）7 （C ）- （D ）-7
77
π
2
（5）已知全集U =R , 且A =x |x ->2, B =x |x -6x +8
{}{}
B 等于
（A ）[-1,4) （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(-1, 4)
x
(x ≠-1) 的反函数是 x +1x x (x ≠1) 方 （B ）y =(x ≠1) （A ）y =
x +1x -1x -11-x
(x ≠0) （D ）y =(x ≠0) （C ）y =x x
32
π，那么正方体的棱长等于 （7）已知正方体外接球的体积是3
（6）函数y =
（A
） （B
）
（C
） （D
） 333
（8）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，
则选派方案共有
（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种 （9）已知向量a 与b 的夹角为120，a =3, a +b =则b 等于 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1 （10）对于平面α和共面的直线m 、n , 下列命题中真命题是
（A ）若m ⊥α, m ⊥n , 则n ∥α （B ）若m ∥α,n ∥α, 则m ∥n
（C ）若m ⊂α, n ∥α, 则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n
o
x 2y 2o
（11）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲
a b
线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,+∞) （D ）(2,+∞)
（12）已知f (x ) 是周期为2的奇函数，当0
6532
5c =f (), 则
2 （A ）a 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
4
（13）(x -) 展开式中x 的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。
2
1
x
5
（14）已知直线x -y -1=0与抛物线y =ax 2相切，则a =______.
⎧⎪y ≤1,
（15）已知实数x 、y 满足⎨则x +2y 的最大值是＿＿＿＿。
⎪⎩y ≥x -1,
（16）已知函数f (x ) =2sin ωx (ω>0) 在区间⎢-
⎡ππ⎤
, ⎥上的最小值是-2，则ω的最小值是＿＿34⎦⎣
＿＿。
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）
已知函数f (x ) =sin 2x x cos x +2cos 2x , x ∈R . （I ）求函数f (x ) 的最小正周期和单调增区间；
（II ）函数f (x ) 的图象可以由函数y =sin 2x (x ∈R ) 的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分12分）
每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6). （I ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（II ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（III ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。
（19）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
CA =CB =CD =BD =2, AB =AD =
（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。
（20）（本小题满分12分）
B
E
x 2
+y 2=1的左焦点为F ，O 为坐标原点。 已知椭圆2
（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的
中点在直线x +y =0上，求直线AB 的方程。
（21）（本小题满分12分）
已知f (x ) 是二次函数，不等式f (x )
12。
（I ）求f (x ) 的解析式；
（II ）是否存在实数m , 使得方程f (x ) +
37
=0在区间(m , m +1) 内有且只有两个不等的实数x
根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14分）
已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *). （I ）证明：数列{a n +1-a n }是等比数列；
（II ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }满足4b 1-14b 2-1...4n
b -1
=(a n +1) b n (n ∈N *), 证明{b n }是等差数列。
2006年高考(福建卷) 数学文试题答案
一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 （1）D （2）B （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）C （11）C （12）D 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分满分16分。
（13）10 （14）
13 （15）4 （16） 42
三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。
解：（I
）f (x ) =
1-cos 2x 2x +(1+cos 2x ) 2=
132x +cos 2x +22
π3
=sin(2x +) +.
62
∴f (x ) 的最小正周期T =
由题意得2k π-即 k π-
2π
=π. 2
π
2
≤2x +
π
6
≤2k π+
π
2
, k ∈Z ,
π
3
≤x ≤k π+
π
6
, k ∈Z .
ππ⎤⎡
∴f (x ) 的单调增区间为⎢k π-, k π+⎥, k ∈Z .
36⎦⎣
（II ）方法一：
先把y =sin 2x 图象上所有点向左平移
ππ
个单位长度，得到y =sin(2x +) 的图象，再把所126
3π3
得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到y =sin(2x +) +的图象。
262
方法二：
把y =sin 2x 图象上所有的点按向量a =(-
π3
, ) 平移，就得到y =sin(2x +) +的图象。 12262
π3
（18）本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力。满分12分。
解：（I ）设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则
P (A ) =
6⨯55
=. 6⨯66
56
答：抛掷2次，向上的数不同的概率为.
（II ）设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”。
向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4) 、(3,3)、(4,2) 、(5,1) 5种，
∴P (B ) =
55=. 6⨯636
5. 36
答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为
（III ）设C 表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次，
10531312
∴P (C ) =P 5(3)=C 5() () ==.
223216
答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为
5
. 16
（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。 方法一： （I ）证明：连结OC
BO =DO , AB =AD , ∴AO ⊥BD . BO =DO , BC =CD , ∴CO ⊥BD .
在∆
AOC 中，由已知可得AO =1, CO 而AC =2,
M
A
∴AO 2+CO 2=AC 2,
O
B
C
∴∠AOC =90o , 即AO ⊥OC .
BD OC =O , ∴AO ⊥平面BCD
E
（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角
在∆OME 中，
EM =
11AB =OE =DC =1, 22
1
AC =1,
2
OM 是直角∆AOC 斜边AC 上的中线，∴OM =
∴cos ∠OEM =
∴异面直线AB 与CD
所成角的大小为arccos
（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为h .
4
V E -ACD =V A -CDE ,
11
∴h . S ∆ACD =. AO . S ∆CDE . 33
在∆
ACD 中，CA =CD =2, AD
1∴S ∆ACD ==
22
而AO =1, S ∆CDE =
12⨯2=
2421=
7
∴h =
AO . S ∆CDE
=
S ∆ACD
∴点E 到平面ACD
的距离为
方法二：
（I ）同方法一。
7
（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则B (1,0,0),D (-1,0,0),
1C A (0,0,1),E (, BA =(-1,0,1), CD =(-1,
22∴cos =
BACD . BA CD
= 4
∴异面直线AB 与CD 所成角
的大小为arccos
4
（III ）解：设平面
ACD 的法向量为n =(x , y , z ), 则
⎧⎪n . AD =(x , y , z ).(-1,0, -1) =0,
⎨
⎪⎩n . AC =(x , y , z -1) =0,
y
⎧⎪x +z =0, ∴
-z =0. 令y =
1, 得n =(是平面ACD 的一个法向量。 又EC =(-,
1 22
∴
点E 到平面ACD 的距离 h =
EC . n n
=
=
7（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查
运算能力和综合解题能力。满分12分。
解：（I ）
a 2=2, b 2=1, ∴c =1, F (-1,0), l :x =-2.
圆过点O 、F ，
1
∴圆心M 在直线x =-上。
2
1
设M (-,
t ), 则圆半径
2
13r
=(-) -(-2) =.
22
由OM =
r , =
3, 2
解得t =
19
∴所求圆的方程为(x +) 2+(y ±2=.
24
（II ）设直线AB 的方程为y =k (x +1)(k ≠0),
x 2
+y 2=1, 整理得(1+2k 2) x 2+4k 2x +2k 2-2=0. 代入2
直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根， 记A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), AB 中点N (x 0, y
0),
4k 2
, 则x 1+x 2=-2
2k +1
12k 2k x 0=(x 1+x 2) =-2, y 0=k (x 0+1) =2,
22k +12k +1
线段AB 的中点N 在直线x +y =0上，
2k 2k
+2=0, ∴x 0+y 0=-2
2k +12k +11
∴k =0，或k =.
2
当直线AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点F 不在直线x +y =0上。
∴直线AB 的方程是y =0, 或x -2y +1=0.
（21）本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。
（I ）解：
f (x ) 是二次函数，且f (x )
∴可设f (x ) =ax (x -5)(a >0).
∴f (x ) 在区间[-1,4]上的最大值是f (-1) =6a .
由已知，得6a =12,
∴a =2,
∴f (x ) =2x (x -5) =2x -10x (x ∈R ).
（II ）方程f (x ) +
3
2
37
=0等价于方程2x 3-10x 2+37=0. x
2
设h (x ) =2x -10x +37, 则h '(x ) =6x -20x =2x (3x -10).
2
10
) 时，h '(x )
当x ∈(, +∞) 时，h '(x ) >0, h (x ) 是增函数。
3
101
h (3)=1>0, h () =-0,
327
1010
∴方程h (x ) =0在区间(3,),(, 4) 内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,+∞) 内没有实
33
当x ∈(0,
数根，
所以存在惟一的自然数m =3, 使得方程f (x ) +
37
=0在区间(m , m +1) 内有且只有两个不同x
的实数根。
（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。
（I ）证明：
a n +2=3a n +1-2a n ,
∴a n +2-a n +1=2(a n +1-a n ),
a 1=1, a 2=3, ∴
a n +2-a n +1
=2(n ∈N *).
a n +1-a n
∴{a n +1-a n }是以a 2-a 1=2为首项，2为公比的等比数列。
（II ）解：由（I ）得a n +1-a n =2n (n ∈N *),
∴a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +... +(a 2-a 1) +a 1
=2n -1+2n -2+... +2+1=2-1(n ∈N ).
n
*
（III ）证明：
4b 1-14b 2-1...4b n -1=(a n +1) b n ,
∴4(b 1+b 2+... +b n ) =2nb n ,
∴2[(b 1+b 2+... +b n ) -n ]=nb n , ① 2[(b 1+b 2+... +b n +b n +1) -(n +1)]=(n +1) b n +1. ②
②－①，得2(b n +1-1) =(n +1) b n +1-nb n , 即(n -1) b n +1-nb n +2=0. ③ nb n +2-(n +1) b n +1+2=0. ④ ④－③，得nb n +2-2nb n +1+nb n =0, 即b n +2-2b n +1+b n =0,
∴b n +2-b n +1=b n +1-b n (n ∈N *),
∴{b n }是等差数列。