第２３卷第５期大学数学ｖ０１．ｚ３，№．５２００７年１０月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＯｃｔ．２００７
隐函数存在定理的新证明
周宗福，蒋威
（安徽大学教学与计算科学学院ｔ厶肥２３００３９）
［摘要］给出数学分析中一元隐函数存在定理的一个新的证明，与以前的证明相比，本文给出的证明更
易于理解和掌握．
［关键词］隐函数存在定理；多元函数微分中值定理；证明
［中圈分类号］０１７２［文献标识码］ｃ［文章编号］１６７２・１４５４（２００７）０５一０１３７－０２
一元隐函数存在定理是数学分析中的一个基本定理，它有许多重要的应用．学生在学习这一定理时往往觉得其证明不容易弄懂，这也就影响到他们对这个定理的理解与应用．本文借助多元函数的微分中值定理给出了此定理的一个新的更易于理解的证明．
引理ｌ设（ｚｏ，汕）为平面上的一点，二元函数Ｆ（ｚ，ｙ）满足
（ｉ）在闭矩形Ｄ一（（ｚ．ｙ）：Ｉｚ一如Ｉ≤口，ｌｙ—ｙｏＩ≤脚上，只（ｚ，ｙ），Ｆ，（ｚ，ｙ）连续；
（ｉｉ）Ｆ（勘，蛳）＝ｏ，只（ｚ，ｙ）在Ｄ上恒正（或恒负），
则存在ｄ，＞ｏ（口．≤口），使得Ｖｚ∈ｕ（ｚ。，口。），存在唯一的ｙ∈Ｕ（弘，ｐ，满足Ｆ（ｚ，ｙ）一ｏ．
证不妨设Ｆ，（ｚ，ｙ）在Ｄ上恒正．
（ｉ）若疋（ｚ，ｙ）在Ｄ上恒为ｏ，则在Ｄ上Ｆ（ｚ，ｙ）仅与ｙ有关，故可记Ｆ（工，，）一垆（ｙ），从而由（２）知
妒（ｙｏ）一Ｆ（ｚ，蛳）一Ｆ（ｚｏ，ｙｏ）一ｏ，一（ｙ）一Ｆ，（ｚ，，）＞ｏ（蛳一ｐ≤，≤了ｏ＋ｐ，
故尹（ｙ）在抽一卢≤ｙ≤帅＋卢上严格单调增加．取口・一口，则Ｖｚ∈ｕ（ｚｏ，口１），存在唯一的ｙ一蛳∈ｕ（弘，卢），满足Ｆ（ｚ，ｙ）一驴（ｙ）一Ｏ．结论成立．
（ｉｉ）若Ｒｏ，ｙ）在Ｄ上不恒为ｏ，令Ａ—ｍａｘＩｔ（ｚ，ｙ）Ｉ，Ｂ—ｍｉｎＦ，（ｚ，ｙ），则Ａ＞ｏ，Ｂ＞ｏ．
（。＋，ＪｔＤ‘‘’，）ｔｕ
取口Ｉ—ｍｉｎｆ掌，ａ｛，则口。＞ｏ㈣≤口．ｖｊ∈ｕ（上。俩），考虑函数Ｆ（；，ｙ）（弘一卢≤，≤蛳＋ｐ．由多元Ｉｏ‘Ｊ
函数微分中值定理可知，
Ｆｏ，蛳一卢）＝ＦＱ，弘一ｐ—Ｆ（ｚｏ，蛳）
＝Ｆ∑（卫。十巩“一工ｏ），蛳一巩卢）－（ｚ—ｚｏ）＋Ｌ（ｚｏ＋口ｌ（ｚ一面），弘一巩卢）‘（一ｐ
≤ｌＥ（ｚ。＋岛。一ｚｏ），蛳一吼卢）ｌ－ｌ工一ｚｏｌ一上ｉ１９＜Ａ口ｌ—Ｂｐ
≤Ａ・半一Ｂ口＝ｏ（ｏ＜岛＜１），口ｏ
＾。
即Ｆ（；，帅一ｐ＜Ｏ．类似又知
Ｆ（ｚ，ｙｏ＋ｐ—Ｆｏ，弘＋ｐ—Ｆ（ｚｏ，弘）
一Ｆ二（ｚｏ＋如（三一ｚ。），如＋岛ｐ－（；一ｚ。）＋Ｌ（茁。＋巩（三一面），蛳＋岛卢）卢
≥一ＩＥ（ｚ。＋岛（至一ｚ。），执＋岛印Ｉ・Ｉ；一ｚ。Ｉ＋印
ＲＤ
＞一Ａ口。＋Ｂｐ≥一Ａ・半＋Ｂｐ—ｏ（ｏ＜岛＜１），
［收稿日期］２００６＿０１一０５［基金项目］安徽省高校省级教学研究项目（ＪＹＸＭ２００３１０９）｝安徽大学人才队伍建设经费资助
万 方数据
１３８大学数学第２３卷故Ｆ妇，弘＋口）＞Ｏ．
叉Ｆ（；，ｙ）在弘一聪，≤弘＋卢上连续，故必存在；∈ｕ（曲，卢）．使Ｆ（；，歹）一ｏ．再由Ｆ，（至，ｙ）在弘一卢≤ｙ≤弘＋口上为正可知，此ｙ为唯一的．结论得证．
定理１（一元隐函数存在定理）如果二元函数Ｆ（ｚ，ｙ）满足
（ｉ）在闭矩形Ｄ＝｛（ｚ，ｙ）：ＩＴ—ｚ。ｌ≤口，ｌｙ一蛳ｌ≤６｝上，ＦＩ（工，ｙ），Ｅ（ｚ，ｙ）连续；
（ｉｉ）Ｆ（卫ｏ，ｙｏ）＝＝０，Ｆ，（ｚｏ，ｙ。）≠Ｏ，
那么
ｒ存在Ｐ＞ｏ，卢＞ｏ（Ｐ≤ｄ，雁６），使得Ｖｚ∈Ｌ，（ｚｏ，Ｐ），存在唯一的ｙ∈ｕ（帅，卢），满足Ｆ（ｚ，，）一ｏ．即在点（ｚ。，弘）附近，由方程Ｆ（ｚ，ｙ）一Ｏ可唯一确定隐函数ｙ一，（ｚ），ｚ∈Ｌ，（ｚｏ，ｐ），它满足Ｆ（ｚ，，（Ｔ））一０，，（ｚ。）一了ｏ；
２。隐函数ｙ＝，（ｚ）在ｕ（工。，ｐ）上连续；３。隐函数ｙ一，（ｚ）在ｕ（函，Ｐ）上有连续的导数，且，７（卫）一一嬲．
证不妨设Ｆ，（ｚ。，帅）＞ｏ．
ｒ由于Ｆ，（工，ｊ，）在Ｄ上连续，ｔ（ｚ。，帅）＞ｏ，故存在口＞ｏ，卢＞ｏ（ａ≤口，卢≤６），使得Ｆ，（工，ｙ）在Ｄｔ＝｛（上，ｙ）：｝＿ｒ—ｚｏ】≤口，Ｉｙ一弘Ｉ≤肼上恒正。故由引理１知ｊ户＞ｏ（Ｐ≤ｎ≤口），使ＶＴ∈Ｌ，（工。，Ｐ），存在唯一的ｙ∈Ｕ（弘，口），满足Ｆ（ｚ，，）一０．
２。Ｖｚ，∈ｕ（－ｒ。，Ｐ），由ｌ。，存在唯一的ｙ。∈Ｕ（ｙ。，ｐ，Ｆ（ｚ１，了，）；ｏ，，（ｚ１）＝ｙ１．
下证，（卫）在ｚ。点连续．Ｖｅ＞ｏ（ｏ＜￡＜卢一１，，一弘１），取鼠＝户一ｌｚｌ—ｚ。ｌ，则Ｆ（ｚ，ｙ）在Ｄ。一｛（Ｔ，，）ｆ：ｆｚ—ｚ，Ｊ≤岛，Ｉｙ—Ｍｌ≤ｅ｝上满足引理１的条件（Ｄ２［Ｄ－），所以｜ｄ＞Ｏ（ｄ≤氏），使得Ｖｚ∈ｕ（ｚ。，ｄ），存在唯一的歹∈ｕ（ｙｊ，￡），满足Ｆ（；，ｊ）：ｏ，即知，（；）＝ｊ．从而当Ｉ；一工，Ｉ＜ｄ时，Ｉ，（；）一，（ｚ．）Ｉ＝ｆ；一ｙ。Ｊ＜ｅ，故ｙ一，（ｚ）在工ｌ点连续．可见ｙ＝，（Ｔ）在ｕ（ｚｏ，Ｐ）上连续．
３。隐函数可导性证明比较简单，与文［１］中的相同，略去．
［参考文献］
［１］陈纪修．於崇华，金路．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００Ｌ２］陈传璋．荨，数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９０．
万方数据
隐函数存在定理的新证明
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：周宗福， 蒋威安徽大学,数学与计算科学学院,合肥,230039大学数学COLLEGE MATHEMATICS2007，23(5)1次
参考文献(2条)
1. 陈纪修. 於崇华. 金路 数学分析 2000
2. 陈传璋 数学分析 1990
引证文献(1条)
1. 张锦来 一种证明隐函数存在定理的新方法[期刊论文]-重庆文理学院学报（自然科学版） 2008(3)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxsx200705030.aspx
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第２３卷第５期大学数学ｖ０１．ｚ３，№．５２００７年１０月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＯｃｔ．２００７
隐函数存在定理的新证明
周宗福，蒋威
（安徽大学教学与计算科学学院ｔ厶肥２３００３９）
［摘要］给出数学分析中一元隐函数存在定理的一个新的证明，与以前的证明相比，本文给出的证明更
易于理解和掌握．
［关键词］隐函数存在定理；多元函数微分中值定理；证明
［中圈分类号］０１７２［文献标识码］ｃ［文章编号］１６７２・１４５４（２００７）０５一０１３７－０２
一元隐函数存在定理是数学分析中的一个基本定理，它有许多重要的应用．学生在学习这一定理时往往觉得其证明不容易弄懂，这也就影响到他们对这个定理的理解与应用．本文借助多元函数的微分中值定理给出了此定理的一个新的更易于理解的证明．
引理ｌ设（ｚｏ，汕）为平面上的一点，二元函数Ｆ（ｚ，ｙ）满足
（ｉ）在闭矩形Ｄ一（（ｚ．ｙ）：Ｉｚ一如Ｉ≤口，ｌｙ—ｙｏＩ≤脚上，只（ｚ，ｙ），Ｆ，（ｚ，ｙ）连续；
（ｉｉ）Ｆ（勘，蛳）＝ｏ，只（ｚ，ｙ）在Ｄ上恒正（或恒负），
则存在ｄ，＞ｏ（口．≤口），使得Ｖｚ∈ｕ（ｚ。，口。），存在唯一的ｙ∈Ｕ（弘，ｐ，满足Ｆ（ｚ，ｙ）一ｏ．
证不妨设Ｆ，（ｚ，ｙ）在Ｄ上恒正．
（ｉ）若疋（ｚ，ｙ）在Ｄ上恒为ｏ，则在Ｄ上Ｆ（ｚ，ｙ）仅与ｙ有关，故可记Ｆ（工，，）一垆（ｙ），从而由（２）知
妒（ｙｏ）一Ｆ（ｚ，蛳）一Ｆ（ｚｏ，ｙｏ）一ｏ，一（ｙ）一Ｆ，（ｚ，，）＞ｏ（蛳一ｐ≤，≤了ｏ＋ｐ，
故尹（ｙ）在抽一卢≤ｙ≤帅＋卢上严格单调增加．取口・一口，则Ｖｚ∈ｕ（ｚｏ，口１），存在唯一的ｙ一蛳∈ｕ（弘，卢），满足Ｆ（ｚ，ｙ）一驴（ｙ）一Ｏ．结论成立．
（ｉｉ）若Ｒｏ，ｙ）在Ｄ上不恒为ｏ，令Ａ—ｍａｘＩｔ（ｚ，ｙ）Ｉ，Ｂ—ｍｉｎＦ，（ｚ，ｙ），则Ａ＞ｏ，Ｂ＞ｏ．
（。＋，ＪｔＤ‘‘’，）ｔｕ
取口Ｉ—ｍｉｎｆ掌，ａ｛，则口。＞ｏ㈣≤口．ｖｊ∈ｕ（上。俩），考虑函数Ｆ（；，ｙ）（弘一卢≤，≤蛳＋ｐ．由多元Ｉｏ‘Ｊ
函数微分中值定理可知，
Ｆｏ，蛳一卢）＝ＦＱ，弘一ｐ—Ｆ（ｚｏ，蛳）
＝Ｆ∑（卫。十巩“一工ｏ），蛳一巩卢）－（ｚ—ｚｏ）＋Ｌ（ｚｏ＋口ｌ（ｚ一面），弘一巩卢）‘（一ｐ
≤ｌＥ（ｚ。＋岛。一ｚｏ），蛳一吼卢）ｌ－ｌ工一ｚｏｌ一上ｉ１９＜Ａ口ｌ—Ｂｐ
≤Ａ・半一Ｂ口＝ｏ（ｏ＜岛＜１），口ｏ
＾。
即Ｆ（；，帅一ｐ＜Ｏ．类似又知
Ｆ（ｚ，ｙｏ＋ｐ—Ｆｏ，弘＋ｐ—Ｆ（ｚｏ，弘）
一Ｆ二（ｚｏ＋如（三一ｚ。），如＋岛ｐ－（；一ｚ。）＋Ｌ（茁。＋巩（三一面），蛳＋岛卢）卢
≥一ＩＥ（ｚ。＋岛（至一ｚ。），执＋岛印Ｉ・Ｉ；一ｚ。Ｉ＋印
ＲＤ
＞一Ａ口。＋Ｂｐ≥一Ａ・半＋Ｂｐ—ｏ（ｏ＜岛＜１），
［收稿日期］２００６＿０１一０５［基金项目］安徽省高校省级教学研究项目（ＪＹＸＭ２００３１０９）｝安徽大学人才队伍建设经费资助
万 方数据
１３８大学数学第２３卷故Ｆ妇，弘＋口）＞Ｏ．
叉Ｆ（；，ｙ）在弘一聪，≤弘＋卢上连续，故必存在；∈ｕ（曲，卢）．使Ｆ（；，歹）一ｏ．再由Ｆ，（至，ｙ）在弘一卢≤ｙ≤弘＋口上为正可知，此ｙ为唯一的．结论得证．
定理１（一元隐函数存在定理）如果二元函数Ｆ（ｚ，ｙ）满足
（ｉ）在闭矩形Ｄ＝｛（ｚ，ｙ）：ＩＴ—ｚ。ｌ≤口，ｌｙ一蛳ｌ≤６｝上，ＦＩ（工，ｙ），Ｅ（ｚ，ｙ）连续；
（ｉｉ）Ｆ（卫ｏ，ｙｏ）＝＝０，Ｆ，（ｚｏ，ｙ。）≠Ｏ，
那么
ｒ存在Ｐ＞ｏ，卢＞ｏ（Ｐ≤ｄ，雁６），使得Ｖｚ∈Ｌ，（ｚｏ，Ｐ），存在唯一的ｙ∈ｕ（帅，卢），满足Ｆ（ｚ，，）一ｏ．即在点（ｚ。，弘）附近，由方程Ｆ（ｚ，ｙ）一Ｏ可唯一确定隐函数ｙ一，（ｚ），ｚ∈Ｌ，（ｚｏ，ｐ），它满足Ｆ（ｚ，，（Ｔ））一０，，（ｚ。）一了ｏ；
２。隐函数ｙ＝，（ｚ）在ｕ（工。，ｐ）上连续；３。隐函数ｙ一，（ｚ）在ｕ（函，Ｐ）上有连续的导数，且，７（卫）一一嬲．
证不妨设Ｆ，（ｚ。，帅）＞ｏ．
ｒ由于Ｆ，（工，ｊ，）在Ｄ上连续，ｔ（ｚ。，帅）＞ｏ，故存在口＞ｏ，卢＞ｏ（ａ≤口，卢≤６），使得Ｆ，（工，ｙ）在Ｄｔ＝｛（上，ｙ）：｝＿ｒ—ｚｏ】≤口，Ｉｙ一弘Ｉ≤肼上恒正。故由引理１知ｊ户＞ｏ（Ｐ≤ｎ≤口），使ＶＴ∈Ｌ，（工。，Ｐ），存在唯一的ｙ∈Ｕ（弘，口），满足Ｆ（ｚ，，）一０．
２。Ｖｚ，∈ｕ（－ｒ。，Ｐ），由ｌ。，存在唯一的ｙ。∈Ｕ（ｙ。，ｐ，Ｆ（ｚ１，了，）；ｏ，，（ｚ１）＝ｙ１．
下证，（卫）在ｚ。点连续．Ｖｅ＞ｏ（ｏ＜￡＜卢一１，，一弘１），取鼠＝户一ｌｚｌ—ｚ。ｌ，则Ｆ（ｚ，ｙ）在Ｄ。一｛（Ｔ，，）ｆ：ｆｚ—ｚ，Ｊ≤岛，Ｉｙ—Ｍｌ≤ｅ｝上满足引理１的条件（Ｄ２［Ｄ－），所以｜ｄ＞Ｏ（ｄ≤氏），使得Ｖｚ∈ｕ（ｚ。，ｄ），存在唯一的歹∈ｕ（ｙｊ，￡），满足Ｆ（；，ｊ）：ｏ，即知，（；）＝ｊ．从而当Ｉ；一工，Ｉ＜ｄ时，Ｉ，（；）一，（ｚ．）Ｉ＝ｆ；一ｙ。Ｊ＜ｅ，故ｙ一，（ｚ）在工ｌ点连续．可见ｙ＝，（Ｔ）在ｕ（ｚｏ，Ｐ）上连续．
３。隐函数可导性证明比较简单，与文［１］中的相同，略去．
［参考文献］
［１］陈纪修．於崇华，金路．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００Ｌ２］陈传璋．荨，数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９０．
万方数据
隐函数存在定理的新证明
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：周宗福， 蒋威安徽大学,数学与计算科学学院,合肥,230039大学数学COLLEGE MATHEMATICS2007，23(5)1次
参考文献(2条)
1. 陈纪修. 於崇华. 金路 数学分析 2000
2. 陈传璋 数学分析 1990
引证文献(1条)
1. 张锦来 一种证明隐函数存在定理的新方法[期刊论文]-重庆文理学院学报（自然科学版） 2008(3)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxsx200705030.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：f569f38d-ade9-42e0-bbf7-9dcc0160f554
下载时间：2010年8月8日