全等三角形性质与判定的综合运用能力提升训练
一. 选择题
1、△ABC 中，AC=5，中线AD=7，, 则AB 边的取值范围是（ ） A.1
2、在△ABC 和∆A 'B 'C '中，∠C ＝∠C '，且b-a=b '-a ',b+a=b '+a ', 则这两个三角形（ ）
A. 不一定全等 B.不全等 C.全等，根据“ASA ” D. 全等，根据“SAS ” 3、如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△
ABC 全等的三角形共有（ ）
A ．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、如图所示，∠E =∠F =90，∠B =∠C ，AE =AF ，结论：①EM =FN ；②
C
CD =DN ；③∠FAN =∠EAM ；④△ACN ≌△ABM ．其中正确的有（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
5、如图2所示，在△ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，BC=BD，结果AC=3cm，那么AE+DE=（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 6、如图，点E 是的周长为（ ）
A ．5 B．7 C ．10 D ．14 二、证明题
1、已知：如图,E 是AD 上的一点,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE．求证：∠B=∠CAE ．
ABCD 的边CD 的中点，AD 、BE 的延长线相交于点F ，DF=3，DE=2
，则
ABCD
A
F
N
B
B
D
E
(2)
C
2、已知∠1=∠2，AC =BD ，E ，F ，A ，B 在同一直线上，问∠3=∠4吗？
3、如图，D ，E ，F ，B 在一条直线上，AB =CD ，∠B =∠D ，BF =DE ，问(1)AE =CF (2)AE ∥CF 。
C
D
2
E A
B F
A
E
C
4、如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM, 求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.
5、如图所示, 已知AB=DC,AE=DF,CE=FB,求证:AF=DE.
6、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC ⊥BF
E
C
7
、如图14-29①，在ΔABC 中∠ACB=90°，AC=BC，M 为AB 中点，P 为AB 上一动点（P 不与A 、B 重合），PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F 。（1）求证：ME=MF，ME ⊥MF ；
（2）如点P 移动至AB 的延长线上，如图14-29②，是否仍有如上结论？请予以证明。
8、等边△ABC ，D 为△ABC 外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ，
①当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系． ②当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．
9、图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
10、如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且A 、B 、D 三点共线．下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③HB 平分∠AHD ；④∠AHC=60°，⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ．其中正确的有（ ）
11、如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：
① AD=BE； ② PQ∥AE ； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°． 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． A
C
E
B
O
D
E
B
12、如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F.
⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：① 猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ；③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明
13．如图（1），点A 、B 、C 在同一直线上，且△ABE ，△BCD 都是等边三角形，连接AD ，CE ． （1）△BEC 可由△ABD 顺时针旋转得到吗？若是，请描述这一旋转变换过程；若不是，请说明理由； （2）若△BCD 绕点B 顺时针旋转，使点A ，B ，C 不在同一直线上（如图（2）），则在旋转过程中： ①线段AD 与EC 的长度相等吗？请说明理由．
②锐角∠CFD 的度数是否改变？若不变，请求出∠CFD 的度数；若改变，请说明理由． （注：等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°）
14．在△ABC 中，AB=AC，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD=AE，∠DAE=∠BAC ，连接CE ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90 度； （2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
15．在△ABC 中，AB=AC，D 是线段BC 的延长线上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AE=AD，∠DAE=∠BAC ，连接CE ．
（1）如图1，点D 在线段BC 的延长线上移动，若∠BAC=30°，则∠DCE= ． （2）设∠BAC=α，∠DCE=β：
①如图1，当点D 在线段BC 的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D 在直线BC 上（不与B 、C 重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
16．等边△ABC ，点D 是直线BC 上一点，以AD 为边在AD 的右侧作等边△ADE ，连接CE ． （1）如图1，若点D 在线段BC 上，求证：CE+CD=AB；
（2）如图2，若点D 在CB 的延长线上，线段CE ，CD ，AB 的数量有怎样的数量关系？请加以证明．
17．如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF 、BD 所在直线的位置关系为 垂直 ，线段CF 、BD 的数量关系为 相等 ；
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB ≠AC ，∠BAC 是锐角，点D 在线段BC 上，当∠ACB 满足什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 不重合），并说明理由．
18．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．当一个点停止运动时时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t ．
（1）用含有t 的代数式表示CP ．
（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
19．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE 、DF 、EF ． （1）求证：△ADF ≌△CEF ；
（2）试证明△DFE 是等腰直角三角形．
20．如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点，易证：CD=BE，△AMN 是等边三角形：
（1）当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；
（2）当把△ADE 绕点A 旋转到图3的位置时，△AMN 还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．
21．（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合）连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF 、BF ′，探究AF 、BF ′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
22．已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．
（1）如图1，当点D 在边BC 上时．①求证：△ABD ≌△ACE ；②直接判断结论BC=DC+CE是否成立；
（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，请写出BC 、DC 、CE 之间存在的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、点E 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，直接写出BC 、DC 、CE 之间存在的数量关系．
全等三角形性质与判定的综合运用能力提升训练
一. 选择题
1、△ABC 中，AC=5，中线AD=7，, 则AB 边的取值范围是（ ） A.1
2、在△ABC 和∆A 'B 'C '中，∠C ＝∠C '，且b-a=b '-a ',b+a=b '+a ', 则这两个三角形（ ）
A. 不一定全等 B.不全等 C.全等，根据“ASA ” D. 全等，根据“SAS ” 3、如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△
ABC 全等的三角形共有（ ）
A ．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、如图所示，∠E =∠F =90，∠B =∠C ，AE =AF ，结论：①EM =FN ；②
C
CD =DN ；③∠FAN =∠EAM ；④△ACN ≌△ABM ．其中正确的有（ ）
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
5、如图2所示，在△ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，BC=BD，结果AC=3cm，那么AE+DE=（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 6、如图，点E 是的周长为（ ）
A ．5 B．7 C ．10 D ．14 二、证明题
1、已知：如图,E 是AD 上的一点,AB=AC,AE=BD,CE=BD+DE．求证：∠B=∠CAE ．
ABCD 的边CD 的中点，AD 、BE 的延长线相交于点F ，DF=3，DE=2
，则
ABCD
A
F
N
B
B
D
E
(2)
C
2、已知∠1=∠2，AC =BD ，E ，F ，A ，B 在同一直线上，问∠3=∠4吗？
3、如图，D ，E ，F ，B 在一条直线上，AB =CD ，∠B =∠D ，BF =DE ，问(1)AE =CF (2)AE ∥CF 。
C
D
2
E A
B F
A
E
C
4、如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM, 求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.
5、如图所示, 已知AB=DC,AE=DF,CE=FB,求证:AF=DE.
6、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC ⊥BF
E
C
7
、如图14-29①，在ΔABC 中∠ACB=90°，AC=BC，M 为AB 中点，P 为AB 上一动点（P 不与A 、B 重合），PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F 。（1）求证：ME=MF，ME ⊥MF ；
（2）如点P 移动至AB 的延长线上，如图14-29②，是否仍有如上结论？请予以证明。
8、等边△ABC ，D 为△ABC 外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ，
①当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系． ②当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．
9、图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
10、如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且A 、B 、D 三点共线．下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③HB 平分∠AHD ；④∠AHC=60°，⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ．其中正确的有（ ）
11、如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：
① AD=BE； ② PQ∥AE ； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°． 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． A
C
E
B
O
D
E
B
12、如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F.
⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：① 猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ；③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明
13．如图（1），点A 、B 、C 在同一直线上，且△ABE ，△BCD 都是等边三角形，连接AD ，CE ． （1）△BEC 可由△ABD 顺时针旋转得到吗？若是，请描述这一旋转变换过程；若不是，请说明理由； （2）若△BCD 绕点B 顺时针旋转，使点A ，B ，C 不在同一直线上（如图（2）），则在旋转过程中： ①线段AD 与EC 的长度相等吗？请说明理由．
②锐角∠CFD 的度数是否改变？若不变，请求出∠CFD 的度数；若改变，请说明理由． （注：等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°）
14．在△ABC 中，AB=AC，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD=AE，∠DAE=∠BAC ，连接CE ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90 度； （2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
15．在△ABC 中，AB=AC，D 是线段BC 的延长线上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AE=AD，∠DAE=∠BAC ，连接CE ．
（1）如图1，点D 在线段BC 的延长线上移动，若∠BAC=30°，则∠DCE= ． （2）设∠BAC=α，∠DCE=β：
①如图1，当点D 在线段BC 的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D 在直线BC 上（不与B 、C 重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
16．等边△ABC ，点D 是直线BC 上一点，以AD 为边在AD 的右侧作等边△ADE ，连接CE ． （1）如图1，若点D 在线段BC 上，求证：CE+CD=AB；
（2）如图2，若点D 在CB 的延长线上，线段CE ，CD ，AB 的数量有怎样的数量关系？请加以证明．
17．如图1，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF 、BD 所在直线的位置关系为 垂直 ，线段CF 、BD 的数量关系为 相等 ；
②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB ≠AC ，∠BAC 是锐角，点D 在线段BC 上，当∠ACB 满足什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 不重合），并说明理由．
18．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．当一个点停止运动时时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t ．
（1）用含有t 的代数式表示CP ．
（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由； （3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？
19．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE 、DF 、EF ． （1）求证：△ADF ≌△CEF ；
（2）试证明△DFE 是等腰直角三角形．
20．如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点，易证：CD=BE，△AMN 是等边三角形：
（1）当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；
（2）当把△ADE 绕点A 旋转到图3的位置时，△AMN 还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．
21．（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合）连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF 、BF ′，探究AF 、BF ′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
22．已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B 、点C 重合）．以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE ．
（1）如图1，当点D 在边BC 上时．①求证：△ABD ≌△ACE ；②直接判断结论BC=DC+CE是否成立；
（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，请写出BC 、DC 、CE 之间存在的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、点E 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，直接写出BC 、DC 、CE 之间存在的数量关系．