中考数学经典证明题（1）
1. （1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，
联结EF ，分别交AC 、BD 于点M 、N ，试判断△OMN 的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB =CD ，联结FE 并延长，分别与BA 、CD E 、F 分别是AD 、BC 的中点，的延长线交于点M 、N ，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； （3）如图3，在△ABC 中，AC >AB ，点D 在AC 上，AB =CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点， 联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若∠FEC =45︒，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系， 并简要说明理由． B
A
M E
D B
F
C
F
图 1 图2 图3
2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥
BD 于点
F ，EG ⊥AC 于点G ，
CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG;
图1
D
D C
(2) 若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
(3) 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一点, EF⊥BD 于点F ，
EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并
满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.
3. 如图，△ABC 是等边三角形，F 是AC 的中点，D 在线段BC 上，连接DF ，以DF 为边在DF 的右侧作等边△
DFE ，ED 的延长线交AB 于H ，连接EC ，则以下结论：①∠AHE +∠AFD =180°；②AF =BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时
1
BC +EC 条件不变时是定值；
DC
（1）其中正确的是-------------------； （2）对于（1）中的结论加以说明；
1
BC ；③当D 在线段2
BH
是定值；④当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他BD
H B
A
F
G
D
E
C
4. 在△ABC 中，AC=BC，∠ACB =90︒，点D 为AC 的中点． （1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
A
A
D E
F
D
F
C
C
图1
E
图2
B
H
5. 如图12，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ． 过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足．求证：DP=DQ．
6. 如图。，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ， 垂足分别为F 、G 。
探究：线段FG 的长与△ABC 三边的关系，并加以证明。
说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步) ；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。
①可画出将△ADF 沿BD 折叠后的图形； ②将CE 变为△ABC 的内角平分线。(如图2)
附加题：探究BD 、CE 满足什么条件时，线段FG 的长与△ABC 的周长存在一定的数量关系，并给出证明。
7. 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB ．
(1)如图①，当∠DAB ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°时，求证：AB ＋AD ＝AC ．
(2)如图②，当∠DAB ＝120°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系? 写出你的猜想， 并给予证明．
(3)如图③，当∠DAB ＝90°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系? 写出你的猜想， 并给予证明．
8. 设点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，F 是BC 边上一点，线段DE 和AF 相交于点P ，点Q 在线段DE 上，
且AQ ∥PC ． (1)证明：PC ＝2AQ ．
(2)当点F 为BC 的中点时，试比较△PFC 和梯形APCQ 面积的大小关系，并对你的结论加以证明．
9. 两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，
G 是BD 的中点．
（1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，
猜想FH 和FG 的数量关系为_______和位置关系为______；
（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，
则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？
直接写出结论，不用证明.
图1
A
图2
图3
C
10. 已知△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝90°，点D 为BC 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D
处．
(1)如图①，若BD ＝CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、点F ，求出重叠部分AEDF 的面积(直接写出结果) ．
(2)如图②，若BD ＝CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F ，设AE ＝x ，重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． (3)若BD ＝2CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F 、另一条直角边交射线AB 于点E ．设CF ＝x (x ＞1) ，重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
中考数学经典证明题（1）
1. （1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，
联结EF ，分别交AC 、BD 于点M 、N ，试判断△OMN 的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB =CD ，联结FE 并延长，分别与BA 、CD E 、F 分别是AD 、BC 的中点，的延长线交于点M 、N ，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； （3）如图3，在△ABC 中，AC >AB ，点D 在AC 上，AB =CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点， 联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若∠FEC =45︒，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系， 并简要说明理由． B
A
M E
D B
F
C
F
图 1 图2 图3
2．（1）如图1，已知矩形ABCD 中，点E 是BC 上的一动点，过点E 作EF ⊥
BD 于点
F ，EG ⊥AC 于点G ，
CH ⊥BD 于点H ，试证明CH=EF+EG;
图1
D
D C
(2) 若点E 在ＢＣ的延长线上，如图2，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G ，CH ⊥BD 于点H ， 则EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
(3) 如图3，BD 是正方形ABCD 的对角线,L 在BD 上，且BL=BC, 连结CL ，点E 是CL 上任一点, EF⊥BD 于点F ，
EG ⊥BC 于点G ，猜想EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (4) 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并
满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论.
3. 如图，△ABC 是等边三角形，F 是AC 的中点，D 在线段BC 上，连接DF ，以DF 为边在DF 的右侧作等边△
DFE ，ED 的延长线交AB 于H ，连接EC ，则以下结论：①∠AHE +∠AFD =180°；②AF =BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他条件不变时
1
BC +EC 条件不变时是定值；
DC
（1）其中正确的是-------------------； （2）对于（1）中的结论加以说明；
1
BC ；③当D 在线段2
BH
是定值；④当D 在线段BC 上（不与B ，C 重合）运动，其他BD
H B
A
F
G
D
E
C
4. 在△ABC 中，AC=BC，∠ACB =90︒，点D 为AC 的中点． （1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
A
A
D E
F
D
F
C
C
图1
E
图2
B
H
5. 如图12，在△ABC 中，D 为BC 的中点，点E 、F 分别在边AC 、AB 上，并且∠ABE =∠ACF ，BE 、CF 交于点O ． 过点O 作OP ⊥AC ，OQ ⊥AB ，P 、Q 为垂足．求证：DP=DQ．
6. 如图。，BD 是△ABC 的内角平分线，CE 是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ， 垂足分别为F 、G 。
探究：线段FG 的长与△ABC 三边的关系，并加以证明。
说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步) ；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分。
①可画出将△ADF 沿BD 折叠后的图形； ②将CE 变为△ABC 的内角平分线。(如图2)
附加题：探究BD 、CE 满足什么条件时，线段FG 的长与△ABC 的周长存在一定的数量关系，并给出证明。
7. 在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB ．
(1)如图①，当∠DAB ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°时，求证：AB ＋AD ＝AC ．
(2)如图②，当∠DAB ＝120°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系? 写出你的猜想， 并给予证明．
(3)如图③，当∠DAB ＝90°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系? 写出你的猜想， 并给予证明．
8. 设点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，F 是BC 边上一点，线段DE 和AF 相交于点P ，点Q 在线段DE 上，
且AQ ∥PC ． (1)证明：PC ＝2AQ ．
(2)当点F 为BC 的中点时，试比较△PFC 和梯形APCQ 面积的大小关系，并对你的结论加以证明．
9. 两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，
G 是BD 的中点．
（1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，
猜想FH 和FG 的数量关系为_______和位置关系为______；
（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，
则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？
直接写出结论，不用证明.
图1
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图2
图3
C
10. 已知△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝90°，点D 为BC 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D
处．
(1)如图①，若BD ＝CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、点F ，求出重叠部分AEDF 的面积(直接写出结果) ．
(2)如图②，若BD ＝CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F ，设AE ＝x ，重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． (3)若BD ＝2CD ，将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F 、另一条直角边交射线AB 于点E ．设CF ＝x (x ＞1) ，重叠部分的面积为y ，求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．