第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程
教材分析
本节内容数学必修2 第四章 第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识．
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用．
教学目标
重点: 圆的标准方程的理解、掌握．
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程.
能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程.
教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程.
易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程.
拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程．
教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课
问题 1：什么是圆？
【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答．
问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？
【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．
【设计说明】教师引导，学生回答．
问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？
【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题．
二、探究新知
问题4：已知圆的圆心坐标为A (a , b ) ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，r >0），如何确定圆的方程？
师：类比直线点斜式方程的推导方法，引导学生回答求曲线的方程的一般步骤． 师生：教师引导学生回答如何求曲线的方程．
(1)建立适当的直角坐标系，用(x ，y ) 表示曲线上任意点M 的坐标； (2)写出适合条件P 的点M 的集合P={M|P(M)|}；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f (x ，y )=0； (4)化方程f (x ，y )=0为最简形式；
(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程．
师：设M (x,y)是圆上任意一点，根据圆的定义如何建立x ，y 满足的关系式？
生：利用两点间的距离公式，写出点M 的坐标适合的条件． 师：如何进一步化简上述关系式得出圆的方程？
生：学生自己化简得出圆的方程为(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2． 【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法． 【设计说明】学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．
三、理解新知
圆的标准方程：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2，其中圆心为A (a , b ) ，半径为r ． 强调：熟记圆的标准方程的结构特点，并能观察出圆心和半径． 师：那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？
生：只要a 、b 、r 三个量确定了且r >0，圆的方程就给定了． 师：圆心在原点圆的方程是什么？ 生：x 2
+y 2
=r 2
【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫． 【设计说明】学生自己归纳总结． 基础检测：
1. 圆(x -2) 2
+y 2
=2的圆心A 的坐标为______,半径r 为________. 2. 圆(x +1) 2+(y -3) 2=a 2(a ≠0) 的圆心, 半径是？
【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标, 半径长的关系． 【设计说明】学生口答．
四、运用新知
例1. 写出圆心为A (2, -3) , 半径长等于5的圆的方程，并判断点M 1(5, -7), M 2(-, -1) 是否在这个圆上． 分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手． 【设计意图】圆的标准方程的直接应用，并会判断点与圆的位置关系． 【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．
探究：怎样判断点M (x 0, y 0) 在圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2上？圆内？还是圆外？ 【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论． （1）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2，点在圆外 （2）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2，点在圆上 （3）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2
1. 点P (m , 5) 与圆x 2+y 2=25的位置关系（ ）
Ａ．在圆外 Ｂ．在圆上 Ｃ．在圆内 Ｄ．在圆上或圆外 2. 求经过点P(5，1) ，圆心在点C(8，-3) 的圆的标准方程．
3. 求以点(2, -1) 位圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的标准方程． 【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程． 【设计说明】学生爬黑板．
例2. ∆ABC 的三个顶点的坐标是A (5, 1), B (7, -3), C (2, -8) ，求它的外接圆的方程．
师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程
(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a , b , r 三个参数．
解法一：设所求圆的方程是(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 (1)
因为A (5, 1), B (7, -3), C (2, -8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是
⎧(5-a ) 2+(1-b ) 2=r 2⎧a =2
⎪⎪222
⇒(7-a ) +(-3-b ) =r ⎨b =-3 ⎨
⎪r =5⎪(2-a ) 2+(-8-b ) 2=r 2
⎩⎩
所以，∆ABC 的外接圆的方程为 (x -2) +(y +3) =25． 【设计意图】掌握待定系数法求圆的标准方程．
【设计说明】学生自己运算解决．
2
2
师：教师画图引导．
生：学生讨论发现，还可利用几何法求∆ABC 的外接圆的方程． 师：确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．那么如何确定圆心？
生：学生探讨发现：弦AB 的垂直平分线与弦BC 的垂直平分线的交点即为圆心M ． 师：如何确定半径？
生：圆心M 与圆上任一点的距离即为半径． 解法二：（师生共同完成） 因为A (5, 1), B (7, -3) ，所以线段AB 的中点D 的坐标为(6, -1) ，直线AB 的斜率k AB =-2， 因此线段AB 的垂直平分线L 1的方程是 y +1=
1
(x -6) ， 2
即 x -2y -8=0， 同理可得线段BC 的垂直平分线L 2的方程是 x +y +1=0．
⎧x -2y -8=0
圆心M 的坐标是方程组 ⎨ 的解．
x +y +1=0⎩
解此方程组，得 ⎨
⎧x =2
，
⎩y =-3
所以圆心M 的坐标是(2, -3) ． 圆心M 的圆的半径长 r =|AM |=
(5-2) 2+(1+3) 2=5．
所以，∆ABC 的外接圆的方程为 (x -2) 2+(y +3) 2=25．
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2得出∆ABC 外接圆的标准方程的两种求法： 方法一：代数法—待定系数法； 方法二：几何法—数形结合．
【设计意图】结合例2的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比较两种方法的优劣．
【设计说明】学生自己归纳总结．
练习：课本第120页，例3（不看课本，结合例2的理解，学生自己解决例3）
已知圆心为C 的圆经过点A (1, 1) 和B (2, -2) ，且圆心C 在直线上l :x -y +1=0，求圆心为C 的圆的标准方程．（给学生充分思考的时间，教师引导．）
生：学生画图思考．
【设计意图】结合对例2的理解，学生根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程，并比较两种方法的优劣．
【设计说明】学生爬黑板板书解题过程，以规范学生的解题步骤．
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：（1）圆的标准方程的结构特点． （2）点与圆的位置关系的判定． (3) 求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②几何法. 2．思想：数形结合的思想．
教师总结: 圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容, “温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏, 从而更好地运用知识, 解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用． 【设计意图】加强对学生学习方法的指导．
六、布置作业
1．书面作业
必做题： P124习题4.1 A 组 第2，3，4题 选做题： P124习题4.1 A 组 第5题 2．课外思考
圆的标准的方程形式是(x -a ) +(y -b ) =r ，该式展开后形式是什么？展开后的形式都表示圆吗？ 【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯. 书面作业的布置，是为了让学生能够根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排，是让学生理解圆除了标准形式，还有一般形式，起让学生课下探索发现、预习新课的作用．
2
2
2
七、教后反思
1. 本教案的亮点是圆的标准方程的推导以及任意三角形外接圆的标准方程的两种方法的得出，都是在学生已有的知识基础上得到，不是生硬的抛出，而是水到渠成．例题也是变讲为练，都是学生在独立或小组讨论中解决的，很好的调动学生的积极性与主动性，提高了学生的解题能力．
2. 由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的推导过程上下足功夫． 3. 本节课的弱项是课容量大，时间所限，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，感觉一节课下来比较紧，学生理解不透彻．
八、板书设计
第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程
教材分析
本节内容数学必修2 第四章 第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识．
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用．
教学目标
重点: 圆的标准方程的理解、掌握．
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程.
能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程.
教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程.
易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程.
拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程．
教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课
问题 1：什么是圆？
【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答．
问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？
【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．
【设计说明】教师引导，学生回答．
问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？
【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题．
二、探究新知
问题4：已知圆的圆心坐标为A (a , b ) ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，r >0），如何确定圆的方程？
师：类比直线点斜式方程的推导方法，引导学生回答求曲线的方程的一般步骤． 师生：教师引导学生回答如何求曲线的方程．
(1)建立适当的直角坐标系，用(x ，y ) 表示曲线上任意点M 的坐标； (2)写出适合条件P 的点M 的集合P={M|P(M)|}；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f (x ，y )=0； (4)化方程f (x ，y )=0为最简形式；
(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程．
师：设M (x,y)是圆上任意一点，根据圆的定义如何建立x ，y 满足的关系式？
生：利用两点间的距离公式，写出点M 的坐标适合的条件． 师：如何进一步化简上述关系式得出圆的方程？
生：学生自己化简得出圆的方程为(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2． 【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法． 【设计说明】学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．
三、理解新知
圆的标准方程：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2，其中圆心为A (a , b ) ，半径为r ． 强调：熟记圆的标准方程的结构特点，并能观察出圆心和半径． 师：那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？
生：只要a 、b 、r 三个量确定了且r >0，圆的方程就给定了． 师：圆心在原点圆的方程是什么？ 生：x 2
+y 2
=r 2
【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫． 【设计说明】学生自己归纳总结． 基础检测：
1. 圆(x -2) 2
+y 2
=2的圆心A 的坐标为______,半径r 为________. 2. 圆(x +1) 2+(y -3) 2=a 2(a ≠0) 的圆心, 半径是？
【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标, 半径长的关系． 【设计说明】学生口答．
四、运用新知
例1. 写出圆心为A (2, -3) , 半径长等于5的圆的方程，并判断点M 1(5, -7), M 2(-, -1) 是否在这个圆上． 分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手． 【设计意图】圆的标准方程的直接应用，并会判断点与圆的位置关系． 【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．
探究：怎样判断点M (x 0, y 0) 在圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2上？圆内？还是圆外？ 【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论． （1）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r 2，点在圆外 （2）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r 2，点在圆上 （3）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2
1. 点P (m , 5) 与圆x 2+y 2=25的位置关系（ ）
Ａ．在圆外 Ｂ．在圆上 Ｃ．在圆内 Ｄ．在圆上或圆外 2. 求经过点P(5，1) ，圆心在点C(8，-3) 的圆的标准方程．
3. 求以点(2, -1) 位圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的标准方程． 【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程． 【设计说明】学生爬黑板．
例2. ∆ABC 的三个顶点的坐标是A (5, 1), B (7, -3), C (2, -8) ，求它的外接圆的方程．
师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程
(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a , b , r 三个参数．
解法一：设所求圆的方程是(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 (1)
因为A (5, 1), B (7, -3), C (2, -8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是
⎧(5-a ) 2+(1-b ) 2=r 2⎧a =2
⎪⎪222
⇒(7-a ) +(-3-b ) =r ⎨b =-3 ⎨
⎪r =5⎪(2-a ) 2+(-8-b ) 2=r 2
⎩⎩
所以，∆ABC 的外接圆的方程为 (x -2) +(y +3) =25． 【设计意图】掌握待定系数法求圆的标准方程．
【设计说明】学生自己运算解决．
2
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师：教师画图引导．
生：学生讨论发现，还可利用几何法求∆ABC 的外接圆的方程． 师：确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．那么如何确定圆心？
生：学生探讨发现：弦AB 的垂直平分线与弦BC 的垂直平分线的交点即为圆心M ． 师：如何确定半径？
生：圆心M 与圆上任一点的距离即为半径． 解法二：（师生共同完成） 因为A (5, 1), B (7, -3) ，所以线段AB 的中点D 的坐标为(6, -1) ，直线AB 的斜率k AB =-2， 因此线段AB 的垂直平分线L 1的方程是 y +1=
1
(x -6) ， 2
即 x -2y -8=0， 同理可得线段BC 的垂直平分线L 2的方程是 x +y +1=0．
⎧x -2y -8=0
圆心M 的坐标是方程组 ⎨ 的解．
x +y +1=0⎩
解此方程组，得 ⎨
⎧x =2
，
⎩y =-3
所以圆心M 的坐标是(2, -3) ． 圆心M 的圆的半径长 r =|AM |=
(5-2) 2+(1+3) 2=5．
所以，∆ABC 的外接圆的方程为 (x -2) 2+(y +3) 2=25．
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2得出∆ABC 外接圆的标准方程的两种求法： 方法一：代数法—待定系数法； 方法二：几何法—数形结合．
【设计意图】结合例2的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比较两种方法的优劣．
【设计说明】学生自己归纳总结．
练习：课本第120页，例3（不看课本，结合例2的理解，学生自己解决例3）
已知圆心为C 的圆经过点A (1, 1) 和B (2, -2) ，且圆心C 在直线上l :x -y +1=0，求圆心为C 的圆的标准方程．（给学生充分思考的时间，教师引导．）
生：学生画图思考．
【设计意图】结合对例2的理解，学生根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程，并比较两种方法的优劣．
【设计说明】学生爬黑板板书解题过程，以规范学生的解题步骤．
五、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：（1）圆的标准方程的结构特点． （2）点与圆的位置关系的判定． (3) 求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②几何法. 2．思想：数形结合的思想．
教师总结: 圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容, “温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏, 从而更好地运用知识, 解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用． 【设计意图】加强对学生学习方法的指导．
六、布置作业
1．书面作业
必做题： P124习题4.1 A 组 第2，3，4题 选做题： P124习题4.1 A 组 第5题 2．课外思考
圆的标准的方程形式是(x -a ) +(y -b ) =r ，该式展开后形式是什么？展开后的形式都表示圆吗？ 【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯. 书面作业的布置，是为了让学生能够根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排，是让学生理解圆除了标准形式，还有一般形式，起让学生课下探索发现、预习新课的作用．
2
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七、教后反思
1. 本教案的亮点是圆的标准方程的推导以及任意三角形外接圆的标准方程的两种方法的得出，都是在学生已有的知识基础上得到，不是生硬的抛出，而是水到渠成．例题也是变讲为练，都是学生在独立或小组讨论中解决的，很好的调动学生的积极性与主动性，提高了学生的解题能力．
2. 由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的推导过程上下足功夫． 3. 本节课的弱项是课容量大，时间所限，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，感觉一节课下来比较紧，学生理解不透彻．
八、板书设计