90 □ 初一数学讲义
第十三讲 角的有关概念和性质
一、主要知识点回顾
1．角的概念：有公共端点的_______射线组成的图形叫做角。 2．平角，周角，直角以及角的度量单位：度，分，秒。 1平角＝180° 1周角＝360° 1直角＝90° 1度＝60分 1分＝60秒
练习：90°-23°39' ＝_______ 176°52'÷3＝_______。 3．角平分线：
由角的端点引出一条射线，这条射线将这个角分成了相等的两份，这条射线就叫做角平分线。 练习：如图1，∠AOD ＝80°，∠AOB ＝30°，OB 是∠AOC 的平分线，则∠AOC 的
度数为_________，∠COD 的度数为___________。
4．余角和补角
（1）互余：若α+β＝90︒，那么α与β互余。 （2）互补：若α+β＝180︒，那么α与β互补。
C B
O
图1 A
练习：如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是（ ）。
A ．130° B ．40° C ．90° D ．140°
二、感悟与实践
例题1：如图2，已知O 为直线AB 上一点, 过点O 向直线AB 上方引三条射线OC 、OD 、OE ，且OC 平分∠AOD ，∠2=3∠1，∠COE ＝70°，求∠2的度数。
O
图2
□ 初一数学讲义 91
变式练习1：如图3，已知∠BOC =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =20︒，
求∠AOB 的度数。
B
D
C
A
O
图3
例题2：如图4，东西方向的海岸线上有A 、B 两个观测站，在A 地发现它的北偏东30°
方向上有一条渔船，同一时刻，在B 地发现这条渔船在它的北偏西60°方向上，试画图说明这条渔船的位置。
A B
图4
变式练习2：有一张地图，有A 、B 、C 三地，但地图被墨迹污染，C 地具体位置看不
清楚了，但知道C 地在A 地的北偏东30°，在B 地的南偏东45°，你能帮他确定C 地的位置吗？
A
B
92 □ 初一数学讲义
> 例题3：甲乙两人各用一张正方形的纸片ABCD 折出一个45°的角（如图5），两人做法
如下：
甲：将纸片沿对角线AC 折叠，使B 点落在D 点上，则∠1＝45°；
乙：将纸片沿AM 、AN 折叠，分别使B 、D 落在对角线AC 上的一点P ，
则∠MAN ＝45°。
对于两人的做法，下列判断正确的是（ ）。
D(B) C
A 图5
A ．甲乙都对 B ．甲对乙错 C ．甲错乙对 D ．甲乙都错
变式练习3：如图6所示，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，求∠1的度数。
图6
三、巩固与提高
（A ）巩固练习
1．下列四个图形中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个角的图形是（ ）。
B A B
O O O A ． B． C ． D ．
□ 初一数学讲义 93
2．下列说法正确的是（ ）。
A ．两点之间直线最短
B ．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大 C ．把一个角分成两个角的射线叫角的平分线 D ．直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上。
3．下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（ ）。 （1）15°的角 （2）65°的角 （3）75°的角 （4）135°的角 （5）145°的角 A ．（1）（3）（4） B ．（1）（3）（5） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4）（5） 4．如图7，点A 位于点O 的（ A ．南偏东35° B ．北偏西65° C ．南偏东65° D ．南偏西65° 5．下列叙述正确的是（ ）。 A ．180°的角是补角 C ．15°、25°、50°的角互为补角 D ．120°和60°的角互为补角 6．
11
平角＝_____直角，周角＝______平角＝_____直角，135°角＝______平角。 24C B
图8
A
7．如图8，（1）∠AOC ＝+_____＝______； （2）∠AOB ＝______-______＝______-______。 8．如图9，如果∠1＝65°15' ，∠2＝78°30' ，求∠3是多少度?
图9
94 □ 初一数学讲义
9．如图10，∠AOD ＝∠BOC ＝90°，∠COD ＝42°，求∠AOC 、∠AOB 的度数。
A
10．如图11所示，直线AB 、CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝40°，
求∠2和∠3的度数。 2 B A 3
C 图11
11．一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数。
13
（B ）能力提高
12．两个角的大小之比是7 : 3，他们的差是72°，则这两个角的关系是（ ）。
A ．相等 B ．互余 C ．互补 D ．无法确定 13．若∠α+∠β＝90°，∠β+∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关系是（ ）。
A ．互余 B ．互补 C ．相等 D ．∠α＝90 °+∠γ 14．（2001，宁夏）学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C ，电影院在学
校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB 等于（ ）。 A ．115° B ．155° C ．25° D ．65°
□ 初一数学讲义 95 15．3.76°＝_______度_______分______秒；22︒32'24''＝_________度。 16．如图12所示，∠AOB 是平角，∠AOC ＝30°，∠BOD ＝60°，OM 、ON 分别是∠AOC 、 ∠BOD 的平分线，∠MON 等于_________。
17．如图13，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是西偏北50°。 （1）若∠AOC ＝∠AOB ，则OC 的方向是___________； （2）OD 是OB 的反向延长线，OD 的方向是_________； （3）∠BOD 可看作是OB 绕点O 逆时针方向至OD ，
作∠BOD 的平分线OE ，OE 的方向是___________； （4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE ＝ °。
D 北
N
C 50 B O
图12
南 图
13
18．如图14，一只小虫从点A 出发向北偏西30°方向爬了3cm 到点B ，再从点B 出发向
北偏东60°爬了3cm 到点C 。
（1）从图上量出点C 到点A 的距离（精确到0.1cm ）；
（2）指出点C 在点A 的什么方位?
图14
96 □ 初一数学讲义
（C ）趣味数学
老师发现一个学生在作业本上的姓名是：木（1+2+3）。 老师问：“这是谁的作业本？” 一个学生站起来：“是我的！” 老师：“你叫什么名字？” 学生：“木林森！” 老师：“那你怎么把名字写成这样呢？” 学生：“我用的是乘法分配律！” 哈哈……
四、考考你（共5小题，每小题20分，共100分）
1．如果点A 在点B 的北偏东40°的方向上，则点B 在点A 的（ ）。
A ．北偏东50° B ．南偏西50° C ．南偏西40° D ．南偏东40° 2．钟表8时30分时，时针与分针所成的角为 3．已知∠α的余角是35°45' 20″，则∠α的度数是___________。
4．如果两个角互为补角，并且它们的差为30°，那么较大的角是。
5．把一个圆形的蛋糕等分成12份，每份中的角是 60°，则这个蛋糕应分成份。
五、课外练习
1．如图15，OA 是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
北
（1）南偏东25°；
西 东
南
图15
（2）北偏西60°。
□ 初一数学讲义 97
2．王老师到市场买菜，发现如果把10千克的菜放到秤上，指标盘上的指针转了180°。 如图16，第二天王老师就给同学们出了两个问题：
（1）如果把0.6千克的菜放在秤上，指针转过多少角度？
（2）如果指针转了7°12' ，这些菜有多少千克？
图
16
98 □ 初一数学讲义
补充习题 角的有关概念和性质
【能力拓展】
1．把一副三角尺的直角顶点O 重叠在一起。
（1）如图1，当OB 平分∠COD 时，则∠AOD 和∠BOC 的和是多少度？ C B C
B A A
D D
O O 图1 图2
（2）如图2，当OB 不平分∠COD 时，则∠AOD 和∠BOC 的和是多少度？
2．在抗日战争时期，一组游击队员奉命把A 村的一批文物送往一个安全地带，在A 村的南偏东50°距离3千米处有一B 村，他们从A 村出发，以北偏东80°方向行军，不知道走了多远以后，他们发现B 村出现了烟火，于是决定先把文物就地埋藏起来，然后调转方向走了7千米的路程，直接赶到B 村消灭了敌人，结束战斗后，这组游击队员应到哪里去取文物呢? 假如你在场，凭以上信息，你能估计文物藏在什么地方吗? （画图说明）
□ 初一数学讲义 99
【课堂小测】共5小题，每1小题20分，共100分
1．钟表8时30分时，时针与分针所成的角为
2．点B 在点A 的南偏东60°，则点A 在点B 的____________。 3．已知∠AOB ＝3∠BOC ，若∠BOC ＝30°，则∠AOC 等于（ ）。 A ．120° B ．120°或60° C ．30° D ．30°或90° 4．一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（ ）。
A ．30° B ．60° C ．45° D ．150° 5．小明从A 处向北偏东72°38' 方向走10m 到达B 处，小亮也从A 处出发向南偏西15°38' 方向走15m 到达C 处，则 BAC 的度数为 度。
100 □ 初一数学讲义
初一数学讲义第十三讲参考答案（56期）
一、主要知识点回顾
1．两条 2．66°21′，58°57′20″ 3．60°，20° 4．D
二、感悟与实践
例题1：60︒
变式练习1：∠AOB =120︒
例题2：北偏东30°方向和北偏西60°方向两射线的交点即为渔船的位置。
变式练习2：方法同例题2。
例题3：A
变式练习3：∠1的度数为15°
三、巩固与提高
（A ）巩固练习
1．B 2．D 3．A 4．B 5．D
6．1，, 1,
7．（1）∠AOB ；∠BOC ；∠AOD ；∠COD
（2）∠AOC ；∠BOC ；∠AOD ；∠B OD
8．解：∠3＝180°-∠1-∠2＝180°-65°15′-78°30′＝36°15′
9．解：∠AOC ＝∠AOD+∠DOC ＝90°+42°＝132°
∠AOB ＝360°-∠AOD -∠BOC -∠COD ＝360°-90°-90°-42°＝138°
10．∠3＝50°，∠2＝12341∠AOD ＝65°
2
14．A 11．45° （B ）能力提高 12．C 13．C
15．3，45，36；22.54
16．135°，（点拨：∠MON ＝180 °-∠AOM -∠BON ＝180 °-
17．（1）北偏东70° （2）南偏东40°
18．（1）CA 约4.2cm
（2）C 在A 的北偏东15°方向
11∠AOC -∠BOD ＝135°） 22（3）南偏西50° （4）160°
四、考考你
1．C
2．75 3．54°14′40″ 4．105° 5．30，6
五、课外练习
□ 初一数学讲义 101
1．略
2．（1）由题意，得(180︒÷10)⨯0.6=10.8︒。
（2）由题意，得(10÷180︒)⨯7︒12'=(10÷180︒)⨯7.2︒=0.4。
初一数学补充讲义第十三讲参考答案（56期）
【能力拓展】
1．（1）180° （2）180°
2．解：由题意作答图，作法如下：
北
N C 80°
西 东
A 7cm 3cm
B M
（1）在平面上任找一点为A （村）
（2）作出A 村的南偏东50°的方向线AM ，在AM 上截取AB ＝3cm （以1cm 表示
1千米）
（3）作出A 村的北偏东80°的方向线AN
（4）以B 点为圆心，以7cm 为半径作圆弧交AN 于C
（5）连结BC ，量出C 点在B 点处的方向为北偏东62°，BC ＝7cm ，则从B 处以北
偏东62°的方向出发走7千米到达C 处，则C 处附近就为藏文物的地方。
【课堂小测】
1．75
2．北偏西60° 3． B 4．B 5．∠BAC ＝123°
102 □ 初一数学讲义
90 □ 初一数学讲义
第十三讲 角的有关概念和性质
一、主要知识点回顾
1．角的概念：有公共端点的_______射线组成的图形叫做角。 2．平角，周角，直角以及角的度量单位：度，分，秒。 1平角＝180° 1周角＝360° 1直角＝90° 1度＝60分 1分＝60秒
练习：90°-23°39' ＝_______ 176°52'÷3＝_______。 3．角平分线：
由角的端点引出一条射线，这条射线将这个角分成了相等的两份，这条射线就叫做角平分线。 练习：如图1，∠AOD ＝80°，∠AOB ＝30°，OB 是∠AOC 的平分线，则∠AOC 的
度数为_________，∠COD 的度数为___________。
4．余角和补角
（1）互余：若α+β＝90︒，那么α与β互余。 （2）互补：若α+β＝180︒，那么α与β互补。
C B
O
图1 A
练习：如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是（ ）。
A ．130° B ．40° C ．90° D ．140°
二、感悟与实践
例题1：如图2，已知O 为直线AB 上一点, 过点O 向直线AB 上方引三条射线OC 、OD 、OE ，且OC 平分∠AOD ，∠2=3∠1，∠COE ＝70°，求∠2的度数。
O
图2
□ 初一数学讲义 91
变式练习1：如图3，已知∠BOC =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =20︒，
求∠AOB 的度数。
B
D
C
A
O
图3
例题2：如图4，东西方向的海岸线上有A 、B 两个观测站，在A 地发现它的北偏东30°
方向上有一条渔船，同一时刻，在B 地发现这条渔船在它的北偏西60°方向上，试画图说明这条渔船的位置。
A B
图4
变式练习2：有一张地图，有A 、B 、C 三地，但地图被墨迹污染，C 地具体位置看不
清楚了，但知道C 地在A 地的北偏东30°，在B 地的南偏东45°，你能帮他确定C 地的位置吗？
A
B
92 □ 初一数学讲义
> 例题3：甲乙两人各用一张正方形的纸片ABCD 折出一个45°的角（如图5），两人做法
如下：
甲：将纸片沿对角线AC 折叠，使B 点落在D 点上，则∠1＝45°；
乙：将纸片沿AM 、AN 折叠，分别使B 、D 落在对角线AC 上的一点P ，
则∠MAN ＝45°。
对于两人的做法，下列判断正确的是（ ）。
D(B) C
A 图5
A ．甲乙都对 B ．甲对乙错 C ．甲错乙对 D ．甲乙都错
变式练习3：如图6所示，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，求∠1的度数。
图6
三、巩固与提高
（A ）巩固练习
1．下列四个图形中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个角的图形是（ ）。
B A B
O O O A ． B． C ． D ．
□ 初一数学讲义 93
2．下列说法正确的是（ ）。
A ．两点之间直线最短
B ．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大 C ．把一个角分成两个角的射线叫角的平分线 D ．直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上。
3．下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（ ）。 （1）15°的角 （2）65°的角 （3）75°的角 （4）135°的角 （5）145°的角 A ．（1）（3）（4） B ．（1）（3）（5） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4）（5） 4．如图7，点A 位于点O 的（ A ．南偏东35° B ．北偏西65° C ．南偏东65° D ．南偏西65° 5．下列叙述正确的是（ ）。 A ．180°的角是补角 C ．15°、25°、50°的角互为补角 D ．120°和60°的角互为补角 6．
11
平角＝_____直角，周角＝______平角＝_____直角，135°角＝______平角。 24C B
图8
A
7．如图8，（1）∠AOC ＝+_____＝______； （2）∠AOB ＝______-______＝______-______。 8．如图9，如果∠1＝65°15' ，∠2＝78°30' ，求∠3是多少度?
图9
94 □ 初一数学讲义
9．如图10，∠AOD ＝∠BOC ＝90°，∠COD ＝42°，求∠AOC 、∠AOB 的度数。
A
10．如图11所示，直线AB 、CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝40°，
求∠2和∠3的度数。 2 B A 3
C 图11
11．一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数。
13
（B ）能力提高
12．两个角的大小之比是7 : 3，他们的差是72°，则这两个角的关系是（ ）。
A ．相等 B ．互余 C ．互补 D ．无法确定 13．若∠α+∠β＝90°，∠β+∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关系是（ ）。
A ．互余 B ．互补 C ．相等 D ．∠α＝90 °+∠γ 14．（2001，宁夏）学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C ，电影院在学
校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB 等于（ ）。 A ．115° B ．155° C ．25° D ．65°
□ 初一数学讲义 95 15．3.76°＝_______度_______分______秒；22︒32'24''＝_________度。 16．如图12所示，∠AOB 是平角，∠AOC ＝30°，∠BOD ＝60°，OM 、ON 分别是∠AOC 、 ∠BOD 的平分线，∠MON 等于_________。
17．如图13，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是西偏北50°。 （1）若∠AOC ＝∠AOB ，则OC 的方向是___________； （2）OD 是OB 的反向延长线，OD 的方向是_________； （3）∠BOD 可看作是OB 绕点O 逆时针方向至OD ，
作∠BOD 的平分线OE ，OE 的方向是___________； （4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE ＝ °。
D 北
N
C 50 B O
图12
南 图
13
18．如图14，一只小虫从点A 出发向北偏西30°方向爬了3cm 到点B ，再从点B 出发向
北偏东60°爬了3cm 到点C 。
（1）从图上量出点C 到点A 的距离（精确到0.1cm ）；
（2）指出点C 在点A 的什么方位?
图14
96 □ 初一数学讲义
（C ）趣味数学
老师发现一个学生在作业本上的姓名是：木（1+2+3）。 老师问：“这是谁的作业本？” 一个学生站起来：“是我的！” 老师：“你叫什么名字？” 学生：“木林森！” 老师：“那你怎么把名字写成这样呢？” 学生：“我用的是乘法分配律！” 哈哈……
四、考考你（共5小题，每小题20分，共100分）
1．如果点A 在点B 的北偏东40°的方向上，则点B 在点A 的（ ）。
A ．北偏东50° B ．南偏西50° C ．南偏西40° D ．南偏东40° 2．钟表8时30分时，时针与分针所成的角为 3．已知∠α的余角是35°45' 20″，则∠α的度数是___________。
4．如果两个角互为补角，并且它们的差为30°，那么较大的角是。
5．把一个圆形的蛋糕等分成12份，每份中的角是 60°，则这个蛋糕应分成份。
五、课外练习
1．如图15，OA 是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
北
（1）南偏东25°；
西 东
南
图15
（2）北偏西60°。
□ 初一数学讲义 97
2．王老师到市场买菜，发现如果把10千克的菜放到秤上，指标盘上的指针转了180°。 如图16，第二天王老师就给同学们出了两个问题：
（1）如果把0.6千克的菜放在秤上，指针转过多少角度？
（2）如果指针转了7°12' ，这些菜有多少千克？
图
16
98 □ 初一数学讲义
补充习题 角的有关概念和性质
【能力拓展】
1．把一副三角尺的直角顶点O 重叠在一起。
（1）如图1，当OB 平分∠COD 时，则∠AOD 和∠BOC 的和是多少度？ C B C
B A A
D D
O O 图1 图2
（2）如图2，当OB 不平分∠COD 时，则∠AOD 和∠BOC 的和是多少度？
2．在抗日战争时期，一组游击队员奉命把A 村的一批文物送往一个安全地带，在A 村的南偏东50°距离3千米处有一B 村，他们从A 村出发，以北偏东80°方向行军，不知道走了多远以后，他们发现B 村出现了烟火，于是决定先把文物就地埋藏起来，然后调转方向走了7千米的路程，直接赶到B 村消灭了敌人，结束战斗后，这组游击队员应到哪里去取文物呢? 假如你在场，凭以上信息，你能估计文物藏在什么地方吗? （画图说明）
□ 初一数学讲义 99
【课堂小测】共5小题，每1小题20分，共100分
1．钟表8时30分时，时针与分针所成的角为
2．点B 在点A 的南偏东60°，则点A 在点B 的____________。 3．已知∠AOB ＝3∠BOC ，若∠BOC ＝30°，则∠AOC 等于（ ）。 A ．120° B ．120°或60° C ．30° D ．30°或90° 4．一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是（ ）。
A ．30° B ．60° C ．45° D ．150° 5．小明从A 处向北偏东72°38' 方向走10m 到达B 处，小亮也从A 处出发向南偏西15°38' 方向走15m 到达C 处，则 BAC 的度数为 度。
100 □ 初一数学讲义
初一数学讲义第十三讲参考答案（56期）
一、主要知识点回顾
1．两条 2．66°21′，58°57′20″ 3．60°，20° 4．D
二、感悟与实践
例题1：60︒
变式练习1：∠AOB =120︒
例题2：北偏东30°方向和北偏西60°方向两射线的交点即为渔船的位置。
变式练习2：方法同例题2。
例题3：A
变式练习3：∠1的度数为15°
三、巩固与提高
（A ）巩固练习
1．B 2．D 3．A 4．B 5．D
6．1，, 1,
7．（1）∠AOB ；∠BOC ；∠AOD ；∠COD
（2）∠AOC ；∠BOC ；∠AOD ；∠B OD
8．解：∠3＝180°-∠1-∠2＝180°-65°15′-78°30′＝36°15′
9．解：∠AOC ＝∠AOD+∠DOC ＝90°+42°＝132°
∠AOB ＝360°-∠AOD -∠BOC -∠COD ＝360°-90°-90°-42°＝138°
10．∠3＝50°，∠2＝12341∠AOD ＝65°
2
14．A 11．45° （B ）能力提高 12．C 13．C
15．3，45，36；22.54
16．135°，（点拨：∠MON ＝180 °-∠AOM -∠BON ＝180 °-
17．（1）北偏东70° （2）南偏东40°
18．（1）CA 约4.2cm
（2）C 在A 的北偏东15°方向
11∠AOC -∠BOD ＝135°） 22（3）南偏西50° （4）160°
四、考考你
1．C
2．75 3．54°14′40″ 4．105° 5．30，6
五、课外练习
□ 初一数学讲义 101
1．略
2．（1）由题意，得(180︒÷10)⨯0.6=10.8︒。
（2）由题意，得(10÷180︒)⨯7︒12'=(10÷180︒)⨯7.2︒=0.4。
初一数学补充讲义第十三讲参考答案（56期）
【能力拓展】
1．（1）180° （2）180°
2．解：由题意作答图，作法如下：
北
N C 80°
西 东
A 7cm 3cm
B M
（1）在平面上任找一点为A （村）
（2）作出A 村的南偏东50°的方向线AM ，在AM 上截取AB ＝3cm （以1cm 表示
1千米）
（3）作出A 村的北偏东80°的方向线AN
（4）以B 点为圆心，以7cm 为半径作圆弧交AN 于C
（5）连结BC ，量出C 点在B 点处的方向为北偏东62°，BC ＝7cm ，则从B 处以北
偏东62°的方向出发走7千米到达C 处，则C 处附近就为藏文物的地方。
【课堂小测】
1．75
2．北偏西60° 3． B 4．B 5．∠BAC ＝123°
102 □ 初一数学讲义