V O I . 8N O . 3 高等数学研究
M a y . 2005 ST U D I E S I NC 0L L E G EM A T H E M A T I C S 45
一个构造辅助函数的公式＋
常州工程职业技术学院 江苏常州 213000%万里亚 $
摘 要 构造适当的辅助函数是解决微分中值问题的关键 介绍一个构造辅助函数的公式 并具有简洁 方便 实用等特点
关键词 微分中值定理 辅助函数 构造 中图分类号 0172. 1
微分中值定理是微分学中的基本定理 它是沟通函数与导数的桥梁 应用微分中值定理的基本方法是广泛使用辅助函数 但辅助函数的构造是难点 最常用的方法是 凑 这需要经验与技巧
+ f =
式的辅助函数的构造公式 使用起来非常方便 现介绍如下
命题 设P 由微分方程y ' +Py=
y=j
P c P c P c P c j j j j y e =
由此 若要证明存在一点f 使得f ' 只需构造函数 +P f =
P c P c j j F =f e -
即可
a b a b a =f b =0 例1 f 和g 在 上连续 在 上可导 且f 证明存在一点f 使
+P f =0 得f ' ' f f f
证明 对照上述命题条件得 公式中的P '
P ' c P j 设F =f =f e e
P a P b 则F 在 上连续 在 上可导 满足 a b a b F a =f a e =0 F b =f b e =0
罗尔定理条件 在 a b 一点f 使得F ' =0 而f
P P P P P f f f =f e e e e =0 F ' ' +f P ' 即 f ' +f P ' 因为e 所以存f f f ／0
+P f =0 在一点f 使得f ' ' f f f
例2 设f 在 当 >0时 试证对任意 在 0 1 上连续 0 1 内可导 f 0 =0 f >0
的正整数k 存在f 0 1 满足。 f ' f ' k 1-f f = f f 1-f f
1- 1- k f ' k f ' f =0 P 分析 原式等价于f ' 对照命题 f f f 1-f f 1-
k =f f 1- 令F =f
k k k 证明 令F 在 内可导 =f f 1- 0 1 F 0 =f 0 f 1 =0 F 1 =f 1 f 0 1 k f ' -
对任意的正整数k 存在f 使得F ' =0 0 1 =0 。 f
2004 11 24＋收稿日期
46005年5月 高等数学研究 2
k 1k -(f >f (1-f >+k(f >f (1-f >f (1-f >=0O 即:f ' f ' >(-1
k -1( >>0, 所以f (1-f >／0, 因为当 >0时, f
所以f ' f ' (f >f (1-f >-k (f >f (1-f >=0,
(f >(1-f >f ' k f ' =O 即:f (f >f (1-f >
例3 设f 为正整数, 则存在f >, 满( >在 0, 1]上连续, 在(0, 1>内可导, f (0>=0, k , 1。(0足f f ' f ' >O (f >+k(f >=f(f
k k (f >f (f >=0, 对照命题得:P ( >=, 证明 原式等价于f ' f -1f -1
c 令F =f>( -1( >=f( >( >k ,
F ( >=f( >( -1>k , 在 0, 1]上连续, 在(0, 1>内可导,
k F (0>=f(0>=0, F (1>=f(1>X 0=0O >(-1
1-对任意的正整数k >, 使得F ' ' >(f , 存在f , 1(f >=0, 即:f (f -1>k +k (f -1>k f (f >=0O 。(0
, 所以 f(f >+k(f >=0, f (f >+k(f >=f(f 因为f ' >(f -1f f ' f ' >O ／1k
由上述例题发现, 命题中的结论在构造辅助函数中的应用非常广泛, 并且行之有效, 值得一用O 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
1页>
(上接4
1n +11 n 1-n -n -1-n -n u n u n u n -u u-u e c u+u e c u-u u e c e n c u =0011(n >
n +11 n 11-1 -n u u u u n n -n -n =u+u e c u -u e n c e n c e n c u 1100n n (n >1n -1n -n +u 1n -n +-n -n u n u e n n 2n e n e e u e n ==
O n n n n (n >(n >(n >01(j j j j )
(j ()
j (j )
)
n -2n
e n =I =I =1此即I i m i
i
n n n 、 (n 、、>
>公式得证O 故斯特林(S t i r I i n g
一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
4页>(上接4
n (-n >=(-1>n , 有注意到c O s O s T =c T n 、
于是I i m n
-n
=I i
n 、 11(-1>n 1(3>c (>(->]>s c , c O s n =f ' -f ' i n n T T 23f ( T -T n n T -T T j T T j T 12( >= , 则取f 41(-1>n f ( >c c , O s n =2T -n T j T 11212f ( >c O 这样, f ( >= , T ]上的F 同时, =T 在 -T O u r i e r 级数为:n -64T j
1212(-1>n
=T +z , c O s n 2412n 1n =
, 得令 =0(-1>n 12=T O z 212n 1n =
一个构造辅助函数的公式
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：万里亚常州工程职业技术学院,江苏,常州,213000高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2005,8(3)2次
本文读者也读过(10条)
1. 谭洁琦 浅谈微分中值定理证明中辅助函数的构造[期刊论文]-四川教育学院学报2008,24(7)
2. 陆征一 微分学基本定理论证的"积分辅助函数法"[期刊论文]-高等数学研究2003,6(4)
3. 魏琴. 林升光. WEI Qin. LIN Shen-guan 微分中值定理辅助函数的构造问题[期刊论文]-闽江学院学报2005,25(2)
4. 钱伟英 以数列为载体的不等式证明问题[期刊论文]-中学数学月刊2006(4)
5. 赵伟珍. 李爱军. ZHAO Wei-zhen. LI Ai-jun 凸函数的一个Hadamard型不等式[期刊论文]-安徽广播电视大学学报2007(1)
6. 胡承钧. HU Cheng-jun 辅助函数在证明题目中的作用[期刊论文]-西昌学院学报（自然科学版）2008,22(4)
7. 杜争光. DU Zheng-guang 利用函数因子构造辅助函数[期刊论文]-甘肃高师学报2008,13(2)
8. 张忠诚 微分中值问题中构造辅助函数的常数K值法[期刊论文]-周口师范学院学报2004,21(5)
9. 熊德之. XIONG De-zhi 变量代换法与辅助函数法教学札记[期刊论文]-长江工程职业技术学院学报2008,25(4)
10. 张云艳 构造辅助函数的一种新方法[期刊论文]-黔南民族师范学院学报2004,24(6)
引证文献(2条)
1. 华瑛 几何直观法证明Lagrange中值定理[期刊论文]-西安工业大学学报 2011(3)
2. 杜争光 利用函数因子构造辅助函数[期刊论文]-甘肃高师学报 2008(2)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200503017.aspx
V O I . 8N O . 3 高等数学研究
M a y . 2005 ST U D I E S I NC 0L L E G EM A T H E M A T I C S 45
一个构造辅助函数的公式＋
常州工程职业技术学院 江苏常州 213000%万里亚 $
摘 要 构造适当的辅助函数是解决微分中值问题的关键 介绍一个构造辅助函数的公式 并具有简洁 方便 实用等特点
关键词 微分中值定理 辅助函数 构造 中图分类号 0172. 1
微分中值定理是微分学中的基本定理 它是沟通函数与导数的桥梁 应用微分中值定理的基本方法是广泛使用辅助函数 但辅助函数的构造是难点 最常用的方法是 凑 这需要经验与技巧
+ f =
式的辅助函数的构造公式 使用起来非常方便 现介绍如下
命题 设P 由微分方程y ' +Py=
y=j
P c P c P c P c j j j j y e =
由此 若要证明存在一点f 使得f ' 只需构造函数 +P f =
P c P c j j F =f e -
即可
a b a b a =f b =0 例1 f 和g 在 上连续 在 上可导 且f 证明存在一点f 使
+P f =0 得f ' ' f f f
证明 对照上述命题条件得 公式中的P '
P ' c P j 设F =f =f e e
P a P b 则F 在 上连续 在 上可导 满足 a b a b F a =f a e =0 F b =f b e =0
罗尔定理条件 在 a b 一点f 使得F ' =0 而f
P P P P P f f f =f e e e e =0 F ' ' +f P ' 即 f ' +f P ' 因为e 所以存f f f ／0
+P f =0 在一点f 使得f ' ' f f f
例2 设f 在 当 >0时 试证对任意 在 0 1 上连续 0 1 内可导 f 0 =0 f >0
的正整数k 存在f 0 1 满足。 f ' f ' k 1-f f = f f 1-f f
1- 1- k f ' k f ' f =0 P 分析 原式等价于f ' 对照命题 f f f 1-f f 1-
k =f f 1- 令F =f
k k k 证明 令F 在 内可导 =f f 1- 0 1 F 0 =f 0 f 1 =0 F 1 =f 1 f 0 1 k f ' -
对任意的正整数k 存在f 使得F ' =0 0 1 =0 。 f
2004 11 24＋收稿日期
46005年5月 高等数学研究 2
k 1k -(f >f (1-f >+k(f >f (1-f >f (1-f >=0O 即:f ' f ' >(-1
k -1( >>0, 所以f (1-f >／0, 因为当 >0时, f
所以f ' f ' (f >f (1-f >-k (f >f (1-f >=0,
(f >(1-f >f ' k f ' =O 即:f (f >f (1-f >
例3 设f 为正整数, 则存在f >, 满( >在 0, 1]上连续, 在(0, 1>内可导, f (0>=0, k , 1。(0足f f ' f ' >O (f >+k(f >=f(f
k k (f >f (f >=0, 对照命题得:P ( >=, 证明 原式等价于f ' f -1f -1
c 令F =f>( -1( >=f( >( >k ,
F ( >=f( >( -1>k , 在 0, 1]上连续, 在(0, 1>内可导,
k F (0>=f(0>=0, F (1>=f(1>X 0=0O >(-1
1-对任意的正整数k >, 使得F ' ' >(f , 存在f , 1(f >=0, 即:f (f -1>k +k (f -1>k f (f >=0O 。(0
, 所以 f(f >+k(f >=0, f (f >+k(f >=f(f 因为f ' >(f -1f f ' f ' >O ／1k
由上述例题发现, 命题中的结论在构造辅助函数中的应用非常广泛, 并且行之有效, 值得一用O 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
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1n +11 n 1-n -n -1-n -n u n u n u n -u u-u e c u+u e c u-u u e c e n c u =0011(n >
n +11 n 11-1 -n u u u u n n -n -n =u+u e c u -u e n c e n c e n c u 1100n n (n >1n -1n -n +u 1n -n +-n -n u n u e n n 2n e n e e u e n ==
O n n n n (n >(n >(n >01(j j j j )
(j ()
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)
n -2n
e n =I =I =1此即I i m i
i
n n n 、 (n 、、>
>公式得证O 故斯特林(S t i r I i n g
一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
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n (-n >=(-1>n , 有注意到c O s O s T =c T n 、
于是I i m n
-n
=I i
n 、 11(-1>n 1(3>c (>(->]>s c , c O s n =f ' -f ' i n n T T 23f ( T -T n n T -T T j T T j T 12( >= , 则取f 41(-1>n f ( >c c , O s n =2T -n T j T 11212f ( >c O 这样, f ( >= , T ]上的F 同时, =T 在 -T O u r i e r 级数为:n -64T j
1212(-1>n
=T +z , c O s n 2412n 1n =
, 得令 =0(-1>n 12=T O z 212n 1n =
一个构造辅助函数的公式
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：万里亚常州工程职业技术学院,江苏,常州,213000高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2005,8(3)2次
本文读者也读过(10条)
1. 谭洁琦 浅谈微分中值定理证明中辅助函数的构造[期刊论文]-四川教育学院学报2008,24(7)
2. 陆征一 微分学基本定理论证的"积分辅助函数法"[期刊论文]-高等数学研究2003,6(4)
3. 魏琴. 林升光. WEI Qin. LIN Shen-guan 微分中值定理辅助函数的构造问题[期刊论文]-闽江学院学报2005,25(2)
4. 钱伟英 以数列为载体的不等式证明问题[期刊论文]-中学数学月刊2006(4)
5. 赵伟珍. 李爱军. ZHAO Wei-zhen. LI Ai-jun 凸函数的一个Hadamard型不等式[期刊论文]-安徽广播电视大学学报2007(1)
6. 胡承钧. HU Cheng-jun 辅助函数在证明题目中的作用[期刊论文]-西昌学院学报（自然科学版）2008,22(4)
7. 杜争光. DU Zheng-guang 利用函数因子构造辅助函数[期刊论文]-甘肃高师学报2008,13(2)
8. 张忠诚 微分中值问题中构造辅助函数的常数K值法[期刊论文]-周口师范学院学报2004,21(5)
9. 熊德之. XIONG De-zhi 变量代换法与辅助函数法教学札记[期刊论文]-长江工程职业技术学院学报2008,25(4)
10. 张云艳 构造辅助函数的一种新方法[期刊论文]-黔南民族师范学院学报2004,24(6)
引证文献(2条)
1. 华瑛 几何直观法证明Lagrange中值定理[期刊论文]-西安工业大学学报 2011(3)
2. 杜争光 利用函数因子构造辅助函数[期刊论文]-甘肃高师学报 2008(2)
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