单调性
(1)函数的单调性 ①定义及判定方法
单调性是与“区间”紧密相关的概念,对于一个函数,它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性,例如函数y=x+ ,它在区间(- ,0]上没有单调性,而在[0,+ )上是增函数。
有的函数不具备单调性,如函数y= ,它的定义域为R ,但它不具备单调性;再如函数y=x+1,x Z ,它的定义域不是区间,也不能说它在定义域上具有单调性。
函数的单调性具有可逆性,即 在区间D 上单调递增,则 ,且 ,有 ;反之亦然。
②复合函数的单调性:在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数。
对于复合函数y =f [g (x )],令u =g (x ) ,若y =f (u ) 为增,u =g (x ) 为增,则y =f [g (x )]为增;若y =f (u ) 为减,u =g (x ) 为减,则y =f [g (x )]为增;若y =f (u ) 为增,u =g (x ) 为减,则y =f [g (x )]为减;若y =f (u ) 为减,u =g (x ) 为增,则y =f [g (x )]为减.
最大(小)值定义
①一般地,设函数y =f (x ) 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x ∈I ,都有f (x ) ≤M ;
(2)存在x ∈I ,使得f (x ) =M .那么,我们称M 是函数f (x ) 的最大值,记作f (x ) =M .
②一般地,设函数y =f (x ) 的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x ∈I ,都有f (x ) ≥m ;(2)存在x ∈I ,使得f (x ) =m .那么,我们称m 是函数f (x ) 的最小值,记作f (x ) =m .
max
00
max
奇偶性
函数的奇偶性
①定义及判定方法
②若函数f (x ) 为奇函数,且在x =0处有定义,则f (0)=0.
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.
用定义判断函数奇偶性的方法
幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y =x 叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2)幂函数的图象
α
(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称) ;是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称) ;是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
②过定点:所有的幂函数在(0,+∞) 都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞
) 上为增函
数.如果α
④奇偶性:当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.
⑤图象特征:幂函数y =x , x ∈(0,+∞) ,当α>1时,若01,其图象在直线y =x 上方,当α1,其图象在直线y =x 下方.
α
指数函数
对数函数
(1)对数的定义
①若a =N (a >0, 且a ≠1) ,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log N ,其中a 叫做底数,N 叫做真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化:x =log N ⇔a =N (a >0, a ≠1, N >0) . x
a
x
a
(2)几个重要的对数恒等式
(3)常用对数与自然对数
常用对数:lg N ,即log 10N ;自然对数:(4)对数的运算性质
ln N ,即log e
N e =2.71828„). (其中
反函数
设函数y =f (x ) 的定义域为A ,值域为C ,从式子y =f (x ) 中解出x ,得式子x =ϕ(y ) .如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子x =ϕ(y ) ,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x =ϕ(y ) 表示x 是y 的函数,函数x =ϕ(y ) 叫做函数y =f (x ) 的反函数,记作x =f (y ) ,习惯上改写成y =f (x ) . (7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式y =f (x ) 中反解出x =f (y ) ;
③将x =f (y ) 改写成y =f (x ) ,并注明反函数的定义域. 反函数的性质
①原函数y =f (x ) 与反函数y =f (x ) 的图象关于直线y =x 对称.
②函数y =f (x ) 的定义域、值域分别是其反函数y =f (x ) 的值域、定义域. ③若P (a , b ) 在原函数y =f (x ) 的图象上,则P (b , a ) 在反函数y =f (x ) 的图象上.
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-1
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'
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单调性
(1)函数的单调性 ①定义及判定方法
单调性是与“区间”紧密相关的概念,对于一个函数,它在某区间上可能有单调性,也可能没有单调性,例如函数y=x+ ,它在区间(- ,0]上没有单调性,而在[0,+ )上是增函数。
有的函数不具备单调性,如函数y= ,它的定义域为R ,但它不具备单调性;再如函数y=x+1,x Z ,它的定义域不是区间,也不能说它在定义域上具有单调性。
函数的单调性具有可逆性,即 在区间D 上单调递增,则 ,且 ,有 ;反之亦然。
②复合函数的单调性:在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数。
对于复合函数y =f [g (x )],令u =g (x ) ,若y =f (u ) 为增,u =g (x ) 为增,则y =f [g (x )]为增;若y =f (u ) 为减,u =g (x ) 为减,则y =f [g (x )]为增;若y =f (u ) 为增,u =g (x ) 为减,则y =f [g (x )]为减;若y =f (u ) 为减,u =g (x ) 为增,则y =f [g (x )]为减.
最大(小)值定义
①一般地,设函数y =f (x ) 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x ∈I ,都有f (x ) ≤M ;
(2)存在x ∈I ,使得f (x ) =M .那么,我们称M 是函数f (x ) 的最大值,记作f (x ) =M .
②一般地,设函数y =f (x ) 的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x ∈I ,都有f (x ) ≥m ;(2)存在x ∈I ,使得f (x ) =m .那么,我们称m 是函数f (x ) 的最小值,记作f (x ) =m .
max
00
max
奇偶性
函数的奇偶性
①定义及判定方法
②若函数f (x ) 为奇函数,且在x =0处有定义,则f (0)=0.
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.
用定义判断函数奇偶性的方法
幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y =x 叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2)幂函数的图象
α
(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称) ;是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称) ;是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
②过定点:所有的幂函数在(0,+∞) 都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞
) 上为增函
数.如果α
④奇偶性:当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.
⑤图象特征:幂函数y =x , x ∈(0,+∞) ,当α>1时,若01,其图象在直线y =x 上方,当α1,其图象在直线y =x 下方.
α
指数函数
对数函数
(1)对数的定义
①若a =N (a >0, 且a ≠1) ,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log N ,其中a 叫做底数,N 叫做真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化:x =log N ⇔a =N (a >0, a ≠1, N >0) . x
a
x
a
(2)几个重要的对数恒等式
(3)常用对数与自然对数
常用对数:lg N ,即log 10N ;自然对数:(4)对数的运算性质
ln N ,即log e
N e =2.71828„). (其中
反函数
设函数y =f (x ) 的定义域为A ,值域为C ,从式子y =f (x ) 中解出x ,得式子x =ϕ(y ) .如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子x =ϕ(y ) ,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子x =ϕ(y ) 表示x 是y 的函数,函数x =ϕ(y ) 叫做函数y =f (x ) 的反函数,记作x =f (y ) ,习惯上改写成y =f (x ) . (7)反函数的求法
①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式y =f (x ) 中反解出x =f (y ) ;
③将x =f (y ) 改写成y =f (x ) ,并注明反函数的定义域. 反函数的性质
①原函数y =f (x ) 与反函数y =f (x ) 的图象关于直线y =x 对称.
②函数y =f (x ) 的定义域、值域分别是其反函数y =f (x ) 的值域、定义域. ③若P (a , b ) 在原函数y =f (x ) 的图象上,则P (b , a ) 在反函数y =f (x ) 的图象上.
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