数学证明中的构造辅助函数方法
摘要 数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂. 这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果. 如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.
关键词 辅助函数 ； 中值定理 ； 恒等式与不等式； 函数表达式 ；极值
1. 引言
数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数. 基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止. 构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.
2. 微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧
2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法
定理1（Rolle ）：若函数f (x ) 满足如下条件：
（i ）f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续； （ii ）f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导； （iii ）f (a ) =f (b ) ；
则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得f '(ξ) =0.
定理2（Lagrange ）：若函数f (x ) 满足如下条件：
（i ）f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续；（ii ）f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导；
则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得 f '(ξ) =f (b )-f (a ) b -a
显然，特别当f (a ) =f (b ) 时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。表明Rolle 定理是Lagrange 中值定理的一个特殊情形.
证明：f '(ξ) =f (b )-f (a )f (b )-f (a )=0，自然想到等式的左可以写成f '(ξ) -b -a b -a
端是某个函数的导数，所以构造辅助函数：
f (b )-f (a )x （1） F (x ) =f (x ) -b -a
显然，函数F (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b ) 内可导, 而且F (a ) =F (b ) ，于是由Rolle 中值定理知道，至少存在一点ξ∈(a , b )，使得F '(ξ) =f '(ξ) -f (b )-f (a )=0成立，也就是Lagrange 中值定理成立. b -a
f (b )-f (a )，该等式的右端是连接曲线弧端b -a Lagrange 中值定理的结论：f '(ξ) =
点的弦的斜率，所以Lagrange 中值定理的几何意义就是：在满足条件的曲线上
至少存在一点，曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线. 在Rolle 定理中，由于f (a ) =f (b ) ，弦是平行于x 轴的，因此在ξ点的切线实际上也平行于以连接曲线弧端点的弦，从上述Lagrange 中值定理与Rolle 定理的关系，自然想到利用Rolle 定理来证明Lagrange 中值定理，但在Lagrange 中值定理中，函数f (x ) 不一定具备f (a ) =f (b ) 这个条件，为此设想构造一个与f (x ) 有密切联系的函数F (x ) ，使F (x ) 满足条件F (a ) =F (b ) ，然后对F (x ) 应用Rolle 定理，再把对F (x ) 所得的结论转化到f (x ) 上，证得所要的结果，从Lagrange 中值定理的几何解释中来寻找辅助函数F (x ) ，从图1中看到，有向线段AB 的长度是x 的函数，把它表示为F (x ) ，它与f (x ) 有密切的联系，且当x =a 及x =b 时，点A 与点B 重合. 若将图1的虚线坐标平移到图2，即有F (a ) =F (b ) =0，为了求得函数F (x ) 的表达式，设直线AB 的方程为y =L (x ) ，则 L (x ) =f (a ) +f (b ) -f (a ) (x -a ) b -a
由于点A 、B 的纵坐标依次为f (x ) 及L (x ) ，故表示有向线段AB 长度的函数 F (x ) =f (x ) -L (x ) =f (x ) -f (a ) -f (b ) -f (a ) (x -a ) （2） b -a
显然（2）式这个辅助函数满足在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b ) 内可导, 而且F (a ) =F (b ) =0，由Rolle 定理，可知在至少存在一点ξ∈(a , b )，使得
F '(ξ) =f '(ξ) -
成立，也就是Lagrange 中值定理成立.
f (b )-f (a )=0 b -a
图1 图2
2.2 柯西（Cauchy ）中值定理辅助函数的作法
定理3（Cauchy ）：若函数f (x ) 与g (x )满足
（i ） 在闭区间[a , b ]上连续；（ii ）在开区间(a , b ) 内可导；
（iii ）对任一x ∈(a , b )，g '(x )≠0；
那么至少存在一点ξ∈(a , b )，使等式
成立.
证明：作辅助函数
F (x ) =f (x ) -f (b ) -f (a ) g (x ) （4） g (b ) -g (a ) f (b )-f (a )f '(ξ) （3） =g b -g a g 'ξ显然，F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且有F (a ) =F (b ) . 故由Rolle 中值定理，存在ξ∈(a , b ) . 使得
F (ξ) =f (ξ) -' ' f (b ) -f (a ) , g (ξ) =0 (5) g (b ) -g (a )
这里必有g , (ξ) ≠0，否则由上式可知，若g , (ξ) =0也将有f , (ξ) =0，而这个结论与定理的条件（iii ）相矛盾，因而我们能将(5)式改写成（3）式.
在这里我将给出该定理证明中辅助函数的多种不同作法所得的不同形式的函数F (x ) ，皆能满足证明之需. f (x ) 、g (x )满足定理条件(i)、(ii)、(iii)、(iv)。
1、取F (x ) =f (x ) -f (a ) -f (b ) -f (a ) [g (x ) -g (a )] (6) g (b ) -g (a )
显然F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且F (a ) =F (b ) =0，满足Rolle 中值定理条件，故存在一点ξ∈(a , b ) ，使得
F ' (ξ) =f ' (ξ) -f (b ) -f (a ) , g (ξ) =0 由此式即可得（3）式. g (b ) -g (a )
2、取 F ' (x ) =f (x ) -f (b ) -f (b ) -f (a ) [g (x ) -g (b )] （7） g (b ) -g (a )
显然F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且F (a ) =F (b ) =0, 满足Rolle 中值定理条件，同前一方法，即可得到(3)式.
3、取 F (x ) =f (x ) -A -f (b ) -f (a ) [g (x ) -B ] (8) g (b ) -g (a )
其中A 、B 为任意常数，显然F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且F (a ) =F (b ) ，满足Rolle 中值定理的条件，同前一方法，即可得到(3)式.
4、当f (a )≠f (b ) 时，我们还可以取 F (x ) =g (x ) -A -g (b ) -g (a ) [f (x ) -B ] (9) f (b ) -f (a )
其中A 、B 为任意常数，显然F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且F (a ) =F (b ) ，满足Rolle 中值定理的条件，故在(a , b ) 内存在一点ξ，使得
F ，(x ) =g ，(x ) -g (b ) -g (a ) , f (ξ) =0 （10） f (b ) -f (a )
其中f , (ξ) 必不等于零，否则，若f , (ξ) =0，由（10）式将有g , (ξ) =0，则与定理的条件(ii)相矛盾，从而从（10）式可得（3）式.
从而以上各种函数F (x ) 的表达式皆可取作定理证明中的辅助函数，其中（8）式即为Cauchy 中值定理证明中的辅助函数的一般形式，而当f (a )≠f (b ) 时，（9）式亦可成为Cauchy 中值定理证明中的辅助函数的一般形式. 由以上结果充分说明了Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理证明中所作辅助函数的多样性，但是，都离不开一个基本点F (x ) 一定要满足Rolle 中值定理的条件，否则就是去了作为辅助函数的意义. 证毕.
3. 构造辅助函数证明Newton-Leibniz 公式
牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本定理，他把定积分和不定积分两者联系起来，使得定积分的计算更加简洁和完善，下面我们来看这个公式的证明.
3.1 Newton-Leibniz 公式的证明
定理（4Newton-Leibniz ）若f (x ) 在[a , b ]上是连续的，且F (x ) 是f (x ) 在[a , b ]上的一个原函数，那么 ⎰b
a f (t ) dt =F (b ) -F (a )
分析：首先我们来构造辅助函数φ(x ) =
函数的性质. 我们定义函数φ(x ) =
有φ'(x ) =f (x ) . ⎰x a f (t ) dt ，现在，我们来研究这个φ(x ) ⎰x a f (t ) dt ，那么φ(x ) 连续，若f (x ) 连续，则
证明：让函数φ(x ) 获得一个增加的量∆x ，则对应的函数增量
∆φ(x ) =φ(x +∆x )-φx (=)
那么可以根据区间的可加性， ⎰x +∆x a f t (dt ) -⎰f t dt ( ) a x x +∆x
a x x ⎰x +∆x a f (t ) dt -⎰f (t ) dt =⎰f (t ) dt
假设m 、M 分别是f (x ) 在⎡⎣a , b ⎤⎦上的最小值和最大值，我们可以根据积分第一中值定理，则存在实数η∈[m , M ]，使得 ∆φ=⎰x +∆x
x f (t ) dt =η⨯∆x
当f (x ) 连续时，存在ε∈(x , x +∆x ) ，使得η=f (ε)
于是当∆x 趋近于0时，∆φ趋近于0，即φ(x ) 是连续的.
若f (x ) 连续，当∆x →0，ε→x ，f (ε) →f (x ) ，则
∆φ=f (x ) . 从而我们得出φ'(x ) =f (x ) ，下证Newton-Leibniz 公式. ∆x →0∆x lim
由于φ'(x ) =f (x ) ，所以， φ(x ) +C =F (x ) .
显然，φ(a ) =0（因为积分区间为[a , a ]，故面积为0），所以F (a ) =C . 于是有 φ(x ) =F (x ) -F (a ) ,
当x =b 时，φ(b ) =F (b ) -F (a ) . 证毕.
3.2 结论形如f , (ξ) +kf (ξ) =0的情形
例1 已知函数f (x ) ) 在（0，a ）上连续，在（0，a ）内可导，且f (0)= f (a )
证明至少存在一点ξ∈（0，a ), 使得f , (ξ) -2f (ξ) =0.
证明：设辅助函数F (x ) =e -2x f (x ) ，则F (x ) 在[0, a ]上连续，在（0，a ）内
（0，a ) 使得 可导，且满足F （a ）= F （0）=0.由罗尔定理，至少存在一点ξ∈
F , (ξ) =-2e -2ξf (ξ) +e -2ξf , (ξ) =e -2ξ[f , (ξ) -2f (ξ)]=0
所以f , (ξ) -2f (ξ) =0.
例2 设，函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b ) 内可导，证
b . a （a ，b ) 满足f (b ) -f (a ) =ξf , (ξ) ln 明至少存在一点ξ∈
分析：要证的结论也可表示为f (b ) -f (a ) =ξf , (ξ) . 显然是两个函数f (x ) 及ln b -ln a
在区间[a , b ]两个端点处函数值之差的比值，在考虑用柯西中值理来证. 证明：可以令g (x ) =ln x ，则g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且g , (x ) =
（a ，b ) ，使得 对于函数f (x ) 和g (x )，由柯西中值定理，至少存在一点ξ∈
b f (b ) -f (a ) f , (ξ) 也即 f (b ) -f (a ) =ξf , (ξ) ln . =1a ln b -ln a 1，x
ξ
4. 构造辅助函数在高等数学中的应用
4.1 构造辅助函数证明中值存在性问题
若方程或含ξ的等式中含有函数值之差与两点之差的比时，我们可以考虑用拉格朗日中值定理证之，若含有两个两点的函数值之差的比，则考虑用柯西中值定理证之.
例3 设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，试证∃ξ∈(a , b ) 使得
2ξ[f (b ) -f (a )]=(b 2-a 2) f , (ξ) .
分析:观察等式，可将等式做适当的变形，将等式2ξ[f (b ) -f (a )]=(b 2-a 2) f , (ξ)
f (b ) -f (a ) f ' (ξ) 变形为，变形后的等式的形式为两函数在两点的函数值的比=2ξb 2-a 2
值. 经过恒等变形后的式子符合柯西中值定理式，故构造辅助函数g (x ) =x 2, 对f (x ) ), g (x )在[a , b ]上利用柯西中值定理，即可证得结论.
4.2构造辅助函数证明不等式
对于含有符号的函数不等式，若f (x ) 在(a , b ) 内变号时，不易使用单调性证明，若用单调性，则需分情况讨论比较麻烦，此时应考虑用函数的最值进行证明. 例4当x >0，证明x >ln(1+x ).
分析：构造辅助函数证明不等式用作差法是最常用的，主要就是将不等号右端的式子移到左边，形成一个减法式，右边为零，试证不等号左边式子的单调性，分析：观察不等式的结构，不等式是由两个初等函数构成，而初等函数的导数仍为初等函数，故可用作差法，构造辅助函数f (x ) =x -1n (1+x ) ，对其求导。得出单调性及其相应的极值，从而得出结论。作差法是做常用的构造辅助函数的方法。其关键在于移项作差，构造新的函数，然后利用导数探讨函数单调性即可证明, 构造辅助函数用单调性证之.
证明：我们做辅助函数ϕ(x ) =x -ln(1+x ). 显然，当x >0时，有
ϕ' (x ) =1, 1≥0
因此，ϕ(x ) 在x ∈(0,+∞) 时是增函数，而ϕ(x ) 在x =0处连续，并且f (0)=0. 所以f (x ) =x -ln(1+x ) >f (0)=0这样，原不等式证毕.
上个证明是比较简单的，证明其单调性就能快速得出答案. 而下面这个例子，我们需要研究一下它的左右两边的性质，这有利于我们思考如何构造辅助函数.
4n -4223242n 2
⨯2⨯2⨯⋅⋅⋅⨯2>e 6n +3. 例5证明不等式22-13-14-1n -1
分析：因为此式左边相乘的项数多，直接移项作差证明会非常困难，而不等式左右两边的式子都是幂级数形式，并且右边为>e 4n -4
6n +3，故我们可以先把两边取对
数形式，化简后作差，构造辅助函数更简单一些.
证明：把不等式的两边取对数得
2232n 24n -4 ln(2) +ln(2) +⋅⋅⋅+ln(2) > 2-13-1n -16n +3
我们先来研究不等式的左边
左边
2232n 2
=ln(2) +ln(2) +⋅⋅⋅+ln(2) 2-13-1n -1
=ln 2-ln1+ln n -ln(n +1) 2n =ln n +1
构造辅助函数ϕ(x ) =ln
对ϕ(x ) 求导得ϕ(x ) =' 2x 4x -4-. x +16x +3 112+. x (x +1) (6x +3)
' 从而得知，当x >2时，ϕ(x ) >0, ϕ(x ) 为严格递增.
44 ϕ(2)=ln ->0而ϕ(x ) ≥ϕ(2)>0. 315
2n 4n -4故得出 l . 则原不等式成立，证毕. >n +16n -3
其实，在证明不等式的方法中，还有很多，如比较法，分析法，综合法等，但是有时，这些方法比较麻烦，运算过程多. 这时，若是针对题目构造一个适当的辅助函数，把题转化为对这个题的性质的研究，就像对定义域、值域、单调性、连续性、最值等的研究. 这样，运算就比较简单了.
例6 已知|a |-1.
证明：原不等式形为(b +c )a +bc +1>0，
构造函数f (a ) =(b +c )a +bc +1，
若b +c =0，不等式成立，
若b +c ≠0，则f (a )是a 的一次函数,
又－1＜a ＜1，而f (-1)=-b -c +bc +1=(1-b )(1-c )>0，
f (1)=b +c +bc +1=(1+b )(1+c )>0,
由单调函数的局部保号性有 f (a )>0，
从而得到ab +bc +ac >-1.
例7设a >e , 0
2，证明a y -a x >(cosx -cos y ) a x ln a .
a y -a x
分析：原不等式可等价于
数f (t ) =a t 与g (t ) =cos t 在区间[x , y ]上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.
a y -a x
g (t ) =cos t , 证明：原不等式等价于可构造函数f (t ) =a t ，
因f (t ), g (t ) 均在[x , y ]上连续，在(x , y ) 上可导，且f '(t ) =a t ln a ≠0，由于0
2，则g '(t ) =-sin t ≠0, g (x ) =cos x ≠g (y ) =cos y ，所以f (t ), g (t ) 在
[x , y ]上满足柯西中值条件，于是存在ξ∈(x , y ) ，使得f '(ξ) f (y ) -f (x ) a y -a x a ξln a ， ===g '(ξ) g (y ) -g (x ) cos y -cos x -s i ξn
又因a >e , ξ∈(x , y ), 0
2, 有 a x 1, ln a >1， sin ξ
a ξln a a ξln a a y -a x
x 得到a ln a -
即a y -a x >(cosx -cos y ) a x ln a
4.3构造辅助函数证明恒等式
恒等式证明是常见的题型，对这种题型，找到简单快速的证明方法可以节省很多时间. 如对于下面的题，形式比较复杂，还存在一阶导数，我们可以构造辅助函数，然后变换形式，创建出中值定理的成立条件，利用中值定理来证明就很简单
了.
例8设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，证明在(a , b )内至少存在一点ξ，使得 bf (b ) -af (a ) =f (ξ) +ξf ' (ξ) b -a
分析：令bf (b ) -af (a ) =k ，则bf (a ) -kb =af (a ) -ka 为关于a 与b 的对称b -a
式，故取 F (x ) =x f (x -)
证明：令F (x ) =xf (x ) -. k x bf (b ) -af (a ) x b -a
则F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，又因为F (a ) =F (b ) =0，
所以F (x ) 在[a , b ]上满足罗尔定理，那么存在一个ξ∈(a , b ) ，使得F (ξ) =0. '
即f (ξ)+ξf (ξ) -' bf (b ) -af (a ) bf (b ) -af (a ) =0， 即=f (ξ)+ξf ' (ξ) . b -a b -a
上题构造辅助函数后应用了罗尔定理，使得上式证明变得简单明了. 下面这个题属于条件恒等式，我们要看好条件，可以适当的进行变形，做辅助函数.
例9设f (x ) 在0, +∞)上连续，在0, +∞)内可导，且0≤f (x ) ≤[[x ，则至21+x
1-ξ2
少存在一点ξ∈[0, +∞)，使得 f (ξ) =. 22(1+ξ) '
分析：我们先把ξ看成变量x ，由于结论可化为
1-x 2x ' =0. f (x ) - 即(f (x ) -) =0. 222(1+x ) 1+x '
显然其通解为f (x ) -x =C , 把常数C 变成一个关于x 的函数C (x ), 我们就21+x
得到一个辅助函数，C (x ) =f (x ) -x . 21+x
1-x 2x ' ' , 证明：做辅助函数C (x ) =f (x ) -. 那么C (x ) =f (x ) -222(1+x ) 1+x
又由于已知条件0≤f (x ) ≤x , 我们可以得到f (0)=0, lim f (x ) =0, 2x →+∞1+x
并且C (x ) =f (x ) -x ≤0. 21+x
21-x ' ' 若C (x ) ≡0, x ∈(0,+∞) 时，则C (x ) =0, 那么就有f (x ) =. 22(1+x )
若C (x ) ≠0, x ∈(0,+∞) 时，那么一定存在a ∈(0,+∞), 使得C (a )
又因为C (x ), 在0, +∞)上连续，由介值定理可知，一定存在b , c 两点，[
0对C (x ) 在[a , b ]上使用罗尔定理，那么至少存在一点ξ∈(b , c ) ⊂(0,+∞), 使得
1-ξ2
C (ξ) =0, 即f (ξ) =. 22(1+ξ) ' '
上题是将一个客观存在的数ξ看成是变量x ，利用拉格良朗日常数变易法的思想将微分方程通解中的常数C 变成一个x 的函数C (x ), 就得到了证明这个命题的辅助函数，并且在证明这种恒等式的例子中，运用中值定理比较广泛，而在中值定理中，罗尔定理是最常用的，这种方法能开拓我们的学习做题的思路.
4.4构造辅助函数讨论方程的根
关于方程的根的讨论主要是根的存在性个数问题，构造辅助函数来解这方面的题，如同证明不等式，构造辅助函数的方法类似，比一般方法更为简单.
例10方程x =a sin x +b , a >0, b >0, 证明方程至少有一个正根且不超过a +b . 分析：此题我们可以构造辅助函数ϕ(x ), 在[a , b ]上连续，若能得出ϕ(a ), ϕ(b ) 异号，则存在ξ∈[0,a +b ]，使得f (ξ) =0, 那么ξ就是方程的根且不超过a +b ，即运用介值定理.
证明：设ϕ(x ) =a sin x +b -x , ϕ(x ) 在[0,a +b ]上连续，则显然ϕ(0)=b >0, ϕ(a +b ) =a s i n a (+b -) a ≤ 0
现在我们讨论，若a +b =π
2+2k π时，即sin(a +b ) =1, f (a +b ) =0,
则方程有一个正根为a +b 另一种情况，若a +b ≠π
2+2k π, 即sin(a +b )
理条件，则存在一点ξ∈[0,a +b ]，使得ϕ(ξ) =0.
那么ξ就是方程ϕ(x ) =0的根，
综上所述，方程至少有一个正根且不超过a +b ，证毕.
4.5构造辅助函数证明中值问题
对中值问题，一般将问题适当变形，再观察变形后的式子，构造相应的辅助函数，使之符合中值定理，介值定理，零点定理之类的条件，就可以轻松证明了.
例11设f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f (1)=0, 求证存在ξ∈(0,1),使得f (ξ) =-' f (ξ)
ξ.
证明：构造辅助函数ϕ(x ) =xf (x ), 显然
ϕ(0)=f (0)⨯0=0, ϕ(1)=f (1)⨯1=0,
又因为f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故根据罗尔定理可知，存在一点ξ∈(0,1),使得ϕ' (ξ) =0, 即ϕ' (ξ) =ξf ' (ξ) +f (ξ) =0,
即ξf (ξ) =-f (ξ) ，则f (ξ) =-' ' f (ξ)
ξ. 证毕.
4.6构造辅助函数求极限
一些求极限的题目，也可以用做辅助函数来解决，求极限的方法有很多，对于特殊的题目用一般方法可能不好解，而构造辅助函数后就非常容易了.
例12
求 n 解：作辅助函数f (x ) =x , 则f (x ) =e 1
x ln x x . 所以
lim f (x ) =lim e x →+∞x →+∞ln x x =e ln x x →+∞x lim =e 1x →+∞x lim =e 0=1
故=lim f (n ) =1. n n →∞
例13求f (x ) =111+++x +1x +2x +3+1的极限. x +x
分析：此题求函数的极限，如果直接用函数极限的有关方法来求解比较麻烦，因为每一项的极限值均为0，如果将每一项通过适当的变形，构造相应的辅助函数，再运用我们所熟悉的黎曼积分，结果会事半功倍，因为黎曼积分本身就是通过极限思想得到的，把它再反用于极限也是很容易实现的.
1x x x 解：变形f (x ) =(+++x x +1x +2x +3x +) x +x
⎫1⎪ +x ⎪1+⎪x ⎭⎛1 111 = +++123x 1+1+1+x x x ⎝1x 1 =∑ x i =11+x
构造辅助函数g (x ) =1⎰01+x ，这个积分函数将f (x ) 变成了积分函数，求这1
个函数的积分，就是f (x ) 的极限.
11 g (x ) =⎰=ln(1+x ) =ln 2 所以，f (x ) 的极限是ln2. 001+x 1
5. 总结
在这篇论文中，列举了大量的例子来说明辅助函数在数学中的应用，并且如何构造辅助函数，本文也有所涉及，下面我列举了几种方法.
常数k 值法构造辅助函数是将所得的结论进行变形，然后把常数部分分离出来，并使常数部分得k ，将这个式子进行恒等变形，使式子变成一端成为a 和f (a )的表达式，另一端成为b 和f (b )的表达式，再将a 和b 的值换为x ，这样得出的式
子就为所做得辅助函，详见例7.
微分方程法构造辅助函数是关于解存在ξ∈[a , b ]，使f ' (ξ)=ϕ[ξ, f (ξ)]这类的问题，构造辅助函数的方法是先将ξ变为x ，解出其通解形式为ψ(x , y )=c ，此时辅助函数为F (x )=ψ(x , y )，详见例9.
作差法构造辅助函数是将原题适当变形后，将等号（或不等号）右边的式子移到左边做差，得到的式子即为辅助函数，即若解不等式f (x ) ≤g (x ) ，可以将这个式子的差F (x ) 作为辅助函数，那么，F (x ) =f (x ) -g (x ) ，则只需证明F (x ) 在其定义域内大于零即可. 详见例4、例5.
原函数法构造辅助函数是将题中的式子进行适当变形，使之成为一个易于积分，能够消除导数的形式，然后求出原函数，可将它的积分常数取为零，然后移项，使之成为等式一端为零，一端则为辅助函数. 这类题形详见例9. 还有很多构造辅助函数的方法这里不再一一叙述.
在数学中构造辅助函数的方法基本是无处不在的. 学会构造辅助函数的方法也是至关重要的，如我们上文所举的例子中，应用了常数k 值法，微分方程法，作差法和原函数法，关于定理的证明我们需要观察式子的特性，应用相关的方法以便构造辅助函数. 而关于解题方面的证明，同样需要仔细观察，在各种题型的应用中，我们需要灵活运用构造辅助函数的方法，使之成为我们更好的学习工具. 如此，我们可以看出，辅助函数在数学中的应用是广泛并且非重要的. 在高等数学中，证明和解题是主要的，在这过程中，构造辅助函数的方法是我们必须所掌握的，这有利于增强我们的解题思维. 并且能够快速的理通思路，方便我们理解题意，找到解决的办法. 辅助函数在数学中的应用非常广泛，也非常实用，在我们解题遇到困难时，有时它就是用来解除障碍的有力工具. 它所涉及的领域很多，关于构造辅助函数的方面我还要更好的学习.
参考文献
[1]《数学分析》第四版[M ]. 华东师范大学数学系编, 121—136.
[2] 卢连芬. 辅助函数的应用[J]. 数学教育学报, 2003:1-3.
[3] 刘勇. 高等数学中构造辅助函数[J]. 数学教育学报, 2009:1-4.
[4] 廖达凡. 辅助函数法在不等式问题中的应用[J]. 高中数学教与学, 2009（4）.
[5] 陈国干. 高等数学中如何构造辅助函数[J]. 数学教育学报, 1999,(02) :14-16.
[6]宋振云，陈少元，徐琼霞. 微分中值定理应用中辅助函数的构造[J]. 高师理科
学刊. 致谢
在师大将近三年的数学学习当中，通过老师们的谆谆教导，让我既体会到了数学的深奥与严密，也深深地被老师您深厚的数学功底和渊博的专业知识所折服。这学期，特别是李老师的课师讲课思路清晰明了，对学生的学习生活也是关爱有加，老师特意腾出时间为我们加辅导课，时常鼓励我们考研，让我们觉得您不仅仅是我们的好老师，更兼是我们的良师益友，师生之情，皎如日月！
与您的交流与接触虽然不太多，但能够做您的学生，能够在您的讲台下面听课，对我来说已经是三生有幸了。 伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思
考方式，从论文题目的选定到论文写作的指导, 经由您悉心的点拨, 再经思考后的领悟, 常常让我有“山重水复疑无路, 柳暗花明又一村”的感觉。
您严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力，与无微不至、感人至深的人文关怀，令人如沐春风，倍感温馨。两学期的时间短暂而又匆匆忙忙，不知不觉已近大四，在这里让我对老师的辛勤教导表示万分的感谢，我想说声：李老师！您辛苦了！
最后，非常感谢我的导师！在写论文的过程中，导师指导我的讲述论文思路. 导师指导的很认真，我也能尽量达到导师的指导目标. 在这里，再次郑重的感谢导师！谢谢您！
数学证明中的构造辅助函数方法
摘要 数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂. 这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果. 如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.
关键词 辅助函数 ； 中值定理 ； 恒等式与不等式； 函数表达式 ；极值
1. 引言
数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数. 基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止. 构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.
2. 微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧
2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法
定理1（Rolle ）：若函数f (x ) 满足如下条件：
（i ）f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续； （ii ）f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导； （iii ）f (a ) =f (b ) ；
则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得f '(ξ) =0.
定理2（Lagrange ）：若函数f (x ) 满足如下条件：
（i ）f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续；（ii ）f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导；
则在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得 f '(ξ) =f (b )-f (a ) b -a
显然，特别当f (a ) =f (b ) 时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。表明Rolle 定理是Lagrange 中值定理的一个特殊情形.
证明：f '(ξ) =f (b )-f (a )f (b )-f (a )=0，自然想到等式的左可以写成f '(ξ) -b -a b -a
端是某个函数的导数，所以构造辅助函数：
f (b )-f (a )x （1） F (x ) =f (x ) -b -a
显然，函数F (x ) 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b ) 内可导, 而且F (a ) =F (b ) ，于是由Rolle 中值定理知道，至少存在一点ξ∈(a , b )，使得F '(ξ) =f '(ξ) -f (b )-f (a )=0成立，也就是Lagrange 中值定理成立. b -a
f (b )-f (a )，该等式的右端是连接曲线弧端b -a Lagrange 中值定理的结论：f '(ξ) =
点的弦的斜率，所以Lagrange 中值定理的几何意义就是：在满足条件的曲线上
至少存在一点，曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线. 在Rolle 定理中，由于f (a ) =f (b ) ，弦是平行于x 轴的，因此在ξ点的切线实际上也平行于以连接曲线弧端点的弦，从上述Lagrange 中值定理与Rolle 定理的关系，自然想到利用Rolle 定理来证明Lagrange 中值定理，但在Lagrange 中值定理中，函数f (x ) 不一定具备f (a ) =f (b ) 这个条件，为此设想构造一个与f (x ) 有密切联系的函数F (x ) ，使F (x ) 满足条件F (a ) =F (b ) ，然后对F (x ) 应用Rolle 定理，再把对F (x ) 所得的结论转化到f (x ) 上，证得所要的结果，从Lagrange 中值定理的几何解释中来寻找辅助函数F (x ) ，从图1中看到，有向线段AB 的长度是x 的函数，把它表示为F (x ) ，它与f (x ) 有密切的联系，且当x =a 及x =b 时，点A 与点B 重合. 若将图1的虚线坐标平移到图2，即有F (a ) =F (b ) =0，为了求得函数F (x ) 的表达式，设直线AB 的方程为y =L (x ) ，则 L (x ) =f (a ) +f (b ) -f (a ) (x -a ) b -a
由于点A 、B 的纵坐标依次为f (x ) 及L (x ) ，故表示有向线段AB 长度的函数 F (x ) =f (x ) -L (x ) =f (x ) -f (a ) -f (b ) -f (a ) (x -a ) （2） b -a
显然（2）式这个辅助函数满足在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b ) 内可导, 而且F (a ) =F (b ) =0，由Rolle 定理，可知在至少存在一点ξ∈(a , b )，使得
F '(ξ) =f '(ξ) -
成立，也就是Lagrange 中值定理成立.
f (b )-f (a )=0 b -a
图1 图2
2.2 柯西（Cauchy ）中值定理辅助函数的作法
定理3（Cauchy ）：若函数f (x ) 与g (x )满足
（i ） 在闭区间[a , b ]上连续；（ii ）在开区间(a , b ) 内可导；
（iii ）对任一x ∈(a , b )，g '(x )≠0；
那么至少存在一点ξ∈(a , b )，使等式
成立.
证明：作辅助函数
F (x ) =f (x ) -f (b ) -f (a ) g (x ) （4） g (b ) -g (a ) f (b )-f (a )f '(ξ) （3） =g b -g a g 'ξ显然，F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且有F (a ) =F (b ) . 故由Rolle 中值定理，存在ξ∈(a , b ) . 使得
F (ξ) =f (ξ) -' ' f (b ) -f (a ) , g (ξ) =0 (5) g (b ) -g (a )
这里必有g , (ξ) ≠0，否则由上式可知，若g , (ξ) =0也将有f , (ξ) =0，而这个结论与定理的条件（iii ）相矛盾，因而我们能将(5)式改写成（3）式.
在这里我将给出该定理证明中辅助函数的多种不同作法所得的不同形式的函数F (x ) ，皆能满足证明之需. f (x ) 、g (x )满足定理条件(i)、(ii)、(iii)、(iv)。
1、取F (x ) =f (x ) -f (a ) -f (b ) -f (a ) [g (x ) -g (a )] (6) g (b ) -g (a )
显然F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且F (a ) =F (b ) =0，满足Rolle 中值定理条件，故存在一点ξ∈(a , b ) ，使得
F ' (ξ) =f ' (ξ) -f (b ) -f (a ) , g (ξ) =0 由此式即可得（3）式. g (b ) -g (a )
2、取 F ' (x ) =f (x ) -f (b ) -f (b ) -f (a ) [g (x ) -g (b )] （7） g (b ) -g (a )
显然F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且F (a ) =F (b ) =0, 满足Rolle 中值定理条件，同前一方法，即可得到(3)式.
3、取 F (x ) =f (x ) -A -f (b ) -f (a ) [g (x ) -B ] (8) g (b ) -g (a )
其中A 、B 为任意常数，显然F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且F (a ) =F (b ) ，满足Rolle 中值定理的条件，同前一方法，即可得到(3)式.
4、当f (a )≠f (b ) 时，我们还可以取 F (x ) =g (x ) -A -g (b ) -g (a ) [f (x ) -B ] (9) f (b ) -f (a )
其中A 、B 为任意常数，显然F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且F (a ) =F (b ) ，满足Rolle 中值定理的条件，故在(a , b ) 内存在一点ξ，使得
F ，(x ) =g ，(x ) -g (b ) -g (a ) , f (ξ) =0 （10） f (b ) -f (a )
其中f , (ξ) 必不等于零，否则，若f , (ξ) =0，由（10）式将有g , (ξ) =0，则与定理的条件(ii)相矛盾，从而从（10）式可得（3）式.
从而以上各种函数F (x ) 的表达式皆可取作定理证明中的辅助函数，其中（8）式即为Cauchy 中值定理证明中的辅助函数的一般形式，而当f (a )≠f (b ) 时，（9）式亦可成为Cauchy 中值定理证明中的辅助函数的一般形式. 由以上结果充分说明了Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理证明中所作辅助函数的多样性，但是，都离不开一个基本点F (x ) 一定要满足Rolle 中值定理的条件，否则就是去了作为辅助函数的意义. 证毕.
3. 构造辅助函数证明Newton-Leibniz 公式
牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本定理，他把定积分和不定积分两者联系起来，使得定积分的计算更加简洁和完善，下面我们来看这个公式的证明.
3.1 Newton-Leibniz 公式的证明
定理（4Newton-Leibniz ）若f (x ) 在[a , b ]上是连续的，且F (x ) 是f (x ) 在[a , b ]上的一个原函数，那么 ⎰b
a f (t ) dt =F (b ) -F (a )
分析：首先我们来构造辅助函数φ(x ) =
函数的性质. 我们定义函数φ(x ) =
有φ'(x ) =f (x ) . ⎰x a f (t ) dt ，现在，我们来研究这个φ(x ) ⎰x a f (t ) dt ，那么φ(x ) 连续，若f (x ) 连续，则
证明：让函数φ(x ) 获得一个增加的量∆x ，则对应的函数增量
∆φ(x ) =φ(x +∆x )-φx (=)
那么可以根据区间的可加性， ⎰x +∆x a f t (dt ) -⎰f t dt ( ) a x x +∆x
a x x ⎰x +∆x a f (t ) dt -⎰f (t ) dt =⎰f (t ) dt
假设m 、M 分别是f (x ) 在⎡⎣a , b ⎤⎦上的最小值和最大值，我们可以根据积分第一中值定理，则存在实数η∈[m , M ]，使得 ∆φ=⎰x +∆x
x f (t ) dt =η⨯∆x
当f (x ) 连续时，存在ε∈(x , x +∆x ) ，使得η=f (ε)
于是当∆x 趋近于0时，∆φ趋近于0，即φ(x ) 是连续的.
若f (x ) 连续，当∆x →0，ε→x ，f (ε) →f (x ) ，则
∆φ=f (x ) . 从而我们得出φ'(x ) =f (x ) ，下证Newton-Leibniz 公式. ∆x →0∆x lim
由于φ'(x ) =f (x ) ，所以， φ(x ) +C =F (x ) .
显然，φ(a ) =0（因为积分区间为[a , a ]，故面积为0），所以F (a ) =C . 于是有 φ(x ) =F (x ) -F (a ) ,
当x =b 时，φ(b ) =F (b ) -F (a ) . 证毕.
3.2 结论形如f , (ξ) +kf (ξ) =0的情形
例1 已知函数f (x ) ) 在（0，a ）上连续，在（0，a ）内可导，且f (0)= f (a )
证明至少存在一点ξ∈（0，a ), 使得f , (ξ) -2f (ξ) =0.
证明：设辅助函数F (x ) =e -2x f (x ) ，则F (x ) 在[0, a ]上连续，在（0，a ）内
（0，a ) 使得 可导，且满足F （a ）= F （0）=0.由罗尔定理，至少存在一点ξ∈
F , (ξ) =-2e -2ξf (ξ) +e -2ξf , (ξ) =e -2ξ[f , (ξ) -2f (ξ)]=0
所以f , (ξ) -2f (ξ) =0.
例2 设，函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b ) 内可导，证
b . a （a ，b ) 满足f (b ) -f (a ) =ξf , (ξ) ln 明至少存在一点ξ∈
分析：要证的结论也可表示为f (b ) -f (a ) =ξf , (ξ) . 显然是两个函数f (x ) 及ln b -ln a
在区间[a , b ]两个端点处函数值之差的比值，在考虑用柯西中值理来证. 证明：可以令g (x ) =ln x ，则g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，且g , (x ) =
（a ，b ) ，使得 对于函数f (x ) 和g (x )，由柯西中值定理，至少存在一点ξ∈
b f (b ) -f (a ) f , (ξ) 也即 f (b ) -f (a ) =ξf , (ξ) ln . =1a ln b -ln a 1，x
ξ
4. 构造辅助函数在高等数学中的应用
4.1 构造辅助函数证明中值存在性问题
若方程或含ξ的等式中含有函数值之差与两点之差的比时，我们可以考虑用拉格朗日中值定理证之，若含有两个两点的函数值之差的比，则考虑用柯西中值定理证之.
例3 设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b ) 内可导，试证∃ξ∈(a , b ) 使得
2ξ[f (b ) -f (a )]=(b 2-a 2) f , (ξ) .
分析:观察等式，可将等式做适当的变形，将等式2ξ[f (b ) -f (a )]=(b 2-a 2) f , (ξ)
f (b ) -f (a ) f ' (ξ) 变形为，变形后的等式的形式为两函数在两点的函数值的比=2ξb 2-a 2
值. 经过恒等变形后的式子符合柯西中值定理式，故构造辅助函数g (x ) =x 2, 对f (x ) ), g (x )在[a , b ]上利用柯西中值定理，即可证得结论.
4.2构造辅助函数证明不等式
对于含有符号的函数不等式，若f (x ) 在(a , b ) 内变号时，不易使用单调性证明，若用单调性，则需分情况讨论比较麻烦，此时应考虑用函数的最值进行证明. 例4当x >0，证明x >ln(1+x ).
分析：构造辅助函数证明不等式用作差法是最常用的，主要就是将不等号右端的式子移到左边，形成一个减法式，右边为零，试证不等号左边式子的单调性，分析：观察不等式的结构，不等式是由两个初等函数构成，而初等函数的导数仍为初等函数，故可用作差法，构造辅助函数f (x ) =x -1n (1+x ) ，对其求导。得出单调性及其相应的极值，从而得出结论。作差法是做常用的构造辅助函数的方法。其关键在于移项作差，构造新的函数，然后利用导数探讨函数单调性即可证明, 构造辅助函数用单调性证之.
证明：我们做辅助函数ϕ(x ) =x -ln(1+x ). 显然，当x >0时，有
ϕ' (x ) =1, 1≥0
因此，ϕ(x ) 在x ∈(0,+∞) 时是增函数，而ϕ(x ) 在x =0处连续，并且f (0)=0. 所以f (x ) =x -ln(1+x ) >f (0)=0这样，原不等式证毕.
上个证明是比较简单的，证明其单调性就能快速得出答案. 而下面这个例子，我们需要研究一下它的左右两边的性质，这有利于我们思考如何构造辅助函数.
4n -4223242n 2
⨯2⨯2⨯⋅⋅⋅⨯2>e 6n +3. 例5证明不等式22-13-14-1n -1
分析：因为此式左边相乘的项数多，直接移项作差证明会非常困难，而不等式左右两边的式子都是幂级数形式，并且右边为>e 4n -4
6n +3，故我们可以先把两边取对
数形式，化简后作差，构造辅助函数更简单一些.
证明：把不等式的两边取对数得
2232n 24n -4 ln(2) +ln(2) +⋅⋅⋅+ln(2) > 2-13-1n -16n +3
我们先来研究不等式的左边
左边
2232n 2
=ln(2) +ln(2) +⋅⋅⋅+ln(2) 2-13-1n -1
=ln 2-ln1+ln n -ln(n +1) 2n =ln n +1
构造辅助函数ϕ(x ) =ln
对ϕ(x ) 求导得ϕ(x ) =' 2x 4x -4-. x +16x +3 112+. x (x +1) (6x +3)
' 从而得知，当x >2时，ϕ(x ) >0, ϕ(x ) 为严格递增.
44 ϕ(2)=ln ->0而ϕ(x ) ≥ϕ(2)>0. 315
2n 4n -4故得出 l . 则原不等式成立，证毕. >n +16n -3
其实，在证明不等式的方法中，还有很多，如比较法，分析法，综合法等，但是有时，这些方法比较麻烦，运算过程多. 这时，若是针对题目构造一个适当的辅助函数，把题转化为对这个题的性质的研究，就像对定义域、值域、单调性、连续性、最值等的研究. 这样，运算就比较简单了.
例6 已知|a |-1.
证明：原不等式形为(b +c )a +bc +1>0，
构造函数f (a ) =(b +c )a +bc +1，
若b +c =0，不等式成立，
若b +c ≠0，则f (a )是a 的一次函数,
又－1＜a ＜1，而f (-1)=-b -c +bc +1=(1-b )(1-c )>0，
f (1)=b +c +bc +1=(1+b )(1+c )>0,
由单调函数的局部保号性有 f (a )>0，
从而得到ab +bc +ac >-1.
例7设a >e , 0
2，证明a y -a x >(cosx -cos y ) a x ln a .
a y -a x
分析：原不等式可等价于
数f (t ) =a t 与g (t ) =cos t 在区间[x , y ]上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明之.
a y -a x
g (t ) =cos t , 证明：原不等式等价于可构造函数f (t ) =a t ，
因f (t ), g (t ) 均在[x , y ]上连续，在(x , y ) 上可导，且f '(t ) =a t ln a ≠0，由于0
2，则g '(t ) =-sin t ≠0, g (x ) =cos x ≠g (y ) =cos y ，所以f (t ), g (t ) 在
[x , y ]上满足柯西中值条件，于是存在ξ∈(x , y ) ，使得f '(ξ) f (y ) -f (x ) a y -a x a ξln a ， ===g '(ξ) g (y ) -g (x ) cos y -cos x -s i ξn
又因a >e , ξ∈(x , y ), 0
2, 有 a x 1, ln a >1， sin ξ
a ξln a a ξln a a y -a x
x 得到a ln a -
即a y -a x >(cosx -cos y ) a x ln a
4.3构造辅助函数证明恒等式
恒等式证明是常见的题型，对这种题型，找到简单快速的证明方法可以节省很多时间. 如对于下面的题，形式比较复杂，还存在一阶导数，我们可以构造辅助函数，然后变换形式，创建出中值定理的成立条件，利用中值定理来证明就很简单
了.
例8设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，证明在(a , b )内至少存在一点ξ，使得 bf (b ) -af (a ) =f (ξ) +ξf ' (ξ) b -a
分析：令bf (b ) -af (a ) =k ，则bf (a ) -kb =af (a ) -ka 为关于a 与b 的对称b -a
式，故取 F (x ) =x f (x -)
证明：令F (x ) =xf (x ) -. k x bf (b ) -af (a ) x b -a
则F (x ) 在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，又因为F (a ) =F (b ) =0，
所以F (x ) 在[a , b ]上满足罗尔定理，那么存在一个ξ∈(a , b ) ，使得F (ξ) =0. '
即f (ξ)+ξf (ξ) -' bf (b ) -af (a ) bf (b ) -af (a ) =0， 即=f (ξ)+ξf ' (ξ) . b -a b -a
上题构造辅助函数后应用了罗尔定理，使得上式证明变得简单明了. 下面这个题属于条件恒等式，我们要看好条件，可以适当的进行变形，做辅助函数.
例9设f (x ) 在0, +∞)上连续，在0, +∞)内可导，且0≤f (x ) ≤[[x ，则至21+x
1-ξ2
少存在一点ξ∈[0, +∞)，使得 f (ξ) =. 22(1+ξ) '
分析：我们先把ξ看成变量x ，由于结论可化为
1-x 2x ' =0. f (x ) - 即(f (x ) -) =0. 222(1+x ) 1+x '
显然其通解为f (x ) -x =C , 把常数C 变成一个关于x 的函数C (x ), 我们就21+x
得到一个辅助函数，C (x ) =f (x ) -x . 21+x
1-x 2x ' ' , 证明：做辅助函数C (x ) =f (x ) -. 那么C (x ) =f (x ) -222(1+x ) 1+x
又由于已知条件0≤f (x ) ≤x , 我们可以得到f (0)=0, lim f (x ) =0, 2x →+∞1+x
并且C (x ) =f (x ) -x ≤0. 21+x
21-x ' ' 若C (x ) ≡0, x ∈(0,+∞) 时，则C (x ) =0, 那么就有f (x ) =. 22(1+x )
若C (x ) ≠0, x ∈(0,+∞) 时，那么一定存在a ∈(0,+∞), 使得C (a )
又因为C (x ), 在0, +∞)上连续，由介值定理可知，一定存在b , c 两点，[
0对C (x ) 在[a , b ]上使用罗尔定理，那么至少存在一点ξ∈(b , c ) ⊂(0,+∞), 使得
1-ξ2
C (ξ) =0, 即f (ξ) =. 22(1+ξ) ' '
上题是将一个客观存在的数ξ看成是变量x ，利用拉格良朗日常数变易法的思想将微分方程通解中的常数C 变成一个x 的函数C (x ), 就得到了证明这个命题的辅助函数，并且在证明这种恒等式的例子中，运用中值定理比较广泛，而在中值定理中，罗尔定理是最常用的，这种方法能开拓我们的学习做题的思路.
4.4构造辅助函数讨论方程的根
关于方程的根的讨论主要是根的存在性个数问题，构造辅助函数来解这方面的题，如同证明不等式，构造辅助函数的方法类似，比一般方法更为简单.
例10方程x =a sin x +b , a >0, b >0, 证明方程至少有一个正根且不超过a +b . 分析：此题我们可以构造辅助函数ϕ(x ), 在[a , b ]上连续，若能得出ϕ(a ), ϕ(b ) 异号，则存在ξ∈[0,a +b ]，使得f (ξ) =0, 那么ξ就是方程的根且不超过a +b ，即运用介值定理.
证明：设ϕ(x ) =a sin x +b -x , ϕ(x ) 在[0,a +b ]上连续，则显然ϕ(0)=b >0, ϕ(a +b ) =a s i n a (+b -) a ≤ 0
现在我们讨论，若a +b =π
2+2k π时，即sin(a +b ) =1, f (a +b ) =0,
则方程有一个正根为a +b 另一种情况，若a +b ≠π
2+2k π, 即sin(a +b )
理条件，则存在一点ξ∈[0,a +b ]，使得ϕ(ξ) =0.
那么ξ就是方程ϕ(x ) =0的根，
综上所述，方程至少有一个正根且不超过a +b ，证毕.
4.5构造辅助函数证明中值问题
对中值问题，一般将问题适当变形，再观察变形后的式子，构造相应的辅助函数，使之符合中值定理，介值定理，零点定理之类的条件，就可以轻松证明了.
例11设f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f (1)=0, 求证存在ξ∈(0,1),使得f (ξ) =-' f (ξ)
ξ.
证明：构造辅助函数ϕ(x ) =xf (x ), 显然
ϕ(0)=f (0)⨯0=0, ϕ(1)=f (1)⨯1=0,
又因为f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，故根据罗尔定理可知，存在一点ξ∈(0,1),使得ϕ' (ξ) =0, 即ϕ' (ξ) =ξf ' (ξ) +f (ξ) =0,
即ξf (ξ) =-f (ξ) ，则f (ξ) =-' ' f (ξ)
ξ. 证毕.
4.6构造辅助函数求极限
一些求极限的题目，也可以用做辅助函数来解决，求极限的方法有很多，对于特殊的题目用一般方法可能不好解，而构造辅助函数后就非常容易了.
例12
求 n 解：作辅助函数f (x ) =x , 则f (x ) =e 1
x ln x x . 所以
lim f (x ) =lim e x →+∞x →+∞ln x x =e ln x x →+∞x lim =e 1x →+∞x lim =e 0=1
故=lim f (n ) =1. n n →∞
例13求f (x ) =111+++x +1x +2x +3+1的极限. x +x
分析：此题求函数的极限，如果直接用函数极限的有关方法来求解比较麻烦，因为每一项的极限值均为0，如果将每一项通过适当的变形，构造相应的辅助函数，再运用我们所熟悉的黎曼积分，结果会事半功倍，因为黎曼积分本身就是通过极限思想得到的，把它再反用于极限也是很容易实现的.
1x x x 解：变形f (x ) =(+++x x +1x +2x +3x +) x +x
⎫1⎪ +x ⎪1+⎪x ⎭⎛1 111 = +++123x 1+1+1+x x x ⎝1x 1 =∑ x i =11+x
构造辅助函数g (x ) =1⎰01+x ，这个积分函数将f (x ) 变成了积分函数，求这1
个函数的积分，就是f (x ) 的极限.
11 g (x ) =⎰=ln(1+x ) =ln 2 所以，f (x ) 的极限是ln2. 001+x 1
5. 总结
在这篇论文中，列举了大量的例子来说明辅助函数在数学中的应用，并且如何构造辅助函数，本文也有所涉及，下面我列举了几种方法.
常数k 值法构造辅助函数是将所得的结论进行变形，然后把常数部分分离出来，并使常数部分得k ，将这个式子进行恒等变形，使式子变成一端成为a 和f (a )的表达式，另一端成为b 和f (b )的表达式，再将a 和b 的值换为x ，这样得出的式
子就为所做得辅助函，详见例7.
微分方程法构造辅助函数是关于解存在ξ∈[a , b ]，使f ' (ξ)=ϕ[ξ, f (ξ)]这类的问题，构造辅助函数的方法是先将ξ变为x ，解出其通解形式为ψ(x , y )=c ，此时辅助函数为F (x )=ψ(x , y )，详见例9.
作差法构造辅助函数是将原题适当变形后，将等号（或不等号）右边的式子移到左边做差，得到的式子即为辅助函数，即若解不等式f (x ) ≤g (x ) ，可以将这个式子的差F (x ) 作为辅助函数，那么，F (x ) =f (x ) -g (x ) ，则只需证明F (x ) 在其定义域内大于零即可. 详见例4、例5.
原函数法构造辅助函数是将题中的式子进行适当变形，使之成为一个易于积分，能够消除导数的形式，然后求出原函数，可将它的积分常数取为零，然后移项，使之成为等式一端为零，一端则为辅助函数. 这类题形详见例9. 还有很多构造辅助函数的方法这里不再一一叙述.
在数学中构造辅助函数的方法基本是无处不在的. 学会构造辅助函数的方法也是至关重要的，如我们上文所举的例子中，应用了常数k 值法，微分方程法，作差法和原函数法，关于定理的证明我们需要观察式子的特性，应用相关的方法以便构造辅助函数. 而关于解题方面的证明，同样需要仔细观察，在各种题型的应用中，我们需要灵活运用构造辅助函数的方法，使之成为我们更好的学习工具. 如此，我们可以看出，辅助函数在数学中的应用是广泛并且非重要的. 在高等数学中，证明和解题是主要的，在这过程中，构造辅助函数的方法是我们必须所掌握的，这有利于增强我们的解题思维. 并且能够快速的理通思路，方便我们理解题意，找到解决的办法. 辅助函数在数学中的应用非常广泛，也非常实用，在我们解题遇到困难时，有时它就是用来解除障碍的有力工具. 它所涉及的领域很多，关于构造辅助函数的方面我还要更好的学习.
参考文献
[1]《数学分析》第四版[M ]. 华东师范大学数学系编, 121—136.
[2] 卢连芬. 辅助函数的应用[J]. 数学教育学报, 2003:1-3.
[3] 刘勇. 高等数学中构造辅助函数[J]. 数学教育学报, 2009:1-4.
[4] 廖达凡. 辅助函数法在不等式问题中的应用[J]. 高中数学教与学, 2009（4）.
[5] 陈国干. 高等数学中如何构造辅助函数[J]. 数学教育学报, 1999,(02) :14-16.
[6]宋振云，陈少元，徐琼霞. 微分中值定理应用中辅助函数的构造[J]. 高师理科
学刊. 致谢
在师大将近三年的数学学习当中，通过老师们的谆谆教导，让我既体会到了数学的深奥与严密，也深深地被老师您深厚的数学功底和渊博的专业知识所折服。这学期，特别是李老师的课师讲课思路清晰明了，对学生的学习生活也是关爱有加，老师特意腾出时间为我们加辅导课，时常鼓励我们考研，让我们觉得您不仅仅是我们的好老师，更兼是我们的良师益友，师生之情，皎如日月！
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