前景理论：风险条件下的决策分析
丹尼尔・卡尼曼、阿莫斯・特沃斯基 著
林奇 译
一、介绍
期望效用理论在风险条件下的决策分析中占据着统治地位，已被普遍接受为理性选择的规范性模型［24］，广泛用作一个描述性的经济行为模式，例如［15，4］。因此，它假设所有理性的人都遵守这个理论的公理，并且大多数人大部分时间实际上也是按照这个理论行动的。
本文介绍几类偏好违反期望效用理论的决策问题。根据一些观察，我们认为期望效用理论是一个有缺陷的描述性模型，并相应提出了风险条件下决策的替代理论。
二、评论
风险决策可以看作是在不同前景或冒险之间做选择。前景（x 1，p 1；…；x n ，p n ）是一个以概率p i 产生结果x i 的合约，其中p 1＋p 2＋…＋p n ＝1。为了简化符号，我们省略空的结果，用（x ，p ）代表前景（x ，p ；0，1－p ），即：以概率p 产生结果x ；1－p 概率产生结果0。确定产生结果x 的（无风险）前景用（x ）表示。目前的讨论仅限于使用客观或标准概率的前景。 期望效用理论对前景的选择基于以下三个原则。
(i ) 期望原则：U （x 1，p 1；…；x n ，p n ）＝p 1u （x 1）＋…＋p n u （x n ）。即，一个前景的效用，用U 表示，就是它产生的结果的期望效用。
(ii ) 资产组合原则：前景（x 1，p 1；…；x n ，p n ）对资产w 来说是可接受的，当且仅当U （w ＋x 1，p 1；…；w ＋x n ，p n ）＞u （w ）。也就是说，一个前景是可以接受的，如果资产与该前景组合产生的效用超过资产本身的效用。因此，效用函数的值域是最终态（包括一个人的资产），而不是过程中的收益或亏损。虽然效用函数的值域并不限于任何特定类别的结果，但是，理论的大多数应用都与货币结果有关。此外，大多数的经济学应用还引入以下假设。
(iii ) 风险规避原则：u 是凹函数（u ＂＜0）。一个人是风险规避的，如果他相对于任何具有期望值x 的风险前景而偏好确定前景（x ）。风险规避等同于效用函数的凹性。风险规避的出现也许是关于风险选择的最知名法则。导致十八世纪早期的决策理论家提出，效用是货币的凹函数，并且这个观点一直延续到现代（普拉特[33]，阿罗[4]）。
在下面的章节中，基于大学教师和学生对一些假想选择问题的反馈，我们将说明一些违反预期效用理论的这些原则的现象。受访者被要求回答类似下面的假想问题。 你会选择以下哪一个？
A ：50％的机会得到1000，50％的机会一无所得；
B ：确定得到450。
结果的货币单位为以色列镑。注意这个问题中金额的意义：中等家庭的每月净收入大约是3000以色列镑。受访者被要求想象，他们正实际面临上述的选择问题，并告知他们在这种情况下做出的决定。受访者是匿名的，并且问题没有“正确”的答案，研究的目的是发现人们在不同的风险前景中如何做出选择。问题以调查问卷的形式提出，每册最多十几个问题。每一份问卷有好几种形式，让受访者暴露在不同顺序的问题中。此外，每一个问题的两个版本分别在这个前景的左－右的不同位置。
本文用假想问题描述一系列的效应。每一个效应通过不同结果和概率的几个问题来观察。关于一些问题，也对斯德哥尔摩大学和密歇根大学的学生、教师群体做了调查。结果的模式基本上符合以色列受访者的结果。
对假设选择的依赖明显引起了，关于方法有效性和结果一般化的问题。我们强烈地意识到这些问题。但是，测试效用理论的所有其他方法也都有严重的缺陷。对现实选择的调查，既可以在现场通过对经济行为的自然或统计观察进行，也可以在实验室进行。现场研究只能对定性的预测提供粗略的测试，因为概率和效用不能在这样的背景下被充分测量。实验室实验能够从实际的选择中获得效用和概率的精确测量，但是，显然这些实验研究涉及人为的小赌注赌博，以及大量的类似问题。实验室赌博的这些特性使结果的解释复杂化，这限制了它们的一般化。
默认情况下，假设选择的方法是调查大量理论性问题的最简单的程序。这个方法的使用依赖于假设，人们往往知道在实际的选择情况下如何行动，并进一步的假设，受访者没有特别的理由来掩饰自己的真实偏好。如果人们合理准确地预测他们的选择，那么，假想问题中对期望效用理论的普遍、系统的违背，提供了反对期望效用理论的推定证据。
１、确定性，概率和可能性
在预期效用理论中，结果的效用需要用它发生的概率进行加权。本节描述人们的偏好系统地违反这个原则的一系列选择问题。我们首先说明，人们对确定结果过度加权，相对于仅仅是可能的结果——我们称之为确定性效应。
揭示确定性效应的最知名的期望效用理论反例是由法国经济学家莫里斯•阿莱于1953年提出的阿莱悖论［2］。许多作者从规范性和描述性的角度已经讨论过阿莱悖论［28，38］。下面的一对选择问题是阿莱悖论的变体，不同点在于适中的而不是极大的收益。受访者的数量以N 表示，每个选项被选择的百分比在括号内显示。
问题1：选择
A ：以0．33的概率得到2，500 B ：确定得到2，400
以0．66的概率得到2，400
以0．01的概率得到0
N ＝72 【18】 【82】＊
问题2：选择
C ：以0．33的概率得到2，500 D ：以0．34的概率得到2，400
以0．67的概率得到0 以0．66的概率得到0
N ＝72 【83】＊ 【17】
数据显示，问题1中82％的人选择B ，问题2中83％人选择C 。问题中的每一个偏好都很明显的，用星号表示。此外，对选择的个体模式分析表明，大部分受访者（61％）在这两个问题中做出了模式化的选择。偏好的这种模式，以最初阿莱提出的方式违反了期望效用理论。根据期望效用理论，由于u （0）＝0，第一个问题的偏好表明u （2400）＞0．33u （2500）＋0．66u （2400）或者0．34u （2400）＞0．33u （2500），而第二个问题的偏好则刚好相反。需要注意的是，问题2是由问题1通过剔除“以0．66的概率得到2，400”选项得到的。很明显，与前景变化前和变化后都不确定相比，当前景从确定收益变为可能收益时，变化对期望产生了更大的影响。
下面给出一个只涉及两个可能结果说明同样现象的简单示例。此示例也基于阿莱悖论［2］。
问题3：
A ：（4000，0．80） B ：（3000）
N ＝95 【20】 【80】＊
问题4：
C ：（4000，0．20） D ：（3000，0．25）
N ＝95 【65】＊ 【35】
在这对问题以及本节其他的问题对中，超过一半受访者的答案违反了期望效用理论。要说明问题3和4中的偏好模式不符合这个理论，设u （0）＝0，则B 的选择表明u （3000）／u （4000）＞4／5，而C 的选择刚好相反。注意，前景C ＝（4000，0．20）可以表示为（A ，0．25），而前景D ＝（3000，0．25）可以表示为（B ，0．25）。期望效用理论的替换公理断言，如果B 好于A ，那么任何的（可能）混合（B ，p ）必然好于混合（A ，p ）。而我们的受访者没有遵守这个公理。显然，获胜的概率从1．0减小到0．25，比从0．8减小到0．2对受访者有更大的影响。下面的一对选择问题以非货币结果说明确定性效应。 问题5：
A ：50％机会赢得三周英法意大利旅游 B ：确定的一周英国旅游
N ＝72 【22】 【78】＊
问题6：
C ：5％机会赢得三周英法意大利旅游 D ：10％机会赢得一周英国旅游
N ＝72 【67】＊ 【33】
确定性效应并不是违反替换公理的唯一情况，下面的问题说明替换公理无效的另一种情况。
问题7：
A ：（6000，0．45） B ：（3000，0．90）
N ＝66 【14】 【86】＊
问题8：
C ：（6000，0．001） D ：（3000，0．002）
N ＝66 【73】＊ 【27】
需要注意的是，问题7中获胜的概率相当高（0．90和0．45），大多数人选择获胜可能性更大的前景。在问题8中，两个前景存在获胜的可能性，但获胜的概率微不足道（0．002和0．001）。在这种可能赢但可能性不大的情况下，大多数人选择了更大收益的前景。拉尔森也报告了类似的结果［28］。
上述问题说明了，期望效用模型不能处理的对风险或机会的共同态度。将结果表明的对替换公理的违反，经验主义地概括为：如果（y ，pq ）等价于（x ，p ），那么（y ，pqr ）好于（x ，pr ），0＜p 、q 、r ＜1。这个性质被纳入替代理论中，在本文的第二部分讨论。
２、反射效应
上一节讨论了积极前景之间的偏好，积极前景即没有任何损失的前景。如果结果相反，收益变为损失，会怎样呢？表１左列显示上一节中讨论过的四个选择问题，右列显示结果与之相反的四个选择问题。我们用－x 来表示损失x ，用＞表示普遍的偏好，即大多数受访者的选择。
表１中，每行的消极前景之间的偏好是积极前景之间的偏好的镜像。因此，前景的反射围绕0形成相反的偏好顺序。我们称之为反射效应。
现在，让我们来看看这些数据的意义。
首先，反射效应表明，积极前景中的风险规避倾向伴随着消极前景中的风险寻求倾向。例如，问题3＇中，与确定损失3000相比，多数受访者愿意承受概率0．80失去4000的风险，尽管它的预期值更低。消极前景之间的选择产生风险寻求倾向，最早由马可维茨发现［29］。威廉姆斯［48］的数据显示，结果的变化产生了从风险厌恶倾向向风险寻求倾向的戏剧性转变。例如，他的受访者对（100，0．65；－100，0．35）和（0）无明显偏好，这表明风险厌恶倾向。他们也对（－200，0．80）和（－100）无明显偏好，这表明风险寻求倾
向的普遍性。
其次，上节提到表１中的积极前景之间的偏好不符合期望效用理论，消极前景之间的偏好也以同样的方式违反了期望原则。例如，问题3＇和4＇以及3和4表明，相对于不确定的结果，确定的结果被过度加权。在积极前景下，确定性效应对确定收益而不是仅仅可能的更大收益，产生风险规避偏好。在消极前景下，确定性效应导致对仅仅可能的损失而不是确定的更小损失，产生风险寻求偏好。同样的心理原则——对确定性过度加权——产生收益的风险规避倾向和损失的风险寻求倾向。
第三，反射效应剔除对不确定性或变化的规避，作为对确定性效应的解释。例如，作为普遍的偏好，（3000）好于（4000，0．80）和（4000，0．20）好于（3000，0．25）。为解决这个明显的不一致，可以援引假设：人们偏好期望值高、变化小的前景（见，例如，阿莱［2］、马可维兹［30］、托宾［41］）。由于（3000）没有变化，而（4000，0．80）有很大的不确定性，所以前一个前景被选择，尽管它的期望值低。然而，当前景的确定性减少时，（3，000，0．25）和（4，000，0．20）之间的变化差异，不足以超出期望值的差异。与（－4000，0．80）相比，（－3000）具有较高的期望值和较低的变化，这使得确定的损失应被优选，这与数据相反。因此，我们的数据不符合人们普遍追求确定性的观点。实际上，它表明确定性增加了对损失的厌恶以及对收益的期望。
３、概率保险
购买大型损失保险和小型损失保险的普遍程度，一直被许多人视为货币效用函数为凹的有力证据。否则，人们为什么支付那么多金钱以超出预期精算成本的价格购买保单呢？然而，对各种形式保险的相对吸引力的调查，不支持货币效用函数在任何条件下都为凹的观点。例如，人们往往偏好较低或零免责率的有限覆盖面的保险计划，而不是高免责率的更大覆盖面的保险计划——这与风险规避假设矛盾（参见，例如，富克斯［16］）。另一类保险问题，调查结果与凹假设不一致，可以称为概率保险。为了说明这个概念，考虑下面的这个问题，有95名斯坦福大学的学生参与了调查。
问题9：假设你考虑对财产进行保险防止遭受损害的可能性，如火灾或盗窃。权衡了风险和保险费用后，你发现自己在购买财产保险和不购买之间没有明显的偏好。 这时你注意到，保险公司还提供一种称为概率保险的险种。在概率保险中，你付一半的普通保险费用。在发生损失的情况下，有50％的机会，你支付另一半的普通保险费用，而保险公司赔偿所有的损失；50％的机会，你拿回你的保险费用，并自己承受所有的损失。例如，如果事故发生在每个月的奇数天，你支付普通保险费用的另一半，你的损失得到赔偿，但如果事故发生在每个月的偶数天，你的保险费用被退还，并自己承受损失。
回想到，你发现全覆盖保险的保险费用勉强与其成本等值。
在这种情况下，你是否会购买概率保险：
是， 否。
N ＝95 【20】 【80】＊
尽管问题9显得不切实际，但值得一提的是，概率保险表明了保护行为的多样化，即支付一定成本来减少而不是完全消除不希望发生事件发生的概率。安装防盗报警器、更换旧轮胎、戒烟，都可以看作是概率保险。
对问题9和它的几个变种问题的调查表明，概率保险通常不具有吸引力。显然，损失概率从p 减少到p ／2比从p ／2减少到0在价值上要低得多。
与此相反，预期效用理论（u 为凹）表明概率保险好于普通保险。也就是说，如果一个人在资产为w 的条件下愿意支付保险费用y 为概率p 损失x 的事件保险，那么他绝对愿意支付更少的保险费用ry ，来将损失x 的概率从p 减少到（1－r ）p ，0＜r ＜1。从形式上看，如果一个人在（w －x ，p ；w ，1－p ）和（w －y ）之间无明显偏好，那么他应该偏好概率保险（w －x ，（1－r ）p ；w －y ，rp ；w －ry ，1－p ）而不是普通保险（w －y ）。
为了证明这个命题，我们说明：
pu （w －x ）＋（1－p ）u （w ）＝u （w －y ）
表明
（1－r ）pu （w －x ）＋rpu （w －y ）＋（1－p ）u （w －ry ）＞u （w －y ）。
不失一般性，我们可以设u （w －x ）＝0，u （w ）＝1。因此，u （w －y ）＝1－p ，我们希望说明，
rp （1－p ）＋（1－p ）u （w －ry ）＞1－p 或者u （w －ry ）＞1－rp ，
当且仅当u 为凹时。
这是预期效用理论的风险厌恶假说的一个相当令人费解的结果，因为概率保险在直观上比完全消除风险因素的普通保险更具风险。由此可见，风险的直观概念完全不能被财富效用函数的凹假设处理。
对概率保险的厌恶特别有趣，因为所有的保险在一定意义上都是概率性的。即使最狂热的保险买家仍然对他的保险不覆盖的很多金融风险和其他风险是脆弱的。概率保险与或然保险有着显著的区别，或然保险对指定类型风险提供明确的覆盖。例如，防止住宅所有形式的损失或损害的概率保险，和消除所有被盗损失风险但不包括其他风险，例如火灾的或然保险。我们猜想，当无保护损失的概率相同时，与概率保险相比，或然保险通常更具吸引力。因此，概率和结果相同的两个前景，依据对它们的不同表达可以有不同的价值。这种现象在下一节中提到。
４、隔离效应
为了简化在二项中选一项的选择，人们往往忽略这些选项的共同部分，而专注于它们的不同部分（特沃斯基［44］）。这种方式可能会产生偏好的不一致，因为一对前景被分解为共同和不同部分的方法不止一种，而不同的分解时常导致不同的偏好。我们将这个现象称为隔离效应。
问题10：考虑下面的两阶段博弈。在第一阶段，0．75的概率一无所得结束游戏，0．25的概率进入第二阶段；在第二阶段，你在（4000，0．80）和（3000）之间作出选择。你必须在比赛开始前，即知道第一阶段结果之前做出选择。
需要注意的是，在这个博弈中，参与者需要在概率0．25×0．80＝0．20赢取4，000和概率0．25×1．0＝0．25赢取3000两个选项之间做出选择。因此，从最终结果和概率来看，如上述问题4那样，参与者需要面对（4000，0．20）和（3000，0．25）之间的选择。然而，这两个问题中的偏好是不同的。问题10的141位受访者中，78％选择了后一个前景（3000），这与问题4中的偏好相反。由此可见，人们忽略了第二阶段两个前景共
同的第一阶段，而只将问题10看作是（3，000）和（4，000，0．80）之间的选择，如上述问题3那样。
问题4的标准形式和序贯形式分别表示为图1和图2的决策树。按照通常惯例，方块表示决策节点和圆圈表示机会节点。标准形式表述和序贯形式表述之间的根本差异在于决策节点的位置。在标准形式（图1）中，决策者面临着两个风险前景之间的选择；而在序贯形式（图2）中，决策者面临着一个风险前景和一个无风险前景之间的选择。这通过不改变概率或结果引入两个前景之间的依赖来实现。具体而言，在序贯形式中，事件“未能赢得3000”包含在事件“未能赢得4000”中，而这两个事件在标准形式中是相互独立的。因此，“赢得3000”的结果在序贯形式中有确定性的优势，而在标准形式中却没有。
图1．－问题4的决策树（标准表述）
图2．－问题10的决定树（序贯表述）。
不同事件之间的依赖导致偏好逆转具有很重要的意义，因为这违反了决策理论分析的基本假设——不同前景之间的选择完全由最终状态的概率决定。
决策问题很容易被以上面形式中最自然的一种来表现。例如，两种不同的风险投机之间的选择很可能被以标准形式看待。另一方面，下面的这个问题很可能被表示为序贯形式。有人投资于一种投机活动，失败则以一定概率失去资本，成功则在固定的协议退费和一定百分比的收益之间选择。隔离效应表明，相对于一个具有相同概率和结果的风险投机而言，固定回报的相对确定性会增强选项的吸引力。
上述问题说明了偏好如何可被不同的概率表述改变。现在，我们说明选择如何可被结果的不同表述改变。
以下的问题，对两组不同的受访者进行调查。
问题11：除了你自己的财产外，你现在被给予1000，并要做出选择：
A ：（1000，0．50）， B ：（500）。
N ＝70 【16】 【84】＊
问题12：除了你自己现有的财产外，你现在被给予2000，并要做出选择：
C ：（－1000，0．50）， D ：（－500）。
N ＝68 【69】＊ 【31】
大多数受访者在第一个问题中选择B 而在第二个问题中选择C 。这些偏好符合表１中观察到的反射效应：积极的前景呈现风险规避而消极的前景呈现风险寻求。然而，请注意，从最终状态来说，这两个问题是相同的。具体来说，A ＝（2000，0．50；1000，0．50）＝C ，B ＝（1，500）＝D 。事实上，问题12是问题11初始资金加上1000以及从结果减去1000演化而来。很明显，受访者没有将前景与初始资金整合。初始资金没有加入前景之间的比较，因为它对每个问题的两种选择都是共同的。
问题11和12中观察到的结果的模式显然不符合期望效用理论。根据期望效用理论，无论是从95，000增加到100，000，还是从105，000减少到100，000，赋予100，000的效用都是相同的。因此，选择确定的100，000还是选择初始拥有95，000或105，000的胜负均等机会，与一个人初始拥有的数额无关。由于风险规避的假设，100，000的确定性必然总是好于风险投机。然而，问题12和以前的几个问题的反馈表明，如果一个人拥有的初始财富数量较小则这个结论成立，如果拥有的初始财富数量较大则不成立。 问题11和问题12的共同点——对初始资金的明显忽视，表明价值或效用的载体是财富的变化，而不是包括目前财富的最终资产。这个结论是风险选择替代理论的基石，在下面的章节中详细说明。
三、理论
前面的讨论中提出了一些经验性的效应，使得期望效用理论作为一个描述性模型无效。下面将提出一种个人风险决策的替代理论，称为前景理论。这个理论用于具有货币结果和状态概率的简单前景，但也可以扩展到具有三个或更多选择的复杂前景。前景理论将选择过程分为两个阶段：开始的编辑阶段和之后的评估阶段。编辑阶段对所提供的前景进行初步分析，形成这些前景更简单的表述。在第二阶段，对编辑过的前景进行评估，并选择最高价值的前景。接下来，我们简单介绍编辑阶段，详细说明评估阶段的形式模型。
编辑阶段的功能是组织和改写选项，以便简化后续的评估和选择，主要包括几个转换前景的结果和概率的操作。编辑阶段的主要操作如下。
编码：上一节的讨论表明，人们通常将结果感知为收益和亏损，而不是财富或福利的最终状态。收益和损失，当然，相对于一些中性的参照点定义。参照点通常对应于当前的资产，在这种情况下，收益和损失与收到或支付的实际金额一致。然而，参照点的位置和其后将收益或亏损作为结果的编码，可能受到对前景的描述以及决策者预期的影响。
结合：有时可以通过结合相同结果的概率来简化前景。例如，前景（200，0．25；200，
解析：一些前景包含无风险部分，这种无风险部分可以在编辑阶段与风险部分分离开来。例如，前景（300，0．80；200，0．20）可以分解为，确定收益200，和一个风险前景（100，0．80）。同样，很容易看出，前景（－400，0．40；－100，0．60）包括确定损失100和一个风险前景（－300，0．40）。
上述操作适用于单独的前景。下面操作适用于由两个或更多前景构成的一组前景。 取消：前面提到的隔离效应的本质是丢弃所有前景的共通部分。因此，我们的受访者显然忽略了问题10中的序贯博弈的第一阶段，因为这个阶段对第二阶段的两个选择来说都是共通的，而只以第二阶段的结果评估前景（参见图2）。同样，他们忽略了问题11和12中前景的共同初始资金。另一种类型的取消是丢弃共同的选项，即结果－概率对。例如，（200，0．20；100，0．50；－50，0．30）和（200，0．20；150，0．50；－100，0．30）之间的选择，可以通过取消简化为（100，0．50；－50，0．30）和（150，0．50；－100，0．30）之间的选择。
其他两个应该提及的操作是简化和优势检测。简化是指通过四舍五入概率或结果简化前景。例如，前景（101，0．49）可重新编码为赢得100的成败均等机会。一个特别重要的简化形式，涉及到丢弃极不可能的结果。优势检测是指扫描前景，以检测优势候选，并将它们丢弃不做进一步的评估。
由于编辑操作有助于决策任务，所以假定它们可以被无条件地执行。然而，一些编辑操作有时会影响其他操作。例如，（500，0．20；101，0．49）好于（500，0．15；99，0．51），如果两个前景的第二项被简化为（100，0．50）。因此，编辑前景的最后结果依赖于编辑操作的顺序，这使得前景可能随着集合结构和显示格式的不同而不同。这个问题的详细讨论超出本文的范围。本文只讨论下列类型的选择问题：假定前景的原始表述没有进一步编辑的任何余地，或编辑后的前景没有任何歧义。
通过前景的编辑会形成许多异常的偏好。例如，隔离效应的不一致性源于取消共同部分的操作。选择的一些非可传递性，可以通过消除前景之间微小差别的简化操作来解释（见特沃斯基［43］）。更一般的，前景之间的偏好顺序不需要在整个环境中保持不变，因为相同的前景可以以不同的方式被编辑，这种方式取决于前景出现的环境。 编辑阶段之后，假定决策者评估每一个编辑后的前景，并选择最高价值的前景。被编辑过的前景的整体价值，记为V ，用π和v 两个变量表示。
第一个变量，π，将概率p 与决策权重π（p ）联系起来，反映p 对前景所有价值的影响。然而，π不是概率测度，后面会提到，π（p ）＋π（1－p ）通常小于1。第二个变量，v ，给每个结果x 分配数字v （x ），反映该结果的主观价值。回想一下，结果是相对于参照点定义的，参照点通常为价值尺度的零点。因此，v 测量该参照点的偏差值，即收益和损失。
当前讨论关心的是，至多有两个非零结果的（x ，p ；y ，q ）形式的简单前景。在这样的前景中，一个人以概率p 得到x ，以概率q 得到y ，1－p －q 概率一无所得，其中p ＋q ≤1。前景是严格积极的，如果它的结果都是正的，即如果x 、y ＞0和p ＋q ＝1；前景是严格消极的，如果它的结果均为负。一个前景是普通的，如果它既不是严格积极的，也不是严格消极的。
前景理论的基本方程采用π和v 相结合来确定普通前景所有价值的方式。
如果（x ，p ；y ，q ）是普通前景（即，或者p ＋q ＜1，或者x ≥0≥y ，或者x ≤0≤y ），则
V （x ，p ；y ，q ）＝π（p ）v （x ）＋π（q ）v （y ） （1）
其中v （0）＝0，π（0）＝0和π（1）＝1。如同期望效用理论，V 定义在前景上，而v 定义在结果上。两个变量对确定前景一致，其中V （x ，1．0）＝V （x ）＝v （x ）。
方程（1）通过放宽预期原则将预期效用理论一般化。关于确保π唯一存在和比率变量v 满足方程（1）的条件，更详细的分析见附录。
对严格积极和严格消极前景的评价则按照不同的规则。在编辑阶段，这样的前景被分成两个部分：（a ）无风险部分，也就是说，确定的最低收益或亏损；（b ）风险部分，即，实际上有风险的其他收益或亏损。这种前景的评价通过下面的这个方程表示。
如果p ＋q ＝1，以及或者x ＞y ＞0或者x ＜y ＜0，则
V （x ，p ；y ，q ）＝v （y ）＋π（p ）［v （x ）－v （y ）］ （2）。
也就是说，严格积极或严格消极前景的价值等于，无风险部分的价值加上，两个结果之间的价值差乘以更极限结果的权重。例如，V （400，0．25；100，0．75）＝v （100）＋π（0．25）［v （400）－v （100）］。方程（2）的基本特性是，决策权重赋予，代表前景风险部分的价值差v （x ）－v （y ），而不是代表无风险部分的v （y ）。注意，方程（2）的右侧部分可变形为π（p ）v （x ）＋［1－π（p ）］v （y ）。因此，如果π（p ）＋π（1－p ）＝1，方程（2）可以简化为方程（1）。但是，我们以后将会看到，这种情况不是普遍成立的。
评估模型的许多元素在以前修正预期效用理论的尝试中出现过。马可维兹［29］最早提出效用定义在收益和损失上，而不是最终的资产上，这个假设在大多数对效用的试验性测量中被隐含接受（参见，例如，［7，32］）。马可维兹也指出，在积极和消极前景中的偏好都存在风险寻求倾向，他提出了一个正值域和负值域都有凸区和凹区的效用函数。然而，他保留了期望原则；因此它不能解释对这一原则的许多违反，参见表１。 爱德华兹提出以更普遍的权重代替概率的模型［9］，并且这个模型经过了一些实证研究的考察（例如，［3，42］）。类似的模型是由费尔纳［12］提出，引入决策权重的概念来解释对模糊的规避，范・达姆［46］试图解决这个模型的决策权重的测量问题。对于期望效用理论的其他重要分析和替代选择模型，见阿莱［2］、库姆斯［6］、菲什伯恩［13］和汉森［22］。
前景理论方程保留了构成期望效用理论基础的一般双线性形式。然而，为了包含本文第一部分提到的效应，我们不得不假定，价值应该赋予变化而不是最终状态，以及决策权重与概率不一致。这些对预期效用理论的偏离必然导致通常不可接受的结果，如不一致性、不可传递性和优势违反。决策者通常能够纠正这些偏好的异常，当他意识到他的偏好不一致、不可传递或不可接受时。然而，在许多情况下，决策者没有机会发现，他的偏好可能会违反他所服从的决策规则。在这种情况下，就会产生前景理论说明的这些异常。
１、价值函数
前景理论的一个重要特性是，价值载体是财富或福利的变化而不是最终状态。这个假设符合人类感知和判断的基本原则。我们的感知器官适合评价变化或差异，而不适合评价绝对的量值。当我们反应如亮度、音量或温度等这些属性时，过去和现在的经验背景定义了一个适应水平或参照点，刺激相对于这个参照点被感知［23］。因此，在给定的温度下，一个对象通过触摸可能会被认为是热的也可能被认为是冷的，这取决
于我们之前已经适应的温度。同样的原则也适用于非感官特性，如健康、声望和财富等。例如，同样一笔财富，对一个人来说可能是微不足道的，对另一个人来说可能是巨大的财富——这取决于他们目前的资产。
强调变化作为价值的载体，不应看作意味着变化所承载的价值与初始位置无关。严格地说，价值应被视为一个带有两个参数的函数：作为参照点的资产数量和相对于该参照点的变化幅度值（正或负）。一个人的货币态度可以比作一本书：每一页代表一个基于特定资产变化的价值函数。显然，不同页所代表的价值函数是不同的：他们很可能随着资产增加会变得更加线性。然而，前景的偏好顺序，不会随着很小甚至温和的资产变化而大大改变。例如，前景（1000，0．50）的确定等价数值，对于大多数人、大多数的资产数目来说，在300和400之间。因此，将价值看做一个带有一个参数的函数形式，通常能够提供令人满意的近似。
对感觉和知觉的度量都有一个共性：心理反应是物理变化幅度的凹函数。例如，相对于室温的13度变化和16度变化，我们更容易区分室温的3度变化和6度变化。我们认为，这一原则特别适用于货币变化的评价。因此，在价值上，收益100和收益200之间的差异显然大于收益1100和收益1200之间的差异。同样，损失100和损失200之间的差异显然大于损失1100和损失1200之间的差异，除非大损失是无法忍受的。因此，我们假定：财富变化的价值函数通常在参照点以上为凹（v ＂（x ）＜0，x ＞0），在参照点以下为凸（v ＂（x ）＞0，x ＜０）。也就是说，收益和损失的边际价值通常随着规模递减。加兰特尔和普利纳［17］进行了测量货币和非货币的收益和损失的感知程度的研究，部分证实了这一假设。
上述关于价值函数形状的假设，基于无风险情况下的收益和损失的调查。我们认为，源于风险选择的价值函数也具有相同的特性，通过下列问题说明。
问题13：
A ：（6000，0．25）， B ：（4000，0．25；2000，0．25）。
N ＝68 【18】 【82】 ＊
问题13＇：
C ：（－6000，0．25）， D ：（－4000，0．25；－2000，0．25）。
N ＝64 【70】＊ 【30】
将方程（1）应用于这些问题的模式偏好，则有：
π（0．25）v （6000）＜π（0．25）［v （4000）＋v （2000）］
π（0．25）v （－6000）＞π（0．25）［v （－4000）＋v （－2000）］。
因此，
v （6000）＜［v （4000）＋v （2000）］
v （－6000）＞［v （－4000）＋v （－2000）］。
这些偏好符合假设：价值函数收益为凹和损失为凸。
讨论货币效用函数必须考虑特殊情况对偏好的影响。例如，一个需要6万元购买房子的人的效用函数，可能在临界值附近出现急剧上升。同样，一个人的损失厌恶情绪
可能大幅增加，当损失接近迫使他出售房子并搬到一个不理想地区时。因此，推导出的个体的价值（效用）函数并不总是反映“纯粹”的货币态度，因为它可能会受到与具体数额相关的其他因素的影响。这种干扰很容易在价值函数中形成收益为凸和损失为凹的情况。后一种情况可能更常见，因为大的损失往往关系到生活方式的改变。
人们对待财产变化的情绪的一个显著特点是损失比收益强烈。失去了一笔钱所体验到的恼怒，显然强于获得同样一笔钱所体验到的快乐［17］。事实上，大多数人发现（x ，0．50；－x ，0．50）形式的对称投注，明显没有吸引力。此外，对称投注的厌恶通常随着赌注的增加而强烈。也就是说，如果x ＞y ≥0，那么（y ，0．50；－y ，0．50）好于（x ，0．50；－x ，0．50）。因此，根据方程（1），则有
v （y ）＋v （－y ）＞v （x ）＋v （－x ）
v （－y ）－v （－x ）＞v （x ）－v （y ）。
令y ＝0，则有v （x ）＜－v （－x ），令y 逼近x ，则有v ＇（x ）＜v ＇（－x ），只要由v 推导的v ＇存在。因此，损失的价值函数比收益的价值函数更陡峭。
综上所述，我们认为，价值函数：（1）基于参照点偏差定义；（2）通常收益为凹，损失为凸；（3）损失比收益更陡峭。满足这些属性的价值函数如图3所示。注意，我们假设的S 形状的价值函数在参照点处最陡峭，与此明显不同的是马科维茨［29］提出的效用函数，在这个区域明显平滑一些。
图3–假定的价值函数
虽然可以应用前景理论从前景之间的偏好推导价值函数，但是由于引入的决策权重，实际测量比效用理论要复杂得多。例如，即使是线性的价值函数，决策权重也将产生风险规避和风险寻求倾向。然而，有意思的是，通过使用冯・诺伊曼－摩根斯坦效用函数详细分析财富变化，价值函数的主要特性已经被观察到了（菲什伯恩和克罕伯格［14］）。在五个独立的研究项目［5，18，19，21，40］中，获得了不同业务领域的30个决策者的效用函数。大多数人的效用函数的收益为凹损失为凸，只有三个人对收益及亏损表现为风险厌恶。除了一个例外，其他人的效用函数损失比收益更陡峭。
２、加权函数
在前景理论中，每个结果的价值需要乘以决策权重。从前景之间的选择推定决策权重，非常类似于利用拉姆齐－萨维奇方法从偏好推定主观概率。然而，决策权重不是概率：他们不服从概率公理；他们不应该被解释为对程度或信仰的测量。
考虑一场赌博，一个人可以赢得1000或一无所得，这取决于投掷一枚硬币。对于
任何理性的人来说，在这种情况下获胜的概率是0．50。这可以通过多种方式验证，例如，通过受试者对赌注押在正面或反面无明显偏好，或通过他们认为这两个事件无差别的口头报告。然而，决策权重π（0．50）可能小于0．50。决策权重测量特定事件对前景期望的影响，而不仅仅是感知的这些事件的可能性。如果期望原则成立，则两者一致（即，π（p ）＝p ）。
本文所讨论的选择问题，以明确的概率数值表示，并且我们的分析假定受访者接受p 的状态值。此外，由于事件只能通过其状态概率来标识，因此可以在此背景下，将决策权重表示为状态概率的函数。然而，事件的决策权重通常会受到其他因素的影响，例如，模糊性［10，11］。
我们现在讨论决策权重π的特性，它将决策权重与状态概率联系起来。自然，π是p 的递增函数，并且π（0）＝0和π（1）＝1。也就是说，不可能事件的偶然结果被忽略，测量被规范化，即π（p ）是关于概率p 的权重与关于确定事件的权重之间的比率。
我们首先讨论小概率加权函数的一些性质。问题8和8＇中的偏好表明，对小的p 值来说，π是p 的次可加函数（subadditive ），也就是说，π（rp ）＞r π（p ），0＜r ＜1。回想问题8中，（6000，0．001）好于（3000，0．002）。问题8＇的反射偏好产生同样的结论。但是，问题7和7＇的偏好模式表明，对大的p 值来说，次可加性不一定成立。
此外，我们认为，非常低的概率通常被过度加权，即p 值很小时有π（p ）＞p 。考虑以下选择问题。
问题14：
A ：（5000，0．001）， B ：（5）。
N ＝72 【72】＊ 【28】
问题14＇：
C ：（－5000，0．001）， D ：（－5）。
N ＝72 【17】 【83】＊
需要注意的是，在问题14中，人们实际上偏好的是彩票，而不是它的期望价值。另一方面，在问题14＇中，他们偏好小损失，看作是支付保险费用，而不是偏好小概率的大损失。马科维茨［29］的观察报告了类似的现象。根据前景理论，问题14的彩票偏好表明π（0．001）v （5，000）＞v （5），因此，π（0．001）＞v （5）／v （5000）＞0．001，假定的收益价值函数函数为凹。问题14＇的乐于支付保险费用的结果表明同样的结论，假定的损失价值函数为凸。
从高估——通常见于对罕见事件的概率确定，区分出过度加权——指决策权重的属性，是很重要的。注意，本文不会出现高估的问题，因为我们假定受试者接受p 的状态值。在现实生活中，高估和过度加权都会增加罕见事件的影响。
虽然对低概率有π（p ）＞p ，然而有证据表明，对所有的0＜p ＜1，π（p ）＋π（1－p ）＜1。我们将这个特性称为次确定性（subcertainty ）。很明显，任何类型的阿莱悖论（例如，问题1和2）的典型偏好都表现了相关p 值的次确定性。将等式（1）分别应用于问题1和2的普遍偏好，则有
ππ(0.002)>vv(6000)>根据v 为凹。2
v （2400）＞π（0．66）v （2400）＋π（0．33）v （2500），即，
［1－π（0．66）］v （2400）＞π（0．33）v （2500））和
π（0．33）v （2500）＞π（0．34）v （2400）；因此，
1－π（0．66）＞π（0．34）或者π（0．66）＋π（0．34）＜1。
将同样的分析应用于原始的阿莱悖论，则有π（0．89）＋π（0．11）＜1；麦克克里蒙和拉尔森的一些研究［28］也表明了p 的附加值的次确定性。
π在区间（0，1）的斜率可以看作是反映概率变化偏好的敏感指标。次确定性使得π对于p 是回归的，也就是说，与作为自变量的预期原则相比，偏好通常对概率变化稍微不敏感一些。因此，次确定性说明人们对不确定事件的态度的基本要素，即与互补事件的权重总和通常小于确定事件的权重。
回想一下，本文前面讨论的违反替换公理的例子符合以下规则：如果（x ，p ）等价于（y ，pq ），则（x ，pr ）不好于（y ，pqr ），0＜p 、q 、r ≤1。由等式（1），
π（p ）v （x ）＝π（pq ）v （y ）表明π（pr ）v （x ）≤π（pqr ）v （y ）；因此，
ππ(pp) 因此，对概率的固定比率来说，与高概率时相比，低概率时决策权重的对应比率更接近1。π的这个性质，称为次比例性（subproportionality ），对π的形状施加了相当大的限制：当且仅当log （π）是log （p ）的凸函数时成立。
注意到，有意思的是，次比例性连同小概率的过度加权表明，π在该范围内都是次可加的。在形式上，它可以表示为，如果π（p ）＞p 和次比例性成立，则π（rp ）＞r π（p ），0＜r ＜1，只要π在（0，1）上是连续单调的。
图4给出了假设的加权函数，满足对小p 值的过度加权和次可加性，以及次确定性和次比例性。这些属性使得π在开区间中相对平滑，在接近端点π（0）＝0和π（1）＝1时急剧变化。π的急剧下降或在端点处的明显不连续性符合概念：对于给定的任何权重，存在一个限制来决定多小的决策权重可以关联给事件。类似的量子不确定性（quantum of doubt），给小于1的决策权重设置一个上限。这种量子效应可反映确定性与不确定性之间的绝对区别。另一方面，编辑阶段中的前景简化可导致个人丢弃概率极低事件，并将概率极高的事件看做确定的事件。人理解和评估极端概率的能力是有限的，因此，高度不可能的事件被忽略或过度加权，高概率和确定性之间的差异被忽略或夸大。因此，π在端点附近是不规范（well-behaved ）的。
≤ππ(pppp) 。
图4．假设的加权函数。
下面的泽克豪泽例子，说明了假想的非线性的π。假设你被迫玩俄罗斯轮盘赌，但有机会付钱从上膛的手枪中除去一颗子弹。与将子弹的数量从一个减少到零相比，你愿意付出同样的钱将子弹数量从四个减少到三个吗？大多数人感觉，他们愿意付出更多钱将死亡的概率从1／6减少到零，与将死亡的概率从4／6减少到3／6相比。经济学的考虑将导致一个人愿意为前一种情况付出更多——货币的价值可能会由于大概率的不能活着享受而减少了。
对π（p ）≠p 假设的明显反对，涉及前景（x ，p ；x ，q ）和（x ，p ＇；x ，q ＇）之间的比较，其中p ＋q ＝p ＇＋q ＇＜1。由于任何个人对两个前景确定无明显偏好，这被认为，π（p ）＋π（q ）＝π（p ＇）＋π（q ＇）成立，由此表明π是恒等函数。这种说法在前景理论中是无效的，因为前景理论假设相同结果的概率在前景编辑阶段已经被结合。更严重的反对，是非线性π引起潜在的优势违反。假设x ＞y ＞0，p ＞p ＇，且p ＋q ＝p ＇＋q ＇＜1，那么（x ，p ；y ，q ）优于（x ，p ＇；y ，q ＇）。如果偏好服从优势，则π（p ）v （x ）＋π（q ）v （y ）＞π（p ＇）v （x ）＋π（q ＇）v （y ），或者ππ(pp′) −ππ(pp) π必然本质上是线性的，或者其他优势必然被违反。
前景理论为防止直接的优势违反，假定优势候选被检测到，在评估前景之前被剔除。然而，前景理论允许间接的优势违反，例如，三个前景，A 好于B ，B 好于C 和C 优于A 1。例子参见雷法［34，P ．751］。
最后，应该指出的是，本文只涉及最简单的决策任务，即一个人在两个可选前景之２间选择。我们没有详细分析更复杂的产出作业（如投标）——决策者提出在价值上等于给定前景的替代方案。在这种情况下，两个选项之间的不对称，可能会引起系统偏差。事实上，列支敦士登和斯洛维克［27］构建了一对前景A 和B ，人们通常偏好A ，但投标却为B 。这种现象已经在一些研究中被证实，无论是假想的赌博还是真正的赌博，例如，格雷瑟和普洛特［20］。因此，不能普遍认为，前景的偏好顺序可以被投标程序恢复。 由于前景理论已被提议作为选择模型，因此，投标和选择的不一致意味着，价值和决策权重的测量应根据指定前景之间的选择，而不是根据投标或其他产出作业。这个限制使得v 和π的评估更困难，因为相对于两个前景之间的比较而言，产出作业的测量更方便。 >vv(xx) 。因此，当y 接近x ，π（p ）－π（p ＇）接近π（q ）－π（q ＇）。既然p －p ＇＝q －q ＇，
四、讨论
在最后一节中，我们说明前景理论如何看待观察到的风险态度，讨论参照点的变化引起对选择问题的其他表述，并对前景理论进行扩展。
１、风险态度
阿莱悖论（问题1和2）中观察到的偏好优势模式遵循前景理论，当且仅当 >>。 12 好于，代表偏好；优于，代表优势。
因此，在这种情况下，违反独立性公理归因于次确定性，更具体的说，归因于不等式π（0．34）＜1－π（0．66）。这个分析表明，只要两个非零结果的v 比率被对应π比率限定３，就会发生阿莱悖论式的违反。
问题3到8的结构都相同，因此只考虑其中的一对，例如问题7和8。在这些问题中观察到的选择符合前景理论，当且仅当
>>。 在这种情况下，违反替换公理归因于π的次比例性。因此，只要两个结果的v 比率被对应的π比率限定，就会以上述方式违反期望效用理论。这个分析同样适用于其它替换公理的违反，无论是在正值域还是在负值域。
接下来我们证明，在问题9中观察到的，相对于概率保险人们偏好普通保险，遵循前景理论——只要损失概率被过度加权。也就是说，如果（－x ，p ）与（－y ）无差别，那么（－y ）好于（－x ，p ／2；－y ，p ／2；－y ／2，1－p ）。为简单起见，我们定义：f （x ）＝－v （－x ），x ≥0。损失的价值函数为凸，所以f 是x 的凹函数。以方程（2）的自然扩展运用前景理论，我们希望表明：
π（p ）f （x ）＝f （y ）
意味着
f （y ）≤f （y ／2）＋π（p ／2）［f （y ）－f （y ／2）］＋π（p ／2）［f （x ）－f （y ／2）］
＝π（p ／2）f （x ）＋π（p ／2）f （y ）＋［1－2π（p ／2）］f （y ／2）。
替换f （x ）以及通过f 的凹性，足以表明，
f （y ）≤
或者 ππ(pp) （y ）＋π（p ／2）f （y ）＋f （y ）／2－π（p ／2）f （y ）
π（p ）／2≤π（p ／2），这遵守π的次可加性。
根据前景理论，风险态度由v 和π共同决定，而不是仅仅由效用函数决定。因此，对我们研究风险规避或风险寻求的发生条件具有指导意义。考虑赌博（x ，p ）和其预期值（px ）之间的选择。x ＞0的条件下，只要π（p ）＞ν（px ）／ν（x ）就意味着风险寻求；如果收益价值函数为凹，π（p ）大于p 。因此，过度加权（π（p ）＞p ）是收益风险寻求的必要不充分条件。在x ＜0的条件下，它也恰恰是风险规避的必要不充分条件。本文的分析将风险寻求的发生限定在收益，风险规避的发生限定在小概率损失，它们都被预期将发生过度加权的情况。实际上，这些都是销售彩票和保险的典型条件。在前景理论中，小概率的过度加权有利于赌博和保险，而S 形状的价值函数往往会抑制这两种行为。 虽然前景理论可以解释小概率的保险和赌博，但我们认为，完全充分解释这些复杂的现象，目前的分析还远远不够。事实上，实验研究［37］、调查研究［26］和经济行为（如服务和医疗保险）观察的证据表明，（小概率）保险的购买往往会扩大到中等概率，而小概率的灾难时常被完全忽略。此外，还有证据表明，对决策问题描述的细微变化也会对保险吸引力产生显著的影响［37］。保险行为的全面理论，除了对不确定性和货3
币的纯粹态度外，还要考虑有价证券的价值，谨慎的社会风气，大量的小额支付的厌恶随着时间而增加，关于概率和结果的信息和错误信息，以及其他许多方面的因素。目前的框架只能描述一些因素的影响，例如参照点变化、价值函数变换、概率或决策权重的操作。其他影响需要引入前景理论不纳入考虑的因素或概念。
２、参照变化
本文到现在为止，收益及亏损定义为在前景中获得或支付的金额，参照点定义为现状或一个人的资产。这对大多数的选择问题来说可能是正确的，但是存在着将收益和损失相对于不同于现状的期望或预期水平进行编码的情况。例如，从月工资中扣除一种意外的税被看作是遭受了损失，而不是看作收益减少。同样，一个比竞争对手更成功且陷入低迷的企业家，可能会将一个小损失看作收益，相对于他有理由预期的更大损失。
前面例子的参照点都对应某人达到期望的资产数量。如果一个人对最近的财富变化尚未适应，也可能出现参照点与当前资产数量之间的矛盾［29］。试想一个参与商业投机损失了2000的人，现在面临选择：确定得到1000和赢了获得2000而输了一无所得的胜负均等机会。如果他还没有适应他的损失，他很可能将其看作是（－2000，0．50）和（－1，000）之间的选择，而不是（2000，0．50）和（1000）之间的选择。正如我们所看到的，前者比后者在表现形式上更具风险性。
参照点的变化可以改变对前景的偏好顺序。值得一提的是，前景理论表明，选择问题的消极变换，比如由于不能完全适应近期损失，在某些情况下增加风险寻求的倾向。具体而言，如果风险前景（x ，p ；－y ，1－p ）只是可以接受的，则（x －z ，p ；－y －z ，1－p ）好于（－z ），x 、y 、z ＞0，且x ＞z 。
为了证明这个命题，注意：
V （x ，p ，y ，1－p ）＝0，当且仅当π（p ）v （x ）＝－π（1－p ）v （－y ）。
进一步则有，
V （x －z ，p ；－y －z ，1－p ）
＝π（p ）v （x －z ）＋π（1－p ）v （－y －z ）
＞π（p ）v （x ）－π（p ）v （z ）＋π（1－p ）v （－y ）＋π（1－p ）v （－z ） （由v 的凸性）
＝－π（1－p ）v （－y ）－π（p ）v （z ）＋π（1－p ）v （－y ）＋π（1－p ）v （－z ） （－π（1－p ）v （－y ）替换π（p ）v （x ））
＝－π（p ）v （z ）＋π（1－p ）v （－z ）
＞v （－z ）［π（p ）＋π（1－p ）］ （由v （－z ）＜－v （z ））
＞v （－z ） 根据次确定性。
这个分析表明，一个对自己的损失不能平心静气的人可能会接受在其他情况下他不能接受的赌博。随着投注日期的推移高风险投注趋势增加的著名观察［31］，为这个假设提供了支持：未能适应亏损或没有达到预期收益，将导致风险寻求倾向。另外一个例子，考虑一个要买保险的人——他这样做也许是因为他在过去买过保险或他的朋友买了保险，他可以将支付保险费用y 以防止损失x ，编码为（－x ＋y ，p ；y ，1－p ）和（0）之
间的选择，而不是（－x ，p ）和（－y ）之间的选择。前面的讨论可能使得保险在前种形式下更具吸引力，与后种形式相比。
参照点变化的另一个重要例子：一个赞成决策分析的人，依据最终资产而不是人们通常依据的收益和损失描述决策问题。在这种情况下，财富尺度的参照点被设置为零和价值函数在任何点上都可能为凹［39］。根据目前的分析，这种描述可从根本上消除风险寻求倾向，除了低概率的赌博。根据最终资产明确描述决策问题，也许是在出现损失后消除风险寻求倾向的最有效的方法。
许多经济决策涉及通过支付货币换取期望前景的交易。目前的决策理论将这种问题分析为目前状态和期望前景减去其成本的另一种状态之间的比较问题。例如，决定是否要为赌博（1000，0．01）支付10元可以看作是（990，0．01；－10，0．99）和（0）之间的选择。在这种分析中，购买积极前景等同于接受相应的混合前景。
不能将无风险前景和风险前景结合，夸大隔离效应，这表明人们不太可能通过结果减去成本的方式来决定是否参加赌博。与此相反，我们建议，人们分别评估赌博和其成本，如果两者的价值和为正数，则决定参加赌博。因此，赌博（1000，0．01）将以价格10元被购买，如果π（0．01）v （1，000）＋v （－10）＞0。
如果这个假说是正确的，那么为（1000，0．01）支付10元的决定，不再等价于接受赌博（990，0．01；－10，0．99）的决定。此外，前景理论表明，如果一个人在（x （1－p ），p ；－px ，1－p ）和（0）之间无明显偏好，那么他不会支付px 购买前景（x ，p ）。因此，在决定是否接受一个公平的赌博时，人们被预期表现出更多的风险寻求倾向，相对于决定是否为公平的价格购买一场赌博。参照点的位置以及选择问题的编码和编辑方式成为分析决策的关键因素。
３、扩展
为了涵盖更广泛的决策问题，需要从几个方向扩展前景理论。一些扩展是直接的，其他的则需要进一步的发展。将方程（1）和（2）扩展为具有任意数量结果的前景是直接的。但是，当结果数量比较大时，可能要利用额外的编辑操作以简化评估。复杂的选择，例如复合前景，简化方式还有待研究。
虽然本文一直着眼于货币结果，但是前景理论很容易将其他性质的选择问题包括进来，例如，将生活质量或可能失去或拯救的人生命的数量作为一项政策决定的结果。假定的货币价值函数的主要特性也适用于其他性质的选择问题。特别是，我们希望结果相对于一个中性参照点被编码为收益或损失，损失的空间大于收益的空间。
前景理论也可以扩展到选择问题的典型情况——结果的概率没有明确给定。在这种情况下，决策权重必须赋予特定的事件而不是状态概率，并且他们被预期将能够表现出加权函数的基本属性。例如，如果A 和B 是互补事件，并且都不是确定的，那么π（A ）＋π（B ）应该小于1——类似次确定性。
与事件相关的决策权重主要取决于对该事件可能性的感知，这属于主要的偏差［45］。此外，决策权重可能会受到其他因素的影响，如歧义性或模糊性。事实上，埃尔斯伯格［10］和费尔纳［12］的研究表明，模糊性将降低决策权重。因此，次确定性对模糊概率会更明显，相对于清晰概率而言。
本为对风险选项之间偏好的分析有两个主题。第一个主题涉及编辑操作，确定前景
如何被感知。第二个主题涉及判断原则，管理收益损失的评估和不确定结果的加权。这两个主题应该被进一步发展，他们显然为风险选择的描述性分析提供了一个有用的框架。
加拿大英属哥伦比亚大学
斯坦福大学
原稿 1977年11月；最终修改1978年3月
附录
在附录中，我们将详细分析前景理论。由于完整、独立的证明冗长而乏味，我们只列出基本步骤，展示建立方程（1）的双线性表示所需要的序数属性。类似的方法也应用于公理化方程（2）。
首先，考虑一个p ＋q ＜1的（x ，p ；y ，q ）形式普通前景的集合。扩展为p ＋q ＝1的普通前景很简单。≥表示被认为是连接的、对称的、传递的前景之间的偏好关系，＝表示无差别关系。当然，（x ，p ；y ，q ）＝（y ，q ；x ，p ）。我们还假设，正如在我们的符号中隐含的，（x ，p ；0，q ）＝（x ，p ；0，r ）以及（x ，p ；y ，0）＝（x ，p ；z ，0）。也就是说，空的结果和不可能的事件具有乘积零的属性。
注意，（方程（1））所需的表示是概率－结果对相加。因此，应用加法联合测量理论可以获得，保留偏好顺序的变量V ，和带有两个参数的区间变量f 和g ，即
V （x ，p ；y ，q ）＝f （x ，p ）＋g （y ，q ）。
推导出这个公式需要的关键公理有：
独立性：（x ，p ；y ，q ）≥（x ，p ；y ＇，q ＇），当且仅当（x ＇，p ＇；y ，q ）≥（x ＇，p ＇；y ＇，q ＇）。 取消：如果（x ，p ；y ＇，q ＇）≥（x ＇，p ＇；y ，q ）且（x ＇，p ＇；y ＂，q ＂）≥（x ＂，p ＂；y ＇，q ＇），那么（x ，p ；y ＂，q ＂）≥（x ＂，p ＂；y ，q ）。
可解性：如果对某些结果z 和概率r 有（x ，p ；y ，q ）≥（z ，r ）≥（x ，p ；y ＇，q ＇），则存在y ＂、q ＂，使得（x ，p ；y ＂，q ＂）＝（z ，r ）。
显然，这些条件足以构造所需的加法表示，只要偏好顺序是阿基米德性的［8，25］。此外，由于（x ，p ；y ，q ）＝（y ，q ；x ，p ），f （x ，p ）＋g （y ，q ）＝f （y ，q ）＋g （x ，p ），假设q ＝0，则有f ＝g 。 其次，考虑具有单一非零结果的（x ，p ）形式的前景集合。在这种情况下，双线性模型简化为V （x ，p ）＝π（p ）v （x ）。这是在［35］和［25］中研究的乘法模型。要构建乘法表示，我们假设，概率－结果对的顺序满足独立性、取消、可解性和阿基米德公理。此外，我们假定符号依赖［25］可以保证符号的正确乘法。应该注意的是，［35］和［25］中使用的可解性公理必须被削弱，因为概率因素只允许有限的可解性。
将加法和乘法表示结合，形成V （x ，p ；y ，q ）＝f （π（p ）v （x ））＋g （π（q ）v （y ））。
最后，我们带来一个新的分配律公理：（x ，p ；y ，p ）＝（z ，p ），当且仅当（x ，q ；y ，q ）＝（z ，q ）。将这个公理应用于上述表示，我们得到
f （π（p ）v （x ））＋f （π（p ）v （y ））＝f （π（p ）v （z ）），意味着
f （π（q ）v （x ））＋f （π（q ）v （y ））＝f （π（q ）v （z ））。
不失一般性，假设π（q ）＜π（p ），设α＝π（p ）v （x ），β＝π（p ）v （y ），γ＝π（p ）v （z ）和θ＝π（q ）／π（p ），产生f （α）＋f （β）＝f （γ），意味着f （θα）＋f （θβ）＝f （θγ），对所有0＜θ＜1。 因为f 严格单调，我们可以设θγ＝θf －－1［f （α）＋f （β）＝f －－1［f （θα）＋f （θβ）］。 γ＝f －－1［f （α）＋f （β）］。因此，这个函数方程的解是f （α）＝k αc ［1］。因此，V （x ，p ；y ，q ）＝k ［π（p ）v （x ）］c ＋k ［π（q ）v （y ）］c ，对某些k 、c ＞0。双线性形式可以通过重新定义π、v 和V 以吸收常数k 和c 得到。
参考文献
前景理论
—２１—
前景理论：风险条件下的决策分析
丹尼尔・卡尼曼、阿莫斯・特沃斯基 著
林奇 译
一、介绍
期望效用理论在风险条件下的决策分析中占据着统治地位，已被普遍接受为理性选择的规范性模型［24］，广泛用作一个描述性的经济行为模式，例如［15，4］。因此，它假设所有理性的人都遵守这个理论的公理，并且大多数人大部分时间实际上也是按照这个理论行动的。
本文介绍几类偏好违反期望效用理论的决策问题。根据一些观察，我们认为期望效用理论是一个有缺陷的描述性模型，并相应提出了风险条件下决策的替代理论。
二、评论
风险决策可以看作是在不同前景或冒险之间做选择。前景（x 1，p 1；…；x n ，p n ）是一个以概率p i 产生结果x i 的合约，其中p 1＋p 2＋…＋p n ＝1。为了简化符号，我们省略空的结果，用（x ，p ）代表前景（x ，p ；0，1－p ），即：以概率p 产生结果x ；1－p 概率产生结果0。确定产生结果x 的（无风险）前景用（x ）表示。目前的讨论仅限于使用客观或标准概率的前景。 期望效用理论对前景的选择基于以下三个原则。
(i ) 期望原则：U （x 1，p 1；…；x n ，p n ）＝p 1u （x 1）＋…＋p n u （x n ）。即，一个前景的效用，用U 表示，就是它产生的结果的期望效用。
(ii ) 资产组合原则：前景（x 1，p 1；…；x n ，p n ）对资产w 来说是可接受的，当且仅当U （w ＋x 1，p 1；…；w ＋x n ，p n ）＞u （w ）。也就是说，一个前景是可以接受的，如果资产与该前景组合产生的效用超过资产本身的效用。因此，效用函数的值域是最终态（包括一个人的资产），而不是过程中的收益或亏损。虽然效用函数的值域并不限于任何特定类别的结果，但是，理论的大多数应用都与货币结果有关。此外，大多数的经济学应用还引入以下假设。
(iii ) 风险规避原则：u 是凹函数（u ＂＜0）。一个人是风险规避的，如果他相对于任何具有期望值x 的风险前景而偏好确定前景（x ）。风险规避等同于效用函数的凹性。风险规避的出现也许是关于风险选择的最知名法则。导致十八世纪早期的决策理论家提出，效用是货币的凹函数，并且这个观点一直延续到现代（普拉特[33]，阿罗[4]）。
在下面的章节中，基于大学教师和学生对一些假想选择问题的反馈，我们将说明一些违反预期效用理论的这些原则的现象。受访者被要求回答类似下面的假想问题。 你会选择以下哪一个？
A ：50％的机会得到1000，50％的机会一无所得；
B ：确定得到450。
结果的货币单位为以色列镑。注意这个问题中金额的意义：中等家庭的每月净收入大约是3000以色列镑。受访者被要求想象，他们正实际面临上述的选择问题，并告知他们在这种情况下做出的决定。受访者是匿名的，并且问题没有“正确”的答案，研究的目的是发现人们在不同的风险前景中如何做出选择。问题以调查问卷的形式提出，每册最多十几个问题。每一份问卷有好几种形式，让受访者暴露在不同顺序的问题中。此外，每一个问题的两个版本分别在这个前景的左－右的不同位置。
本文用假想问题描述一系列的效应。每一个效应通过不同结果和概率的几个问题来观察。关于一些问题，也对斯德哥尔摩大学和密歇根大学的学生、教师群体做了调查。结果的模式基本上符合以色列受访者的结果。
对假设选择的依赖明显引起了，关于方法有效性和结果一般化的问题。我们强烈地意识到这些问题。但是，测试效用理论的所有其他方法也都有严重的缺陷。对现实选择的调查，既可以在现场通过对经济行为的自然或统计观察进行，也可以在实验室进行。现场研究只能对定性的预测提供粗略的测试，因为概率和效用不能在这样的背景下被充分测量。实验室实验能够从实际的选择中获得效用和概率的精确测量，但是，显然这些实验研究涉及人为的小赌注赌博，以及大量的类似问题。实验室赌博的这些特性使结果的解释复杂化，这限制了它们的一般化。
默认情况下，假设选择的方法是调查大量理论性问题的最简单的程序。这个方法的使用依赖于假设，人们往往知道在实际的选择情况下如何行动，并进一步的假设，受访者没有特别的理由来掩饰自己的真实偏好。如果人们合理准确地预测他们的选择，那么，假想问题中对期望效用理论的普遍、系统的违背，提供了反对期望效用理论的推定证据。
１、确定性，概率和可能性
在预期效用理论中，结果的效用需要用它发生的概率进行加权。本节描述人们的偏好系统地违反这个原则的一系列选择问题。我们首先说明，人们对确定结果过度加权，相对于仅仅是可能的结果——我们称之为确定性效应。
揭示确定性效应的最知名的期望效用理论反例是由法国经济学家莫里斯•阿莱于1953年提出的阿莱悖论［2］。许多作者从规范性和描述性的角度已经讨论过阿莱悖论［28，38］。下面的一对选择问题是阿莱悖论的变体，不同点在于适中的而不是极大的收益。受访者的数量以N 表示，每个选项被选择的百分比在括号内显示。
问题1：选择
A ：以0．33的概率得到2，500 B ：确定得到2，400
以0．66的概率得到2，400
以0．01的概率得到0
N ＝72 【18】 【82】＊
问题2：选择
C ：以0．33的概率得到2，500 D ：以0．34的概率得到2，400
以0．67的概率得到0 以0．66的概率得到0
N ＝72 【83】＊ 【17】
数据显示，问题1中82％的人选择B ，问题2中83％人选择C 。问题中的每一个偏好都很明显的，用星号表示。此外，对选择的个体模式分析表明，大部分受访者（61％）在这两个问题中做出了模式化的选择。偏好的这种模式，以最初阿莱提出的方式违反了期望效用理论。根据期望效用理论，由于u （0）＝0，第一个问题的偏好表明u （2400）＞0．33u （2500）＋0．66u （2400）或者0．34u （2400）＞0．33u （2500），而第二个问题的偏好则刚好相反。需要注意的是，问题2是由问题1通过剔除“以0．66的概率得到2，400”选项得到的。很明显，与前景变化前和变化后都不确定相比，当前景从确定收益变为可能收益时，变化对期望产生了更大的影响。
下面给出一个只涉及两个可能结果说明同样现象的简单示例。此示例也基于阿莱悖论［2］。
问题3：
A ：（4000，0．80） B ：（3000）
N ＝95 【20】 【80】＊
问题4：
C ：（4000，0．20） D ：（3000，0．25）
N ＝95 【65】＊ 【35】
在这对问题以及本节其他的问题对中，超过一半受访者的答案违反了期望效用理论。要说明问题3和4中的偏好模式不符合这个理论，设u （0）＝0，则B 的选择表明u （3000）／u （4000）＞4／5，而C 的选择刚好相反。注意，前景C ＝（4000，0．20）可以表示为（A ，0．25），而前景D ＝（3000，0．25）可以表示为（B ，0．25）。期望效用理论的替换公理断言，如果B 好于A ，那么任何的（可能）混合（B ，p ）必然好于混合（A ，p ）。而我们的受访者没有遵守这个公理。显然，获胜的概率从1．0减小到0．25，比从0．8减小到0．2对受访者有更大的影响。下面的一对选择问题以非货币结果说明确定性效应。 问题5：
A ：50％机会赢得三周英法意大利旅游 B ：确定的一周英国旅游
N ＝72 【22】 【78】＊
问题6：
C ：5％机会赢得三周英法意大利旅游 D ：10％机会赢得一周英国旅游
N ＝72 【67】＊ 【33】
确定性效应并不是违反替换公理的唯一情况，下面的问题说明替换公理无效的另一种情况。
问题7：
A ：（6000，0．45） B ：（3000，0．90）
N ＝66 【14】 【86】＊
问题8：
C ：（6000，0．001） D ：（3000，0．002）
N ＝66 【73】＊ 【27】
需要注意的是，问题7中获胜的概率相当高（0．90和0．45），大多数人选择获胜可能性更大的前景。在问题8中，两个前景存在获胜的可能性，但获胜的概率微不足道（0．002和0．001）。在这种可能赢但可能性不大的情况下，大多数人选择了更大收益的前景。拉尔森也报告了类似的结果［28］。
上述问题说明了，期望效用模型不能处理的对风险或机会的共同态度。将结果表明的对替换公理的违反，经验主义地概括为：如果（y ，pq ）等价于（x ，p ），那么（y ，pqr ）好于（x ，pr ），0＜p 、q 、r ＜1。这个性质被纳入替代理论中，在本文的第二部分讨论。
２、反射效应
上一节讨论了积极前景之间的偏好，积极前景即没有任何损失的前景。如果结果相反，收益变为损失，会怎样呢？表１左列显示上一节中讨论过的四个选择问题，右列显示结果与之相反的四个选择问题。我们用－x 来表示损失x ，用＞表示普遍的偏好，即大多数受访者的选择。
表１中，每行的消极前景之间的偏好是积极前景之间的偏好的镜像。因此，前景的反射围绕0形成相反的偏好顺序。我们称之为反射效应。
现在，让我们来看看这些数据的意义。
首先，反射效应表明，积极前景中的风险规避倾向伴随着消极前景中的风险寻求倾向。例如，问题3＇中，与确定损失3000相比，多数受访者愿意承受概率0．80失去4000的风险，尽管它的预期值更低。消极前景之间的选择产生风险寻求倾向，最早由马可维茨发现［29］。威廉姆斯［48］的数据显示，结果的变化产生了从风险厌恶倾向向风险寻求倾向的戏剧性转变。例如，他的受访者对（100，0．65；－100，0．35）和（0）无明显偏好，这表明风险厌恶倾向。他们也对（－200，0．80）和（－100）无明显偏好，这表明风险寻求倾
向的普遍性。
其次，上节提到表１中的积极前景之间的偏好不符合期望效用理论，消极前景之间的偏好也以同样的方式违反了期望原则。例如，问题3＇和4＇以及3和4表明，相对于不确定的结果，确定的结果被过度加权。在积极前景下，确定性效应对确定收益而不是仅仅可能的更大收益，产生风险规避偏好。在消极前景下，确定性效应导致对仅仅可能的损失而不是确定的更小损失，产生风险寻求偏好。同样的心理原则——对确定性过度加权——产生收益的风险规避倾向和损失的风险寻求倾向。
第三，反射效应剔除对不确定性或变化的规避，作为对确定性效应的解释。例如，作为普遍的偏好，（3000）好于（4000，0．80）和（4000，0．20）好于（3000，0．25）。为解决这个明显的不一致，可以援引假设：人们偏好期望值高、变化小的前景（见，例如，阿莱［2］、马可维兹［30］、托宾［41］）。由于（3000）没有变化，而（4000，0．80）有很大的不确定性，所以前一个前景被选择，尽管它的期望值低。然而，当前景的确定性减少时，（3，000，0．25）和（4，000，0．20）之间的变化差异，不足以超出期望值的差异。与（－4000，0．80）相比，（－3000）具有较高的期望值和较低的变化，这使得确定的损失应被优选，这与数据相反。因此，我们的数据不符合人们普遍追求确定性的观点。实际上，它表明确定性增加了对损失的厌恶以及对收益的期望。
３、概率保险
购买大型损失保险和小型损失保险的普遍程度，一直被许多人视为货币效用函数为凹的有力证据。否则，人们为什么支付那么多金钱以超出预期精算成本的价格购买保单呢？然而，对各种形式保险的相对吸引力的调查，不支持货币效用函数在任何条件下都为凹的观点。例如，人们往往偏好较低或零免责率的有限覆盖面的保险计划，而不是高免责率的更大覆盖面的保险计划——这与风险规避假设矛盾（参见，例如，富克斯［16］）。另一类保险问题，调查结果与凹假设不一致，可以称为概率保险。为了说明这个概念，考虑下面的这个问题，有95名斯坦福大学的学生参与了调查。
问题9：假设你考虑对财产进行保险防止遭受损害的可能性，如火灾或盗窃。权衡了风险和保险费用后，你发现自己在购买财产保险和不购买之间没有明显的偏好。 这时你注意到，保险公司还提供一种称为概率保险的险种。在概率保险中，你付一半的普通保险费用。在发生损失的情况下，有50％的机会，你支付另一半的普通保险费用，而保险公司赔偿所有的损失；50％的机会，你拿回你的保险费用，并自己承受所有的损失。例如，如果事故发生在每个月的奇数天，你支付普通保险费用的另一半，你的损失得到赔偿，但如果事故发生在每个月的偶数天，你的保险费用被退还，并自己承受损失。
回想到，你发现全覆盖保险的保险费用勉强与其成本等值。
在这种情况下，你是否会购买概率保险：
是， 否。
N ＝95 【20】 【80】＊
尽管问题9显得不切实际，但值得一提的是，概率保险表明了保护行为的多样化，即支付一定成本来减少而不是完全消除不希望发生事件发生的概率。安装防盗报警器、更换旧轮胎、戒烟，都可以看作是概率保险。
对问题9和它的几个变种问题的调查表明，概率保险通常不具有吸引力。显然，损失概率从p 减少到p ／2比从p ／2减少到0在价值上要低得多。
与此相反，预期效用理论（u 为凹）表明概率保险好于普通保险。也就是说，如果一个人在资产为w 的条件下愿意支付保险费用y 为概率p 损失x 的事件保险，那么他绝对愿意支付更少的保险费用ry ，来将损失x 的概率从p 减少到（1－r ）p ，0＜r ＜1。从形式上看，如果一个人在（w －x ，p ；w ，1－p ）和（w －y ）之间无明显偏好，那么他应该偏好概率保险（w －x ，（1－r ）p ；w －y ，rp ；w －ry ，1－p ）而不是普通保险（w －y ）。
为了证明这个命题，我们说明：
pu （w －x ）＋（1－p ）u （w ）＝u （w －y ）
表明
（1－r ）pu （w －x ）＋rpu （w －y ）＋（1－p ）u （w －ry ）＞u （w －y ）。
不失一般性，我们可以设u （w －x ）＝0，u （w ）＝1。因此，u （w －y ）＝1－p ，我们希望说明，
rp （1－p ）＋（1－p ）u （w －ry ）＞1－p 或者u （w －ry ）＞1－rp ，
当且仅当u 为凹时。
这是预期效用理论的风险厌恶假说的一个相当令人费解的结果，因为概率保险在直观上比完全消除风险因素的普通保险更具风险。由此可见，风险的直观概念完全不能被财富效用函数的凹假设处理。
对概率保险的厌恶特别有趣，因为所有的保险在一定意义上都是概率性的。即使最狂热的保险买家仍然对他的保险不覆盖的很多金融风险和其他风险是脆弱的。概率保险与或然保险有着显著的区别，或然保险对指定类型风险提供明确的覆盖。例如，防止住宅所有形式的损失或损害的概率保险，和消除所有被盗损失风险但不包括其他风险，例如火灾的或然保险。我们猜想，当无保护损失的概率相同时，与概率保险相比，或然保险通常更具吸引力。因此，概率和结果相同的两个前景，依据对它们的不同表达可以有不同的价值。这种现象在下一节中提到。
４、隔离效应
为了简化在二项中选一项的选择，人们往往忽略这些选项的共同部分，而专注于它们的不同部分（特沃斯基［44］）。这种方式可能会产生偏好的不一致，因为一对前景被分解为共同和不同部分的方法不止一种，而不同的分解时常导致不同的偏好。我们将这个现象称为隔离效应。
问题10：考虑下面的两阶段博弈。在第一阶段，0．75的概率一无所得结束游戏，0．25的概率进入第二阶段；在第二阶段，你在（4000，0．80）和（3000）之间作出选择。你必须在比赛开始前，即知道第一阶段结果之前做出选择。
需要注意的是，在这个博弈中，参与者需要在概率0．25×0．80＝0．20赢取4，000和概率0．25×1．0＝0．25赢取3000两个选项之间做出选择。因此，从最终结果和概率来看，如上述问题4那样，参与者需要面对（4000，0．20）和（3000，0．25）之间的选择。然而，这两个问题中的偏好是不同的。问题10的141位受访者中，78％选择了后一个前景（3000），这与问题4中的偏好相反。由此可见，人们忽略了第二阶段两个前景共
同的第一阶段，而只将问题10看作是（3，000）和（4，000，0．80）之间的选择，如上述问题3那样。
问题4的标准形式和序贯形式分别表示为图1和图2的决策树。按照通常惯例，方块表示决策节点和圆圈表示机会节点。标准形式表述和序贯形式表述之间的根本差异在于决策节点的位置。在标准形式（图1）中，决策者面临着两个风险前景之间的选择；而在序贯形式（图2）中，决策者面临着一个风险前景和一个无风险前景之间的选择。这通过不改变概率或结果引入两个前景之间的依赖来实现。具体而言，在序贯形式中，事件“未能赢得3000”包含在事件“未能赢得4000”中，而这两个事件在标准形式中是相互独立的。因此，“赢得3000”的结果在序贯形式中有确定性的优势，而在标准形式中却没有。
图1．－问题4的决策树（标准表述）
图2．－问题10的决定树（序贯表述）。
不同事件之间的依赖导致偏好逆转具有很重要的意义，因为这违反了决策理论分析的基本假设——不同前景之间的选择完全由最终状态的概率决定。
决策问题很容易被以上面形式中最自然的一种来表现。例如，两种不同的风险投机之间的选择很可能被以标准形式看待。另一方面，下面的这个问题很可能被表示为序贯形式。有人投资于一种投机活动，失败则以一定概率失去资本，成功则在固定的协议退费和一定百分比的收益之间选择。隔离效应表明，相对于一个具有相同概率和结果的风险投机而言，固定回报的相对确定性会增强选项的吸引力。
上述问题说明了偏好如何可被不同的概率表述改变。现在，我们说明选择如何可被结果的不同表述改变。
以下的问题，对两组不同的受访者进行调查。
问题11：除了你自己的财产外，你现在被给予1000，并要做出选择：
A ：（1000，0．50）， B ：（500）。
N ＝70 【16】 【84】＊
问题12：除了你自己现有的财产外，你现在被给予2000，并要做出选择：
C ：（－1000，0．50）， D ：（－500）。
N ＝68 【69】＊ 【31】
大多数受访者在第一个问题中选择B 而在第二个问题中选择C 。这些偏好符合表１中观察到的反射效应：积极的前景呈现风险规避而消极的前景呈现风险寻求。然而，请注意，从最终状态来说，这两个问题是相同的。具体来说，A ＝（2000，0．50；1000，0．50）＝C ，B ＝（1，500）＝D 。事实上，问题12是问题11初始资金加上1000以及从结果减去1000演化而来。很明显，受访者没有将前景与初始资金整合。初始资金没有加入前景之间的比较，因为它对每个问题的两种选择都是共同的。
问题11和12中观察到的结果的模式显然不符合期望效用理论。根据期望效用理论，无论是从95，000增加到100，000，还是从105，000减少到100，000，赋予100，000的效用都是相同的。因此，选择确定的100，000还是选择初始拥有95，000或105，000的胜负均等机会，与一个人初始拥有的数额无关。由于风险规避的假设，100，000的确定性必然总是好于风险投机。然而，问题12和以前的几个问题的反馈表明，如果一个人拥有的初始财富数量较小则这个结论成立，如果拥有的初始财富数量较大则不成立。 问题11和问题12的共同点——对初始资金的明显忽视，表明价值或效用的载体是财富的变化，而不是包括目前财富的最终资产。这个结论是风险选择替代理论的基石，在下面的章节中详细说明。
三、理论
前面的讨论中提出了一些经验性的效应，使得期望效用理论作为一个描述性模型无效。下面将提出一种个人风险决策的替代理论，称为前景理论。这个理论用于具有货币结果和状态概率的简单前景，但也可以扩展到具有三个或更多选择的复杂前景。前景理论将选择过程分为两个阶段：开始的编辑阶段和之后的评估阶段。编辑阶段对所提供的前景进行初步分析，形成这些前景更简单的表述。在第二阶段，对编辑过的前景进行评估，并选择最高价值的前景。接下来，我们简单介绍编辑阶段，详细说明评估阶段的形式模型。
编辑阶段的功能是组织和改写选项，以便简化后续的评估和选择，主要包括几个转换前景的结果和概率的操作。编辑阶段的主要操作如下。
编码：上一节的讨论表明，人们通常将结果感知为收益和亏损，而不是财富或福利的最终状态。收益和损失，当然，相对于一些中性的参照点定义。参照点通常对应于当前的资产，在这种情况下，收益和损失与收到或支付的实际金额一致。然而，参照点的位置和其后将收益或亏损作为结果的编码，可能受到对前景的描述以及决策者预期的影响。
结合：有时可以通过结合相同结果的概率来简化前景。例如，前景（200，0．25；200，
解析：一些前景包含无风险部分，这种无风险部分可以在编辑阶段与风险部分分离开来。例如，前景（300，0．80；200，0．20）可以分解为，确定收益200，和一个风险前景（100，0．80）。同样，很容易看出，前景（－400，0．40；－100，0．60）包括确定损失100和一个风险前景（－300，0．40）。
上述操作适用于单独的前景。下面操作适用于由两个或更多前景构成的一组前景。 取消：前面提到的隔离效应的本质是丢弃所有前景的共通部分。因此，我们的受访者显然忽略了问题10中的序贯博弈的第一阶段，因为这个阶段对第二阶段的两个选择来说都是共通的，而只以第二阶段的结果评估前景（参见图2）。同样，他们忽略了问题11和12中前景的共同初始资金。另一种类型的取消是丢弃共同的选项，即结果－概率对。例如，（200，0．20；100，0．50；－50，0．30）和（200，0．20；150，0．50；－100，0．30）之间的选择，可以通过取消简化为（100，0．50；－50，0．30）和（150，0．50；－100，0．30）之间的选择。
其他两个应该提及的操作是简化和优势检测。简化是指通过四舍五入概率或结果简化前景。例如，前景（101，0．49）可重新编码为赢得100的成败均等机会。一个特别重要的简化形式，涉及到丢弃极不可能的结果。优势检测是指扫描前景，以检测优势候选，并将它们丢弃不做进一步的评估。
由于编辑操作有助于决策任务，所以假定它们可以被无条件地执行。然而，一些编辑操作有时会影响其他操作。例如，（500，0．20；101，0．49）好于（500，0．15；99，0．51），如果两个前景的第二项被简化为（100，0．50）。因此，编辑前景的最后结果依赖于编辑操作的顺序，这使得前景可能随着集合结构和显示格式的不同而不同。这个问题的详细讨论超出本文的范围。本文只讨论下列类型的选择问题：假定前景的原始表述没有进一步编辑的任何余地，或编辑后的前景没有任何歧义。
通过前景的编辑会形成许多异常的偏好。例如，隔离效应的不一致性源于取消共同部分的操作。选择的一些非可传递性，可以通过消除前景之间微小差别的简化操作来解释（见特沃斯基［43］）。更一般的，前景之间的偏好顺序不需要在整个环境中保持不变，因为相同的前景可以以不同的方式被编辑，这种方式取决于前景出现的环境。 编辑阶段之后，假定决策者评估每一个编辑后的前景，并选择最高价值的前景。被编辑过的前景的整体价值，记为V ，用π和v 两个变量表示。
第一个变量，π，将概率p 与决策权重π（p ）联系起来，反映p 对前景所有价值的影响。然而，π不是概率测度，后面会提到，π（p ）＋π（1－p ）通常小于1。第二个变量，v ，给每个结果x 分配数字v （x ），反映该结果的主观价值。回想一下，结果是相对于参照点定义的，参照点通常为价值尺度的零点。因此，v 测量该参照点的偏差值，即收益和损失。
当前讨论关心的是，至多有两个非零结果的（x ，p ；y ，q ）形式的简单前景。在这样的前景中，一个人以概率p 得到x ，以概率q 得到y ，1－p －q 概率一无所得，其中p ＋q ≤1。前景是严格积极的，如果它的结果都是正的，即如果x 、y ＞0和p ＋q ＝1；前景是严格消极的，如果它的结果均为负。一个前景是普通的，如果它既不是严格积极的，也不是严格消极的。
前景理论的基本方程采用π和v 相结合来确定普通前景所有价值的方式。
如果（x ，p ；y ，q ）是普通前景（即，或者p ＋q ＜1，或者x ≥0≥y ，或者x ≤0≤y ），则
V （x ，p ；y ，q ）＝π（p ）v （x ）＋π（q ）v （y ） （1）
其中v （0）＝0，π（0）＝0和π（1）＝1。如同期望效用理论，V 定义在前景上，而v 定义在结果上。两个变量对确定前景一致，其中V （x ，1．0）＝V （x ）＝v （x ）。
方程（1）通过放宽预期原则将预期效用理论一般化。关于确保π唯一存在和比率变量v 满足方程（1）的条件，更详细的分析见附录。
对严格积极和严格消极前景的评价则按照不同的规则。在编辑阶段，这样的前景被分成两个部分：（a ）无风险部分，也就是说，确定的最低收益或亏损；（b ）风险部分，即，实际上有风险的其他收益或亏损。这种前景的评价通过下面的这个方程表示。
如果p ＋q ＝1，以及或者x ＞y ＞0或者x ＜y ＜0，则
V （x ，p ；y ，q ）＝v （y ）＋π（p ）［v （x ）－v （y ）］ （2）。
也就是说，严格积极或严格消极前景的价值等于，无风险部分的价值加上，两个结果之间的价值差乘以更极限结果的权重。例如，V （400，0．25；100，0．75）＝v （100）＋π（0．25）［v （400）－v （100）］。方程（2）的基本特性是，决策权重赋予，代表前景风险部分的价值差v （x ）－v （y ），而不是代表无风险部分的v （y ）。注意，方程（2）的右侧部分可变形为π（p ）v （x ）＋［1－π（p ）］v （y ）。因此，如果π（p ）＋π（1－p ）＝1，方程（2）可以简化为方程（1）。但是，我们以后将会看到，这种情况不是普遍成立的。
评估模型的许多元素在以前修正预期效用理论的尝试中出现过。马可维兹［29］最早提出效用定义在收益和损失上，而不是最终的资产上，这个假设在大多数对效用的试验性测量中被隐含接受（参见，例如，［7，32］）。马可维兹也指出，在积极和消极前景中的偏好都存在风险寻求倾向，他提出了一个正值域和负值域都有凸区和凹区的效用函数。然而，他保留了期望原则；因此它不能解释对这一原则的许多违反，参见表１。 爱德华兹提出以更普遍的权重代替概率的模型［9］，并且这个模型经过了一些实证研究的考察（例如，［3，42］）。类似的模型是由费尔纳［12］提出，引入决策权重的概念来解释对模糊的规避，范・达姆［46］试图解决这个模型的决策权重的测量问题。对于期望效用理论的其他重要分析和替代选择模型，见阿莱［2］、库姆斯［6］、菲什伯恩［13］和汉森［22］。
前景理论方程保留了构成期望效用理论基础的一般双线性形式。然而，为了包含本文第一部分提到的效应，我们不得不假定，价值应该赋予变化而不是最终状态，以及决策权重与概率不一致。这些对预期效用理论的偏离必然导致通常不可接受的结果，如不一致性、不可传递性和优势违反。决策者通常能够纠正这些偏好的异常，当他意识到他的偏好不一致、不可传递或不可接受时。然而，在许多情况下，决策者没有机会发现，他的偏好可能会违反他所服从的决策规则。在这种情况下，就会产生前景理论说明的这些异常。
１、价值函数
前景理论的一个重要特性是，价值载体是财富或福利的变化而不是最终状态。这个假设符合人类感知和判断的基本原则。我们的感知器官适合评价变化或差异，而不适合评价绝对的量值。当我们反应如亮度、音量或温度等这些属性时，过去和现在的经验背景定义了一个适应水平或参照点，刺激相对于这个参照点被感知［23］。因此，在给定的温度下，一个对象通过触摸可能会被认为是热的也可能被认为是冷的，这取决
于我们之前已经适应的温度。同样的原则也适用于非感官特性，如健康、声望和财富等。例如，同样一笔财富，对一个人来说可能是微不足道的，对另一个人来说可能是巨大的财富——这取决于他们目前的资产。
强调变化作为价值的载体，不应看作意味着变化所承载的价值与初始位置无关。严格地说，价值应被视为一个带有两个参数的函数：作为参照点的资产数量和相对于该参照点的变化幅度值（正或负）。一个人的货币态度可以比作一本书：每一页代表一个基于特定资产变化的价值函数。显然，不同页所代表的价值函数是不同的：他们很可能随着资产增加会变得更加线性。然而，前景的偏好顺序，不会随着很小甚至温和的资产变化而大大改变。例如，前景（1000，0．50）的确定等价数值，对于大多数人、大多数的资产数目来说，在300和400之间。因此，将价值看做一个带有一个参数的函数形式，通常能够提供令人满意的近似。
对感觉和知觉的度量都有一个共性：心理反应是物理变化幅度的凹函数。例如，相对于室温的13度变化和16度变化，我们更容易区分室温的3度变化和6度变化。我们认为，这一原则特别适用于货币变化的评价。因此，在价值上，收益100和收益200之间的差异显然大于收益1100和收益1200之间的差异。同样，损失100和损失200之间的差异显然大于损失1100和损失1200之间的差异，除非大损失是无法忍受的。因此，我们假定：财富变化的价值函数通常在参照点以上为凹（v ＂（x ）＜0，x ＞0），在参照点以下为凸（v ＂（x ）＞0，x ＜０）。也就是说，收益和损失的边际价值通常随着规模递减。加兰特尔和普利纳［17］进行了测量货币和非货币的收益和损失的感知程度的研究，部分证实了这一假设。
上述关于价值函数形状的假设，基于无风险情况下的收益和损失的调查。我们认为，源于风险选择的价值函数也具有相同的特性，通过下列问题说明。
问题13：
A ：（6000，0．25）， B ：（4000，0．25；2000，0．25）。
N ＝68 【18】 【82】 ＊
问题13＇：
C ：（－6000，0．25）， D ：（－4000，0．25；－2000，0．25）。
N ＝64 【70】＊ 【30】
将方程（1）应用于这些问题的模式偏好，则有：
π（0．25）v （6000）＜π（0．25）［v （4000）＋v （2000）］
π（0．25）v （－6000）＞π（0．25）［v （－4000）＋v （－2000）］。
因此，
v （6000）＜［v （4000）＋v （2000）］
v （－6000）＞［v （－4000）＋v （－2000）］。
这些偏好符合假设：价值函数收益为凹和损失为凸。
讨论货币效用函数必须考虑特殊情况对偏好的影响。例如，一个需要6万元购买房子的人的效用函数，可能在临界值附近出现急剧上升。同样，一个人的损失厌恶情绪
可能大幅增加，当损失接近迫使他出售房子并搬到一个不理想地区时。因此，推导出的个体的价值（效用）函数并不总是反映“纯粹”的货币态度，因为它可能会受到与具体数额相关的其他因素的影响。这种干扰很容易在价值函数中形成收益为凸和损失为凹的情况。后一种情况可能更常见，因为大的损失往往关系到生活方式的改变。
人们对待财产变化的情绪的一个显著特点是损失比收益强烈。失去了一笔钱所体验到的恼怒，显然强于获得同样一笔钱所体验到的快乐［17］。事实上，大多数人发现（x ，0．50；－x ，0．50）形式的对称投注，明显没有吸引力。此外，对称投注的厌恶通常随着赌注的增加而强烈。也就是说，如果x ＞y ≥0，那么（y ，0．50；－y ，0．50）好于（x ，0．50；－x ，0．50）。因此，根据方程（1），则有
v （y ）＋v （－y ）＞v （x ）＋v （－x ）
v （－y ）－v （－x ）＞v （x ）－v （y ）。
令y ＝0，则有v （x ）＜－v （－x ），令y 逼近x ，则有v ＇（x ）＜v ＇（－x ），只要由v 推导的v ＇存在。因此，损失的价值函数比收益的价值函数更陡峭。
综上所述，我们认为，价值函数：（1）基于参照点偏差定义；（2）通常收益为凹，损失为凸；（3）损失比收益更陡峭。满足这些属性的价值函数如图3所示。注意，我们假设的S 形状的价值函数在参照点处最陡峭，与此明显不同的是马科维茨［29］提出的效用函数，在这个区域明显平滑一些。
图3–假定的价值函数
虽然可以应用前景理论从前景之间的偏好推导价值函数，但是由于引入的决策权重，实际测量比效用理论要复杂得多。例如，即使是线性的价值函数，决策权重也将产生风险规避和风险寻求倾向。然而，有意思的是，通过使用冯・诺伊曼－摩根斯坦效用函数详细分析财富变化，价值函数的主要特性已经被观察到了（菲什伯恩和克罕伯格［14］）。在五个独立的研究项目［5，18，19，21，40］中，获得了不同业务领域的30个决策者的效用函数。大多数人的效用函数的收益为凹损失为凸，只有三个人对收益及亏损表现为风险厌恶。除了一个例外，其他人的效用函数损失比收益更陡峭。
２、加权函数
在前景理论中，每个结果的价值需要乘以决策权重。从前景之间的选择推定决策权重，非常类似于利用拉姆齐－萨维奇方法从偏好推定主观概率。然而，决策权重不是概率：他们不服从概率公理；他们不应该被解释为对程度或信仰的测量。
考虑一场赌博，一个人可以赢得1000或一无所得，这取决于投掷一枚硬币。对于
任何理性的人来说，在这种情况下获胜的概率是0．50。这可以通过多种方式验证，例如，通过受试者对赌注押在正面或反面无明显偏好，或通过他们认为这两个事件无差别的口头报告。然而，决策权重π（0．50）可能小于0．50。决策权重测量特定事件对前景期望的影响，而不仅仅是感知的这些事件的可能性。如果期望原则成立，则两者一致（即，π（p ）＝p ）。
本文所讨论的选择问题，以明确的概率数值表示，并且我们的分析假定受访者接受p 的状态值。此外，由于事件只能通过其状态概率来标识，因此可以在此背景下，将决策权重表示为状态概率的函数。然而，事件的决策权重通常会受到其他因素的影响，例如，模糊性［10，11］。
我们现在讨论决策权重π的特性，它将决策权重与状态概率联系起来。自然，π是p 的递增函数，并且π（0）＝0和π（1）＝1。也就是说，不可能事件的偶然结果被忽略，测量被规范化，即π（p ）是关于概率p 的权重与关于确定事件的权重之间的比率。
我们首先讨论小概率加权函数的一些性质。问题8和8＇中的偏好表明，对小的p 值来说，π是p 的次可加函数（subadditive ），也就是说，π（rp ）＞r π（p ），0＜r ＜1。回想问题8中，（6000，0．001）好于（3000，0．002）。问题8＇的反射偏好产生同样的结论。但是，问题7和7＇的偏好模式表明，对大的p 值来说，次可加性不一定成立。
此外，我们认为，非常低的概率通常被过度加权，即p 值很小时有π（p ）＞p 。考虑以下选择问题。
问题14：
A ：（5000，0．001）， B ：（5）。
N ＝72 【72】＊ 【28】
问题14＇：
C ：（－5000，0．001）， D ：（－5）。
N ＝72 【17】 【83】＊
需要注意的是，在问题14中，人们实际上偏好的是彩票，而不是它的期望价值。另一方面，在问题14＇中，他们偏好小损失，看作是支付保险费用，而不是偏好小概率的大损失。马科维茨［29］的观察报告了类似的现象。根据前景理论，问题14的彩票偏好表明π（0．001）v （5，000）＞v （5），因此，π（0．001）＞v （5）／v （5000）＞0．001，假定的收益价值函数函数为凹。问题14＇的乐于支付保险费用的结果表明同样的结论，假定的损失价值函数为凸。
从高估——通常见于对罕见事件的概率确定，区分出过度加权——指决策权重的属性，是很重要的。注意，本文不会出现高估的问题，因为我们假定受试者接受p 的状态值。在现实生活中，高估和过度加权都会增加罕见事件的影响。
虽然对低概率有π（p ）＞p ，然而有证据表明，对所有的0＜p ＜1，π（p ）＋π（1－p ）＜1。我们将这个特性称为次确定性（subcertainty ）。很明显，任何类型的阿莱悖论（例如，问题1和2）的典型偏好都表现了相关p 值的次确定性。将等式（1）分别应用于问题1和2的普遍偏好，则有
ππ(0.002)>vv(6000)>根据v 为凹。2
v （2400）＞π（0．66）v （2400）＋π（0．33）v （2500），即，
［1－π（0．66）］v （2400）＞π（0．33）v （2500））和
π（0．33）v （2500）＞π（0．34）v （2400）；因此，
1－π（0．66）＞π（0．34）或者π（0．66）＋π（0．34）＜1。
将同样的分析应用于原始的阿莱悖论，则有π（0．89）＋π（0．11）＜1；麦克克里蒙和拉尔森的一些研究［28］也表明了p 的附加值的次确定性。
π在区间（0，1）的斜率可以看作是反映概率变化偏好的敏感指标。次确定性使得π对于p 是回归的，也就是说，与作为自变量的预期原则相比，偏好通常对概率变化稍微不敏感一些。因此，次确定性说明人们对不确定事件的态度的基本要素，即与互补事件的权重总和通常小于确定事件的权重。
回想一下，本文前面讨论的违反替换公理的例子符合以下规则：如果（x ，p ）等价于（y ，pq ），则（x ，pr ）不好于（y ，pqr ），0＜p 、q 、r ≤1。由等式（1），
π（p ）v （x ）＝π（pq ）v （y ）表明π（pr ）v （x ）≤π（pqr ）v （y ）；因此，
ππ(pp) 因此，对概率的固定比率来说，与高概率时相比，低概率时决策权重的对应比率更接近1。π的这个性质，称为次比例性（subproportionality ），对π的形状施加了相当大的限制：当且仅当log （π）是log （p ）的凸函数时成立。
注意到，有意思的是，次比例性连同小概率的过度加权表明，π在该范围内都是次可加的。在形式上，它可以表示为，如果π（p ）＞p 和次比例性成立，则π（rp ）＞r π（p ），0＜r ＜1，只要π在（0，1）上是连续单调的。
图4给出了假设的加权函数，满足对小p 值的过度加权和次可加性，以及次确定性和次比例性。这些属性使得π在开区间中相对平滑，在接近端点π（0）＝0和π（1）＝1时急剧变化。π的急剧下降或在端点处的明显不连续性符合概念：对于给定的任何权重，存在一个限制来决定多小的决策权重可以关联给事件。类似的量子不确定性（quantum of doubt），给小于1的决策权重设置一个上限。这种量子效应可反映确定性与不确定性之间的绝对区别。另一方面，编辑阶段中的前景简化可导致个人丢弃概率极低事件，并将概率极高的事件看做确定的事件。人理解和评估极端概率的能力是有限的，因此，高度不可能的事件被忽略或过度加权，高概率和确定性之间的差异被忽略或夸大。因此，π在端点附近是不规范（well-behaved ）的。
≤ππ(pppp) 。
图4．假设的加权函数。
下面的泽克豪泽例子，说明了假想的非线性的π。假设你被迫玩俄罗斯轮盘赌，但有机会付钱从上膛的手枪中除去一颗子弹。与将子弹的数量从一个减少到零相比，你愿意付出同样的钱将子弹数量从四个减少到三个吗？大多数人感觉，他们愿意付出更多钱将死亡的概率从1／6减少到零，与将死亡的概率从4／6减少到3／6相比。经济学的考虑将导致一个人愿意为前一种情况付出更多——货币的价值可能会由于大概率的不能活着享受而减少了。
对π（p ）≠p 假设的明显反对，涉及前景（x ，p ；x ，q ）和（x ，p ＇；x ，q ＇）之间的比较，其中p ＋q ＝p ＇＋q ＇＜1。由于任何个人对两个前景确定无明显偏好，这被认为，π（p ）＋π（q ）＝π（p ＇）＋π（q ＇）成立，由此表明π是恒等函数。这种说法在前景理论中是无效的，因为前景理论假设相同结果的概率在前景编辑阶段已经被结合。更严重的反对，是非线性π引起潜在的优势违反。假设x ＞y ＞0，p ＞p ＇，且p ＋q ＝p ＇＋q ＇＜1，那么（x ，p ；y ，q ）优于（x ，p ＇；y ，q ＇）。如果偏好服从优势，则π（p ）v （x ）＋π（q ）v （y ）＞π（p ＇）v （x ）＋π（q ＇）v （y ），或者ππ(pp′) −ππ(pp) π必然本质上是线性的，或者其他优势必然被违反。
前景理论为防止直接的优势违反，假定优势候选被检测到，在评估前景之前被剔除。然而，前景理论允许间接的优势违反，例如，三个前景，A 好于B ，B 好于C 和C 优于A 1。例子参见雷法［34，P ．751］。
最后，应该指出的是，本文只涉及最简单的决策任务，即一个人在两个可选前景之２间选择。我们没有详细分析更复杂的产出作业（如投标）——决策者提出在价值上等于给定前景的替代方案。在这种情况下，两个选项之间的不对称，可能会引起系统偏差。事实上，列支敦士登和斯洛维克［27］构建了一对前景A 和B ，人们通常偏好A ，但投标却为B 。这种现象已经在一些研究中被证实，无论是假想的赌博还是真正的赌博，例如，格雷瑟和普洛特［20］。因此，不能普遍认为，前景的偏好顺序可以被投标程序恢复。 由于前景理论已被提议作为选择模型，因此，投标和选择的不一致意味着，价值和决策权重的测量应根据指定前景之间的选择，而不是根据投标或其他产出作业。这个限制使得v 和π的评估更困难，因为相对于两个前景之间的比较而言，产出作业的测量更方便。 >vv(xx) 。因此，当y 接近x ，π（p ）－π（p ＇）接近π（q ）－π（q ＇）。既然p －p ＇＝q －q ＇，
四、讨论
在最后一节中，我们说明前景理论如何看待观察到的风险态度，讨论参照点的变化引起对选择问题的其他表述，并对前景理论进行扩展。
１、风险态度
阿莱悖论（问题1和2）中观察到的偏好优势模式遵循前景理论，当且仅当 >>。 12 好于，代表偏好；优于，代表优势。
因此，在这种情况下，违反独立性公理归因于次确定性，更具体的说，归因于不等式π（0．34）＜1－π（0．66）。这个分析表明，只要两个非零结果的v 比率被对应π比率限定３，就会发生阿莱悖论式的违反。
问题3到8的结构都相同，因此只考虑其中的一对，例如问题7和8。在这些问题中观察到的选择符合前景理论，当且仅当
>>。 在这种情况下，违反替换公理归因于π的次比例性。因此，只要两个结果的v 比率被对应的π比率限定，就会以上述方式违反期望效用理论。这个分析同样适用于其它替换公理的违反，无论是在正值域还是在负值域。
接下来我们证明，在问题9中观察到的，相对于概率保险人们偏好普通保险，遵循前景理论——只要损失概率被过度加权。也就是说，如果（－x ，p ）与（－y ）无差别，那么（－y ）好于（－x ，p ／2；－y ，p ／2；－y ／2，1－p ）。为简单起见，我们定义：f （x ）＝－v （－x ），x ≥0。损失的价值函数为凸，所以f 是x 的凹函数。以方程（2）的自然扩展运用前景理论，我们希望表明：
π（p ）f （x ）＝f （y ）
意味着
f （y ）≤f （y ／2）＋π（p ／2）［f （y ）－f （y ／2）］＋π（p ／2）［f （x ）－f （y ／2）］
＝π（p ／2）f （x ）＋π（p ／2）f （y ）＋［1－2π（p ／2）］f （y ／2）。
替换f （x ）以及通过f 的凹性，足以表明，
f （y ）≤
或者 ππ(pp) （y ）＋π（p ／2）f （y ）＋f （y ）／2－π（p ／2）f （y ）
π（p ）／2≤π（p ／2），这遵守π的次可加性。
根据前景理论，风险态度由v 和π共同决定，而不是仅仅由效用函数决定。因此，对我们研究风险规避或风险寻求的发生条件具有指导意义。考虑赌博（x ，p ）和其预期值（px ）之间的选择。x ＞0的条件下，只要π（p ）＞ν（px ）／ν（x ）就意味着风险寻求；如果收益价值函数为凹，π（p ）大于p 。因此，过度加权（π（p ）＞p ）是收益风险寻求的必要不充分条件。在x ＜0的条件下，它也恰恰是风险规避的必要不充分条件。本文的分析将风险寻求的发生限定在收益，风险规避的发生限定在小概率损失，它们都被预期将发生过度加权的情况。实际上，这些都是销售彩票和保险的典型条件。在前景理论中，小概率的过度加权有利于赌博和保险，而S 形状的价值函数往往会抑制这两种行为。 虽然前景理论可以解释小概率的保险和赌博，但我们认为，完全充分解释这些复杂的现象，目前的分析还远远不够。事实上，实验研究［37］、调查研究［26］和经济行为（如服务和医疗保险）观察的证据表明，（小概率）保险的购买往往会扩大到中等概率，而小概率的灾难时常被完全忽略。此外，还有证据表明，对决策问题描述的细微变化也会对保险吸引力产生显著的影响［37］。保险行为的全面理论，除了对不确定性和货3
币的纯粹态度外，还要考虑有价证券的价值，谨慎的社会风气，大量的小额支付的厌恶随着时间而增加，关于概率和结果的信息和错误信息，以及其他许多方面的因素。目前的框架只能描述一些因素的影响，例如参照点变化、价值函数变换、概率或决策权重的操作。其他影响需要引入前景理论不纳入考虑的因素或概念。
２、参照变化
本文到现在为止，收益及亏损定义为在前景中获得或支付的金额，参照点定义为现状或一个人的资产。这对大多数的选择问题来说可能是正确的，但是存在着将收益和损失相对于不同于现状的期望或预期水平进行编码的情况。例如，从月工资中扣除一种意外的税被看作是遭受了损失，而不是看作收益减少。同样，一个比竞争对手更成功且陷入低迷的企业家，可能会将一个小损失看作收益，相对于他有理由预期的更大损失。
前面例子的参照点都对应某人达到期望的资产数量。如果一个人对最近的财富变化尚未适应，也可能出现参照点与当前资产数量之间的矛盾［29］。试想一个参与商业投机损失了2000的人，现在面临选择：确定得到1000和赢了获得2000而输了一无所得的胜负均等机会。如果他还没有适应他的损失，他很可能将其看作是（－2000，0．50）和（－1，000）之间的选择，而不是（2000，0．50）和（1000）之间的选择。正如我们所看到的，前者比后者在表现形式上更具风险性。
参照点的变化可以改变对前景的偏好顺序。值得一提的是，前景理论表明，选择问题的消极变换，比如由于不能完全适应近期损失，在某些情况下增加风险寻求的倾向。具体而言，如果风险前景（x ，p ；－y ，1－p ）只是可以接受的，则（x －z ，p ；－y －z ，1－p ）好于（－z ），x 、y 、z ＞0，且x ＞z 。
为了证明这个命题，注意：
V （x ，p ，y ，1－p ）＝0，当且仅当π（p ）v （x ）＝－π（1－p ）v （－y ）。
进一步则有，
V （x －z ，p ；－y －z ，1－p ）
＝π（p ）v （x －z ）＋π（1－p ）v （－y －z ）
＞π（p ）v （x ）－π（p ）v （z ）＋π（1－p ）v （－y ）＋π（1－p ）v （－z ） （由v 的凸性）
＝－π（1－p ）v （－y ）－π（p ）v （z ）＋π（1－p ）v （－y ）＋π（1－p ）v （－z ） （－π（1－p ）v （－y ）替换π（p ）v （x ））
＝－π（p ）v （z ）＋π（1－p ）v （－z ）
＞v （－z ）［π（p ）＋π（1－p ）］ （由v （－z ）＜－v （z ））
＞v （－z ） 根据次确定性。
这个分析表明，一个对自己的损失不能平心静气的人可能会接受在其他情况下他不能接受的赌博。随着投注日期的推移高风险投注趋势增加的著名观察［31］，为这个假设提供了支持：未能适应亏损或没有达到预期收益，将导致风险寻求倾向。另外一个例子，考虑一个要买保险的人——他这样做也许是因为他在过去买过保险或他的朋友买了保险，他可以将支付保险费用y 以防止损失x ，编码为（－x ＋y ，p ；y ，1－p ）和（0）之
间的选择，而不是（－x ，p ）和（－y ）之间的选择。前面的讨论可能使得保险在前种形式下更具吸引力，与后种形式相比。
参照点变化的另一个重要例子：一个赞成决策分析的人，依据最终资产而不是人们通常依据的收益和损失描述决策问题。在这种情况下，财富尺度的参照点被设置为零和价值函数在任何点上都可能为凹［39］。根据目前的分析，这种描述可从根本上消除风险寻求倾向，除了低概率的赌博。根据最终资产明确描述决策问题，也许是在出现损失后消除风险寻求倾向的最有效的方法。
许多经济决策涉及通过支付货币换取期望前景的交易。目前的决策理论将这种问题分析为目前状态和期望前景减去其成本的另一种状态之间的比较问题。例如，决定是否要为赌博（1000，0．01）支付10元可以看作是（990，0．01；－10，0．99）和（0）之间的选择。在这种分析中，购买积极前景等同于接受相应的混合前景。
不能将无风险前景和风险前景结合，夸大隔离效应，这表明人们不太可能通过结果减去成本的方式来决定是否参加赌博。与此相反，我们建议，人们分别评估赌博和其成本，如果两者的价值和为正数，则决定参加赌博。因此，赌博（1000，0．01）将以价格10元被购买，如果π（0．01）v （1，000）＋v （－10）＞0。
如果这个假说是正确的，那么为（1000，0．01）支付10元的决定，不再等价于接受赌博（990，0．01；－10，0．99）的决定。此外，前景理论表明，如果一个人在（x （1－p ），p ；－px ，1－p ）和（0）之间无明显偏好，那么他不会支付px 购买前景（x ，p ）。因此，在决定是否接受一个公平的赌博时，人们被预期表现出更多的风险寻求倾向，相对于决定是否为公平的价格购买一场赌博。参照点的位置以及选择问题的编码和编辑方式成为分析决策的关键因素。
３、扩展
为了涵盖更广泛的决策问题，需要从几个方向扩展前景理论。一些扩展是直接的，其他的则需要进一步的发展。将方程（1）和（2）扩展为具有任意数量结果的前景是直接的。但是，当结果数量比较大时，可能要利用额外的编辑操作以简化评估。复杂的选择，例如复合前景，简化方式还有待研究。
虽然本文一直着眼于货币结果，但是前景理论很容易将其他性质的选择问题包括进来，例如，将生活质量或可能失去或拯救的人生命的数量作为一项政策决定的结果。假定的货币价值函数的主要特性也适用于其他性质的选择问题。特别是，我们希望结果相对于一个中性参照点被编码为收益或损失，损失的空间大于收益的空间。
前景理论也可以扩展到选择问题的典型情况——结果的概率没有明确给定。在这种情况下，决策权重必须赋予特定的事件而不是状态概率，并且他们被预期将能够表现出加权函数的基本属性。例如，如果A 和B 是互补事件，并且都不是确定的，那么π（A ）＋π（B ）应该小于1——类似次确定性。
与事件相关的决策权重主要取决于对该事件可能性的感知，这属于主要的偏差［45］。此外，决策权重可能会受到其他因素的影响，如歧义性或模糊性。事实上，埃尔斯伯格［10］和费尔纳［12］的研究表明，模糊性将降低决策权重。因此，次确定性对模糊概率会更明显，相对于清晰概率而言。
本为对风险选项之间偏好的分析有两个主题。第一个主题涉及编辑操作，确定前景
如何被感知。第二个主题涉及判断原则，管理收益损失的评估和不确定结果的加权。这两个主题应该被进一步发展，他们显然为风险选择的描述性分析提供了一个有用的框架。
加拿大英属哥伦比亚大学
斯坦福大学
原稿 1977年11月；最终修改1978年3月
附录
在附录中，我们将详细分析前景理论。由于完整、独立的证明冗长而乏味，我们只列出基本步骤，展示建立方程（1）的双线性表示所需要的序数属性。类似的方法也应用于公理化方程（2）。
首先，考虑一个p ＋q ＜1的（x ，p ；y ，q ）形式普通前景的集合。扩展为p ＋q ＝1的普通前景很简单。≥表示被认为是连接的、对称的、传递的前景之间的偏好关系，＝表示无差别关系。当然，（x ，p ；y ，q ）＝（y ，q ；x ，p ）。我们还假设，正如在我们的符号中隐含的，（x ，p ；0，q ）＝（x ，p ；0，r ）以及（x ，p ；y ，0）＝（x ，p ；z ，0）。也就是说，空的结果和不可能的事件具有乘积零的属性。
注意，（方程（1））所需的表示是概率－结果对相加。因此，应用加法联合测量理论可以获得，保留偏好顺序的变量V ，和带有两个参数的区间变量f 和g ，即
V （x ，p ；y ，q ）＝f （x ，p ）＋g （y ，q ）。
推导出这个公式需要的关键公理有：
独立性：（x ，p ；y ，q ）≥（x ，p ；y ＇，q ＇），当且仅当（x ＇，p ＇；y ，q ）≥（x ＇，p ＇；y ＇，q ＇）。 取消：如果（x ，p ；y ＇，q ＇）≥（x ＇，p ＇；y ，q ）且（x ＇，p ＇；y ＂，q ＂）≥（x ＂，p ＂；y ＇，q ＇），那么（x ，p ；y ＂，q ＂）≥（x ＂，p ＂；y ，q ）。
可解性：如果对某些结果z 和概率r 有（x ，p ；y ，q ）≥（z ，r ）≥（x ，p ；y ＇，q ＇），则存在y ＂、q ＂，使得（x ，p ；y ＂，q ＂）＝（z ，r ）。
显然，这些条件足以构造所需的加法表示，只要偏好顺序是阿基米德性的［8，25］。此外，由于（x ，p ；y ，q ）＝（y ，q ；x ，p ），f （x ，p ）＋g （y ，q ）＝f （y ，q ）＋g （x ，p ），假设q ＝0，则有f ＝g 。 其次，考虑具有单一非零结果的（x ，p ）形式的前景集合。在这种情况下，双线性模型简化为V （x ，p ）＝π（p ）v （x ）。这是在［35］和［25］中研究的乘法模型。要构建乘法表示，我们假设，概率－结果对的顺序满足独立性、取消、可解性和阿基米德公理。此外，我们假定符号依赖［25］可以保证符号的正确乘法。应该注意的是，［35］和［25］中使用的可解性公理必须被削弱，因为概率因素只允许有限的可解性。
将加法和乘法表示结合，形成V （x ，p ；y ，q ）＝f （π（p ）v （x ））＋g （π（q ）v （y ））。
最后，我们带来一个新的分配律公理：（x ，p ；y ，p ）＝（z ，p ），当且仅当（x ，q ；y ，q ）＝（z ，q ）。将这个公理应用于上述表示，我们得到
f （π（p ）v （x ））＋f （π（p ）v （y ））＝f （π（p ）v （z ）），意味着
f （π（q ）v （x ））＋f （π（q ）v （y ））＝f （π（q ）v （z ））。
不失一般性，假设π（q ）＜π（p ），设α＝π（p ）v （x ），β＝π（p ）v （y ），γ＝π（p ）v （z ）和θ＝π（q ）／π（p ），产生f （α）＋f （β）＝f （γ），意味着f （θα）＋f （θβ）＝f （θγ），对所有0＜θ＜1。 因为f 严格单调，我们可以设θγ＝θf －－1［f （α）＋f （β）＝f －－1［f （θα）＋f （θβ）］。 γ＝f －－1［f （α）＋f （β）］。因此，这个函数方程的解是f （α）＝k αc ［1］。因此，V （x ，p ；y ，q ）＝k ［π（p ）v （x ）］c ＋k ［π（q ）v （y ）］c ，对某些k 、c ＞0。双线性形式可以通过重新定义π、v 和V 以吸收常数k 和c 得到。
参考文献
前景理论
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