怎样证明线段和差题 《数理天地·初》）2003.7 河南省平顶山姚孟发电公司子弟学校 (467001) 袁民华
证明形如 a = b+c 的线段等式时， 通常有如下三种方法：
1.直接证法（线段转换）：通过全等三角形或等角对等边进行证明.
例1. 如图,已知△ABC 和△BED 都是等边
三角形,且A、E、D在一条直线上，
求证：AD = BD+ CD .
证明：∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴ AB = BC，BE = DE ， ∠ABE = 60°－∠EBC，∠CBD = 60°－∠EBC ， ∴ ∠ABE = ∠CBD ， ∴ △ABE≌△ CBD， ∴ AE = CD ∴ AD = AE + DE = CD + BD. 2. 截长法：在线段 a上截取一条线段等于b，再证余下部分等于c 例2. 如图, 在△ABC中, AD为∠BAC的平分线,
∠B = 2∠C,求证: AC= AB + BD.
（第七届“ 希望杯”初二第一试）
证法1: （截长法）在AC上截取AE=AB，
连结DE，
∵ ∠1=∠2 ， AD=AD，
∴ △ABD≌AED，
∴ BD =DE ， ∠B=∠3 ，
又 ∠3 =∠4+∠C，∠B =2∠C ，
∴ ∠4=∠C， ∴ DE = DC，
∴ AB + BD = AE+ EC ，即：AC = AB + BD
证法2 :（补短法）延长AB到E，
使BE=BD，连结DE，只要证AC = AE即可，
以下请读者自行完成.
3.补短法：延长线段b , 使延长部分等于线段c , 再证 例3. 如图， 在梯形ABCD中， AD∥BC， 明延长后的 “新线段（原线段 + 延长部分）”等于a.
∠BAD和∠ABC的平分线交于E， 且CD 过点E，
求证： AB = AD + BC.
2005-11-12 第1页
证法1：(截长法) 如图，
在AB 上截取AF = AD， 连结EF，
∵∠1 =∠2 ， ∴ △ ADE ≌△AFE， ∴ ∠5 =∠ D， 又 ∵AD∥BC ， ∴∠ C+∠D =180°， ∵ ∠6+∠5 =180°，∴∠6=∠C， 又∵∠3 =∠4 ， BE = BE ， ∴ △BEF≌△BEC ， ∴ BF = BC ， ∴ AB = AF + BF = AD + BC. 证法2：（补短法）：如右图，延长BC交AE ∵ AD∥BC ∴ ∠2 =∠M ， 又∠1=∠2 ， ∴ ∠1 =∠M ， 又 ∵∠3 =∠4， ∴ BE平分AM，即：AE = EM ， 又 ∵∠5 =∠6， ∴ △ ADE ≌△MCE， ∴ AD = CM . ∴ AB = BM = BC + CM = BC + AD . 4. 面积法:利用几何图形的总面积等于其各个部分面积之和及三角形的例4.如图，在△ABC中，已知 AB = AC，P为BC 上 的延长线于M ， ∴ AB = BM . 面积公式求解
任一点，PE⊥AB于 E，PF⊥AC 于F . CD为AB边上的
高，D是垂足. 求证 PE + PF = CD. （九年义务教育教材
《几何》二册 P197 B组第2题）
证明：连结AP，∵ S△ABC = S△ABP + S△ACP ，
参考习题：
1. 已知△ABC为等边三角形， D为BC的延长线 上一点，
△ADE也是等边三角形 .求证：CE = AC + DC .
2. 如图,在△ABC中, AD为∠BAC的平分线，
AB=AC+CD. 求∠B：∠C的值. （河南2001）
2005-11-12 第2页 ∴
AB·
CD = AB·
PE + AC·PF, 又 AB = AC , ∴ PE + PF = CD.
3. 如图，已知在△ABC中，∠A=108°，AB=AC，
∠B的平分线交AC于D，求证：AC+CD=BC
简证： 在BC上BM = BA ， 则易证：
△ABD≌△MBD（SAS） ，
∴ ∠BMD =∠A=108°，则
∠DMC =180°－108°=72°，
∴∠CDM =180°－36°－72°=72°，
∴CM =CD ∴BC = BM + CM = AB + CD = AC + CD.
4.已知: 如图，△BDE是等边三角形，A在BE 的延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC,求证: DE + DC = AE.(苏学《竞赛指导》上P82,中国华校初二)P121)
5.已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是 AC的中点, AE⊥BD于点E,AE 的延长线 交BC 于点F,连结 DF,求证：BD = AF +DF.
6.如图，已知：△ABC中，AD是∠A 的平分线，且AB=AD，CM⊥AD，交AD的 延长线于点M. 求证：AM = (AB+AC)/2
*********** (以上入选论文) **********
7.如图，在△ABC中,∠B=2∠C，AD⊥BC于D .
求证：CD=AB+BD
8. 已知在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD为
∠B的平分线. 求证：AD+BD=BC (《几何》第
二册总复习题（三）解法2见《单元同步竞赛辅导》P78)
9.已知:如图，△ABC中，AB = AC，D是 形外一点，
若∠ABD = 60°，∠ADB = 90
°－∠BDC.
求证：AB = BD + DC.
10.《中国华校 初三数学》P268 重庆1999竞赛）
2005-11-12 第3页
怎样证明线段和差题 《数理天地·初》）2003.7 河南省平顶山姚孟发电公司子弟学校 (467001) 袁民华
证明形如 a = b+c 的线段等式时， 通常有如下三种方法：
1.直接证法（线段转换）：通过全等三角形或等角对等边进行证明.
例1. 如图,已知△ABC 和△BED 都是等边
三角形,且A、E、D在一条直线上，
求证：AD = BD+ CD .
证明：∵△ABC和△BED都是等边三角形，
∴ AB = BC，BE = DE ， ∠ABE = 60°－∠EBC，∠CBD = 60°－∠EBC ， ∴ ∠ABE = ∠CBD ， ∴ △ABE≌△ CBD， ∴ AE = CD ∴ AD = AE + DE = CD + BD. 2. 截长法：在线段 a上截取一条线段等于b，再证余下部分等于c 例2. 如图, 在△ABC中, AD为∠BAC的平分线,
∠B = 2∠C,求证: AC= AB + BD.
（第七届“ 希望杯”初二第一试）
证法1: （截长法）在AC上截取AE=AB，
连结DE，
∵ ∠1=∠2 ， AD=AD，
∴ △ABD≌AED，
∴ BD =DE ， ∠B=∠3 ，
又 ∠3 =∠4+∠C，∠B =2∠C ，
∴ ∠4=∠C， ∴ DE = DC，
∴ AB + BD = AE+ EC ，即：AC = AB + BD
证法2 :（补短法）延长AB到E，
使BE=BD，连结DE，只要证AC = AE即可，
以下请读者自行完成.
3.补短法：延长线段b , 使延长部分等于线段c , 再证 例3. 如图， 在梯形ABCD中， AD∥BC， 明延长后的 “新线段（原线段 + 延长部分）”等于a.
∠BAD和∠ABC的平分线交于E， 且CD 过点E，
求证： AB = AD + BC.
2005-11-12 第1页
证法1：(截长法) 如图，
在AB 上截取AF = AD， 连结EF，
∵∠1 =∠2 ， ∴ △ ADE ≌△AFE， ∴ ∠5 =∠ D， 又 ∵AD∥BC ， ∴∠ C+∠D =180°， ∵ ∠6+∠5 =180°，∴∠6=∠C， 又∵∠3 =∠4 ， BE = BE ， ∴ △BEF≌△BEC ， ∴ BF = BC ， ∴ AB = AF + BF = AD + BC. 证法2：（补短法）：如右图，延长BC交AE ∵ AD∥BC ∴ ∠2 =∠M ， 又∠1=∠2 ， ∴ ∠1 =∠M ， 又 ∵∠3 =∠4， ∴ BE平分AM，即：AE = EM ， 又 ∵∠5 =∠6， ∴ △ ADE ≌△MCE， ∴ AD = CM . ∴ AB = BM = BC + CM = BC + AD . 4. 面积法:利用几何图形的总面积等于其各个部分面积之和及三角形的例4.如图，在△ABC中，已知 AB = AC，P为BC 上 的延长线于M ， ∴ AB = BM . 面积公式求解
任一点，PE⊥AB于 E，PF⊥AC 于F . CD为AB边上的
高，D是垂足. 求证 PE + PF = CD. （九年义务教育教材
《几何》二册 P197 B组第2题）
证明：连结AP，∵ S△ABC = S△ABP + S△ACP ，
参考习题：
1. 已知△ABC为等边三角形， D为BC的延长线 上一点，
△ADE也是等边三角形 .求证：CE = AC + DC .
2. 如图,在△ABC中, AD为∠BAC的平分线，
AB=AC+CD. 求∠B：∠C的值. （河南2001）
2005-11-12 第2页 ∴
AB·
CD = AB·
PE + AC·PF, 又 AB = AC , ∴ PE + PF = CD.
3. 如图，已知在△ABC中，∠A=108°，AB=AC，
∠B的平分线交AC于D，求证：AC+CD=BC
简证： 在BC上BM = BA ， 则易证：
△ABD≌△MBD（SAS） ，
∴ ∠BMD =∠A=108°，则
∠DMC =180°－108°=72°，
∴∠CDM =180°－36°－72°=72°，
∴CM =CD ∴BC = BM + CM = AB + CD = AC + CD.
4.已知: 如图，△BDE是等边三角形，A在BE 的延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC,求证: DE + DC = AE.(苏学《竞赛指导》上P82,中国华校初二)P121)
5.已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是 AC的中点, AE⊥BD于点E,AE 的延长线 交BC 于点F,连结 DF,求证：BD = AF +DF.
6.如图，已知：△ABC中，AD是∠A 的平分线，且AB=AD，CM⊥AD，交AD的 延长线于点M. 求证：AM = (AB+AC)/2
*********** (以上入选论文) **********
7.如图，在△ABC中,∠B=2∠C，AD⊥BC于D .
求证：CD=AB+BD
8. 已知在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD为
∠B的平分线. 求证：AD+BD=BC (《几何》第
二册总复习题（三）解法2见《单元同步竞赛辅导》P78)
9.已知:如图，△ABC中，AB = AC，D是 形外一点，
若∠ABD = 60°，∠ADB = 90
°－∠BDC.
求证：AB = BD + DC.
10.《中国华校 初三数学》P268 重庆1999竞赛）
2005-11-12 第3页