重积分论文

《高等数学》——重积分 麻安平

贵州民族大学建筑工程学院土木一班

摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用。 关键词：重积分；曲面面积. I.重积分的应用归纳如下: 1.1曲面的面积

设曲面的方程为z

fx,y，在xoy面上的投影为Dxy，函数

fx,y在D上具有连续偏导数，则曲面的面积为：

ff22Adxdyfx,yfxyx,yd

xyDD

若曲面的方程为

2

2

xgy,z，在yoz面上的投影为Dyz，则曲面



的面积为：

A

D

gg22

dydzfy,zfyzy,zd y

zD

2

2

若曲面的方程为的面积为：

yhz,x，则曲面在zox面上的投影为Dzx，

hh22

Adzdxfzz,xfxz,xd

zxDD

例1：计算双曲抛物面z

22

xy被柱面x2y2R2所截出的面积A。

2

解：曲面在xoy面上投影为D:x

y2R2,则

2

2

A

zxzydxdy

D

即有

:

Ad

D

2R

22

1R13

从而被柱面x1.2质量

1.2.1平面薄片的质量 若平面薄片占有平面闭区域

2

y2R2所截出的面积A如上所示。

D，面密度为x,y，则它的质量为

mx,yd，其中dmx,yd称为质量元素.

D

1.2.2物体的质量

若物体占有空间闭区域

，体密度为x,y,z，则它的质量为

mx,y,zdv

D

例2：由螺线2，与直线

2

，围成一平面薄片D，它的面密度

x2y2。求它的质量。

解：如图所示，m1.3质心

1.3.1平面薄片的质心

若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为

2

dxdyxydxdydd

2

2

D

D

2

20



x,y，则它的质心坐

1

mxx,ydD

标为：

1yx,yd

mD

1.3.2物体的质心

，其中m为平面薄片的质量.

若物体占有空间闭区域，体密度为

x,y,z，则它的质心坐标为：

1

x,y,zdv

mD

1x,y,zdvmD，其中m为物体的质量. 1

x,y,zdv

mD

yd

D

D

2

sinddsind

4sin

2sin

564

dsind7

30

2

1.4转动惯量

1.4.1平面薄片的转动惯量

若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为点的转动惯量分别为:

x,y，则它对轴,轴以及对原

Ixy2d,Iyx2d,Iox2y2d

D

D

D



1.4.2物体的转动惯量

若物体占有空间闭区域，体密度为的转动惯量分别为:

x,y,z，则它对轴,轴以及对原点

Ixx2y2d,Iyz2x2d,





Izx2y2d,Iox2y2z2d











例3：求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。

x2y2a2

解:建立坐标系如图所示:D:

y0 Ixydxdyrsindrdsind

D

D

2

3

2



2

a

141

rdra2

422

3

12

又半圈薄片的质量Ma

2

Ix

1

Ma2.. 4

例4：求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量。 解:取球心为原点,

2222

z轴为l轴,设球所占域为:xyza,则

Ix2y2dxdydz

r2sin2cos2r2sin2cos2r2sindrdd

2

2224

dsindr4dra521a2MMa3.

0005353



3

a

1.5引力

1.5.1平面薄片对质点的引力

若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为

x,y，质量为m



Fx,Fy，则 的质点位于x0,y0，设薄片对质点的引力为F

FxGm

D

xx0d

r3

,

FyGm

D

yy0d

r3

其中r

xx02yy02,G为引力常数.

1.5.2物体对质点的引力

若物体占有空间闭区域，体密度为

x,y,z，质量为m的质点



Fx,Fy,Fz，则 位于x0,y0,z0，设薄片对质点的引力为F

FxGm



xxod

r

3

FyGm



yyod

r3

FzGm



zzod

r3

其中r

xx02yy02zz02,G为引力常数.

例5：求一高R，底面半径为R的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。

解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为z轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为

x2y2zR，



Fx,Fy,Fz用微元法讨论，在圆锥任意一点 设密度为，所求F

x,y,z处取微元d，则此小块质量为d，它对原点处单位质点引力

为：

d1d

dFG2rG3r，其中rx,y,z,rx2y2z2.

rrr

由对称性可知Fx

Fy0，



dFzdFcos

zz

因为cos，所以dFzG3d，

rr

从而

FzG



z

d3 r

2

G

20

z



2

z

R0



dddz

R

Gdd

z

R

G22z20





2

z

2





R

d

0

2G

R

1

222R

d

2

2G1222GR





所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为F22GR。





例6：求半径为R的均匀球

x2y2z2R2

对位于点

M00,0,aaR的单位质量质点的引力.

解：利用对称性知引力分量Fx

Fx0

FzG



za

x

2

y2za

2



GG

R

RR

zadz

Dz

dxdy

x

2

yza

2R2z20

2

R

zadz0

R

2

d

rdr

r

2

za

2

11dz2Gza

22RazR2aza

1R222G2RzadR2azaaRM

G2

a

II.重积分小谈

2.1积分学与微分学

积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单的认识。对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理。可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。 2.2浅谈积分学思想

积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。在此，我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。

一重积分，即定积分，通过NewTon.–Leibniz公式处理，关键是确定原函数，即不定积分。

4R3M3为球的质量。

二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别可基于X型Y型区域去处理。XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影。只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析。

三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或着先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。

其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是，定出这些重积分的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力等的过程。 2.3浅谈积分学的计算

直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的），则可以回到NewTon –Leibniz公式。

三重积分的先一次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影，但我们一般向XOY平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量，如z具有明确上下限，而由z所确定的Dz平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。主要适用于：球体，半球体，锥体，椭球体，以及类形体。

关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此，换元后微元都发生了改变，（这是尤为要强调记住的）。其它过程则跟直角坐标系下一致。

平面极坐标主要适用于积分的区域有：圆域，环域，扇形域，及类区域。

柱面坐标本质是对某一个变量，如z，用直角坐标系表示，对XY用平面极坐标表示。强调当XY用极坐标表示后，z也要用半径跟角度表示。其主要适用于：圆柱，圆锥，球体，半球体，等类形体。

关于空间极坐标，其主要适用于圆锥，球体，半球体。

总之，所有计算方法，都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示，主要注意在不同坐标系下的微元即可。

参考文献：

[1] 王贵鹏. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 2001, 6.

[2] 田国华. 数学分析辅导及习题全解[M]. 北京：人民日报出版社, 2007, 8. [3] 骆一丹. 辅导及习题精解[M]. 上海：同济大学出版社，2004, 7.

[4] 同济大学数学教研组. 高等数学学习方法指导书[M]. 上海：同济大学出版社，1981, 10. [5] 闫晓红, 王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解[M]. 北京：中国时代经济出版社, 2006, 3. [6] 强文久, 李元章, 黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法[M]. 上海：高等教育出版社,1989, 4. [7] 同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2007，6.

《高等数学》——重积分 麻安平

贵州民族大学建筑工程学院土木一班

摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用。 关键词：重积分；曲面面积. I.重积分的应用归纳如下: 1.1曲面的面积

设曲面的方程为z

fx,y，在xoy面上的投影为Dxy，函数

fx,y在D上具有连续偏导数，则曲面的面积为：

ff22Adxdyfx,yfxyx,yd

xyDD

若曲面的方程为

2

2

xgy,z，在yoz面上的投影为Dyz，则曲面



的面积为：

A

D

gg22

dydzfy,zfyzy,zd y

zD

2

2

若曲面的方程为的面积为：

yhz,x，则曲面在zox面上的投影为Dzx，

hh22

Adzdxfzz,xfxz,xd

zxDD

例1：计算双曲抛物面z

22

xy被柱面x2y2R2所截出的面积A。

2

解：曲面在xoy面上投影为D:x

y2R2,则

2

2

A

zxzydxdy

D

即有

:

Ad

D

2R

22

1R13

从而被柱面x1.2质量

1.2.1平面薄片的质量 若平面薄片占有平面闭区域

2

y2R2所截出的面积A如上所示。

D，面密度为x,y，则它的质量为

mx,yd，其中dmx,yd称为质量元素.

D

1.2.2物体的质量

若物体占有空间闭区域

，体密度为x,y,z，则它的质量为

mx,y,zdv

D

例2：由螺线2，与直线

2

，围成一平面薄片D，它的面密度

x2y2。求它的质量。

解：如图所示，m1.3质心

1.3.1平面薄片的质心

若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为

2

dxdyxydxdydd

2

2

D

D

2

20



x,y，则它的质心坐

1

mxx,ydD

标为：

1yx,yd

mD

1.3.2物体的质心

，其中m为平面薄片的质量.

若物体占有空间闭区域，体密度为

x,y,z，则它的质心坐标为：

1

x,y,zdv

mD

1x,y,zdvmD，其中m为物体的质量. 1

x,y,zdv

mD

yd

D

D

2

sinddsind

4sin

2sin

564

dsind7

30

2

1.4转动惯量

1.4.1平面薄片的转动惯量

若平面薄片占有平面闭区域D，面密度为点的转动惯量分别为:

x,y，则它对轴,轴以及对原

Ixy2d,Iyx2d,Iox2y2d

D

D

D



1.4.2物体的转动惯量

若物体占有空间闭区域，体密度为的转动惯量分别为:

x,y,z，则它对轴,轴以及对原点

Ixx2y2d,Iyz2x2d,





Izx2y2d,Iox2y2z2d











例3：求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。

x2y2a2

解:建立坐标系如图所示:D:

y0 Ixydxdyrsindrdsind

D

D

2

3

2



2

a

141

rdra2

422

3

12

又半圈薄片的质量Ma

2

Ix

1

Ma2.. 4

例4：求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量。 解:取球心为原点,

2222

z轴为l轴,设球所占域为:xyza,则

Ix2y2dxdydz

r2sin2cos2r2sin2cos2r2sindrdd

2

2224

dsindr4dra521a2MMa3.

0005353



3

a

1.5引力

1.5.1平面薄片对质点的引力

若平面若平面薄片占有平面比区域D，面密度为

x,y，质量为m



Fx,Fy，则 的质点位于x0,y0，设薄片对质点的引力为F

FxGm

D

xx0d

r3

,

FyGm

D

yy0d

r3

其中r

xx02yy02,G为引力常数.

1.5.2物体对质点的引力

若物体占有空间闭区域，体密度为

x,y,z，质量为m的质点



Fx,Fy,Fz，则 位于x0,y0,z0，设薄片对质点的引力为F

FxGm



xxod

r

3

FyGm



yyod

r3

FzGm



zzod

r3

其中r

xx02yy02zz02,G为引力常数.

例5：求一高R，底面半径为R的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。

解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为z轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为

x2y2zR，



Fx,Fy,Fz用微元法讨论，在圆锥任意一点 设密度为，所求F

x,y,z处取微元d，则此小块质量为d，它对原点处单位质点引力

为：

d1d

dFG2rG3r，其中rx,y,z,rx2y2z2.

rrr

由对称性可知Fx

Fy0，



dFzdFcos

zz

因为cos，所以dFzG3d，

rr

从而

FzG



z

d3 r

2

G

20

z



2

z

R0



dddz

R

Gdd

z

R

G22z20





2

z

2





R

d

0

2G

R

1

222R

d

2

2G1222GR





所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为F22GR。





例6：求半径为R的均匀球

x2y2z2R2

对位于点

M00,0,aaR的单位质量质点的引力.

解：利用对称性知引力分量Fx

Fx0

FzG



za

x

2

y2za

2



GG

R

RR

zadz

Dz

dxdy

x

2

yza

2R2z20

2

R

zadz0

R

2

d

rdr

r

2

za

2

11dz2Gza

22RazR2aza

1R222G2RzadR2azaaRM

G2

a

II.重积分小谈

2.1积分学与微分学

积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度。客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀。对简单的、规则的、均匀的，我们都是建立标准，全地球人都认可的标准，从而建立简单的认识。对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理。可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单，用起来却很值得我们去仔细考虑。 2.2浅谈积分学思想

积分学只是极限的一个简单应用，但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。在此，我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。

一重积分，即定积分，通过NewTon.–Leibniz公式处理，关键是确定原函数，即不定积分。

4R3M3为球的质量。

二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别可基于X型Y型区域去处理。XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影。只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析。

三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套思想，与二重积分一致，关键是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或着先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式。

其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是，定出这些重积分的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心，转动惯量，引力等的过程。 2.3浅谈积分学的计算

直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂区域分割为若干个简单区域（就是可以嵌套表示的），则可以回到NewTon –Leibniz公式。

三重积分的先一次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影，但我们一般向XOY平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量，如z具有明确上下限，而由z所确定的Dz平面区域可以很容易处理，这时候比较容易处理。主要适用于：球体，半球体，锥体，椭球体，以及类形体。

关于平面极坐标，空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此，换元后微元都发生了改变，（这是尤为要强调记住的）。其它过程则跟直角坐标系下一致。

平面极坐标主要适用于积分的区域有：圆域，环域，扇形域，及类区域。

柱面坐标本质是对某一个变量，如z，用直角坐标系表示，对XY用平面极坐标表示。强调当XY用极坐标表示后，z也要用半径跟角度表示。其主要适用于：圆柱，圆锥，球体，半球体，等类形体。

关于空间极坐标，其主要适用于圆锥，球体，半球体。

总之，所有计算方法，都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示，主要注意在不同坐标系下的微元即可。

参考文献：

[1] 王贵鹏. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社, 2001, 6.

[2] 田国华. 数学分析辅导及习题全解[M]. 北京：人民日报出版社, 2007, 8. [3] 骆一丹. 辅导及习题精解[M]. 上海：同济大学出版社，2004, 7.

[4] 同济大学数学教研组. 高等数学学习方法指导书[M]. 上海：同济大学出版社，1981, 10. [5] 闫晓红, 王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解[M]. 北京：中国时代经济出版社, 2006, 3. [6] 强文久, 李元章, 黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法[M]. 上海：高等教育出版社,1989, 4. [7] 同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2007，6.